Lijnen, vlakken, normaalvector, shading

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Inproduct (dotproduct Parametervoorstelling en vergelijking Uitproduct (crossproduct Normaalvector Flat shading en Gouraud shading Opgaven /7 Februari, 05

Definitie inproduct Definitie inproduct van twee vectoren x = ( x x en y = ( y y is Voorbeeld Gegeven de vectoren ( x.y = x y +x y (. ( en (. Dan is = + = 4 /7 Februari, 05

Inproduct (inwendig/scalair product Definitie inproduct van twee vectoren x = ( x x en y = ( y y is Toepassing Wat is de hoek tussen (. ( x.y = x. y.cosφ ( en (? = 4 = 5. 5.cosφ cosφ = 0.8 φ = 36.9 3/7 Februari, 05

Parametervoorstelling van lijn Gegeven: lijn door twee punten P 0 en P Gevraagd: punt P op lijn Parametervoorstelling van lijn: P = P 0 +λ(p P 0 Anders geschreven: P = ( λp 0 +λp Als som gewichten = ligt punt P op lijn (Barycentrische coördinaten van P: α = λ, β = λ Punten tussen P 0 en P als 0 λ 4/7 Februari, 05

Gegeven: p = Parametervoorstelling lijn ( 3 en p = ( Gevraagd: parametervoorstelling lijn door p en p p = p +λ(p p p = ( 3 +λ ( 5/7 Februari, 05

Gegeven: p = ( 3 Vergelijking lijn en p = ( Gevraagd: vergelijking lijn door p en p ( richtingsvector r =, normaalvector n = Vergelijking x y = c, p moet op lijn liggen.3+. = c c = Vergelijking x y = ( 6/7 Februari, 05

Parameter voorstelling en vergelijkingen lijn. Explicite vergelijking y = ax+b. Impliciete vergelijking f(x,y = ax+y b = 0 3. In vector ( notatie (p p ( 0.n = 0 met ( x a 0 p =, n = en p y 0 = b. 4. Parametervoorstelling ( x p = y = ( 0 b +λ ( a 7/7 Februari, 05

Opgave. Gegeven de volgende vergelijking van een lijn: 3x+y = 0. Bepaal een parametervoorstelling.. Gegeven de volgende parametervoorstelling van een lijn: ( x y Bepaal een vergelijking. = ( 3 +λ ( 3. Bepaal een parametervoorstelling van de lijn x = 5. 4. Bepaal een parametervoorstelling van de lijn y =. 8/7 Februari, 05

Parametervoorstelling van vlak Gegeven: vlak door drie punten P 0, P en P Gevraagd: punt P in vlak Parametervoorstelling van vlak: P = P 0 +λ(p P 0 +µ(p P 0 Anders geschreven: P = ( λ µp 0 +λp +µp Als som gewichten = ligt punt P in vlak (Bar. coördinaten van P: α = λ µ, β = λ, γ = µ Punt in driehoek als 0 λ,µ 9/7 Februari, 05

Parametervoorstelling vlak Gegeven: p = 3, p = 3 en p 3 = 4 4 Gevraagd: parametervoorstelling vlak door p, p en p 3 p = p +λ(p p +µ(p 3 p p = 3 +λ 0 +µ 0/7 Februari, 05

Richtingsvectoren r = Normaalvector van vlak 0 en r = Normaalvector n vlak loodrecht op richtingsvectoren Dan moet gelden: n.r = 0 en n.r = 0 n n = 0 en n +n +n 3 = 0 n = 5 /7 Februari, 05

Vergelijking vlak n = 5 Vergelijking x+y 5z = c, en p = 3 in vlak.+3 5. = c c = Vergelijking x+y 5z = /7 Februari, 05

Parameter voorstelling en vergelijkingen vlak. Vergelijking vlak ax+by +cz d = 0. In vector notatie (p p 0.n = 0 met p = x y z, n = a b c en p 0 = 0 0 d/c. 3. Parametervoorstelling p = x y x = 0 0 d/c +λ 0 d/b d/c +µ d/a 0 d/c 3/7 Februari, 05

