Algebraïsche uncties Sir Isaac Newton Gottried Wilhelm Leibniz Algemene begrippen
) Deinities in verband met uncties a) Het unctiebegrip Een relatie is een verzameling koppels y,, waarbij alle -waarden samen een verzameling vormen die we het deinitiegebeid o domein noemen, en alle y -waarden een verzameling vormen die we de waardenverzameling o beeld noemen Als het verband tussen -waarden en y -waarden in een wiskundige ormule kan worden gegoten, dan noemen we die het relatievoorschrit Voorbeeld : Beschouw de relatie Hier is het voorschrit dus R y y y,,, 5 y 5 Deze relatie bestaat uit koppels gehele getallen: 0,5, 0, 5, 5,0, 5,0, 3,4, 3, 4, 3,4, 3, 4, 4,3, 4, 3, 4,3, 4, 3 Het domein en het beeld zijn de verzamelingen dom R bld R R 5, 4, 3,0,3, 4,5 Als elke -waarde uit het domein hoogstens één keer voorkomt dan noemen we die relatie een unctie Voorbeeld R is dus geen unctie, maar voorbeeld R wel: Voorbeeld : Beschouw de relatie R, y, y ( y zit dus automatisch ook in ) Hier is het voorschrit y Deze relatie bestaat uit oneindig veel koppels natuurlijke getallen: R 0,,,3,,5, 3,7, Het domein is dom R en het beeld is de verzameling der oneven natuurlijke getallen Wij zullen in deze cursus enkel reële uncties beschouwen Dit zijn uncties waarbij zowel het domein als het beeld deelverzamelingen zijn van De meeste uncties kunnen eenvoudig worden voorgesteld door een unctievoorschrit We deiniëren een reële unctie dan ook in symbolen als: cursus ook vaak een unctie vereenzelvigen met zijn unctievoorschrit Voorbeelden: 3 7 is een veeltermunctie van de tweede graad g t 3t 4 6t : : We zullen in deze is een rationale unctie, meer speciiek zels een homograische unctie pz z is een eponentiële unctie In verband met uncties zijn volgende begrippen heel belangrijk: De unctiewaarde van een reëel getal a bij een unctie is het reëel getal dat je bekomt door de veranderlijke in het unctievoorschrit te veranderen in a We noteren dit met a Voorbeeld: Als dan is 3 6 6 4 6 3
Het domein van een unctie is die deelverzameling van elementen van waarvoor je een unctiewaarde kan berekenen We noteren deze verzameling met dom In symbolen: dom a b : a b Voorbeeld: Als dan is dom Het beeld van een unctie is die deelverzameling van elementen van die een unctiewaarde zijn We noteren deze verzameling met bld In symbolen: bl b a : a b Voorbeeld: Als dan is, bld De nulwaarden van een unctie zijn die elementen uit het domein van de unctie waarvoor de unctiewaarde 0 is We noteren deze verzameling met Voorbeeld: Als 3 4 dan is 0 4; 0 Dan zijn er nog enkele begrippen die belangrijk zijn in verband met uncties, die je zeker moeten kunnen alezen aan de hand van de graiek van een unctie: Het tekenverloop van een unctie is een duidelijke tabel waarin je aangeet wat het teken is van de unctiewaarden voor alle waarden uit het domein Het verloop (stijgen en dalen) van een unctie is een duidelijke tabel waarin je aangeet in welke intervallen de unctie stijgt, daalt o constant blijt Een unctie is (strikt) stijgend in een interval a, b, a, b: Een unctie is (strikt) dalend in een interval a, b, a, b: dom dom Een uitgewerkt voorbeeld: Bespreek de unctie b 6 We berekenen de top: 3 a 6 4, en schets de graiek en a 63 4 3 5 3,5 0 6 0 6 5 en de nulpunten: 6 4 0 3 5 Domein: dom Beeld: bld,5 Stijgen en dalen: 3 T, 3 5 3 5 MAX (5) Tekenverloop: 3 5 3 5 6 4-0 + 0 -
