Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3 0 + 980 = 400 + 980 = 580 klopt. n = geeft p = 0 3 + 980 = 40 + 980 = 560 klopt. n = geeft p = 0 3 + 980 = 440 + 980 = 540 klopt. n = 3 geeft p = 0 3 3 + 980 = 460 + 980 = 50 klopt. c n = 0 geeft p = 0 3 0 + 980 = 00 + 980 = 780 Bij 0 personen kost de reis e 780,- per persoon. d Volgens de formule kost de reis bij 48 deelnemers 0 3 48 + 980 = 960 + 980 = e 0, en dat is veel te weinig. Het reisbureau zal de formule niet gebruiken. V-a startgetal 8, hellingsgetal 7 b startgetal 0, hellingsgetal 3 c startgetal 00, hellingsgetal 7 d startgetal 0, hellingsgetal 4 e zonder haakjes wordt de formule y = 6x 4 startgetal 4, hellingsgetal 6 f zonder haakjes wordt de formule a = 6 + 3t startgetal 6, hellingsgetal 3 V-3a In tabel A is de toename in de onderste rij steeds 6 als de getallen in de bovenste rij met toenemen. Dus als de getallen in de bovenste rij opeenvolgende gehele getallen zijn, is de toename in de onderste rij steeds 3. Dus hoort bij tabel A een lineaire formule. In tabel B zijn de getallen in de bovenste rij opeenvlogende gehele getallen en is de toename in de onderste rij steeds 6. Dus bij tabel B hoort een lineaire formule. b Bij tabel A is het startgetal 3 en het hellingsgetal ook 3. De formule is dus y = 3x + 3. Bij tabel B vind je het startgetal door de tabel 5 stappen naar links uit te breiden. Bij x = 0 is dan y = 3 5 3 6 = 3 30 dus y = 7. Het stargetal is dus 7 en het hellingsgetal is 6. De formule is y = 6x 7. c Bij een lineaire grafiek hoort de formule y = ax + b. Het hellingsgetal is Het startgetal is 4. De formule is y = 5x 4. V-4a k = 0p + 5 b m = 35c c b = 48c d d = 7 + 4w e y = 6x 5 + 7x dus y = 3x 5 f u = 0t 4 + 3 dus u = 0t g q = 8r 48 + 4r dus q = 4r 48 h z = 3 8h 7h + 8 dus z = 5 5h 58 Moderne wiskunde 9e editie B vwo toename tweede coordinaat toename eerstecoo rdinaat = ( 4) = 5 = 5. 3 0 3
V-5a Je moet het aantal uur dat je gebruik maakt van internet vermenigvuldigen met de prijs per uur, dus met,50. De uitkomst daarvan gaat van de 00 euro af die je op het pasje hebt staan. b 00 60 = 40 dus op het bordje moet 60 staan. c,5t = 60 geeft t = 4 Na 4 uur staat er nog e 40,- op het pasje. d Je hebt na 00 :,5 = 40 uur het volledige bedrag op het pasje verbruikt. V-6a 5x = 40 d 40p = 60 x = 40 : 5 dus x = 8 p = 60 : 40 dus p = 4 b 7b = 70 e y + 5 = 0 b = 70 : 7 dus b = 0 y = 5 c 9x = 45 f c + 6 = x = 45 : 9 dus x = 5 c = 5 V-7a 3t + 65 = 47 3t = 8 t = 8 : 3 dus t = 4 b De variabele t staat aan beide kanten van het = - teken. Je kunt niet op twee plaatsen tegelijkertijd een bordje leggen. c a b c t 0 3 4 5 6 7 k = 3t + 65 65 78 9 04 7 30 43 56 k = 4t 36 60 84 08 3 56 Bij t = 7 hebben de formules dezelfde uitkomst. 9- Met de balans Je kunt aan beide kanten van de balans vier zakjes weghalen. Aan de ene kant blijven er dan elf losse knikkers over, aan de andere kant twee zakjes en drie losse knikkers. In twee zakjes zitten dus 3 = 8 knikkers. In één zakje heeft Daan 8 : = 4 knikkers. a De variabele a staat aan beide kanten van het = - teken. Je kunt niet op twee plaatsen tegelijkertijd een bordje leggen. b a = 4 geeft 4 3 4 + = 6 3 4 + 3 ofwel 6 + = 4 + 3 ofwel 7 = 7 en dat klopt. c a = 6 geeft 4 3 6 + = 6 3 6 + 3 ofwel 4 + = 36 + 3 ofwel 35 = 39 en dat klopt niet, dus a = 6 is geen oplossing. Moderne wiskunde 9e editie B vwo 59
