Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating)
. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.. Oefeningen uit vorige examens 997 Juli Vraag 4 Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y =4-x en de y-as. <A> 6 <B> 63 <C> 33 <D> Geen van de bovenstaande antwoorden 997 Augustus Vraag 4 De oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y =4x en y=x-4 en de x-as bedraagt <A> 3 <B> 5 <C> 73 <D> 4 3 000 Juli Vraag 9 De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y = x3 + 3, de rechyte y =, de x-as en de y-as bedraagt <A> 7,5 <B> 5 <C> 8 <D> 6 00 Juli Vraag 5 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page
We beschouwen twee functies: y = 4x en y = x-4. Hoeveel oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? <A> <B> 8 <C> 73 <D> 9 007 Augustus Vraag 8 De oppervlakte van de figuur begrensd door: ) De X-as ) De grafiek van de functie f: x y(x) = (x-) 3) De grafiek van de functie g: x y(x) = (x-4) Is gelijk aan: <A>,5 <B> 3 <C> 3,5 <D> 4 008 Juli Vraag Beschouw twee rechten: y = x- y = -x + 4 Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de x-as. <A> 4 <B> <C> <D> 0 008 Augustus Vraag 6 We beschouwen twee parabolische functies: y = x 4x + 4 y = 4 x Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? <A> 3 <B> 83 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
<C> 73 <D> 009 Juli Vraag 4 Beschouw de grafieken van een rechte, y = x +, en een parabool y = x. y 4 x Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x en y = x + <A> <B> 36 <C> 36 <D> 9 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
00 Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten. y π π x - Wat is de oppervlakte van het gearceerde deel? <A> 5π <B> 5π - <C> 3π + <D> 3π 0 Juni Vraag Hieronder zijn de functies y Sin x = 3. ( ) en y = Sin ( x) weergegeven. y 3 π π x dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
Gegeven is de volgende integraal: π 0 Sin π ( x). dx = 4 Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek. <A> π <B> 3π <C> 34π <D> π 0 - Augustus Vraag 5 Hieronder zijn de functies y = Sin ( x) en y = Cos ( x) weergegeven. y π π x Gegeven is de volgende integraal: 3π 4 π 4 Sin π ( x). dx = + 4 Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek. <A> π <B> π4 <C> <D> π dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
0 Juni Vraag 0 In de figuur hieronder worden de volgende drie functies weergegeven: y = x, y = x en y = + x y - Gegeven is de volgende integraal: 0 π. dx = + x² 4 Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de figuur? <A> π4 ¼ <B> π ½ <C> π <D> π4 0 Augustus Vraag 3 Gegeven is een grafiek van de functies Ln x en Ln x³. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
Gegeven zijn de volgende bepaalde integralen: Ln x. dx = Ln 3 3 Ln x dx Ln. = 9 3 6 Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3]? <A> 6Ln3 Ln 3 <B> 9Ln3 + Ln 6 <C> 6Ln3 + Ln 5 <D> 9Ln3 + 3Ln 3 03 - Juli Vraag 4 De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie boven de x- as is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee delen van gelijke oppervlakte. Hoeveel bedraagt de waarde van a? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8
<A> π 6 <B> π 5 <C> π 4 <D> π 3 03 - Augustus Vraag 5 Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x. De oppervlakte onder de curve van x=0tot x= is gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen. Welke waarde heeft a? <A> <B> a = a = <C> a = <D> a = 3 05 - Juli Vraag 5 We beschouwen de functie y = x 3-3x + 6 Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door: de verticale door het minimum van de functie de verticale door het maximum van de functie de x-as <A> <B> 0 <C>,5 <D> 9 05 Augustus Vraag 9 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 9
