Krommen tekenen met de lat Nationale WiskundeDagen Nederland 1 februari 2014 Michel Roelens - KHLim Lerarenopleiding secundair onderwijs Diepenbeek - Maria Boodschaplyceum, Brussel - Redactie UITWISKELING, al 30 jaar!
Overzicht omhullenden 1. Foto 2. Tekening 3. Ladder 4. Kop koffie 5. Theorie?
Foto Waarom is dit een mooie foto? Wie is het? Günter Steinberg, 1933-2011
Foto Doe hem na, op papier. Waar wil hij naartoe?
Foto
Foto: vergelijkingen van de rechten A 0, 1 P p, 0 Helling van AP is 1 p Helling van l p is p l p : y = p x p
Foto: vergelijkingen van de rechten A 0, 1 P p, 0 Helling van AP is 1 p Helling van l p is p l p : y = p x p
Foto: vergelijking van de omhullende? Eerste idee: snijpunten van naburige rechten Maar: de rechten vormen geen discrete familie Dus: snijpunt van l p en l p+δp dan overstappen op de limiet voor Δp 0 l p : y = p x p
Foto: vergelijking van de omhullende? S p,δp : y = p x p y = p + Δp x p + Δp Dit stelsel oplossen naar x en y : x = 2p + Δp S p,δp : y = p 2 + pδp In de limiet voor Δp 0 : x = 2p T p : y = p 2 Elimineer p : y = 1 4 x2 l p : y = p x p
Foto: vergelijking van de omhullende? (Halve) parabool!
Foto: vergelijking van de omhullende? Tweede idee: smal verticaal venster Punt x 0 op de x-as De raaklijn in x 0, y 0 is de rechte l p : y = f x, p waarvoor f x 0, p maximaal is. Dus: f p (x 0, p) = 0 x 0 p + p 1 = 0 x 0 2p = 0 p = x 0 2 l p : y = p x p x 0
Foto: vergelijking van de omhullende? Tweede idee: smal verticaal venster p = x 0 2 y-waarde van de omhullende bij x 0 = f x 0, x 0 2 = x 0 2 x 0 x 0 2 = 1 4 x 0 2 l p : y = p x p Omhullende: y = x2 4 x 0
De twee ideeën vergelijken f x, p = f(x, p + Δp) y = f(x, p) Δp 0 elimineer p f x,p+δp f x,p Δp y = f x, p = 0 Δp 0 p f x, p = 0 y = f x, p elimineer p Twee keer hetzelfde?
Tekening Verbind het eerste punt (1) van een as met het laatste (12) van de andere, het tweede (2) met het voorlaatste (11), enz.
Tekening We verbinden n, 0 met (0, 13 n), voor n = 0, 1,, 13.
Niet verwarren met de ladder Tekening
Tekening Om echt de omhullende te zien: oneindig veel rechten
Tekening We verbinden x, 0 met (0, 13 x) voor x 0, 13. Waarom 13?
Tekening We verbinden a, 0 met (0, b) voor a, b 0, 1 ; a + b = c c c
Tekening: vergelijking van de omhullende? y = b x + b a c a y = x + c a a y = 1 c x + c a a y a = 0 c a 2 x 1 = 0 a = cx en dus, door symmetrie, b = (bx + ay = ab) cy (horizontaal venster). Vermits a + b = c hebben we: cx + cy = c of: x + y = c
Tekening: welke kromme? We hebben verondersteld dat a, b 0. Hoe wordt de tekening als we deze veronderstelling laten varen? Neem x + y = c of x y = c of x + y = c. (Dat volstaat!) Kwadrateer (twee keer): x + y ± 2 xy = c ±2 xy = c x y 4xy = c 2 + x 2 + y 2 + 2xy 2cx 2cy 2cx + 2cy = x 2 2xy + y 2 + c 2 2c x + y = x y 2 + c 2 2cv = u 2 + c 2 Een parabool!
Tekening: welke kromme?
Tekening: welke kromme? Vouw F op d
Tekening: affien transformeren
Dürer 1525 Tekening: versie van Dürer
Tekening: versie van Dürer 10.55? Ladder overslaan
Ladder We verbinden a, 0 met (0, b) zo dat a 2 + b 2 = c 2.
Ladder: vergelijking van de omhullende? y = c2 a 2 a y a = 0 x + c 2 a 2 a c 2 a 2 a c2 a 2 a 2 x a c 2 a 2 = 0 c 2 x a 3 a 2 c 2 a = 0 2 3 a = c 2 x en door symmetrie b = Omhullende: x 2 3 + y 2 3 = c 2 3 3 c 2 y.
Ladder: vergelijking van de omhullende? Oefening Lengte L van de langste ladder die je horizontaal kunt verplaatsen door een hoek tussen twee gangen met breedtes u en v? u Het punt (u, v) moet op de omhullende x 2 3 + y 2 3 = L 2 3 liggen. v Dus: L = u 2 3 + v 2 3 3 2.