Het hooddoel van de cursus wiskunde in de vijdes zal onder meer zijn deze bespreking voor alle elementaire uncties algebraïsch te kunnen doen b) Etrema De unctie bereikt een relatie minimum in c a, b dom (met c a, b ): a, b\ c : c De unctie bereikt een relatie maimum in c a, b dom (met c a, b ): a, b \ c : c De unctie bereikt een globaal minimum in c dom : c De unctie bereikt een globaal maimum in c dom : c Voorbeeld: Hiernaast staat de graiek getekend van een vierdegraadsveelterm De unctie bereikt een: lokaal minimum voor, lokaal maimum voor, globaal minimum voor 5 c) Dierentiequotiënt Het dierentiequotiënt van een unctie in een interval geet de gemiddelde verandering weer van die unctie in dat interval In wiskundige ormule wordt dit: Het dierentiequotiënt van de unctie y in het interval, y b a ab is ab, b a Graisch gezien is het de richtingscoëiciënt van de rechte die de punten A a, a en B b, b verbindt Het kan dus geïnterpreteerd worden als de gemiddelde helling in dat interval Voorbeeld: Als y,5 4 5 5 3 3 3 Hiernaast op de iguur zie je dat dit de richtingscoëiciënt is van de rechte AB, bereken dan het dierentiequotiënt voor het interval,5
d) Symmetrie Even en oneven uncties Als voor een unctie geldt dat dom : graiek van is dan symmetrisch tov de y-as Als voor een unctie geldt dat dom : graiek van is dan symmetrisch tov de oorsprong Voorbeeld: De unctie want: :, dan is een even unctie De, dan is een oneven unctie De 4 3 4 3 4 3 is een oneven unctie, Je ziet de symmetrie duidelijk op de graiek van de unctie rechts Symmetrieassen De rechte met vergelijking a is een symmetrieas van de graiek van de unctie als en slechts als geldt: : a dom a a 5 Voorbeeld: De unctie 60 vertoont symmetrie tov de rechte s 3, want: 5 5 3, en 3 6 3 0 5 5 3, 3 6 3 0 dus 3 3 Symmetriepunten Het punt S p, q is een symmetriepunt van de graiek van de unctie als en slechts als geldt: p p : p dom q Voorbeeld: De unctie punt S,, want: 33 vertoont symmetrie tov het 3 3 3 3 dus met 0,
) Enkele speciale uncties a) De absolute waarde unctie De absolute waarde van een getal is dat getal zonder toestandsteken We noteren de absolute waarde van a als a, o als absa In symbolen kan je dit op elegante manieren deiniëren:, :, : 0 Enkele voorbeelden:, 4 4, 0 0 De graiek zie je hiernaast getekend Voor domein en beeld geldt: dom abs, bld abs Voorbeeld: Los op: 8 0 5 3 0 We doen eerst een tekenverloop van de veeltermen waarvan we de absolute waarde nemen: 0 3-0 + + + + + + + - - - 0 + + + + + - - - - - 0 + + + 3 - - - - - - - 0 + We doen dan een gevallenonderzoek naar de mogelijke liggingen van : : : : 0 0 3 3 8 0 5 3 0 4 6 0 3 8 0 5 3 0 0 0 0 8 0 5 3 0 0 0 0 : 8 0 5 3 0 0 0,3 8 0 5 3 0 4 6 0 3 : Nemen we de unie van alle oplossingen dan vinden we: V,3 We kunnen deze oplossing ook graisch controleren (zie graiek) Met behulp van deze net geïllustreerde techniek kan je elke vergelijking waarin een absolute waarde optreedt oplossen Stelling (de driehoeksongelijkheid):, y : y y Bewijs: Het is duidelijk dat geldt: : a : a a a (*) Dus: y y y y y y y y y waaruit via (*) onmiddellijk het gestelde volgt
b) De unctie van Legendre o integerunctie De unctie wordt genoteerd met, en deiniëren we: : z z z z Een alternatieve notatie is G, dus : : G In woorden is deze deinitie eenvoudiger: de unctie van Legendre is de unctie die elk reëel getal abeeldt op het grootste gehele getal dat kleiner o gelijk is aan dat reële getal Enkele voorbeelden:,7, 4, 0 0 De graiek van deze unctie zie je rechts Let vooral op het gebruik van de volle en de holle bollen Vol wil zeggen dat het eectie een unctiewaarde is, en hol wil zeggen dat het net geen unctiewaarde is Voor domein en beeld geldt: dom G, bld G c) De mantisseunctie Deze unctie wordt gedeinieerd als: : M Het is dus het