Gegeven is de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = -x 3 + 3x. Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van f en de raaklijn aan de grafiek, van f in het lokaal maximum van f <A> 54 <B> 6 <C> 8 <D> 74 06 Juli Geel Vraag 7 Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gebied gelegen boven de grafiek van de functie f met voorschrift f(x) = 4 en onder de horizontale rechte met vergelijking y = 4? <A> 83 <B> 0 <C> 33 <D> 343 06 Augustus Geel Vraag 9 G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x,y) waarvoor geldt dat 0 x en cos x y cos x Bepaal de oppervlakte van G <A> <B> <C> <D> 3 - dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 0
3. Oplossingen oefeningen 997 Juli Vraag 4 Gegeven: parabool y =4-x en de y-as. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door y =4-x en de y-as. Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± 4 en bereken de nulpunten De grafiek loopt dus van x=0 tot x=4. De oppervlakte boven de x-as is de positieve vierkantswortel en die onder de x-as de negatieve en beide oppervlakten zijn elkaars spiegelbeeld. We kunnen dus de oppervlakte boven de x-as berekenen en vermenigvuldigen met twee om de volledige oppervlakte te verkrijgen. A =. 4 = (0 (-3(4) 3 ) =. 63 = 33 Andere methode: assen omkeren en integraal over grenzen - tot berekenen: x = 4 y A = 4 Antwoord C 997 Augustus Vraag 4 = (8-83) (-8 +83) = 6 63 = 33 Gegeven: parabool y =4x en y=x-4 en de x-as Gevraagd: oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y =4x en y=x-4 en de x-as dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page
Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± 4 = ± en teken de grafieken. Bereken oppervlakte gearceerde deel (dat kan worden opgesplitst in linkse deel en rechtse driehoek) Bereken de snijpunten: 4 = x 4 4x 0x + 6 = 0 x = en x = 4 De totale oppervlakte bestaat uit de som van het links gearceerde gedeelte voor x = 0 tot x = en de rechtse driehoek, van x = tot x =. Vermits de integraal georiënteerd is (onder de x-as, negatieve wortel) moeten we de absolute waarde hebben, dus een teken voor de integraal zetten S = S = 73 Antwoord C 000 Juli Vraag 9 dx - 4 Gegeven: de parabool y = x3 + 3, de rechte y =, de x-as en de y-as Gevraagd: De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y = x3 + 3, de rechte y =, de x-as en de y-as Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y =± +3 Bepaal de snijpunten: +3 = voor x = -6 +3 = 0 voor x = -9 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page
De oppervlakte bestaat uit het gedeelte onder de parabool en de rechthoek, met oppervlate 6 x = 6 Op de oppervlakte onder de parabool te berekenen, rekenen we volgende integraal uit: +3 Dus het totale oppervlakte is 6 + = 8 Antwoord C 00 Juli Vraag 5 dx = (gebruik substitutie x3 = u) Gegeven: twee functies: y = 4x en y = x-4. Gevraagd: oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± 4 = ± en teken de grafieken. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
Bereken de snijpunten: 4 = x 4 4x 0x + 6 = 0 x = en x = 4 De oppervlakte kan nu worden berekend met vier integralen: het grootste oppervlak boven de x-as: = x-4 en de x-as worden afgetrokken: 4 dx maar daarvan moet het gedeelte onder de grafiek y Daarbij tellen we de twee oppervlaktes onder de x-as op met volgende integralen: - dx en - 4 (de tekens voor de integralen zijn om de absolute waarden te verkrijgen) We krijgen dus volgende oppervlakte: - 4 - dx - 4 = 9 Antwoord D 007 Augustus Vraag 8 Gegeven: ) De X-as ) De grafiek van de functie f: x y(x) = (x-) 3) De grafiek van de functie g: x y(x) = (x-4) Gevraagd: oppervlakte tussen, en 3 Oplossing: Herschrijf de functies: y = x ½ en y = x-8 Teken de grafiek dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
