Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 0 personen e 50,- 7 e 0,- 5 e 80,-. b n 5 0 geeft p 5 0 0 980 5 400 980 5 580 klopt. n 5 geeft p 5 0 980 5 40 980 5 560 klopt. n 5 geeft p 5 0 980 5 440 980 5 540 klopt. n 5 geeft p 5 0 980 5 460 980 5 50 klopt. c n 5 0 geeft p 5 0 0 980 5 00 980 5 780 Bij 0 personen kost de reis e 780,- per persoon. d Volgens de formule kost de reis bij 48 deelnemers 0 48 980 5 960 980 5 e 0, en dat is veel te weinig. Het reisbureau zal de formule niet gebruiken. V-a startgetal 8, hellingsgetal 7 b startgetal 0, hellingsgetal c startgetal 00, hellingsgetal 7 d startgetal 0, hellingsgetal 4 e zonder haakjes wordt de formule y 5 6x 4 startgetal 4, hellingsgetal 6 f zonder haakjes wordt de formule a 5 6 t startgetal 6, hellingsgetal V-a In tabel A zijn de getallen in de bovenste rij opeenvolgende gehele getallen en is de toename in de onderste rij steeds. Dus hoort bij tabel A een lineaire formule. In tabel B zijn de getallen in de bovenste rij opeenvolgende gehele getallen en is de toename in de onderste rij steeds 6. Dus bij tabel B hoort een lineaire formule. b Bij tabel A is het startgetal 6 en het hellingsgetal. De formule is dus y 5 x 6. Bij tabel B vind je het startgetal door de tabel 5 stappen naar links uit te breiden. Bij x 5 0 is dan y 5 5 6 5 0 dus y 5 7. Het startgetal is dus 7 en het hellingsgetal is 6. De formule is y 5 6x 7. c Bij een lineaire grafiek hoort de formule y 5 ax b. toename tweede coordinaat Het hellingsgetal is toename eerstecoo rdinaat = ( 4) = 5 = 5. 0 Het startgetal is 4. De formule is y 5 5x 4. V-4a k 5 0p 5 e y 5 6x 5 7x dus y 5 x 5 b m 5 5c f u 5 0t 4 dus u 5 0t c b 5 48c g q 5 8r 48 4r dus q 5 4r 48 d d 5 7 4w h z 5 6 6h 7h 8 dus z 5 4 9h Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 57
58 V-5a Je moet het aantal uur dat je parkeert vermenigvuldigen met de prijs per uur, dus met,50. De uitkomst daarvan gaat van de 40 euro af die je op de chippas hebt staan. b 40 9,75 5 0,5 dus op het bordje moet 9,75 staan. c,5t 5 9,75 geeft t 5 8,5 Na 8,5 uur staat er nog e 0,5 op de chippas. d Roos kan 40 :,5 <,4 uur parkeren voordat zij haar chippas weer moet opwaarderen. V-6a 5x 5 40 d 40p 5 60 x 5 40 : 5 dus x 5 8 p 5 60 : 40 dus p 5 4 b 7b 5 70 e y 5 48 b 5 70 : 7 dus b 5 0 y 5 48 : dus y 5 4 c 9x 5 45 f 6c 5 75 x 5 45 : 9 dus x 5 5 c 5 75 : 6 dus c 5,5 V-7a u 9 5 6 u 5 54 u 5 54 : dus u 5 8 b De variabele u staat aan beide kanten van het 5 - teken. Je kunt niet op twee plaatsen tegelijkertijd een bordje leggen. c u 0 4 5 b 5 u 9 9 5 8 4 b 5 7u 4 0 7 4 Bij u 5 5 hebben de formules dezelfde uitkomst. 9- Met de balans Je kunt aan beide kanten van de balans vier zakjes weghalen. Aan de ene kant blijven er dan elf losse knikkers over, aan de andere kant twee zakjes en drie losse knikkers. b In twee zakjes zitten dus 5 8 knikkers. c In één zakje heeft Daan 8 : 5 4 knikkers. a De variabele a staat aan beide kanten van het 5 - teken. Je kunt niet op twee plaatsen tegelijkertijd een bordje leggen. b a 5 4 geeft 4 4 = 6 4 ofwel 6 = 4 ofwel 7 = 7 en dat klopt. c a 5 6 geeft 4 6 = 6 6 ofwel 4 = 6 ofwel 5 = 9 en dat klopt niet, dus a 5 6 is geen oplossing. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