decimale deel van een getal dat we verkrijgen door van dat getal het grootste geheel getal kleiner dan dat getal er van a te trekken 3,48 0,48 Enkele voorbeelden: M, M 0, Voor domein en beeld geldt: dom M, bld M 0, d) De signumunctie Deze unctie wordt gedeinieerd als:, 0 sign 0, 0, 0 sign sign 7 M 3, 4 0,59 Enkele voorbeelden:, Voor domein en beeld geldt: dom sign, bld sign,0, 3) Bewerkingen met uncties a) De som van twee uncties We deiniëren de som van twee uncties als de unctie die we bekomen door de unctievoorschriten van de twee gegeven uncties op te tellen In symbolen: g : g g Voor het domein geldt: dom g dom dom g b) Het product van een unctie met een scalair Een scalair is letterlijk een schaalactor In onze contet is dit altijd een reëel getal
We deiniëren het product van een unctie met een scalair als de unctie die we bekomen door het unctievoorschrit van de gegeven unctie te vermenigvuldigen met de gegeven scalair In symbolen: r : r r Voor het domein geldt: dom r dom c) Het product van twee uncties We deiniëren het product van twee uncties als de unctie die we bekomen door de unctievoorschriten van de twee gegeven uncties te vermenigvuldigen In symbolen: g : g g Voor het domein geldt: dom g dom dom g d) Het quotiënt van twee uncties We deiniëren het quotiënt van twee uncties als de unctie die we bekomen door de unctievoorschriten van de twee gegeven uncties te delen door elkaar In symbolen: : g g g Voor het domein geldt: dom dom dom g \ g 0 g (Het is duidelijk dat deze quotiëntunctie niet gedeinieerd is in de nulpunten van g ) e) De samenstelling van twee uncties Voor twee gegeven uncties en g deiniëren we de samenstelling g als de verzameling en z, y g koppels y, waarvoor er een z bestaat zodat, z Anders gezegd geldt in symbolen dat: g g Voorbeeld: Beschouw 3 en g g g 3 g g g 3 3 6 9 We bekijken nu de uncties g en g We kunnen dus meteen opmerken dat het samenstellen van uncties niet commutatie is! ) De inverse van een unctie De inverse van een unctie deiniëren we als de relatie die bestaat uit de verzameling koppels y, waarvoor geldt dat, y In symbolen is dit: y, y o anders geschreven, y y Enkele eigenschappen zijn meteen duidelijk: dom bld en bld dom De inverse van een unctie hoet niet altijd zel een unctie te zijn
De inverse relatie van een unctie is opnieuw een unctie als er geen twee waarden uit het domein zijn die hetzelde beeld hebben We noemen zo een unctie omkeerbaar, en noemen de inverse relatie dan ook de inverse unctie Voorbeeld : We bepalen de inverse van de unctie Om de inverse te bepalen is het eenvoudig de unctie te beschouwen als verzameling koppels: y y y y y y y y y y ), y y, y, y y (Want: Hier is de unctie dus wel degelijk omkeerbaar 4 5 Voorbeeld : We bepalen de inverse van de unctie y y y y y, 4 5, 4 4 4 4 4 (Want: y 4y 5 y 4y 5 0 y ) Hier is de inverse relatie dus geen unctie We proberen het domein van nu te begrenzen opdat de unctie wel omkeerbaar zou zijn! Stel dus 4 5, met Dan wordt: b y y b, 4 5 De inverse relatie wordt dan:, y y 4y 5 y, y y b We stellen deze graieken nu graisch voor: Op de linkse graiek zien we inderdaad bevestigt dat de inverse relatie inverse b van de begrensde unctie b dat duidelijk wel is geen unctie is, terwijl de Wat verder opvalt is dat de graieken van inverse relaties (o uncties) elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de eerste bissectrice (de rechte met vergelijking y ) Dit is natuurlijk logisch want