60 3a a a a b 3a + 4 = 0 c Haal aan beide kanten vier knikkers weg. Bij wat er over blijft hoort de vergelijking: 3a = 6 d a = 6 : 3 dus a = e a = geeft 5 3 + 4 = 3 + 0 ofwel 0 + 4 = 4 + 0 ofwel 4 = 4 en dat klopt, dus a = is een oplossing. 4 Haal eerst aan beide kanten vier losse knikkers weg. Bij wat er over blijft hoort de vergelijking: 5a = a + 6 Haal vervolgens aan beide kanten twee zakjes met knikkers weg. Bij wat er nu over blijft hoort de vergelijking: 3a = 6 a = 6 : 3 dus a =, Jan krijgt dezelfde oplossing. 5a Aan beide kanten haal je drie zakjes weg. b 7 = a + 7 c Aan beide kanten haal je nu zeven losse knikkers weg. d 0 = a e a = 0 : dus a = 5 f Er zitten vijf knikkers in elk zakje. 6a 6a + = 4a + e 6 + e = 6 + 9e a + = 6 = 6 + 7e a = 0 56 = 7e a = 0 : dus a = 0 e = 56 : 7 dus e = 8 b b + 5 = 5b + 4 f 4f + 9 = 9 + f 5 = 3b + 4 f + 9 = 9 = 3b f = 0 b = : 3 dus b = 7 f = 0 c 8c + = 7c + 30 g 3g + 4 = + g c + = 30 g + 4 = c = 8 g = 8 d 5d + 3 = d + 5 h 9h + 3 = 65 + 5h 4d + 3 = 5 4h + 3 = 65 4d = 48 4h = 5 d = 48 : 4 dus d = h = 5 : 3 dus h = 4 Moderne wiskunde 9e editie B vwo
7a 5g + + 3g = g + 7 e 4c + 5 = 3c + 6 8g + = g + 7 c + 5 = 6 7g + = 7 c = 7g = 6 g = 6 : 7 dus g 0,86 b 5h + 3 = 5h + 97 f 4d + 4 = 9d + 0h + 3 = 97 5d + 4 = 0h = 65 5d = 8 h = 65 : 0 dus h = 3,5 d = 8 : 5 dus d = 3,6 c a + 99 = 3a + 9 +7a g 4a + 0 = 83a + 407 a + 99 = 0a + 9 4a + 0 = 407 99 = 9a + 9 4a = 87 90 = 9a a = 87 : 4 dus a = 7 a = 90 : 9 dus a = 0 d 34b + 4 = 5b + 4 h k + 7 = 3k + k + 8 4 = 8b + 4 k + 7 = 5k + 8 0 = 8b 7 = 3k + 8 b = 0 9 = 3k k = 9 : 3 dus k 6,33 9- Vergelijkingen oplossen 8a x + x = 0 b Ze schrijft aan beide kanten +8. c 6x = 4 x = 4 : 6 dus x = 4 d x = 4 geeft 4 3 4 8 = 3 4 + 6 ofwel 6 8 = 8 + 6 ofwel 8 = 8 en dat klopt, dus x = 4 is een oplossing. 9a 0x 5 = 6x + 9 d 5b + 4 = 5 6b 4x 5 = 9 b + 4 = 5 4x = 4 b = x = 4 : 4 dus x = 6 b = : dus b = b p + 0 = 4p e 0x + 5 = 6x + 5 0 = 6p 4x + 5 = 5 = 6p 4x = 0 p = : 6 dus p = x = 0 : 4 dus x = 5 c x 3 = 6x + 3 f 5p + 4 = 93 6p 8x 3 = 3 p + 4 = 93 8x = 6 p = 89 x = 6 : 8 dus x = p = 89 : dus p = 9 Moderne wiskunde 9e editie B vwo 6
6 0a - b 4x + 3 = 6x + 9 x + 3 = 9 x = 6 x = 6 : dus x = 3 c Invullen in 4x + 3 geeft 4 3 3 + 3 = + 3 = 9, invullen in 6x + 9 geeft 6 3 3 + 9 = 8 + 9 = 9, klopt. a a + 3 = 3a + 7 e 8m + 5 = 3m 7 a + 3 = 7 5 = m 7 a = 4 = m controle: 3 4 + 3 = 8 + 3 = 5 m = : dus m = 3 3 4 + 7 = + 7 = 5, klopt controle: 8 3 + 5 = 6 + 5 = 3 3 7 = 6 7 =, klopt b 0 5b = 9 3b f 8x + 37 =0x + 353 0 = 9 + b 8x + 37 = 353 = b 8x =6 b = : dus b = x = 6 : 8 dus x = 7 controle: 0 5 3 = 0 = 7 controle: 8 3 7 + 37 = 63 9 3 3 = 9 = 7, klopt 0 3 7 + 353 = 63, klopt c 7 + 4x = x + g 8x + 37 = 36 0x 7 + 6x = 8x + 37 = 36 6x = 6 8x = 4 x = 6 : 6 dus x = x = 4 : 8 dus x = 8 controle: 7 + 4 3 = 7 + 4 = 3 controle: 8 3 8 + 37 = 8 3 + = + = 3, klopt 36 0 3 8 = 36 80 = 8, klopt d x = 0 x h 6t + 7 = 9t 7 4x = 0 3t + 7 = 7 4x = 3t = 4 x = : 4 dus x = 5 t = 4 : 3 dus t = 8 controle: 3 5 = = controle : 6 3 8 + 7 = 48 + 7 = 55 0 3 5 = 0 =, klopt 9 3 8 7=7 7 = 55, klopt a p 4 = 9p + e k 7 = 90k + 34 p 4 = 7 = 78k + 34 p = 5 4 = 78k p = 5 : dus p 0,7 k = 4 : 78 dus k 0,53 b q 4 = 90q + f 5x 5 = 7 + 3x 4 = 78q + x 5 = 7 6 = 78q x = 86 q = 6 : 78 dus q 0, x = 86 : dus x = 43 c 6s 5 = 7 g p 5 = 6s = 86 p = 6 s = 86 : 6 dus s 4,33 p = 6 : dus p,45 d 700 + 0,06a = 635 + 0,a h 0,5x + 750 = 0,07x + 800 700 = 635 + 0,06a 0,08x + 750 = 800 065 = 0,06a 0,08x = 050 a = 065 : 0,06 dus a = 7750 x = 050 : 0,08 dus x = 35 Moderne wiskunde 9e editie B vwo