Ladder: welke kromme? x 2 3 + y 2 3 = c 2 3 x 1 3 c 1 3 2 + y1 3 c 1 3 2 = 1 Parametervergelijkingen x 1 3 = c 1 3cos t y 1 3 = c 1 3sin t x = c cos 3 t y = c sin 3 t
Hypocycloïde αr = tr α t = tr r t = R r r t R M x = y = P x = y = R r cos t R r sin t R r R r cos t + r cos t r R r sin t r sin R r t r
Hypocycloïde R = c; r = c 4 P x = y = R r R r cos t + r cos r R r sin t r sin R r r x = 3c 4 cos t + c cos 3t 4 P y = 3 4 sin t c sin 3t 4 Mislukt? (niet c cos 3 t en c sin 3 t?) 3c cos t + c 4 4 3c sin t c 4 4 Neen, het was goed. t t cos 3t = 3c 4 cos t + c 4 4 cos3 t 3 cos t = c cos 3 t sin 3t = 3c 4 sin t c 4 3 sin t 4 sin3 t = c sin 3 t
Het midden van de ladder
Dubbele omhullende x = (1 m) cos t y = m sin t
Berekenen of de beweging zien? Ogenblikkelijke draaiing
Garagepoort
Garagepoort
Kop koffie: kijk!
Kop koffie: kijk!
Brandkromme Leonardo da Vinci (16 de eeuw), Christiaan Huygens (17 de eeuw), Joh. Bernoulli (eind 17 de eeuw)...
Brandkromme Joh. Bernoulli, Caustica circularis radiorum parallelorum
Andere brandkrommen
Kop koffie: vergelijking van de omhullende? Neem R = 1, r = 1 2 y = tan 2t x 1 2 cos t
Kop koffie: vergelijking van de y = tan 2t x 1 2 cos t We draaien ons gezichtspunt. x = 1 tan 2t y + 1 2 cos t x t = 0 y = sin 3 t x = 1 tan 2t sin3 t + 1 2 cos t omhullende? = = cos t 1 2 cos2 t
Kop koffie: welke kromme? Epicycloïde nefroïde r R = 1 2
Kop koffie: welke kromme? Epicycloïde nefroïde r R = 1 2
Epicycloïde βr = tr β + t = tr r + t = R + r r t R N x = y = R + r cos t R + r sin t Q x = y = R+r R + r cos t r cos t r R + r sin t r sin R+r t r
Kop koffie: nierkromme? x = y = R + r R + r cos t r cos t r R + r R + r sin t r sin t r x = 1,5 cos t 0,5 cos 3t y = 1,5 sin t 0,5 sin 3t.
Bewijs: kromme in kop koffie = nierkromme 2t t t t P Teruggekaatste straal gaat door P!
Bewijs: kromme in kop koffie = nierkromme 2t t t t P Teruggekaatste straal is raaklijn? Helling (teruggekaatste straal) = tan 2t Helling (raaklijn in P) =??
Bewijs: kromme in kop koffie Neem R = 1; r = 1 2 = nierkromme Helling (raaklijn in P) = coeff. ang. tangente en P x = 1,5 cos t 0,5 cos 3t y = 1,5 sin t 0,5 sin 3t = dy dx dy = dt dx dt 1,5 cos t 1,5 cos 3t = 1,5 sin t + 1,5 sin 3t cos t cos 3t = sin t + sin 3t 2 sin 2t sin t = 2 cos 2t sin t (Simpson) = tan 2t.
Ogenblikkelijke draaiing De beweging zien
Twee variabelen y = f x, m f m = 0 F x,y,m =f x,m y F x, y, m = 0 F m = 0
Verschillende versies: equivalent? S Kromme van de snijpunten van oneindig dichte lijnen R Kromme rakend aan alle lijnen van de familie G Grenskromme van een gebied (de unie van alle lijnen) P met Partiële afgeleiden: F x, y, m = 0 F m = 0
Overzicht omhullenden 1. Foto S, G, P 2. Tekening P 3. Ladder P 4. Kop koffie P, R 5. Theorie? S, G, P, R: equivalent?
Verschillende versies: equivalent? S? Niet S R R? G? Niet G P P?
Verschillende versies: equivalent? S R Niet G S? R? G? P? P (maar...) y t 3 = 3t 2 (x t)
Verschillende versies: equivalent? x 2 + y 2 sin 2 t = 0 Wat stelt dit voor? S? Niet S R? Niet R G? G P? P
Toegankelijk onderwerp? We zijn niet verplicht om alles te doen. De ideeën zijn toegankelijk (snijpunten verticaal venster). Blijf weg van de algemene theorie... Zware berekeningen zijn vaak te omzeilen door mooie ideeën waar je leerlingen niet aan denken.
Uitnodiging Antwerpen (niet ver van Nederland!) Hele dag, lunch incl. Slechts 55 euro (45 euro voor abonnees) www.uitwiskeling.be
Bibliografie Kalman, D. ( 2007), Solving the ladder problem on the back of an envelope, Mathematics Magazine 80/3 Kindt, M. (2005), Wat te bewijzen is (29) : parabool als omhullende, Nieuwe Wiskrant 24/4 Kock, A (2007), Envelopes notion and definiteness, Beitraege zur Alg. und Geometrie 48, 345-350 Lenders, L. Een astroïde in de garage, users.skynet.be/cabri-applets/garagepoort.pdf Roelens, M. (2012), Weerkaatsing in een kop koffie, Uitwiskeling 28/4, 6-9 Roelens, M. (2013), Een foto en een omhullende, Uitwiskeling 29/2, 2013, 13-15 Steinberg, G. (2000), Experimente im Analysisunterricht, Der Mathematikunterricht 46/5-6, 72-90 van der Craats, J., Eenvoud bij tekenen en rekenen, staff.science.uva.nl/~craats/eenvoud.pdf Zeitler, H. (1980), Über Brennkurven, Didaktik der Mathematik 8/1, 1-11