a a a a b a 4 5 0 c Haal aan beide kanten vier knikkers weg. Bij wat er over blijft hoort de vergelijking: a 5 6 d a 5 6 : dus a 5 e a 5 geeft 5 4 = 0 ofwel 0 4 = 4 0 ofwel 4 = 4 en dat klopt, dus a 5 is een oplossing. 4 Haal eerst aan beide kanten vier losse knikkers weg. Bij wat er over blijft hoort de vergelijking: 5a 5 a 6 Haal vervolgens aan beide kanten twee zakjes met knikkers weg. Bij wat er nu over blijft hoort de vergelijking: a 5 6 a 5 6 : dus a 5, Jan krijgt dezelfde oplossing. 5a Aan beide kanten haal je drie zakjes weg. b 7 5 a 7 c Aan beide kanten haal je nu zeven losse knikkers weg. d 0 5 a e a 5 0 : dus a 5 5 f Er zitten vijf knikkers in elk zakje. 6a 6a 5 4a e 6 e 5 6 9e a 5 6 5 6 7e a 5 0 56 5 7e a 5 0 : dus a 5 0 e 5 56 : 7 dus e 5 8 b b 5 5 5b 4 f 4f 9 5 9 f 5 5 b 4 f 9 5 9 5 b f 5 0 b 5 : dus b 5 7 f 5 0 c 8c 5 7c 0 g g 4 5 g c 5 0 g 4 5 c 5 8 g 5 8 d 5d 5 d 5 h 9h 5 65 5h 4d 5 5 4h 5 65 4d 5 48 4h 5 5 d 5 48 : 4 dus d 5 h 5 5 : 4 dus h 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 59
60 7a 5g 5 g 7 e 4c 5 c 5 c 7 4g 5 7 6c 5 5 c 7 4g 5 6 c 5 5 7 g 5 6 : 4 dus g 5,5 c 5 b 8h 5 5h 97 c 5 : dus c 5 4 h 5 97 f 4d 4 5 9d d h 5 65 4d 4 5 0d h 5 65 : dus h 5 5 4d 4 5 c a 99 5 9 7a 4d 5 8 99 5 9 6a d 5 8: 4 dus d 5 4,5 90 5 6a g 4a 0 5 8a 407 a 5 90 : 6 dus a 5 5 4a 0 5 407 d 4b 5 5b 4 4a 5 87 5 8b 4 a 5 87 : 4 dus a 5 7 9 5 8b h k 4 5 k k 8 b 5 9 : 8 dus b 5 0,5 k 4 5 5k 8 4 5 4k 8 4 5 4k k 5 4 : 4 dus k 5 8,5 9- Vergelijkingen oplossen 8a x x 5 0 b Ze schrijft aan beide kanten 8. c 6x 5 4 x 5 4 : 6 dus x 5 4 d x 5 4 geeft 4 4 8 = 4 6 ofwel 6 8 = 8 6 ofwel 8 = 8 en dat klopt, dus x 5 4 is een oplossing. 9a 0x 5 5 6x 9 e a 8 5 4a 4 4x 5 5 9 8 5 6a 4 4x 5 4 5 6a x 5 4 : 4 dus x 5 6 a 5 : 6 dus a 5 b p 0 5 4p f 0x 5 5 6x 5 0 5 6p 4x 5 5 5 5 6p 4x 5 0 p 5 : 6 dus p 5 x 5 0 : 4 dus x 5 5 c x 5 6x g k 5 k 4 8x 5 k 5 4 8x 5 6 k 5 7 x 5 6 : 8 dus x 5 k 5 7 : dus k 5 9 d 5b 4 5 5 6b h 8p 5 49 5p b 4 5 5 p 5 49 b 5 p 5 46 b 5 : dus b 5 p 5 46 : dus p 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
0a 4x 5 6x 9 b 4x 5 6x 9 5 x 9 x 5 9 6 5 x x 5 6 x 5 6 : dus x 5 x 5 6 : dus x 5 c Ja, bij beide manieren krijg je de oplossing x 5. d - e Invullen in 4x geeft 4 5 5 9, invullen in 6x 9 geeft 6 9 5 8 9 5 9, klopt. a a 5 a 7 e 8k 5 k 57 a 5 7 5k 5 57 a 5 4 5k 5 60 controle: 4 5 8 5 5 k 5 60 : 5 dus k 5 4 4 7 5 7 5 5, klopt controle: 8 4 5 7 5 69 b 0 5b 5 9 b 4 57 5 57 5 69, klopt 0 5 9 b f m 8 5 5m 7 5 b 8 5 7m 7 b 5 : dus b 5 5 5 7m controle: 0 5 5 0 5 7 m 5 5 : 7 dus m 5 5 9 5 9 5 7, klopt controle: 5 8 5 0 8 5 8 c 7 4x 5 x 5 5 7 5 5 7 5 8, klopt 7 6x 5 g 5x 5 x 6x 5 6 6x 5 x 5 6 : 6 dus x 5 6x 5 9 controle: 7 4 5 7 4 5 x 5 9 : 6 dus x 5,5 5 5, klopt controle: 5,5 5 0,5 d x 5 0 x,5 5 0,5, klopt 4x 5 0 h 5t 5 8t 5 4x 5 t 5 5 x 5 : 4 dus x 5 5 t 5 7 controle: 5 5 5 t 5 7 : dus t 5 9 0 5 5 0 5, klopt controle : 5 9 5 45 5 47 8 9 5 5 7 5 5 47, klopt Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 6