3a Bij bedrijf A is de formule voor de kosten k in euro s k = 6,5a + 40. Bij bedrijf B is de formule voor de kosten k in euro s k = 7,75a + 5. Als beide bedrijven even duur zijn geldt dus de vergelijking 6,5a + 40 = 7,75a + 5 b 40 =,5a + 5 5 =,5a a = 5 :,5 dus a = 4a 0 x = 9x b 0 = x = x x = : dus x = 5a ( 0 x) = x + 5 d 3x 4 + 7x = 5(x 9) 0 x= x + 5 0x 4 = 5x 45 0 = x + 5 5x 4 = 45 5= x 5x = 3 x = 5: dus x = x = 3 : 5 dus x = 6 5 b + 6p = 4 + (p + 3) e 3a 5(a ) = 5 + 6p = 4 + p + 6 3a 0a + 5 = 5 + 6p = 30 + p 7a + 5 = 5 + 4p = 30 7a = 0 4p = 9 a = 0 : 7 dus a = 3 7 p = 9 : 4 dus p = 7 4 c f = 4( f) f 3(k + ) = (k + 7) 4 + k f = 8 + 8f 6k + 6 = k + 4 4 + k = 8 + 0f 6k + 6 = 4k 4 = 0f 6 = k f = 4 : 0 dus f = 5 k = 6 : dus k = 3 g 8 3(x + 6) = (3x 5 ) + 3 8 3x 8 = 6x + + 3 0 3x = 6x + 4 0 = 3x + 4 4 = 3x x = 4 : 3 dus x = 3 6a b c Er staan twee variabelen, a en p in de vergelijking. Met p = 8 wordt de vergelijking: 3a + 7 = 5a + 8 8a + 7 = 8 8a = a = : 8 dus a = 8 Met p = 5 wordt de vergelijking: 3a + 7 = 5a 5 8a = a = : 8 dus a = Moderne wiskunde 9e editie B vwo 63
64 d Met a = wordt de vergelijking 3 3 + 7 = 5 3 + p ofwel 66 + 7 = 0 + p 73 = 0 + p p = 83 Met a = wordt de vergelijking 3 + 7= 5 + p ofwel + 7= + p 5 = + p p = 3 7a Met a = wordt de vergelijking 3(p + 4) = (p ) + 0. 6p + = p + 0 6p + = p + 8 4p + = 8 4p = 3 p = 3 : 4 dus p = 3 4 b Met p = wordt de vergelijking 3(a + 4) = a( ) + 0. 6a + = a + 0 6a + = a + 0 5a + = 0 5a = a = : 5 dus a = 5 9-3 Snijdende lijnen 8a Zonder kortingkaart betaalt hij 3 6 = 7 euro. Met kortingkaart betaalt hij 60 + 3 = 60 + 4 = 84 euro. Pim koopt losse kaartjes, dat is voor hem goedkoper. b Zonder kortingkaart is de formule voor de kosten b = 6a. c Met kortingkaart is de formule voor de kosten b = 60 + a. d b 00 80 60 40 0 0 met kortingskaart zonder kortingskaart a 4 6 8 0 4 6 8 0 e Bij het snijpunt hoort a = 5. Invullen bij b = 6a geeft b = 6 3 5 = 90, invullen bij b = 60 + a geeft b = 60 + 3 5 = 60 + 30 = 90, klopt. Moderne wiskunde 9e editie B vwo
9a y 0 8 6 4 0 8 6 4 O y = 3x + 0 3 y = 5x + 4 x 5 6 7 8 9 b In het snijpunt geldt dat de uitkomsten van de beide formules gelijk zijn, dus moet gelden 5x + = 3x + 0. c 8x + = 0 8x = 8 x = 8 : 8 dus x = 4 d Invullen in y = 5x + geeft y = 5 3 + = + = 3. 4 4 4 e Invullen bij y = 3x + 0 geeft y = 3 3 + 0 = 6 3 + 0 = 3, klopt. 4 4 4 Het snijpunt is (, 3 ). 4 4 0a + 0x = 3 6x + 6x = 3 6x = 0 x = 0 : 6 dus x = 4 Invullen in y = + 0x geeft y = + 0 3 = + = 4, 4 invullen in y = 3 6x geeft y = 3 6 3 = 3 7 = 4, klopt. 4 Het snijpunt is (, 4 ). 4 b x+ 3= x+ 7 6 x + 3= 7 3 x = 4 3 x = 4 3 3 dus x = Invullen in y= x+ 3 geeft y = + 3= 6+ 3= 9, invullen in y= x+ 7 geeft y = + 7= + 7= 9, klopt. 6 6 Het snijpunt is (, 9). c 3,47x +,88 =,85x + 3, 0,6x +,88 = 3, 0,6x = 9,76 x = 9,76 : 0,6 dus x 5,74 Invullen in y = 3,47x +,88 geeft y = 3,47 3 5,74 +,88 4,74 invullen in y =,85x + 3, geeft y =,85 3 5,74 + 3, 4,74, klopt. Het snijpunt is ( 5,74; 4,74). Moderne wiskunde 9e editie B vwo 65
66 a 3a + 6 = a 4 6 = 5a 4 0 = 5a a = 0 : 5 dus a = 4 Invullen in h = 3a + 6 geeft h = 3 3 4 + 6 = + 6 = 6, invullen in h = a 4 geeft h = 3 4 4 = 8 4 = 6, klopt. Het snijpunt is (4, 6). b 0 s = s + 7 0 = 3s + 7 3 = 3s s = 3 : 3 dus s = Invullen in p = 0 s geeft p = 0 = 9, invullen in p = s + 7 geeft p = 3 + 7 = + 7 = 9, klopt. Het snijpunt is (, 9). c 79f 8 = 9f 58 50f 8 = 58 50f = 30 f = 30 : 50 dus f = 5 Invullen in g = 79f 8 geeft g = 79 3 8 = 35 4 8 = 63 4, 5 5 5 invullen in g = 9f 58 geeft g = 9 3 58 = 5 4 58 = 63 4, klopt. 5 5 5 Het snijpunt is (, 63 4 ). 5 5 Lijn l heeft startgetal 30 en hellingsgetal 40 30 = 0 = 5. 