Opgave. Gegeven de volgende vergelijking van een vlak: 3x+y z + = 0. Bepaal een parametervoorstelling.. Gegeven de volgende parametervoorstelling van een vlak: x y z = 3 Bepaal een vergelijking. +λ 0 +µ 3. Bepaal een parametervoorstelling van het vlak z = 5. 4/7 Februari, 05

Uitproduct voor berekenen normaalvector 3 punten p, p en p 3 bepalen vlak Normaalvector van vlak berekenen met uitproduct x y Twee vectoren x = x en y = y x 3 y 3 x y 3 x 3 y Definitie uitproduct x y = x 3 y x y 3 x y x y 5/7 Februari, 05

Richtingsvectoren vlak en uitproduct Richtingsvectoren r = 0 en r = uitproduct x y = x y 3 x 3 y x 3 y x y 3 x y x y =. 0. 0.... = 5 is normaalvector vlak 6/7 Februari, 05

Polygonal meshes met normaalvectoren http://www.euclideanspace.com/threed/solidmodel/boundary mesh/index.htm 7/7 Februari, 05

Hoe kleuren we polygonen? Gekromde oppervlakken worden benaderd door polygonen Hoe kleuren we de polygonen? Met flat shading of Gouraud shading Twee vragen:. Hoe bepalen we de normaalvector van de hoekpunten?. Hoe berekenen we de kleur van de interne punten van het polygoon? 8/7 Februari, 05

Shading Vier stappen om belichting toe te voegen in OpenGL: Definieer normaalvectoren voor elk hoekpunt van alle voorwerpen (bepalen oriëntatie Kies en plaats een of meer lichtbronnen Kies belichtingsmodel Kies materiaaleigenschappen voor voorwerpen 9/7 Februari, 05

Flat shading Berekenen belichting van polygoon-oppervlakken Stap : bepaal één normaalvector van elke polygoon (en ken die toe aan alle hoekpunten in OpenGL Stap : bereken kleur van hele polygoon met belichtingsmodel (één kleur berekend voor hele polygoon 0/7 Februari, 05

Gouraud shading Berekenen belichting van polygoon-oppervlakken Stap : bepaal normaalvector in elk hoekpunt polygoon Stap : bereken intensiteit van elk hoekpunt met behulp van gevonden hoekpuntnormaalvectoren met belichtingsmodel Stap 3: interpoleer hoekpuntintensiteiten over hele gebied polygoon /7 Februari, 05

Berekenen normaalvector van hoekpunt. Normaliseer normaalvectoren van vlakken. Dan optellen en normaliseer /7 Februari, 05

Gouraud shading kleuren van hoekpunten zijn uitgangspunt door interpolatie wordt kleur elke pixel berekend vanuit afstand tot hoekpunten resultaat: mooie geleidelijke overgang tussen verschillende vlakken realistische weergave geen echte schaduwweergave en geen spiegeling 3/7 Februari, 05

Flat shading en Gouraud shading 4/7 Februari, 05

Opgave 3. Gegeven drie punten: p =, p = 3 end p 3 = Bereken de normaalvector van het vlak door p, p en p 3. 3.. Bepaal ( het( snijpunt van ( de volgende ( twee lijnen: ( x x 0 = +λ en = y y 6 +µ (. 3. Bepaal het snijpunt van de volgende twee lijnen: x x y = + λ en y z z = 0 3 + µ 0. 5/7 Februari, 05

Opgave 4 Bepaal de parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken: y z + =0 x y z + =0 Bereken ook de cosinus van de hoek tussen die vlakken. 6/7 Februari, 05

Opgave 5. Geef een parametervoorstelling en een vergelijking van het vlak door 0 8 7, 0 en 0 6 8 0. Gegeven een lijn door de punten 7 0 8 en. 9 Bepaal het snijpunt van deze lijn en het vlak van de vorige vraag. 3. Ligt het snijpunt in de driehoek gevormd door de drie punten van het vlak? 7/7 Februari, 05