Bepaal de snijpunten Snijpunt grafiek met x-as: x ½ = 0 voor x = Snijpunt grafiek 3 met x-as: x 8 = 0 voor x = 4 Snijpunt grafiek en 3: x - = x 8 voor x = 5 Bereken bijhorende waarde voor y =.5-8 = (dit is ook de hoogte van de driehoek) Berekening oppervlakte driehoek: ½ (basis x hoogte) = ½ (3. ) = 3 Antwoord B 008 Juli Vraag Gegeven: twee rechten: y = x- y = -x + 4 Gevraagd: Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de x-as. Oplossing: Teken de grafiek: Bepaal de snijpunten: Snijpunt grafiek met x-as voor x = Snijpunt grafiek met x-as: voor x = 7 Snijpunt rechten: -x + 4 = x- -3x-5 = 0 x = 5. Bijhorende waarde voor y is 4 Gemakkelijkse manier om oppervlakte te berekenen is oppervlakte driehoek: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
(basis x hoogte) = ½(6.4) = Antwoord B 008 Augustus Vraag 6 Gegeven: twee parabolische functies: y = x 4x + 4 y = 4 x Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? Oplossing: teken de grafieken en bepaal de nulpunten en de snijpunten Snijpunt twee grafieken: x 4x + 4 = 4 x voor x = 0 en x = Nulpunten: voor beide grafieken: x = Berekening oppervlakte: integraal bovenste grafiek integraal onderste grafiek: 4 4 +4 Antwoord B = 4 4 +4 = 83 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
009 Juli Vraag 4 Gegeven: de grafieken van een rechte, y = x +, en een parabool y = x. y 4 x Gevraagd: Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x en y = x + Oplossing: Bepaal de snijpunten van de twee grafieken: x + = x voor x = en x = - De oppervlakte wordt dan bepaald door volgende integraal: + = 9 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
00 Augustus Vraag 9 Gegeven: de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten. y π π x - Gevraagd: oppervlakte van het gearceerde deel? Oplossing: Boven de x-as kun je 4 rechthoeken zien met afmetingen.π. Wanneer we van het oppervlak van deze vier rechthoeken (4.π = π) het gedeelte onder de cosinusgrafiek aftrekken, hebben we de oppervlakte van het gedeelte boven de x-as. Het gedeelte dat moet worden afgetrokken is twee keer: (omdat er een stuk links en een stuk rechts moet worden afgetrokken): cos = sin (π) sin (0 ) = dus vermenigvuldigen met wordt Het oppervlakte boven de x-as is dus: π - Het gedeelte onder de x-as is de driehoek met afmeting ½(π.) Het totale oppervlak is dus π + =½(π) = 5 π Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8
0 Juni Vraag Gegeven: de functies y Sin x = 3. ( ) en y = Sin ( x) weergegeven. y 3 π π x Gegeven is de volgende integraal: π 0 Sin π ( x). dx = 4 Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek. Oplossing: De gegeven integraal geeft het gedeelte onder het gearceerde deel van 0 tot π weer. Wanneer we dit vermenigvuldigen met vinden we het volledige deel onder het gearceerde. Voor het gedeelte onder de bovenste grafiek van 0 tot π vinden we: 3!" = 3!" = 3. π4 (gegeven integraal) Wanneer we dit met twee vermenigvuldigen vinden we de volledige oppervlakte onder de grafiek van 0 tot π De totale oppervlakte van het gearceerde deel is dus:.( 3. π4 ) - (π4) = π Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 9
0 - Augustus Vraag 5 Gegeven: de functies y = Sin ( x) en y = Cos ( x) weergegeven. y π π x Gegeven is de volgende integraal: 3π 4 π 4 Sin π ( x). dx = + 4 Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek. Oplossing:!" #$ = + -!" = ( + ) + ( + = ( + ) ( - = Antwoord C dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 0
0 Juni Vraag 0 Gegeven: volgende drie functies weergegeven: y = x, y = x en y = + x y - Gegeven is de volgende integraal: 0 π. dx = + x² 4 Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de figuur? Oplossing: Voor het gearceerde deel rechts van de y-as: opp = $&& '!(h$(* =. = Linkerdeel is spiegel van rechterdeel. Dus totale oppervlak =.( = Antwoord B 0 Augustus Vraag 3 Gegeven: een grafiek van de functies Ln x en Ln x 3. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page