6 a p 4 5 9p e 0k 5 5 88k 4 p 4 5 5 5 78k 4 p 5 5 9 5 78k p 5 5 : dus p < 0,7 k 5 9 : 78 dus k 5 0,5 b q 4 5 90q f 5x 5 5 7 x 4 5 78q x 5 5 7 6 5 78q x 5 86 q 5 6 : 78 dus q < 0, x 5 86 : dus x 5 4 c 6s 5 5 7 g 700 0,6a 5 65,a 6s 5 86 700 5 65 0,6a s 5 86 : 6 dus s < 4, 065 5 0,6a a 5 065 : 0,6 dus a 5 775 d p 5 5 h,5x 70 5 0,7x 75 p 5 8 0,8x 70 5 75 p 5 8 : dus p 5,5 0,8x 5 05 x 5 05 : 0,8 dus x 5,5 a Bij bedrijf A is de formule voor de kosten k in euro s k 5 6,5a 40. Bij bedrijf B is de formule voor de kosten k in euro s k 5 7,75a 5. Als beide bedrijven even duur zijn geldt dus de vergelijking 6,5a 40 5 7,75a 5 b 40 5,5a 5 5 5,5a a 5 5 :,5 dus a 5 4a 0 x 5 9x b 0 5 x 5 x x 5 : dus x 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
5a ( x) 5 x d x 4 7x 5 5(x 9) 6 x 5 x 0x 4 5 5x 45 6 5 5x 5x 4 5 45 5 5 5x 5x 5 x 5 5 : 5 dus x 5 5 x 5 : 5 dus x = 6 5 b 6p 5 4 (p ) e a 5(a ) 5 5 6p 5 4 p 6 a 0a 5 5 5 6p 5 0 p 7a 5 5 5 4p 5 0 7a 5 0 4p 5 9 a 5 0 : 7 dus a = 7 p 5 9 : 4 dus p = 7 4 f (k ) 5 (k 7) 4 k c (x 6) 4x 5 6 x 6k 6 5 k 4 4 k 6x 4x 5 6 x 6k 6 5 4k x 5 6 x 6 5 k 4x 5 6 k 5 6 : dus k 5 4x 5 6 g f 5 4( f) x 5 6 : 4 dus x 5 f 5 8 8f 5 8 0f 4 5 0f f 5 4 : 0 dus f 5 5 6a b c d Er staan twee variabelen, a en b in de vergelijking. Met b 5 4 wordt de vergelijking: 8a 7 5 a 4 6a 7 5 4 6a 5 a 5 : 6 dus a = Met b 5 wordt de vergelijking: 8a 7 5 a 6a 7 5 6a 5 8 8 4 a 5 8 : 6 dus a = = = 6 Met a 5 wordt de vergelijking 8 7 5 b ofwel 8 7 5 b 5 b b 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 6
64 9- Snijdende lijnen 7a Zonder kortingkaart betaalt hij 6 5 7 euro. Met kortingkaart betaalt hij 60 5 60 4 5 84 euro. Pim koopt losse kaartjes, dat is voor hem goedkoper. b Zonder kortingkaart is de formule voor de kosten b 5 6a. c Met kortingkaart is de formule voor de kosten b 5 60 a. d 8a b 00 80 60 40 0 0 met kortingskaart zonder kortingskaart 4 6 8 0 4 6 8 0 a e Bij het snijpunt hoort a 5 5. Invullen bij b 5 6a geeft b 5 6 5 5 90, invullen bij b 5 60 a geeft b 5 60 5 5 60 0 5 90, klopt. y 0 6 8 4 O 4 8 y = x + 8 y = x 7 b Het snijpunt is (5, ). 4 5 6 x 7 c Invullen van x 5 5 bij y 5 x 7 geeft y 5 5 7 5. Invullen van x 5 5 bij y 5 x 8 geeft y 5 5 8 5, klopt dus. d y = x + 4 y 4 4 O 4 5 x y = x Het snijpunt is (, ). Invullen van x = bij y 5 x 4 geeft y 5 4 5 4 + 4=. Invullen van x = bij y 5 x geeft y 5 5 =, klopt dus. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
9a 0a y 58 y = x + 4 7 6 5 4 4 O y = x + x 4 b Het snijpunt ligt niet op een roosterpunt en ook niet precies tussen twee roosterpunten in. c In het snijpunt geldt dat de uitkomsten van de beide formules gelijk zijn, dus moet gelden x 4 5 x. d x 4 5 x 4 5 x 5 x x 5 : dus x 5 Invullen bij y 5 x 4 geeft y 5 + 4=. Invullen bij y 5 x geeft y 5 + =, klopt dus. y 0 8 6 4 0 8 6 4 O y = x + 0 y = 5x + 4 x 5 6 7 8 9 b Met de vergelijking 5x 5 x 0 kun je de x-waarde van het snijpunt berekenen. c 8x 5 0 8x 5 8 x 5 8 : 8 dus x 5 4 d Invullen bij y 5 5x geeft y 5 5 5 5. 4 4 4 e Invullen bij y 5 x 0 geeft y 5 0 5 6 0 5, klopt. 4 4 4 Het snijpunt is (, ). 4 4 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 65