0 De formule bij lijn l is y = 5x + 30. Lijn m heeft startgetal 5 en hellingsgetal 45 5 = 40 = 8. 5 0 5 De formule bij lijn m is y = 8x + 5. In het snijpunt geldt: 5x + 30 =8x + 5 30 = 3x + 5 5 = 3x x = 5 : 3 dus x = 8 3 Invullen in y = 5x + 30 geeft y = 5 3 8 + 30 = 4 + 30 = 7, 3 3 3 invullen in y = 8x + 5 geeft y = 8 3 8 + 5 = 66 + 5 = 7, klopt. 3 3 3 Het snijpunt is ( 8, 7 ). 3 3 3a p = 00 + 0,44k b 0 + 0,36k = 00 + 0,44k 0 = 00 + 0,08k 0 = 0,08k k = 0 : 0,08 dus k = 50 Bij 50 kilometers zijn de verhuurbedrijven even duur. Moderne wiskunde 9e editie B vwo
c d 4a b p 50 5 00 75 50 5 00 75 50 5 0 5 Au-revoir 50 En-route k 75 00 5 50 75 00 5 50 75 300 Rechts van het snijpunt ligt de grafiek van En-route hoger dan die van Au-revoir, dus bij meer dan 50 kilometers is En-route duurder. a + 8000 = a 8000 = a a = 8000 3 dus a = 56000 Het omslagpunt ligt bij a = 56000. Bij meer dan 56 000 verkochte pennen is de opbrengst hoger dan de kosten, dus bij meer dan 56 000 verkochte pennen maakt het bedrijf winst. 5a Met p = 3 wordt de vergelijking die bij het omslagpunt hoort: x + 4 = 5x 3 4 = 7x 3 7 = 7x x = 7 : 7 dus x = Invullen in y = x + 4 geeft y = 3 + 4 = + 4 =, invullen in y = 5x 3 geeft y = 5 3 3 = 5 3 =, klopt. Het omslagpunt is (, ). b Als het omslagpunt ( 6, 6) is, moet x = 6 bij beide formules de uitkomst y = 6 geven. Invullen bij y = x + 4 geeft y = 3 6 + 4 = + 4 = 6, klopt. Invullen bij y = 5x p geeft y = 5 3 6 p = 30 p. Deze uitkomst is gelijk aan 6 als geldt 30 p = 6 dus als p = 46. 9-4 Ongelijkheden oplossen 6a Er is dan 40 kg heliumgas weggelekt. Dat is na 40 :,5 = 6 uur. b Er is dan 00 kg weggelekt. dat is na 00 :,5 = 40 uur. c De hoeveelheid heliumgas in de ballon is de uitkomst van de formule 00,5u = h. Als de uitkomst kleiner moet zijn dan 00, schrijf je dat op als 00,5u < 00. d Invullen bij 00,5u < 00 geeft 00,5 3 50 < 00 ofwel 00 5 < 00 75 < 00 en dat klopt. Moderne wiskunde 9e editie B vwo 67
68 e f 7a b c Invullen bij 00,5u < 00 geeft 00,5 3 44 < 00 ofwel 00 0 < 00 90 < 00 en dat klopt. u = 44 is ook een antwoord op de vraag van Hans. Er zijn oneindig veel antwoorden op de vraag van Hans. Na 6 uur zit er 60 kg heliumgas in de ballon (zie opdracht 6a). Omdat de ballon verder leegloopt, zit er na meer dan 6 uur minder dan 60 kg heliumgas in de ballon. Je berekent met deze ongelijkheid na hoeveel uur er minder dan 80 heliumgas in de ballon zit. Als er nog 80 kg heliumgas in de ballon zit, is er 0 kg weggelekt. Dat is na 0 :,5 = 8 uur. Omdat de ballon verder leegloopt, zit er na meer dan 8 uur minder dan 80 kg heliumgas in de ballon. De oplossing is dus u > 8. 8a In de ongelijkheid staat dat 7 méér is dan 3x + 5, dus de balans slaat naar de kant van 7 door. b x = 0 geeft 7 > 3 3 0 + 5 ofwel 7 > 5, dat klopt. x = geeft 7 > 3 3 + 5 ofwel 7 > 8, dat klopt. x = geeft 7 > 3 3 + 5 ofwel 7 >, dat klopt. x = 3 geeft 7 > 3 3 3 + 5 ofwel 7 > 4, dat klopt. x = 4 geeft 7 > 3 3 4 + 5 ofwel 7 > 7, dat klopt niet. x = 5 geeft 7 > 3 3 5 + 5 ofwel 7 > 0, dat klopt niet. x = 6 geeft 7 > 3 3 6 + 5 ofwel 7 > 3, dat klopt niet. c Bij x = 4 is de balans in evenwicht. d Bij opdracht b zie je dat voor x > 4 de ongelijkheid niet klopt en voor x < 4 wel. e De oplossing is x < 4. 9a 5x + 4 3x + 0 b 5x + 4 = 3x + 0 x + 4 = 0 x = 6 x = 6 : dus x = 3 c Voor x = 3 geven beide formules dezelfde uitkomst. d x = geeft 5 3 + 4 < 3 3 + 0 ofwel 0 + 4 < 6 + 0 en dus 4 < 6 en dat klopt. Moderne wiskunde 9e editie B vwo
