TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Het geven van alleen de antwoorden is niet voldoende. Alleen het toegevoegde formuleblad is toegestaan. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine en/of een laptop is niet toegestaan.. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking e x + e x 6 = 0.. Bepaal de volgende twee waarden. (a) cos(arcsin( )). 3 (b) arctan(tan( 7π)). 4 3. Bepaal de volgende limiet lim 3x x. 4. De functie f(x) = e 3x + 4 heeft een inverse functie f (x). (a) Bepaal het definitiegebied van deze inverse functie. (b) Bepaal f (x). 5. De functie f(x) wordt gegeven door f(x) = 5 0x + 7x x 3. (a) Bepaal de kritieke punten van f(x). (b) Bepaal van de gevonden kritieke punten of het een lokaal maximum of minimum betreft.
6. De functie f(x) wordt gegeven door: f(x) = arctan(x ) + arctan (a) Toon aan dat f (x) = 0 voor alle x 0. ( ). x (b) Toon aan dat f(x) constant is voor alle x 0 en bepaal deze constante. 7. De kromme K wordt gegeven door de vergelijking: x + xy + y 3 = 9. (a) Bepaal y, de afgeleide van y naar x, uitgedrukt in x en y. (b) Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme in het punt (, ). 8. Bepaal sin (x) cos 3 (x) dx. 9. Bepaal x + 6x + 3 dx. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Vraagstuk : 4 Vraagstuk a: Vraagstuk b: Vraagstuk 3: 4 Vraagstuk 4a: Vraagstuk 4b: Vraagstuk 5a: Vraagstuk 5b: Vraagstuk 6a: 4 Vraagstuk 6b: Vraagstuk 7a: 4 Vraagstuk 7b: Vraagstuk 8: 4 Vraagstuk 9: 4 Het cijfer voor tentamen (XB03) wordt bepaald door het totaal der behaalde punten voor de opgaven door 4 te delen.
Uitwerking tentamen Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03), 0 april 03 () Substitueer u = e x. Dan geldt: u = e x. De vergelijking e x +e x 6 = 0 gaat dan over in u +u 6 = 0. Dus (u )(u+3) = 0. Dus u = en u = 3 zijn de oplossingen van de kwadratische vergelijking in u. De vergelijking e x = 3 heeft geen oplossing, en e x = geeft x = ln(). Dus ln() is de unieke oplossing. (a) Teken een rechthoekige driehoek met overstaande zijde ter lengte en schuine zijde lengte 3. Dan is sin(ϕ) =. Dus ϕ = arcsin( ). Volgens de stelling van Pythagoras heeft 3 3 de aanliggende zijde lengte 3 = 8 =. Dus cos(arcsin( )) = cos(ϕ) =. 3 3 (b) arctan(tan(ϕ)) = ϕ voor alle π < ϕ < π. De functie tan(ϕ) is periodiek modulo π en 7 4 π = π 4 π. Dus tan( 7 4 π) = tan( 4 π). Derhalve geldt: arctan(tan( 7 4 π)) = arctan(tan( 4 π)) = 4 π. (3) Vermenigvuldig teller en noemer beide met + x: lim 3x x = lim 3x x + x + x = lim 3(x 4) ( + x) 4 x = lim 3( + x) =. (4a) Het definitiegebied van f (x) is gelijk aan het bereik van f(x). De functie f(x) = e 3x + 4 is overal stijgend, want f (x) = 6e 3x > 0 voor alle x. Verder is lim x f(x) = e 3x + 4 = 4 en lim x f(x) = e 3x + 4 =. Dus het definitiegebied van f (x) is het bereik van f(x) is (4, ). (4b) Om het functievoorschrift van y = f (x) te vinden moeten we y oplossen uit de vergelijking x = e 3y + 4 als functie van x. Dus e 3y = x 4. Dus e 3y = x. Dus 3y = ln( x ). Dus y = ln( x ). Conclusie: f (x) = ln( x ). 3 3 Hieruit volgt ook dat het definitiegebied van f (x) gelijk is aan (4, ).
(5a) De kritieke punten van f(x) zijn die punten in het domein van f(x) waar f(x) niet gedefinieerd is of waar de afgeleide van f(x) nul is. Nu is f(x) = 5 0x + 7x x 3, dus : f (x) = 0 + 54x 6x = 6(0 9x + x ) = 6(x 4)(x 5). Dus f(x) is overal differentieerbaar en de nulpunten van f (x) zijn 4 en 5. De kritieke punten zijn derhalve 4 en 5. (5b) De lokale maxima/minima van f(x) zijn kritieke punten. Verder dient na gegaan te worden of het geen buigpunt is. De afgeleide f (x) is negatief op de intervallen (, 4) en (5, ), en positief op (4, 5). De functie f(x) is dus dalend op de intervallen (, 4) en (5, ), en stijgend op (4, 5). Dus 4 is een minimum en 5 is een maximum. Alternatief: f (x) = 54 x. Dus f (4) = 6 > 0 en f (5) = 6 < 0. Dus 4 is een minimum en 5 is een maximum. (6a) De afgeleide van arctan(x) is +x en de afgeleide van x is x 3. De afgeleide van f(x) wordt bepaald met de kettingregel en de genoemde afgeleiden: f (x) = + (x ) x + + (x ) x = x 3 + x 4 ( + (x 4 )x = 3 x + x x 4 ( + (x 4 )x = x 4 + x x 4 x 4 + = 0. (6b) Er geldt f (x) = 0 voor alle x 0. Dus f(x) is constant op de intervallen (, 0) en (0, ). Dus f(x) = f() = arctan() = π voor alle x > 0. Evenzo is f(x) = f( ) = arctan() = π voor alle x < 0. Derhalve is f(x) constant voor alle x 0 en deze constante is π. (7a) Impliciet differentiëren van de vergelijking x + xy + y 3 = 9 geeft: x + y + 4xyy + 3y y = 0, dus (4xy + 3y )y = (x + y ), dus y x + y = 4xy + 3y. (7b) Substitutie van (x, y) = (, ) geeft y () = 6. Dus de richtingscoëfficient van de raaklijn aan de kromme in (, ) is 6 De vergelijking van de raaklijn aan de kromme in (, ) is derhalve: y = 6 6 (x ) + ofwel y = x + 3..
(8) Er geldt: sin (x) cos 3 (x) = sin (x) cos (x) cos(x) = sin (x)( sin (x)) cos(x). Pas de substitutie u = sin(x) toe. Dan geldt du = cos(x) dx. Dus sin (x) cos 3 (x) dx = u ( u ) du = (u u 4 ) du = 3 u3 5 u5 + C = 3 sin3 (x) 5 sin5 (x) + C. (9) De noemer x +6x+3 van de gevraagde integraal heeft discriminant 6 4 3 = 6 < 0. Dus die noemer heeft geen nulpunten en is niet te ontbinden in lineaire factoren. Kwadraten splitsen geeft x + 6x + 3 = (x + 3) +. Substitutie u = x + 3 en du = dx in de gevraagde integraal geeft: x + 6x + 3 dx = Hierbij is de primitieve van u + u + du = arctan( u) + C = arctan( (x + 3)) + C. af te lezen van het formuleblad. 3