66 a 0x 5 6x 6x 5 6x 5 0 x 5 0 : 6 dus x 5 4 Invullen in y 5 0x geeft y 5 0 5 5 4, 4 invullen in y 5 6x geeft y 5 6 5 7 5 4, klopt. 4 Het snijpunt is (, 4 ). 4 b x+ = x+ 7 6 x + = 7 x = 4 x 5 4 dus x 5 Invullen in y= x+ geeft y 5 + = 6+ = 9, invullen in y= x+ 7 geeft y = + 7= + 7= 9, klopt. 6 6 Het snijpunt is (, 9). c,4x,4 5,8x,9 0,6x,4 5,9 0,6x 5,5 x 5,5 : 0,6 dus x 5,5 Invullen in y 5,4x,4 geeft y 5,4,5,4 5 0,9 invullen in y 5,8x,9 geeft y 5,8,5,9 5 0,9, klopt. Het snijpunt is (,5; 0,9). d x 6 5 x 4 6 5 5x 4 0 5 5x x 5 0 : 5 dus x 5 4 Invullen in y 5 x 6 geeft y 5 4 6 5 6 5 6, invullen in y 5 x 4 geeft y 5 4 4 5 8 4 5 6, klopt. Het snijpunt is (4, 6). e 0 x 5 x 7 0 5 x 7 5 x x 5 : dus x 5 Invullen in y 5 0 x geeft y 5 0 5 9, invullen in y 5 x 7 geeft y 5 7 5 7 5 9, klopt. Het snijpunt is (, 9). f 79x 8 5 9x 58 50x 8 5 58 50x 5 0 x 5 0 : 50 dus x 5 5 Invullen in y 5 79x 8 geeft y 5 79 8 5 5 4 8 5 6 4, 5 5 5 invullen in y 5 9x 58 geeft y 5 9 58 5 5 4 58 5 6 4, klopt. 5 5 5 Het snijpunt is (, 6 4 ). 5 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
a Het hellingsgetal van lijn l is 40 0 = 0 = 5. 0 b Lijn l heeft startgetal 0. c De formule bij lijn l is y 5 5x 0. d Lijn m heeft startgetal 5 en hellingsgetal 45 5 = 40 = 8. 5 0 5 De formule bij lijn m is y 5 8x 5. e In het snijpunt geldt: 5x 0 58x 5 0 5 x 5 5 5 x x 5 5 : dus x 5 8 Invullen in y 5 5x 0 geeft y 5 5 8 0 5 4 0 5 7, invullen in y 5 8x 5 geeft y 5 8 8 5 5 66 5 5 7, klopt. Het snijpunt is ( 8, 7 ). 9-4 Omslagpunt a Je betaalt dan bij En-route 00 80 0,44 5, franc. b Bij Au-revoir betaal je 0 0,6 80 5 0,8 franc. c p 5 00 0,44k d 0 0,6k 5 00 0,44k 0 5 00 0,08k 0 5 0,08k k 5 0 : 0,08 dus k 5 50 Bij 50 kilometers zijn de verhuurbedrijven even duur. e 50 f p 5 00 75 50 5 00 75 50 5 0 5 Au-revoir 50 En-route 75 00 5 50 75 00 5 50 75 00 k Rechts van het snijpunt ligt de grafiek van En-route hoger dan die van Au-revoir, dus bij meer dan 50 kilometers is En-route duurder. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 67
4a 5a 68 b 00 000 80 000 60 000 40 000 0 000 00 000 80000 60000 40000 0000 O 0000 b = a + 8 000 b = a + 0 40000 60000 80000 a b a 8 000 5 a 8 000 5 a a 5 8 000 dus a 5 56 000 Het omslagpunt ligt bij a 5 56 000. c Invullen bij b 5 a 8 000 geeft b 5 56 000 8 000 5 40 000. Invullen bij b 5 a geeft b 5 56 000 = 40 000, klopt. d Bij meer dan 56 000 verkochte pennen is de opbrengst hoger dan de kosten, dus bij meer dan 56 000 verkochte pennen maakt het bedrijf winst. y 0 y = x + 7 5 0 5 4 O 5 y = x 5 0 5 0 4 x 5 b x 5 x 7 5x 5 7 5x 5 9 x 5 9 : 5 dus x 5,8 y 5,8 5 5,4 dus y 5,4 Het omslagpunt is (,8;,4). c Links van het omslagpunt ligt de grafiek van y 5 x 7 hoger dan die van y 5 x. Dus voor x <,8 geeft de formule y 5 x 7 grotere uitkomsten dan de formule y 5 x. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