e/f x = 0 geeft 5 3 0 + 4 < 3 3 0 + 0, dus 4 < 6 en dat klopt. x = geeft 5 3 + 4 < 3 3 + 0, dus 9 < 3 en dat klopt. x = 4 geeft 5 3 4 + 4 < 3 3 4 + 0, dus 4 < en dat klopt niet. x = 5 geeft 5 3 5 + 4 < 3 3 5 + 0, dus 9 < 5 en dat klopt niet. x = 6 geeft 5 3 6 + 4 < 3 3 6 + 0, dus 34 < 8 en dat klopt niet. g g g = f f f 0 3 4 5 6 g x = 4,5 ligt rechts van x = 3 en is dus geen oplossing. x =,9 ligt links van x = 3 en is dus wel een oplossing. x = 7 ligt links van x = 3 en is dus wel een oplossing. h De oplossing is x < 3. 30a 50 4x = 3x + 8 b 50 = 7x + 8 4 = 7x x = 4 : 7 dus x = 6 c/d Bijvoorbeeld x = 5 geeft 50 4 3 5 > 3 3 5 + 8 ofwel 30 > 3 en dat klopt. En x = 7 geeft 50 4 3 7 > 3 3 7 + 8 ofwel > 9 en dat klopt niet. g g g = f f f 3 4 5 6 7 8 9 e De oplossing is x < 6. 3a x + 3 > d 3x 3 > 5 x + 3 = 3x 3 = 5 x = 8 3x = 8 x = 8 : dus x = 4 x = 8 : 3 dus x = 6 f f f = g g g 3 4 5 6 7 f f f = g g g 3 4 5 6 7 8 9 oplossing: x > 4 oplossing: x > 6 b 6x 0 < e x + 4> 8 6x 0 = x + 4= 8 6x = x = x = : 6 dus x = x = : dus x = 5 g g g = f f f 0 3 4 5 g g g = f f f 3 4 5 6 7 8 oplossing: x < oplossing: x < 5 c x > x + 5 f (x 8) < 3 x = x + 5 (x 8) = 3 x = 5 x + 6 = 3 f f f = g g g x = 3 3 4 5 6 7 8 oplossing: x > 5 x = 3 : dus x = f f f = g g g 0 3 4 oplossing: x > Moderne wiskunde 9e editie B vwo 69
70 3a 8 + 5x > + x d x 3 < (3x 6) 8 + 5x = + x x 3 = (3x 6) 8 + 3x = x 3 = 6x + 5 3x = 30 5x 3 = 5 x = 30 : 3 dus x = 0 5x = 55 f f f = g g g x = 55 : 5 dus x = 33a 7 8 9 0 3 g g g = f f f oplossing: x > 0 8 9 0 3 4 oplossing: x < b 3x + 6 > 0 6x e 8 8 3x + 6 = 0 6x 8 8 9x + 6 = 0 5 4 8 9x = 6 5 8 3 6 x = 6 : 9 dus x = = = x 9 3 f f f = g g g x = 3 6 3 0 3 g g g = f f f oplossing: x > 3 7 6 5 4 6 4 3 oplossing: x < 4 6 c 7(x ) < 3x 6 f 4x 3(x 5) > 3( x + 3) 7(x ) = 3x 6 4x 3(x 5) = 3( x + 3) 7x 4 = 3x 6 4x 6x + 5 = 6x + 9 4x 4 = 6 8x + 5 = 6x + 9 4x = 4x + 5 = 9 x = : 4 dus x = 3 4x = 6 g g g = f f f 6 3 x = 6 : 4 dus x = = b c 6 5 4 3 0 f f f 4 7 g g g 3 0 oplossing: x < 3 9-5 Formules herleiden = oplossing: x > 3 7 Het bellen heeft Roy 43 3 0,06 + 67 3 0,8 =,58 +,06 = 4,64 euro gekost. Hij heeft nog 5 4,64 = 0,36 euro beltegoed over. Hij kan maximaal 5 : 0,06 = 50 minuten bellen naar een vast nummer. 80 minuten bellen met een mobiel nummer kost 80 3 0,8 = 4,40 euro. Hij heeft dan nog een beltegoed van 5 4,40 = 0,60 euro. Met 0,60 euro kan hij 0,60 : 0,06 = 0 minuten bellen met een vast nummer. 34a Vermenigvuldig het aantal minuten dat Roy belt met een vast nummer met 6 cent en het aantal minuten dat hij belt naar een mobiel nummer met 8 cent en je krijgt voor de totale belkosten 6v + 8m. Op een kaart zit 5 euro beltegoed, dat is 500 cent. Er geldt dus 6v + 8m = 500. b 500 : 6 = 50 c m = 37 geeft v = 3 3 37 + 50 = + 50 dus v = 39 3 7 Moderne wiskunde 9e editie B vwo
35a q 9p = 4 e 4p 3q + 8 = 0 q = 9p + 4 4p 3q = 8 q = 4 p + 3q = 4p 8 q= p+ 6 3 b 6q + 4p = 5 f q 6 + 5p = 0 6q = 4p + 5 q + 5p = 6 q= p+ 3 q = 5p + 6 c 4p q = 9 g 00p 50q = 750 q = 4p + 9 50q = 00p + 750 q= p 4 q= p 3 5 d 3p 3q = 90 h (q 3) + 5p = 8 3q = 3p + 90 q 6 + 5p = 8 q= 4 p 30 3 q +5p = 4 q = 5p + 4 q= p+ 7 36a De blauwe grafiek gaat onder andere door het punt (0, 0). Als je w = 0 en n = 0 invult in de formule 8w + 5n = 80 krijg je 8 3 0 + 5 3 0 = 80 en dat klopt. Dus de formule 8w + 5n = 80 hoort bij de blauwe lijn. b Als je bij beide formules n in w uitdrukt, kun je ze aan elkaar gelijkstellen om de coördinaten van het snijpunt te berekenen. c 8w + 5n = 80 n w = 5n = 8w + 80 n = w + n =,6w + 6 d,6w + 6 = w + 6 =,6w + 4 =,6w w = 4 :,6 dus w 5,38 Invullen in n =,6w + 6 geeft n =,6 3 5,38 + 6 7,4. Invullen in n = w + geeft n = 5,38 + 7,4. Het snijpunt is (5,4; 7,4). 37a 3a + b = 8 b = 8 a b = 3a + 8 Gelijkstellen: 3a + 8 = 8 a 8 = 8 + a 0 = a a = 0 : dus a = 5 Invullen in b = 3a + 8 geeft b = 3 3 5 + 8 = 3. Invullen in b = 8 a geeft b = 8 5 = 3. Het snijpunt is (5, 3). Moderne wiskunde 9e editie B vwo 7
38a 7 b 3q 6p = q + 3p = 4 3q = 6p + q = 3p 4 q = p + 7 q =,5p 7 Gelijkstellen : p + 7 =,5p 7 3,5p + 7 = 7 3,5p = 4 p = 4 : 3,5 dus p = 4 Invullen in q = p + 7 geeft q = 3 4 + 7 =. Invullen in q =,5p 7 geeft q =,5 3 4 7 =. Het snijpunt is ( 4, ). c 5x y = 0 3x + 5y = 7 y = 5x + 0 5y = 3x 7 y = 5x 0 y = 0,6x 3,4 Gelijkstellen : 5x 0 = 0,6x 3,4 4,4x 0 = 3,4 4,4x = 6,6 x = 6,6 : 4,4 dus x =,5 Invullen in y = 5x 0 geeft y = 5 3,5 0 =,5. Invullen in y = 0,6x 3,4 geeft y = 0,6 3,5 3,4 =,5. Het snijpunt is (,5;,5). b c Na 3 weken zijn er 500 3 3 = 6500 apparaten verkocht. De kosten bedragen dan 7 3 6500 + 800 = 46 300 euro. Na 5 weken zijn er 500 3 5 = 500 apparaten verkocht. De kosten bedragen dan 7 3 500 + 800 = 88 300 euro. Vul t = 5 in bij de formule k = 3500t + 800, dat geeft k = 3500 3 5 + 800 = 88 300. Dat klopt met het antwoord bij opdracht b. 39a b = 8 3 7p 65 b = 56p 65 b b = 8 + 4 3 p b = 8 8p c b = 6 + 3(34 + 8p) b = 6 + 0 + 4p b = 08 + 4p d b = 7(7 p) + 34 b = 49 4p + 34 b = 4p + 83 40a (q + ) + 3q = 79 q + 4 + 3q = 79 5q + 4 = 79 5q = 75 q = 75 : 5 dus q = 5 Invullen bij p = q + geeft p = 5 + = 7. Invullen bij p + 3q = 79 geeft 3 7 + 3 3 5 = 34 + 45 = 79 en dat klopt. De coördinaten van het snijpunt zijn q = 5 en p = 7. Moderne wiskunde 9e editie B vwo
b 3(u + 5) 5u = 0 6u + 5 5u = 0 u + 5 = 0 geeft u = 5 Invullen bij t = u + 5 geeft t = 3 5 + 5 = 45. Invullen bij 3t 5u = 0 geeft 3 3 45 5 3 5 = 35 + 5 = 0 en dat klopt. De coördinaten van het snijpunt zijn u = 5 en t = 45. 9-6 Gemengde opdrachten 4 Horizontaal 3 a = 500 3 x 0 = 5 = x 5 4 = x 53 x = 3 39 = x 4 = x 5 0 = 9r 3 x = 6 x = 5 = 9r 7 5 = 3g + 465 6 4a + = 60 r = 8 690 = 3g 4a = 48 7 3p = 594 g = 30 a = 3p = 65 8 3 8 d = 37 p = 05 k = 363 9 4p = 5 Verticaal w = 43 p = 38 0 b = 7 w = 44 0 9 = f 47 b = 8 w = f = 56 b = 4 4 b = 9 6r + = 6 3 + c = 44 5 x = 85 6r = 60 c = 3 x = 5 r = 0 3 d = 0 6 93 = x + d = 5 x = 8 3 4 6 4 5 0 7 9 3 8 0 5 5 3 5 0 0 7 8 6 3 0 5 6 8 6 7 3 4 3 9 Moderne wiskunde 9e editie B vwo 73
4a 74 b Voor de ritprijs in euro s moet je het aantal gereden kilometers vermenigvuldigen met 3. y 30 5 0 5 0 5 O Jansen Sneltax x 3 4 5 6 7 8 9 0 c,5x + 8 = 3x 8 =,5x x = 8 :,5 dus x 5,33 Invullen bij y =,5x + 8 geeft y =,5 3 5,33 + 8 6. Invullen bij y = 3x geeft y = 3 3 5,33 6. Het omslagpunt is (5,33; 6). d Voor x > 5,33 ligt de grafiek van y =,5x + 8 lager dan die van y = 3x, dus voor x > 5,33 zijn de uitkomsten van y =,5x + 8 kleiner dan die van y = 3x. De oplossing van de ongelijkheid is x > 5,33. e Voor een rit van meer dan 5,33 kilometer is taxibedrijf Jansen goedkoper dan taxibedrijf Sneltax. 43a Per verkochte fijnschrijver is de winst e 0,50. b f 60 000 = 5 000 f = 85 000 f = 70000 Er moeten 70000 fijnschrijvers verkocht worden om e 5.000,- winst te maken. c Bij meer dan 70 000 verkochte fijnschrijvers is de winst meer dan e 5.000,-. d w e f g 80 000 60 000 40 000 0 000 0 000 40 000 60 000 80 000 0 0 40 000 80 000 w = f 60 000 0 000 60 000 00 000 40 000 f 60 000 > 35 000 f 60 000 = 35 000 f = 95 000 f = 90000 In de grafiek zie je dat voor f > 90000 geldt dat w > 35000. Ze moeten zeker meer dan 90000 fijnschrijvers verkopen. f Moderne wiskunde 9e editie B vwo