Gegeven: zijn de volgende bepaalde integralen: Ln x. dx = Ln 3 3 Ln x dx Ln. = 9 3 6 Gevraagd: gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3]? Oplossing: Oppervlakte rechts van = -" ln = -" 3 ln (regel logaritmen: ln x 3 = 3lnx) Oppervlakte links van : = 3 -" = 3 (9ln3-6) = 6ln3 4 = - ( -" ln ervoor om positief opp te krijgen) = (3 -" ln = -" = -(ln ½) = ln (onder x-as, dus teken Opp rechts + opp links = 6 ln3-4 + ln = 6ln3 ln -3 Antwoord A 03 - Juli Vraag 4 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page
Gegeven: De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie boven de x-as is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee delen van gelijke oppervlakte. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van a? Oplossing Bij een cosinusfunctie is y = o voor x = π. We moeten dus het oppervlakte berekenen van 0 tot μ. A = #$ = sin (π)- sin 0 = - 0 = De oppervlakte van o tot a is dan de helft, dus. 0 A = #$ = ; dus sin(a) - sin(0) = sin (a) =. Hieruit kun je a afleiden: a = 30 = π6 Antwoord A 03 - Augustus Vraag 5 Gegeven: Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x. De oppervlakte onder de curve van x=0 tot x= is gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
Gevraagd: Welke waarde heeft a? Oplossing: Bereken de oppervlakte van 0 tot : A = = - = 3 De oppervlakte van o tot a is de helft van 3, dus 6 0 = 0 = 6 Hieruit kun je a berekenen: a = Antwoord B 05 - Juli Vraag 5 We beschouwen de functie y = x 3-3x + 6 Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door: de verticale door het minimum van de functie de verticale door het maximum van de functie de x-as Oplossing: Bepaal de afgeleide om het minimum en maximum te bepalen y' = 3x -3 = 0 --> x = - en x = Teken de grafiek: punten: (-, 4) (-, 8), (0,6),(, 4), (, 8) Oppervlakte = 3 +6 = 3 Antwoord A 34 + 65 = 4-3+6 - (4-3 -6) = dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
05 Augustus Vraag 9 Gegeven is de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = -x 3 + 3x. Gevraagd: Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van f en de raaklijn aan de grafiek, van f in het lokaal maximum van f Oplossing: Bepaal f (x) = -3x + 6x = 3x(-x) Tekenverloop X 0 3 Y +++ 0 ++++ 0 ------------------------ Y - 0 3 Max Raakllijn in maximum is horizontaal. Y() = -8 + 3.4 = 4 (,4) is het maximum y 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 Ondergrens: -x 3 + 3x = 4 voor x = en voor x =? -x 3 + 3x 4 = 0 delen door (x-) met Horner: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
- 3 0-4 - 4-0 (-x + X -) (x-) = 0 -(x -x-)(x-) = 0 -(x-)(x+)(x-) = 0 x = - De ondergrens is dus - en de bovengrens Bepaal nu de oppervlakte: 6 4 3., 6 4 3 =4 3 5 = 8 + 64 8 (-4+4+) = 8 ¼ = 74 Antwoord D 06 Juli Geel Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gebied gelegen boven de grafiek van de functie f met voorschrift f(x) = 4 en onder de horizontale rechte met vergelijking y = 4? Oplossing dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
We zoeken de oppervlakte begrensd door de twee grafieken. We berekenen dus de rechthoek begrensd door de y-as: 4.8 = 3 en daarvan trekken we de oppervlakte onder de blauwe grafieken af. Oppervlakten onder blauwe grafiek: =. 4 =. =4. = 4. 4 5 dx dx = 783. 9 dx = :. x. 5 = 83.4. 8.3.0 = 643 Totale oppervlakte is dus 3 643 = (96 64)3 = 33 Antwoord C 06 Augustus Vraag 9 Gegeven: G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x,y) waarvoor geldt dat 0 x en cos x y cos x Gevraagd: Bepaal de oppervlakte van G Oplossing: Bepaal waarden voor x en y X 0 Cos x ½ -cos x 0 - ½ 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
, 0,8 0,6 0,4 -cos x cos x 0, 0 0 0,5,5 We berekenen de oppervlakte onder de blauwe grafiek van (0,0) tot aan het snijpunt (, = cos )dx =( 0 -(sin sin0) =- ( 0) = - We berekenen de oppervlakte onder de rode grafiek van (0,0) tot het snijpunt (, cos = sin@3 sin(0) = Tel nu de twee oppervlaktes op: - = 3 Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8