6a Er is dan 40 kg heliumgas weggelekt. Dat is na 40 :,5 5 6 uur. b Er is dan 00 kg weggelekt. dat is na 00 :,5 5 40 uur. c De hoeveelheid heliumgas in de ballon is de uitkomst van de formule 00,5u 5 h. Als de uitkomst kleiner moet zijn dan 00, schrijf je dat op als 00,5u < 00. d Invullen bij 00,5u < 00 geeft 00,5 50 < 00 ofwel 00 5 < 00 75 < 00 en dat klopt. e Invullen bij 00,5u < 00 geeft 00,5 44 < 00 ofwel 00 0 < 00 90 < 00 en dat klopt. u 5 44 is ook een antwoord op de vraag van Hans. f Er zijn oneindig veel antwoorden op de vraag van Hans. 7a 00,5u < 60 b Na 6 uur zit er 60 kg heliumgas in de ballon (zie opdracht 6a). Omdat de ballon verder leegloopt, zit er na meer dan 6 uur minder dan 60 kg heliumgas in de ballon. c Je berekent met deze ongelijkheid na hoeveel uur er minder dan 80 heliumgas in de ballon zit. d Als er nog 80 kg heliumgas in de ballon zit, is er 0 kg weggelekt. Dat is na 0 :,5 5 8 uur. Omdat de ballon verder leegloopt, zit er na meer dan 8 uur minder dan 80 kg heliumgas in de ballon. De oplossing is dus u > 8. 8a x 8 > 4 b De grafiek van y 5 x 8 ligt bij x 5 hoger dan die van y 5 4. Dus voor x 5 geldt dat de uitkomst van de formule y 5 x 8 groter is dan 4. c De grafieken snijden elkaar bij x 5. Voor x-waarden kleiner dan ligt de grafiek van y 5 x 8 boven de grafiek van y 5 4. d De oplossing is x <. e De oplossing van A is x >. De oplossing van B is x <. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 69
70 9-5 Ongelijkheden oplossen 9a In de ongelijkheid staat dat 7 méér is dan x 5, dus de balans slaat naar de kant van 7 door. b x 5 0 geeft 7 > 0 5 ofwel 7 > 5, dat klopt. x 5 geeft 7 > 5 ofwel 7 > 8, dat klopt. x 5 geeft 7 > 5 ofwel 7 >, dat klopt. x 5 geeft 7 > 5 ofwel 7 > 4, dat klopt. x 5 4 geeft 7 > 4 5 ofwel 7 > 7, dat klopt niet. x 5 5 geeft 7 > 5 5 ofwel 7 > 0, dat klopt niet. x 5 6 geeft 7 > 6 5 ofwel 7 >, dat klopt niet. c Bij x 5 4 is de balans in evenwicht. d Bij opdracht b zie je dat voor x > 4 de ongelijkheid niet klopt en voor x < 4 wel. e De oplossing is x < 4. 0a 5x + 4 x + 0 b 5x 4 5 x 0 x 4 5 0 x 5 6 x 5 6 : dus x 5 c Voor x 5 geven beide formules dezelfde uitkomst. d x 5 geeft 5 4 < 0 ofwel 0 4 < 6 0 en dus 4 < 6 en dat klopt. e/f x 5 0 geeft 5 0 4 < 0 0, dus 4 < 6 en dat klopt. x 5 geeft 5 4 < 0, dus 9 < en dat klopt. x 5 4 geeft 5 4 4 < 4 0, dus 4 < en dat klopt niet. x 5 5 geeft 5 5 4 < 5 0, dus 9 < 5 en dat klopt niet. x 5 6 geeft 5 6 4 < 6 0, dus 4 < 8 en dat klopt niet. g g g = f f f 0 4 5 6 g x 5 4,5 ligt rechts van x 5 en is dus geen oplossing. x 5,9 ligt links van x 5 en is dus wel een oplossing. x 5 7 ligt links van x 5 en is dus wel een oplossing. h De oplossing is x <. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
a 50 4x 5 x 8 b 50 5 7x 8 4 5 7x x 5 4 : 7 dus x 5 6 c/d Bijvoorbeeld x 5 5 geeft 50 4 5 > 5 8 ofwel 0 > en dat klopt. En x 5 7 geeft 50 4 7 > 7 8 ofwel > 9 en dat klopt niet. g g g = f f f 4 5 6 7 8 9 e De oplossing is x < 6. a x > d x > 5 x 5 x 5 5 x 5 8 x 5 8 x 5 8 : dus x 5 4 x 5 8 : dus x 5 6 f f f = g g g 4 5 6 7 f f f = g g g 4 5 6 7 8 9 oplossing: x > 4 oplossing: x > 6 b 6x 0 < e x + 4> 8 6x 0 5 x + 4= 8 6x 5 x = x 5 : 6 dus x 5 x = : dus x 5 5 g g g = f f f 0 4 5 g g g = f f f 4 5 6 7 8 oplossing: x < oplossing: x < 5 c x > x 5 f (x 8) < x 5 x 5 (x 8) 5 x 5 5 x 6 5 f f f = g g g x 5 4 5 6 7 8 x 5 : dus x = oplossing: x > 5 f f f = 0 4 oplossing: x > g g g Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 7