44a 3x + 5 > x + 9 d 8 (t ) < 5t + 3 3x + 5 = x + 9 8 (t ) = 5t + 3 4x + 5 = 9 8 t + = 5t + 3 4x = 4 9 t = 5t + 3 x = 9 = 6t + 3 f f f = g g g 6 = 6t 0 3 4 oplossing: x > t = 6 : 6 dus t = 3 f f f = 45a g g g 3 4 5 b 4p + 8 < p 0 3 4p + 8 = p oplossing: t > 3 8 = 6p e 6( + 4m) < 8 (m + 3) 9 = 6p 6( + 4m) = 8 (m + 3) p = 9 : 6 dus p =,5 + 4m = 8 m 3 f f f = g g g + 4m = 5 m 0,5 3 4 + 6m = 5 oplossing: p >,5 6m = 7 c (3 a) + 9 > a m = 7 : 6 dus m 0,65 (3 a) + 9 = a g g g = f f f 6 a + 9 = a 0 0,65 3 5 a = a oplossing: m < 0,65 5 = 3a f 4q 3( q) > 8 a = 5 : 3 dus a = 5 4q 3( q) = 8 g g g = f f f 4q 3 + 6q = 8 3 4 5 6 7 8 0q 3 = 8 oplossing: a < 5 0q = q = : 0 dus q =, y 0 9 8 7 6 5 4 3 O B A 3 4 5 6 7 8 9 C x 0 f f f = g g g 0, 3 4 oplossing: q >, Moderne wiskunde 9e editie B vwo 75
b c d 0 x = 3x 0 = 4x x = 0 : 4 dus x = Invullen in y = 0 x geeft y = 0 = 7. Invullen in y = 3x geeft y = 3 3 = 7. Het snijpunt van A en B is (, 7 ). 0 x = 4 + x 0 = 4 + x 6 = x x = 6 : dus x = 4 Invullen in y = 0 x geeft y = 0 4 = 6. Invullen in y = 4 + x geeft y = 4 + 3 4 = 6. Het snijpunt van A en C is (4, 6). 3x = 4 + x x = 4 x = 4 : dus x = 3 5 Invullen in y = 3x geeft y = 3 3 3 = 4 4. 5 5 Invullen in y = 4 + x geeft y = 4 + 3 3 = 4 4. 5 5 Het snijpunt van B en C is ( 3, 4 4 ). 5 5 Voor x = 3 geven de formules dezelfde uitkomst. In de grafiek zie je dat 5 voor x > 3 formule B grotere uitkomsten geeft dan formule C. 5 Dan moet de waarde van x liggen tussen de waarden van x die horen bij de punten waar de grafiek van A de grafieken van B en C snijdt. Dus x ligt tussen en 4. 46a Grafiek A gaat door het punt (0, 0). Als je x = 0 en y = 0 invult bij y + 3x = 0 krijg je 3 0 + 3 3 0 = 0 + 0 = 0 en dat klopt. Bij grafiek A hoort dus de formule y + 3x = 0. Bij grafiek B hoort de formule 5x y = 0. b y + 3x = 0 5x y = 0 y = 3x + 0 y = 5x + 0 y =,5x + 0 y =,5x 5 c,5x + 0 =,5x 5 0 = 4x 5 5 = 4x x = 5 : 4 dus x = 3,75 Invullen in y =,5x + 0 geeft y =,5 3 3,75 + 0 = 4,375. Invullen in y =,5x 5 geeft y =,5 3 3,75 5 = 4,375. Het snijpunt is (3,75; 4,375). d Vul x = en y = 0 in bij y + 3x = d. Dat geeft 3 0 + 3 3 = d. Dus d = 6. 47a y = 5 3 500t + 3 y = 500t + 3 b y = 0,8(t 7) + 3 y = 0,8t + 5,6 + 3 y = 0,8t + 8,6 c y = 4 7( t ) y = 4 3 t + 0 y = 3 + 4 t 76 Moderne wiskunde 9e editie B vwo
Test jezelf T-a 3b + = 5b b = b b = : dus b = 6 c Je moet links en rechts eerst 4a aftrekken en vervolgens links en rechts 9 aftrekken. d 7a + 9 = 4a + 5 3a + 9 = 5 3a = 6 a = 6 : 3 dus a = T-a 3q 0 = q + 30 e 58u + 3 = 735 03u 5q 0 = 30 6u + 3 = 735 5q = 40 6u = 5 q = 40 : 5 dus q = 8 u = 5 : 6 dus u = b 5r + 7 = 3r + 0 f 4(x + 3) + x = 3x 5 r + 7 = 0 4x + + x = 3x 5 r = 3 6x + = 3x 5 r = 3 : dus r = 6 3x + = 5 3x = 7 x = 7 : 3 dus x = 9 c 3p + = 6(p 4) g ( 4a+ 0) = 3( a+ 5) 3p + = p 4 a + 5 = 6a 5 = 9p 4 8a + 5 = 5 36 = 9p 8a = 0 p = 36 : 9 dus p = 4 a = 0 : 8 dus a = d 6t+ 6 = 0t+ 4 h 4f 7( f + ) = 4( f 6) + 0 6 = 4t + 4 4f 4f 4 = f 4 + 0 = 4t 0f 4 = f 4 t = : 4 dus t = 3 4 = f 4 f = 0 f = 0 : dus f = 0 T-3a 5x + 3 = x + 43 7x + 3 = 43 7x = 40 x = 40 : 7 dus x = 0 Invullen in y = 5x + 3 geeft y = 5 3 0 + 3 = 03. Invullen in y = x + 43 geeft y = 3 0 + 43 = 03. Het omslagpunt is (0, 03). b 8 + 3x = 6x + 6 8 = 3x + 6 = 3x x = : 3 dus x = 4 Invullen in y = 8 + 3x geeft y = 8 + 3 3 4 = 30. Invullen in y = 6x + 6 geeft y = 6 3 4 + 6 = 30. Het omslagpunt is (4, 30). Moderne wiskunde 9e editie B vwo 77