we draaien bij inversie de rollen van en y om, en dat is net wat spiegelen om de eerste bissectrice doet (die spiegeling beeldt de -as a op de y -as en omgekeerd) 4) Elementaire transormaties a) Invloed van het teken Op de iguur zie je de graieken van vier uncties getekend We gebruiken deze om het eect na te gaan van het toestandsteken (+ o -) in het unctievoorschrit: De graieken van y en y zijn elkaars spiegelbeeld tov de -as We noteren deze spiegeling met S De graieken van y en y zijn elkaars spiegelbeeld tov de y-as We noteren deze spiegeling met S De graieken van y en y zijn elkaars spiegelbeeld tov de oorsprong We noteren deze spiegeling met S b) Invloed van constanten op een unctievoorschrit Verticaal uitrekken (o inkrimpen) We bekijken de invloed van parameter a 0 Op de iguur hiernaast zie je de graieken getekend van y y en y We besluiten: 3 uit te rekken in de richting van de y -as met actor a We bekomen de graiek van y O op het unctievoorschrit y a, y a door de graiek van (als 0a spreken we van inkrimpen met actor a ) We noteren deze transormatie korter als u a Horizontaal uitrekken (o inkrimpen) We bekijken de invloed van parameter b 0 Op de iguur hiernaast zie je de graieken getekend van y y 5 en y 4 We besluiten: y op het unctievoorschrit y b We bekomen de graiek van y b uit te rekken in de richting van de -as met actor b, door de graiek van (als b spreken we ook van inkrimpen met actor b ) u b We noteren deze transormatie korter als
Horizontaal verschuiven We bekijken de invloed van parameter c op het unctievoorschrit y c Op de iguur hiernaast zie je de graieken getekend van y y en y We besluiten:, We bekomen de graiek van y c door de graiek van met c eenheden naar links te schuiven (als c 0 schuiven we c eenheden naar rechts) We noteren deze transormatie korter als v c,0 Verticaal verschuiven We bekijken de invloed van parameter d op het unctievoorschrit y d Op de iguur hiernaast zie je de graieken getekend van y 5 y en y We besluiten: 4 We bekomen de graiek van, y d door de graiek van met d eenheden naar boven te schuiven (als d 0 schuiven we d eenheden naar onder) We noteren deze transormatie korter als v0, d
Veeltermuncties
) Deinities en notatie Een veeltermunctie in de veranderlijke met reële coëiciënten is een uitdrukking van de vorm: n n a a a a a, met an 0; an,, a, a, a0 n n 0 De reële getallen an, an,, a, a, a0 noemen we de coëiciënten van die veelterm De graad van een veelterm is de hoogst voorkomende eponent n (waarvan de coëiciënt 0 is) De verzameling veeltermuncties noteren we met de verzameling waaruit de coëiciënten komen en de variabele tussen rechte haakjes: in ons geval dus meestal ) Deelbaarheid bij veeltermen a) De Euclidische deling De deinitie van Euclidische deling van veeltermen herinneren we ons uit de tweede graad: We noemen deeltal Q en A door de deler, met gr R A D Q R R respectievelijk het quotiënt en de rest bij Euclidische deling van het D als en slechts als geldt: gr D o 0 R Quotiënt en rest kan je vinden met het algoritme van de Euclidische deling, dat we hier herhalen met 4 3 een voorbeeld: de deling van A 6 7 0 5 door 6 4-7 3 +0-5 + - +3 6 4-3³ +9² 3² -7 + -4³ +² -5 + -4³ +7² - 4² +6 + 4² - +6 8-5 D 3 Voor het quotiënt en de rest vinden we dus als uitkomst: Q 3 7 en R 8 5 Dit algoritme zullen we vaak nodig hebben bij het onderzoeken van rationale uncties b) De reststelling Ook van vorig jaar herinneren we ons de reststelling De reststelling: De rest bij deling van een veelterm (met a ) wordt gegeven door de unctiewaarde Aa A door een deler van de vorm Deze stelling heet als onmiddellijk gevolg dat a P Pa D a 0 Dit laat ons toe veeltermen te ontbinden in actoren, met behulp van het algoritme van Horner c) Ontbinden in actoren Het gevolg van de reststelling zegt in woorden dat we een actor a kunnen azonderen bij een veeltermunctie als en slechts als a een nulpunt is van die veeltermunctie We herhalen deze 4 3 werkwijze aan de hand van een voorbeeld: de ontbinding van 6 3 3 8