7 a 8 5x > x d x < (x 6) 8 5x 5 x x 5 (x 6) 8 x 5 x 5 6x 5 x 5 0 5 5x 5 x 5 0 : dus x 5 0 55 5 5x f f f = g g g x 5 55 : 5 dus x 5 4a 7 8 9 0 f f f = g g g oplossing: x > 0 oplossing: x > b x 6 > 0 6x e 4 8 x 6 5 0 6x 4 8 9x 6 5 0 7 4x= x 9x 5 6 7= + x 6 x 5 6 : 9 dus x = = 9 4 = x f f f = g g g x = 4 : dus x = 4 0 8 9 0 4 g g g = f f f oplossing: x > oplossing: x < 4 c 7(x ) < x 6 f 4x (x 5) > 7(x ) 5 x 6 4x (x 5) 5 7x 4 5 x 6 4x 6x 5 5 4x 4 5 6 8x 5 5 4x 5 8x 5 x 5 : 4 dus x 5 x 5 : 8 dus x 5 b c d g g g = f f f 6 5 4 0 7 6 5 4 4 f f f = g g g 4 0 oplossing: x < oplossing: x > Bij Schröder ben je per uur 68 55 5 euro meer kwijt. Bij Dinsbach ben je aan voorrijkosten 95 4 5 5 euro meer kwijt. Je kunt Schröder 5 : 5 4 uur laten werken voordat het verschil in uurloon het verschil in voorrijkosten opheft. Bij meer dan 4 uur is Dinsbach goedkoper. 5 Het verschil in vastrecht is 6 5 5 euro. Het verschil in prijs per m is,,08 5 0,04 euro. : 0,04 5 75 Bij een verbruik van 75 m heft het verschil in prijs per m het verschil in vastrecht op. Dus bij een verbruik van meer dan 75 m moet meneer Duin ingaan op het aanbod. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
6a 9-6 Gemengde opdrachten Horizontaal a 5 500 x 0 5 5 5 x 5 4 5 x 5 x 5 9 5 x 4 5 x 5 0 5 9r x 5 6 x 5 5 5 9r 7 5 5 g 465 6 4a 5 60 r 5 8 690 5 g 4a 5 48 7 p 5 594 g 5 0 a 5 p 5 65 8 8 d 5 7 p 5 05 k 5 6 9 4p 5 5 Verticaal w 5 4 p 5 8 0 b 5 7 w 5 44 0 9 5 f 47 b 5 8 w 5 f 5 56 b 5 4 4 b 5 9 6r 5 6 c 5 44 5 x 5 85 6r 5 60 c 5 x 5 5 r 5 0 d 5 0 6 9 5 x d 5 5 x 5 8 4 6 4 5 7 8 6 0 7 9 8 0 5 5 5 0 0 0 5 6 8 6 7 4 9 7a Bij De Gier bereken je de kosten in euro s van een advies door het aantal uur met 50 te vermenigvuldigen, dus k 5 u 50 of k 5 50u. b Zie de grafiek hiernaast. c 7u 65 5 50u 500 65 5 u 450 u 5 65 : dus u 5 5 400 Takema Invullen bij k 5 50u geeft k 5 50 5 5 50. 50 Het omslagpunt is (5, 50). 00 De Gier d Vóór het omslagpunt ligt de grafiek van 50 k 5 7u 65 hoger dan die van k 5 50u, ná het omslagpunt is dat andersom. Voor waarden van u groter dan 5 geldt dus dat de uitkomsten van de formule 00 50 00 50 k 5 7u 65 kleiner zijn dan die van de 0 4 5 6 7 8 9 0 formule k 5 50u. u De oplossing is dus u > 5. e Als het opstellen van een advies langer duurt dan 5 uur, zijn ze bij Takema goedkoper uit. k Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 7