78 c x + = 3(x ) x + = 3x + 3 x + = 3 x = Invullen in y = x + geeft y = 3 + = 0 Invullen in y = 3(x ) geeft y = 3 3 0 = 0. Het omslagpunt is (, 0) T-4a 3q 0 > 0 e 57u + 3 < 03 03u 3q 0 = 0 57u + 3 = 03 03u 3q = 30 60u + 3 = 03 q = 30 : 3 dus q = 0 60u = 08 f f f = g g g u = 08 : 60 dus u = 0,8 7 8 9 0 3 g g g = f f f 3 0,8 0 oplossing: q >0 b 30 s < 8 + 6s oplossing: u < 0,8 30 s = 8 + 6s f (x + 3) < 3(x 4) 30 = 8 + 8s (x + 3) = 3(x 4) = 8s x + 6 = 6x + s = 8 : dus s = 8x + 6 = f f f = g g g 8x = 6 0 3 4 x = 6 : 8 dus x = 3 4 oplossing: s > g g g = f f f c,3 0,p < 0,3p 0 3 4 3,3 0,p = 0,3p oplossing: x < 3 4,3 = 0,5p g 0,8(p 4) >,6(5 3p) p =,3 : 0,5 dus p = 4,6 0,8(p 4) =,6(5 3p) f f f = g g g 0,8p 3, = 8 4,8p 3 4 4,6 5 6 7 5,6p 3, = 8 oplossing: p > 4,6 5,6p =, d 88k < 3 k p =, : 5,6 dus p = 88k = 3 k f f f = g g g 00k = 3 0 3 4 5 00k = 44 oplossing: p > k = 44 : 00 dus k = 0,44 h 95 w > 9(3w ) g g g = f f f 95 w = 9(3w ) 0 0,44 3 95 w = 7w 08 oplossing: k < 0,44 95 = 9w 08 03 = 9w w = 03 : 9 dus w = 7 g g g = f f f 4 5 6 7 8 9 0 oplossing: w < 7 Moderne wiskunde 9e editie B vwo
T-5a 8a + 3b = 5 c 5(b + 3) 35a = 45 3b = 8a + 5 5b + 5 35a = 45 b = 6a + 5 5b + 5 = 35a + 45 b b + 7a 8 = 0 5b = 35a + 30 7a 8 = b b = 7a + 6 b = 3 a 4 T-6a v = 5 3 a + 3 v = 0a + 3 b v = + 8(0 3a) v = + 80 4a v = 8 4a c v = 3(a + 8) + 3 v = 3a + 4 + 3 v = 3a + 37 T-7a Ze betalen 8 3 5 = 00 euro. b Ze betalen 8 3 5 + 5 = 65 euro. c b = 5p d b = 5p + 5 e b 80 60 40 0 00 80 60 40 0 p O 3 4 5 6 7 8 9 0 f 5p = 5p + 5 0p = 5 p = 5 : 0 dus p = 6,5 g De grafieken snijden elkaar voor p = 6,5, dus daar geven de twee formules dezelfde uitkomst. In de grafiek zie je dat voor p > 6,5 de formule b = 5p + 5 lagere uitkomsten geeft. Bij 7 of meer zullen de studenten voor een privé-leraar kiezen. T-8a k = 0,5a +,40 met k de kosten in euro en a het aantal foto s dat afgedrukt wordt. b a = 40 geeft k = 0,5 3 40 +,40 = 8,40 Bij Digiprint betaalt Carel dus ook e 8,40 voor 40 foto s. Dat is per foto e 8,40 : 40 = e 0,. c Bij Flits betaal je voor 0 foto s 0,5 3 0 +,40 = 5,40 euro. Bij Fotofix betaal je voor de 0 foto s 0 3 0,8 = 3,60 euro. Daar komt nog een vast bedrag bovenop. het vaste bedrag is 5,40 3,60 =,80 euro. Moderne wiskunde 9e editie B vwo 79
80 d Flits: k = 0,5 3 5 +,40 = 6,5 euro Digiprint: k = 0, 3 5 = 5,5 euro. Fotofix: k = 5 3 0,8 +,80 = 6,30 euro Digiprint is dan het voordeligst. T-9a a = en b = geeft de formule y = x + Gelijkstellen : 4x + 5 = x + x + 5 = x = 6 x = 6 : dus x = 3 Invullen in y = 4x + 5 geeft y = 4 3 3 + 5 = 7. Invullen in y = x + geeft y = 3 3 + = 7. Het omslagpunt ligt bij x = 3 en is (3, ). b Vul x = 5 in bij y = 4x + 5, dat geeft y = 4 3 5 + 5 = 5. Het omslagpunt is (5, 5). a = 3 geeft de formule y = 3x + b. Vul x = 5 en y = 5 in bij y = 3x + b, dat geeft 5 = 3 3 5 + b ofwel 5 = 5 + b, dus b = 0. c Zie opdracht b. Het omslagpunt is (5, 5). b = 7 geeft de formule y = ax + 7. Vul x = 5 en y = 5 in bij de formule y = ax + 7, dat geeft 5 = a 3 5 + 7 ofwel 5 = 5a + 7 8 = 5a a = 8 : 5 dus a = 3,6 T-0a 5p + (3p ) = 0 5p + 6p = 0 p = 0 p = p = : dus p = Invullen bij q = 3p geeft q = 3 3 =. Invullen van p = en q = bij 5p + q = 0 geeft 5 3 + 3 = 5 + 5 = 0 en dat klopt. De coördinaten van het snijpunt zijn p = en q =. b a + 7(5 4a) = 0 a + 35 8a = 0 30a + 35 = 0 30a = 5 a = 5 : 30 dus a = Invullen bij b = 5 4a geeft b = 5 4 3 = 3. Invullen van a = en b = 3 bij a + 7b = 0 geeft 3 + 7 3 3 = + = 0 en dat klopt. De coördinaten van het snijpunt zijn a = en b = 3. Moderne wiskunde 9e editie B vwo