De nulpunten (die je vindt met je GRM) zijn 7 en 4 3 6 3-3 -8 Het eerste algoritme van Horner (boven) geet: 7-8 - 8 4 3 7 3 6 3 3 8 6 8 6 8 6-8 6-8 0 Onmiddellijk nog eens Horner toepassen geet: 4 3 8 0 8 3 4 6 8 6 8 6 6 6 0 6 0 3 7 4 3 Dus: 6 4 3 6 3 3 8 6 6 7 3 4 Vergeet echter niet de nog eerder geziene methoden om te ontbinden in actoren: Methode Voorbeeld Factor azonderen: 7 3 7 3 Merkwaardige producten: A B A B A B 49 7 7 A AB B A B 4p 0 pq 5q p 5q 3 3 A B A B A AB B 7 3 3 9 3 Discriminantmethode: 49 3 5 0 3 3 5 3 3 3 3 3 6 4 3 3 a b c a Gericht samen nemen van termen: 3 3) Kenmerken van een veeltermunctie a) Domein Het domein van elke veeltermunctie is b) Gedrag op oneindig en beeld Het beeld van een veeltermunctie is minder vanzelsprekend Voor veeltermuncties van oneven graad is ook het beeld altijd, maar voor veeltermuncties van even graad is het beeld altijd van de vorm, a o,a, met a (Denk bijvoorbeeld eens aan eerste- en tweedegraadsuncties) De verklaring hiervoor ligt bij het gedrag op oneindig van veeltermuncties Het is eenvoudig in te zien dat vooral de hoogstegraadsterm een rol speelt als je naar de unctiewaarden gaat kijken van zeer grote o zeer kleine getallen ( o ) Als we dan eectie gaan kijken naar het gedrag op oneindig, geldt ook voor de unctiewaarden dat lim en lim
Deze limieten zijn dan intuïtie zeer eenvoudig te berekenen Als voorbeeld kijken we naar de veeltermunctie uit de vorige paragraa: 4 3 4 4 3 4 lim 6 3 3 8 lim 6 lim 6 3 3 8 lim 6 Op de graiek rechts is de tussenstap intuïtie gerechtvaardigd De echte bewijsvoering zien we later in deze cursus Het minimum dat bereikt wordt leren we ook later algebraïsch berekenen Nu vinden we met onze GRM dat 66,9 bld 66,9; a, dus is c) Tekenverloop Het tekenverloop van een veeltermunctie is eenvoudig als je denkt aan de ontbinding van de veelterm, o dus eigenlijk aan de nulpunten (en de multipliciteit ervan) We noemen n een nulpunt met multipliciteit m van de veeltermunctie m n, maar m n als: Het teken wisselt bij het nulpunt van een veeltermunctie als de multipliciteit van het nulpunt oneven is, en verandert niet als de multipliciteit even is Als voorbeeld geven we het tekenonderzoek van de veeltermunctie uit voorgaande paragraen: 7 43 4 3 6 3 3 8 + 0-0 + Onthoud bij het ontbinden in actoren (en dus ook het zoeken naar nulpunten) volgende stellingen: Bij een veelterm met gehele coëiciënten is elk geheel nulpunt een deler van de constante term van die veelterm (maar uiteraard niet omgekeerd!) Een veelterm van graad n heet hoogstens n (al dan niet verschillende) nulpunten Hoodstelling van de algebra: elke veelterm kan ontbonden worden in eerste- en tweedegraadsactoren Deze eerste stelling volgt vrijwel onmiddellijk uit het eit dat a P Pa 0 De tweede (en derde) stelling bewijzen is helemaal niet vanzelsprekend De Zwitser Argand was de eerste die deze stelling correct bewees, in 806 d) Stijgen en dalen Voor veeltermuncties van graad 3 o hoger moeten jullie het verloop voorlopig enkel kunnen alezen van een rekenmachine Later zullen we dit ook op algebraïsche manier leren via ageleiden (zie cursus dierentiaalrekening)
3 Rationale uncties
) Homograische uncties Een speciale soort rationale unctie is de homograische unctie Dit is een unctie van de vorm: a b c d, met c 0 en ad bc 0 Een homograische unctie is monotoon: de unctie is owel overal stijgend, owel overal dalend in haar domein (dit naargelang het teken van ad bc ) De graiek van een homograische unctie noemen we een hyperbool In de tweede graad heb je gezien dat je elke hyperbool kan verkrijgen door elementaire transormaties uit te voeren op de graiek van de standaardhyperbool y 6 We bekijken als voorbeeld eens de homograische unctie 8 8 Deze unctie is te herschrijven als Je kan dit ook vinden door de Euclidische deling uit te voeren Het transormatieschema is: 8 h 3 : spiegelen om de -as : eenheid naar links 8 schuiven : eenheden naar boven schuiven 8 : rekken met actor 8 langs de y-as We proberen deze unctie nu volledig te bespreken: Domein Deze unctie is overal gedeinieerd, behalve in het nulpunt van de noemer, - dom \ Nulpunt 6 0 6 0 0 3 Tekenverloop 3 Beeld + - 0 + Op de graiek zien we dat bld \ Een asymptoot van een unctie is een rechte waar de graiek van die unctie willekeurig dicht toe nadert De term is ageleid uit het Grieks en betekent letterlijk niet samenvallen De hierboven besproken unctie heet twee asymptoten De rechten met vergelijking en y zijn respectievelijk een verticale en een horizontale asymptoot Dat een verticale asymptoot is, is eenvoudig in te zien als volgt: hoe dichter je bij neemt hoe dichter de noemer het getal 0 nadert De unctiewaarden in de buurt van worden dus altijd maar groter in absolute waarde
Dat y een horizontale asymptoot is zie je eenvoudig in door het omgevormde unctievoorschrit te bekijken ( 8 ) Hoe groter, hoe dichter de tweede term naar nul nadert, en dus de unctiewaarde naar nadert In een tabel kunnen we deze intuïtieve redeneringen veriiëren: -, 8-0,9-78 -0,8888 0,77 -,0 80-0,99-798 -00,0808 00,908 -,00 800-0,999-7998 -000,0080 000,990 -,000 8000-0,9999-79998 -0000,0008 0000,999 - - We noteren deze bevindingen in limietvorm als lim, lim, lim en lim In latere hoodstukken komen we hier zeker op terug Voorlopig volstaat het dat jullie begrijpen waarvoor deze notatie staat ) Kenmerken van rationale uncties a) Deinities Een rationale unctie is een quotiënt van twee veeltermuncties, waarbij de noemer niet de nulveelterm is De nulpunten van een rationale unctie zijn de nulpunten van de teller die geen nulpunt zijn van de noemer De polen van een rationale unctie zijn de nulpunten van de noemer b) Domein Een rationale unctie is overal gedeinieerd, behalve in de nulpunten van de noemer In ormulevorm geet dit: dom \ g 0 g c) Nulpunten Bij het oplossen van de vergelijking om de nulpunten te zoeken is het belangrijk dat de bestaansvoorwaarde (het domein van de unctie) niet wordt vergeten Voorbeeld: Bepaal de nulpunten van de unctie 3 9 5 0 3 9 0 39 5 0 3 3 3 5 3 5
d) Geperoreerde graieken Zijn er getallen waarvoor zowel de unctiewaarde in de teller als in de noemer nul is, dan kunnen we wegens de reststelling het unctievoorschrit vereenvoudigen Het is hierbij wel belangrijk niet te vergeten dat de oorspronkelijke unctie voor deze waarde niet gedeinieerd is Voorbeeld: We kijken terug naar de unctie 3 een nulpunt was van zowel teller als noemer We proberen te vereenvoudigen: Het is nu belangrijk in te zien dat v 39 3 3 3 5 Uit de vorige paragraa bleek dat 5 3 5 v De uncties zijn undamenteel verschillend, want v gedeinieerd in 3 maar niet In haar domein echter zal zich volledig hetzelde gedragen als Het enige verschil is dat de graiek van in één punt, namelijk 3,9 8, zal geperoreerd zijn v We bekijken de graiek eens: De graiek van is dus inderdaad identiek aan de hyperbool die bij v hoort, behalve in het peroratiepunt 3,9 8 We noemen de graiek dan ook een geperoreerde hyperbool In het geval dat de multipliciteit van het getal als nulpunt van de noemer groter is dan dat van de teller, zijn beide uncties wel identiek Zels na vereenvoudiging zal de unctie nog altijd niet gedeinieerd zijn in dat punt In dat geval mag je dus zonder problemen vereenvoudigen e) Gedrag op oneindig - asymptoten Bij homograische uncties zagen we al dat bij rationale uncties asymptoten kunnen optreden Deze redenering gaan we nu veralgemenen naar alle rationale uncties Uit de vorige paragraa volgt dat we mogen kijken naar de vereenvoudigde uncties, want het is duidelijk dat peroratiepunten geen invloed hebben op asymptotisch gedrag Verticale asymptoten Een rationale unctie heet verticale asymptoten met vergelijking vereenvoudigde unctie Horizontale en schuine asymptoten is p voor elke pool p van de v Dit is te verklaren analoog aan wat we deden bij homograische uncties Voor horizontale en schuine asymptoten van een rationale unctie is het nuttig te kijken naar het unctievoorschrit van de vereenvoudigde unctie v na uitvoering van de Euclidische deling Is het quotiënt een getal b dan vinden we net als bij de homograische uncties een horizontale asymptoot met vergelijking y b Is het quotiënt een eerstegraadsunctie m q (met dus m 0 ) dan heet de unctie een schuine asymptoot met vergelijking y m q
Voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de asymptoten van de unctie We proberen teller en noemer te ontbinden in actoren: 3 8 8 3 Teller: 8 3 8 8 8 8 4 Noemer: 3 De vereenvoudigde unctie is dus De unctie is identiek aan de unctie v De nulpunten van zijn en 4 en de pool is Aangezien een pool is van v v 4 8 6 op een peroratie bij, na heb je een verticale asymptoot: Om het asymptotisch gedrag voor te bekijken, voeren we de Euclidische deling uit bij Dus 8 6 3 8 +6 - - 8-4 4+5 0-0 -5 3 4 5 Als nadert de breuk 3 schuine asymptoot hebben, namelijk y4 5 v : naar nul, zodat we een We controleren onze bevindingen eens op de graiek van Merk op dat deze graiek hier getekend is in een assenstelsel met verschillende ijken op de -as en de y-as om de graiek overzichtelijk te houden In de oeeningen zullen we vaak ook de ligging van de graiek ten opzichte van deze asymptoten bepalen
Algemeen kan je het volgende opmerken voor een rationale unctie Als gr T gr N Als gr T gr N dan is er een horizontale asymptoot y 0 T : N dan is er een horizontale asymptoot y b, met b het quotiënt van de hoogstegraadstermen gr T gr N dan is er een schuine asymptoot y m q, met m q het Als quotiënt bij Euclidische deling van ) Beeld en verloop T door N Voor rationale uncties moet je zowel het verloop (stijgen en dalen) als het beeld voorlopig enkel kunnen alezen van de graiek Om dit op algebraïsche manier te bespreken hebben we ageleiden nodig (zie cursus dierentiaalrekening) We sluiten dit hoodstuk a met een volledige bespreking van een rationale unctie: 6 Voorbeeld: We bespreken de unctie : 3 Domein BV: 3 0 3 Tekenverloop Alle nulpunten en polen zijn enkelvoudig: - -3-3 + Dus dom \ ;3 Nulpunten 6 0 3 Beide nulpunten zitten in het domein, dus we weten meteen ook dat v Asymptoten Verticale asymptoten: en 3 gr N gr T Horizontale asymptoot: y Snijpunten met de assen Snijpunten met de -as: 3,0 Snijpunt met de y-as: 0, en,0 + 0 - + 0 - + Verloop Dit lezen we a van de graiek: - - 3 + Beeld We lezen a van de graiek: bld Merk op dat, terwijl het ook op de horizontale asymptoot ligt Dit is echter geen enkel probleem, maar veel leerlingen denken dat de graiek van een unctie zijn asymptoten niet mag snijden, terwijl dat natuurlijk wel zo is
Irrationale uncties y 8 4 y 8 4 y 8 4 3 3 3 (Triolium van de Longchamps) y
) Domein Een irrationale unctie is een unctie waarbij de veranderlijke onder één o meerdere worteltekens voorkomt Dit zorgt uiteraard voor problemen bij het bepalen van het domein, vermits bijvoorbeeld een vierkantswortel enkel gedeinieerd is voor positieve getallen Voorbeeld: We bepalen het domein van de unctie 3 6 dom 0, ) Nulpunten 3 6 Dus dom, Om de nulpunten van een irrationale unctie te bepalen moeten we een irrationale vergelijking oplossen Het komt er hier op aan deze vergelijking te herleiden tot een gewone (rationale) vergelijking door te kwadrateren Er zitten echter een paar addertjes onder het gras Voorbeeld: We bepalen de nulpunten van de irrationale unctie 3 3 0 3 Nu willen we beide leden kwadrateren om de wortel weg te werken maar mag dat wel? We proberen toch op deze manier verder te gaan: 3 4 4 4 0 We vinden dus op het eerste gezicht twee nulpunten, maar na controle blijkt het nulpunt niet te kloppen (want 3 4 0 ) Ten eerste moeten we bij elke irrationale vergelijking stil staan bij de bestaansvoorwaarde (BV) In ons geval is dit 3 0 3 Dit is voor beide oplossingen geen probleem Ten tweede moeten we stilstaan dat uit a b enkel volgt dat a b als ook a en b hetzelde teken hebben Als we beide leden van een vergelijking dus kwadrateren moeten we er proberen voor te zorgen dat ze ook hetzelde teken hebben Lukt dit niet (zoals in ons voorbeeld) dan krijgen we een zogenaamde kwadrateringsvoorwaarde (KV) In ons voorbeeld is het linkerlid van 3 altijd positie, dus eisen we dat ook 0 En het is hier dat het schoentje knelt voor de oplossing die geen nulpunt blijkt te zijn Bij sommige vergelijkingen duurt het herleiden van de twee voorwaarden (BV en KV) tot één eenvoudige voorwaarde langer dan het oplossen van de vergelijking zel In die gevallen in het dus eiciënter om gewoon de gevonden oplossingen te controleren Voorbeeld: We bepalen de nulpunten van 3 5 3 5 0 3 5 3 3 5 7 6 30 3 8 8 4 900 80 9 5 876 0 6 46 BV : 3 0 BV : 0 KV : 0, 0,0 V 6
3) Bespreking Naast het domein en de nulpunten (en dus ook het tekenverloop) bepalen kunnen we bij een irrationale unctie niet veel zonder we de graiek kennen Voorbeeld: We bespreken de unctie 4 Domein BV: 4 0 Dus dom, Nulpunten 4 0 4!!! 4 4 4 6 0 0 6 Na controle blijkt enkel 6 een nulpunt te zijn Merk op dat je op deze manier (zonder voorwaarden) een enkele pijl schrijt als je kwadrateert! Snijpunten met de assen Snijpunt met de -as: 6,0 Snijpunt met de y-as: 0, 4 Tekenverloop Alle nulpunten zijn enkelvoudig: - -6-0 + + /// Verloop Dit lezen we a van de graiek: - 3/ Beeld MAX (9/) /// We lezen a van de graiek: bld,9 4) Impliciet gedeinieerde relaties Tot nu toe hebben we alleen unctievoorschriten gezien van de vorm uncties op deze manier epliciet gedeinieerd zijn y We zeggen dat We kunnen een voorschrit ook noteren als, y C, met C Wat we op deze manier deiniëren hoet echter niet altijd een unctie te zijn We noemen deze relatie impliciet gedeinieerd Voorbeeld: We proberen de relatie 4 9y 36 te bespreken 4 Omvormen van het voorschrit geet y 4 y 3 9 y 3 9 9 De relatie valt dus in epliciete vorm uiteen in twee irrationale uncties die elkaars spiegelbeeld zijn tov de -as 3 9 We bekijken de unctie Het is eenvoudig in te zien dat dom 3,3, en dat 3 en 3 beide nulpunten zijn Tekenen we deze unctie en ook haar spiegelbeeld om de -as, dan vinden we de graiek van de gegeven relatie: een ellips!