74 8a x+ = 4 x+ 5x 5 5x 5 0 x 5 0 : 5 dus x 5 4. Invullen bij y= x+ geeft y = 4+ =. Punt B is het punt (4, ). b Voor een punt op de x-as geldt dat de y-coördinaat gelijk is aan 0. Dus de uitkomst van de formule y= x+ moet gelijk aan 0 zijn. c x + = 0 x = x 5 dus x 5 Invullen bij y= x+ geeft y = + = 0, klopt. Punt C is het punt (, 0). d Lijn m gaat door de punten (, 0) en (0, ), dus het hellingsgetal is 0 0 = =. e Lijn m snijdt de verticale as in (0, ) dus het startgetal is. De formule is y= x+. f Punt A is het snijpunt van de lijnen l en m. x+ = 4 x+ 6x 5 6x 5 8 x 5 8 : 6 dus x 5 Invullen bij y= x+ geeft y = + = 7. Punt A is het punt (, 7 ). 9a Per verkochte fijnschrijver is de winst e 0,50. b 050, f 60 000 = 5000 050, f = 85000 f 5 70 000 Er moeten 70 000 fijnschrijvers verkocht worden om e 5.000,- winst te maken. c Bij meer dan 70 000 verkochte fijnschrijvers is de winst meer dan e 5.000,-. d w 80 000 60 000 40 000 0 000 0 000 40 000 60 000 80 000 0 0 40 000 80 000 w = f 60 000 0 000 60 000 00 000 40 000 f e 050, f 60 000 > 5000 f 050, f 60 000 = 5000 050, f = 95000 dus f 5 90 000 In de grafiek zie je dat voor f > 90 000 geldt dat w > 5 000. g Ze moeten zeker meer dan 90 000 fijnschrijvers verkopen. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
40a x 5 > x 9 d 8 (t ) < 5t x 5 5 x 9 8 (t ) 5 5t 4x 5 5 9 8 t 5 5t 4x 5 4 9 t 5 5t x 5 9 5 6t f f f = g g g 6 5 6t 0 4 t 5 6 : 6 dus t = oplossing: x > f f f = g g g b 4p 8 < p 0 4 5 4p 8 5 p oplossing: t > 8 5 6p e 6( 4m) < 8 (m ) 9 5 6p 6( 4m) 5 8 (m ) p 5 9 : 6 dus p 5,5 4m 5 8 m f f f = g g g 4m 5 5 m 0,5 4 6m 5 5 oplossing: p >,5 6m 5 7 c ( a) 9 > a m 5 7 : 6 dus m < 0,65 ( a) 9 5 a g g g = f f f 6 a 9 5 a 0 0,65 5 a 5 a oplossing: m < 0,65 5 5 a f 4q ( q) > 8 a 5 5 : dus a 5 5 4q ( q) 5 8 g g g = f f f 4q 6q 5 8 4 5 6 7 8 0q 5 8 oplossing: a < 5 0q 5 q 5 : 0 dus q 5, f f f = g g g 0, 4 oplossing: q >, Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 75
4a 76 b c d y 0 9 8 7 6 5 4 O B A 4 5 6 7 8 9 C x 0 0 x 5 x 0 5 4x x 5 0 : 4 dus x 5 Invullen in y 5 0 x geeft y 5 0 5 7. Invullen in y 5 x geeft y 5 5 7. Het snijpunt van A en B is (, 7 ). 0 x 5 4 x 0 5 4 x 6 5 x x 5 6 : dus x 5 4 Invullen in y 5 0 x geeft y 5 0 4 5 6. Invullen in y 5 4 x geeft y 5 4 4 5 6. Het snijpunt van A en C is (4, 6). x 5 4 x x 5 4 x 5 4 : dus x 5 5 Invullen in y 5 x geeft y 5 5 4 4. 5 5 Invullen in y 5 4 x geeft y 5 4 5 4 4. 5 5 Het snijpunt van B en C is (, 4 4 ). 5 5 Voor x 5 geven de formules dezelfde uitkomst. In de grafiek zie je dat voor 5 x > formule B grotere uitkomsten geeft dan formule C. 5 Dan moet de waarde van x liggen tussen de waarden van x die horen bij de punten waar de grafiek van A de grafieken van B en C snijdt. Dus x ligt tussen en 4. Test jezelf T-a b 5 5b b 5 b b 5 : dus b 5 6 c Je moet links en rechts eerst 4a aftrekken en vervolgens links en rechts 9 aftrekken. d 7a 9 5 4a 5 a 9 5 5 a 5 6 a 5 6 : dus a 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
T-a q 0 5 q 0 e 58u 5 75 0u 5q 0 5 0 6u 5 75 5q 5 40 6u 5 5 q 5 40 : 5 dus q 5 8 u 5 5 : 6 dus u 5 b 5r 7 5 r 0 f 4(x ) x 5 x 5 r 7 5 0 4x x 5 x 5 r 5 6x 5 x 5 r 5 : dus r 5 6 x 5 5 c p 5 6(p 4) x 5 7 p 5 p 4 x 5 7 : dus x 5 9 5 9p 4 g ( 4a+ 0) = ( a+ 5) 6 5 9p a 5 5 6a 5 p 5 6 : 9 dus p 5 4 8a 5 5 5 d 6t+ 6 = 0t+ 4 8a 5 0 6 = 4t + 4 a 5 0 : 8 dus a 5 5 4t t 5 : 4 dus t 5 h 4f 7( f + ) = f + 0 4f 4f 4 5 f 0 0f 4 5 f 0 4 5 f 0 4 5 f f 5 4 : dus f 5 T-a 5x 5 x 4 7x 5 4 7x 5 40 x 5 40 : 7 dus x 5 0 Invullen in y 5 5x geeft y 5 5 0 5 0. Invullen in y 5 x 4 geeft y 5 0 4 5 0. Het snijpunt is (0, 0). b 8 x 5 6x 6 8 5 x 6 5 x x 5 : dus x 5 4 Invullen in y 5 8 x geeft y 5 8 4 5 0. Invullen in y 5 6x 6 geeft y 5 6 4 6 5 0. Het snijpunt is (4, 0). c x 5 (x ) x 5 x x 5 x 5 Invullen in y 5 x geeft y 5 5 0 Invullen in y 5 (x ) geeft y 5 0 5 0. Het snijpunt is (, 0) Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 77
78 T-4a Ze betalen 8 5 5 00 euro. b Ze betalen 8 5 5 5 65 euro. c b 5 5p d b 5 5p 5 e b 80 60 40 0 00 80 60 40 0 O 4 5 6 7 8 9 0 p f 5p 5 5p 5 0p 5 5 p 5 5 : 0 dus p 5 6,5 g De grafieken snijden elkaar bij p 5 6,5, dus daar geven de twee formules dezelfde uitkomst. In de grafiek zie je dat bij p > 6,5 de formule b 5 5p 5 lagere uitkomsten geeft. Bij 7 of meer zullen de studenten voor een privé-leraar kiezen. T-5a q 0 > 0 q 0 5 0 q 5 0 q 5 0 : dus q 5 0 b f f f = g g g 7 8 9 0 oplossing : q >0 0 s < 8 6s 0 s 5 8 6s 0 5 8 8s 5 8s s 5 8 : dus s 5 f f f = g g g 0 4 oplossing: s > c, 0,p < 0,p, 0,p 5 0,p, 5 0,5p p 5, : 0,5 dus p 5 4,6 f f f = g g g 4 4,6 5 6 7 oplossing: p > 4,6 d e 88k < k 88k 5 k 00k 5 00k 5 44 k 5 44 : 00 dus k 5 0,44 g g g = f f f 0 0,44 oplossing: k < 0,44 57u < 0 0u 57u 5 0 0u 60u 5 0 60u 5 08 u 5 08 : 60 dus u 5 0,8 g g g = f f f 0,8 0 oplossing: u < 0,8 f (x ) < (x 4) (x ) 5 (x 4) x 6 5 6x 8x 6 5 8x 5 6 x 5 6 : 8 dus x 5 4 g g g = f f f 0 4 oplossing: x < 4 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
T-6a g 0,8(p 4) >,6(5 p) 0,8(p 4) 5,6(5 p) 0,8p, 5 8 4,8p 5,6p, 5 8 5,6p 5, p 5, : 5,6 dus p 5 b c d f f f = g g g 0 4 5 oplossing: p > h 95 w > 9(w ) 95 w 5 9(w ) 95 w 5 7w 08 95 5 9w 08 0 5 9w w 5 0 : 9 dus w 5 7 g g g = f f f 4 5 6 7 8 9 0 oplossing: w < 7 Zonder abonnement: 6 8 5 48 euro. Met abonnement : 60 6 4 5 60 4 5 84 euro. Zonder abonnement : k 5 8a met k de kosten in euro s en a het aantal bezoeken. Met abonnement: k 5 60 4a. k 60 40 0 00 80 60 40 0 0 4 6 met abonnement zonder abonnement 8 0 4 6 8 0 a 8a 5 60 4a 4a 5 60 a 5 60 : 4 dus a 5 5, dus bij 5 bezoeken maakt het niet uit welk tarief je gebruikt. T-7a k 5 0,5a,40 met k de kosten in euro en a het aantal foto s dat afgedrukt wordt. b a 5 40 geeft k 5 0,5 40,40 5 8,40 Bij Digiprint betaalt Carel dus ook e 8,40 voor 40 foto s. Dat is per foto e 8,40 : 40 5 e 0,. c Bij Flits betaal je voor 0 foto s 0,5 0,40 5 5,40 euro. Bij Fotofix betaal je voor de 0 foto s 0 0,8 5,60 euro. Daar komt nog een vast bedrag bovenop. het vaste bedrag is 5,40,60 5,80 euro. d Flits: k 5 0,5 5,40 5 6,5 euro Digiprint: k 5 0, 5 5 5,5 euro. Fotofix: k 5 5 0,8,80 5 6,0 euro Digiprint is dan het voordeligst. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 79
T-8a 80 b 0 8 6 4 4 O 4 5 6 a b 4a 0 5 a 4 0 5 6a 4 6 5 6a a 5 6 : 6 dus a 5 6 8 = = 6 Invullen bij b 5 a 4 geeft b = + 4= 5 + 4= 9 Het omslagpunt is (, 9 ). c In de grafiek zie je dat rechts van het omslagpunt de uitkomsten van de formule b 5 4a 0 kleiner zijn dan de uitkomsten van de formule b 5 a 4. Dus voor a > geeft de formule b 5 4a 0 kleinere uitkomsten dan de formule b 5 a 4. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo