SBD 9756a 98-0-28, niv 5 A/B REKENTECHNIEKEN Technische Universiteit Eindhoven Centrum Stralingsbescherming en Dosimetrie Stralingsbeschermingsdienst Inleiding Voor het uitvoeren van berekeningen in het vakgebied stralingsbescherming is enige kennis van wiskunde nodig. In dit dictaat wordt een aantal rekentechnieken behandeld, waar mogelijk aan de hand van het onderwerp waarbij de methode van pas komt. Kwadratenwet Bij metingen en berekeningen wordt veelvuldig gebruik gemaakt van de zogenoemde kwadratenwet. Grof samengevat komt de kwadratenwet erop neer dat de stralingsintensiteit op een bepaalde afstand van een bron omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand tot die bron. Figure Isotroop stralingsveld In de getekende figuur veronderstellen we dat een puntvormige bron een bepaald aantal stralingsdeeltjes uitzendt, gelijkmatig verdeeld binnen de ruimte van de getekende kegel. Dit noemen we ook wel een isotroop stralingsveld. De "intensiteit" van de stralingsdeeltjes die het oppervlak A passeren is daar gelijk aan het aantal deeltjes gedeeld door het oppervlak van de kegeldoorsnede op afstand A. Evenzo is de intensiteit door oppervlak B gelijk aan datzelfde aantal stralingsdeeltjes gedeeld door het oppervlak op afstand B. Hieruit volgt dat de verhouding van de intensiteit op afstand B ten opzichte van de intensiteit op afstand A omgekeerd evenredig is met de verhouding van de oppervlakken ter plaatse. Met enig geometrisch inzicht valt af te leiden dat de onderlinge verhouding van de oppervlakken gelijk is aan de onderlinge verhouding van het kwadraat van de afstanden ten opzichte van de bron. Hieruit volgt bijvoorbeeld dat wanneer de afstand 2 maal zo groot wordt, de intensiteit viermaal zo klein wordt. Evenzo geldt dat bij een tienmaal zo grote afstand de intensiteit een factor 00 minder wordt, enz.
SBD 9756a Rekentechnieken - 2 - Voor de volledigheid moet worden opgemerkt dat de kwadratenwet natuurlijk alleen opgaat wanneer aan de volgende modelvoorwaarden wordt voldaan: de afmetingen van de bron moeten voldoende klein zijn om op de betreffende afstand als een"punt" te kunnen worden opgevat de uitgezonden straling in de richting van de plaats van waarneming moet gelijkmatig verdeeld zijn binnen de ruimtehoek (zogenaamde isotrope verdeling) het aantal stralingsdeeltjes binnen de ruimtehoek moet over de hele afstand gelijk blijven, met andere woorden er mogen geen stralingsdeeltjes uit de "bundel" verdwijnen (bijvoorbeeld door verstrooiing of afscherming). Hoewel in de praktijk niet altijd perfect aan deze modelvoorwaarden wordt voldaan, is de kwadratenwet goed bruikbaar bij stralingsmetingen en bij dosimetrie-berekeningen. Het gaat daarbij vaak niet om de uiterste precisie maar om een goede schatting van het stralingsniveau of het dosistempo of van een andere meetgrootheid die een maat is voor de stralingsintensiteit. Vooral wanneer het gaat om gammastraling en hoog energetische röntgenstraling is de verzwakking in lucht gering en dan is de kwadratenwet zeer goed toepasbaar. Wanneer we te maken hebben met bètastraling dan is de kwadratenwet alleen maar toepasbaar binnen het "bereik" (ook wel de dracht genoemd) van de bèta-deeltjes. Vrij in lucht is de dracht van bètadeeltjes aanzienlijk geringer dan voor gamma- en röntgenstraling. Bovendien worden bètadeeltjes gemakkelijk ingevangen in andere materialen, zodat de kwadratenwet voor bètadeeltjes alleen maar opgaat "vrij in lucht", op afstanden binnen enkele meters. Een toepassing van de kwadratenwet vinden we terug bij survey metingen. Wanneer we te maken hebben met een relatief sterke stralingsbron is het verstandig om eerst metingen te verrichten op grote afstand en vervolgens de afstand in stappen van een factor 2 of 3 te verkleinen. De meetwaarden zullen dan met een factor 2 2 (= 4) respectievelijk 3 2 (= 9) toenemen. Zo kan men gaandeweg naar de bron toe door extrapolatie een goede schatting maken van het stralingsniveau op korte afstand van de bron, zonder dat men noodzakelijkerwijs dicht bij de bron behoeft te meten (en dat kan uit het oogpunt van persoonlijke stralingsbescherming verstandig zijn). Wanneer overigens blijkt dat de metingen van het stralingsniveau als functie van de afstand niet overeenkomen met de kwadratenwet, dan volgt daaruit dat dan niet aan de hierboven genoemde modelvoorwaarden wordt voldaan. Meestal betekent dit dat men niet te maken heeft met een puntvormige bron of dat het stralingsveld in de omgeving wordt verstoord door andere bronnen of door verstrooiing van straling aan muren, vloeren en dergelijke. Een andere toepassing van de kwadratenwet zien we bij de berekening van de stralingsintensiteit of het dosistempo dat op een bepaalde afstand wordt veroorzaakt door een radioactieve gammabron. Dergelijke berekeningen gaan uit van de zogenaamde gammadosisconstante. Met behulp van deze gammadosisconstante kan voor elke bekende radioactieve stof worden berekend hoe groot het dosistempo is op meter afstand van een bepaalde bron. Met behulp van de kwadratenwet kan het dosistempo op elke andere afstand worden geschat als volgt: Opgelet: om rekenfouten te voorkomen moet men bij toepassing van de kwadratenwet ervoor zorgen dat de verschillende afstanden steeds in dezelfde lengtematen zijn uitgedrukt. Zie dictaat "Dosisberekeningen voor radioactieve stoffen
SBD 9756a Rekentechnieken - 3 - Veranderingsfactor Bij veranderingsprocessen is men niet alleen geïnteresseerd in de totale hoeveelheid die er op een bepaald tijdstip is (of op een bepaalde plaats etc. is) maar ook in de veranderingssnelheid. Van belang is dan de veranderingsfactor bijvoorbeeld per eenheid van tijd (tijdstap) of per eenheid van afstand, of algemener gezegd: de veranderingsfactor per stapgrootte. Wanneer de beginhoeveelheid bekend is, kan men met kennis over de aard van het veranderingsproces berekenen hoeveel de eindhoeveelheid is, of omgekeerd. Men moet verschillende soorten van veranderingsprocessen goed uit elkaar houden, vooral de lineaire verandering en de exponentiële verandering komen we vaak tegen. Procenten, factor, fractie Een verandering kan worden uitgedrukt in procenten of in een vermenigvuldigingsfactor. Als een of andere hoeveelheid b wordt verhoogd met 5% dan betekent dit dat de nieuwe hoeveelheid wordt verkregen door vermenigvuldiging met een factor,5. Dit blijkt uit de volgende berekening: Vermindering met 5% betekent vermenigvuldiging met een factor 0,85 immers: Als de vermenigvuldigingsfactor kleiner is dan, dan betekent de verandering in feite een vermindering. Een veranderingsfactor die kleiner is dan één wordt ook wel fractie genoemd. Lineaire en expontentiële verandering Kenmerkend voor lineaire verandering is dat de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid per tijdseenheid met een constante hoeveelheid toe- of afneemt. Bij lineaire afname is de vermindering per tijdseenheid gelijk aan een constante hoeveelheid en bij lineaire groei is de toename per tijdseenheid gelijk aan een constante hoeveelheid. Kenmerkend voor exponentiële verandering is dat de hoeveelheid in gelijke stappen met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd. Als deze vermenigvuldigingsfactor per tijdseenheid groter is dan de waarde, dan hebben we te maken met een exponentiële toename en als de vermenigvuldigingsfactor per tijdseenheid kleiner is dan de waarde, dan hebben we te maken met een exponentiële afname. De veranderingsfactor van een exponentieel veranderingsproces is afhankelijk van de gekozen tijdseenheid. Is de veranderingsfactor per tijdseenheid f, dan is de veranderingsfactor over 2 tijdseenheden f f = f 2, en over 3 tijdseenheden f f f = f 3, enz. Als voorbeeld van exponentiële groei nemen we een kapitaal dat op samengestelde interest staat. Dit kapitaal groeit exponentieel. De groei van een bedrag van 2.000 gulden, dat uitstaat tegen 8% rente per jaar, wordt beschreven door de formule De groeifactor is,08 per jaar, de groeivoet is 0,08 en het groeipercentage is 8% per jaar. Wanneer de spaarder wil weten na hoeveel jaren dit kapitaal op samengestelde interest zal zijn verdubbeld, dan kan dat worden berekend door de waarde van t te vinden waarbij de groeifactor over t jaren gelijk is aan de waarde 2. Dit blijkt ongeveer 9 jaren te duren.
SBD 9756a Rekentechnieken - 4 - Voor degenen die bekend zijn met logaritmisch rekenen wordt hier de berekening gegeven. De groeifactor over 9 jaar is dus gelijk aan 2. Evenzo geldt dus dat de groeifactor over 8 jaar gelijk is aan 2 2 (= 4) en de groeifactor over 27 jaar gelijk is aan 2 3 (= 8). Blijkbaar komt een continue 8% groei per jaar overeen met een verdubbelingstijd van 9 jaren. Zoals eerder gezegd is de groeifactor afhankelijk van de gekozen tijdseenheid. E xponentiële G roei b x (a x a) Lineaire Groei hoeveelheid b + a b+(2 x a) hoeveelheid b x a b b 0 2 3 tijd tijdstip hoeveelheid 0 b b + a 2 b + (2 a) 3 b + (3 a)...... t b + (t a) 0 2 3 tijd tijdstip hoeveelheid 0 b b a 2 b a a = b a 2 3 b a a a = b a 3...... t b a t
SBD 9756a Rekentechnieken - 5 - b Lineaire Afname b E x p o n e n ti ë le A fn a m e b a hoeveelheid b (2 x a) hoeveelheid b / a b / ( a x a ) 0 2 3 tijd tijdstip hoeveelheid 0 b b - a 2 b - (2 a) 3 b - (3 a)...... t b - (t a) 0 2 3 tijd tijdstip hoeveelheid 0 b 2 3...... t Een voorbeeld van exponentiële afname komen we tegen bij het radioactieve vervalproces. Kenmerkend daarbij is dat na verloop van maal de halveringstijd de veranderingsfactor gelijk is aan de waarde ½. Na een tijdsverloop van 2 maal de halveringstijd is de veranderingsfactor ½ ½ = (½) 2 = ¼. Na een tijdsverloop van 3 maal de halveringstijd is de veranderingsfactor ½ ½ ½ = (½) 3 = c enz. Bij exponentiële afname wordt de veranderingsfactor over het totale tijdsverloop ook wel de restfractie genoemd. De activiteit van een bepaalde hoeveelheid radioactief materiaal na tijdsverloop t kan worden berekend door de beginactiviteit te vermenigvuldigen met de veranderingsfactor over het gehele tijdsverloop. Voor alle duidelijkheid: de letter t wordt gebruikt om het tijdsverloop aan te duiden; hoofdletter T is de halveringstijd, zodat het quotiënt t/t gelijk is aan het aantal halveringstijden dat overeenkomt met tijdsverloop t; ofwel het aantal halveringstijden H = t/t (let op: tijdsverloop t en de halveringstijd T moeten worden uitgedrukt in dezelfde tijdseenheid). In deze rekenkundige afleiding is de exponentiële veranderingsfactor uitgedrukt met grondtal ½ en de macht H, ofwel de veranderingsfactor is uitgedrukt in machten van ½. In de wiskunde kan een macht met grondtal ½ worden omgeschreven in een macht van een bijzonder grondtal, dat met de letter e wordt aangeduid. In de wiskunde blijkt het rekenwerk met formules waarin de exponentiële functie wordt uitgedrukt met het grondtal e, gemakkelijker dan elke andere exponentiële functie. In bijzonder geldt dit voor het differentiëren van exponentiële functies met grondtal e. Wanneer men niet vertrouwd is met het rekenen met exponentiële functies, is het vaak voldoende om te weten dat de volgende schrijfwijzen van de veranderingsfactor identieke uitkomsten opleveren. Met kennis van wiskunde valt te bewijzen dat deze uitdrukkingswijzen identiek zijn.
SBD 9756a Rekentechnieken - 6 - Grondtal ½ 2 e /e Macht H H 0.693 * H 0.693 * H Veranderingsfactor (½) H (2) H (e) 0.693 * H (/e) 0.693 * H Zonder verdere uitleg volstaan we hier met op te merken dat het getal 0,693 gelijk is aan de natuurlijke logaritme van 2 (ln 2 = 0,693). Verder is een bekende rekenregel toegepast voor machtsverheffen: het getal a tot de macht -b levert dezelfde uitkomst als /a tot de macht b, ofwel Radioactief verval en restfractie Met behulp van de formules voor de veranderingsfactor kan steeds de hoeveelheid worden berekend die behoort bij een bepaalde waarde van H = t/t, namelijk door de beginhoeveelheid te vermenigvuldigen met de veranderingsfactor. Zoals gezegd geldt voor de berekening van de restactiviteit van een bepaalde radioactieve stof, dat de activiteit na tijdsverloop t gelijk is aan de beginactiviteit, vermenigvuldigd met de restfractie. Dit kan nu op verschillende manieren worden geschreven: activiteit op tijdstip t = beginactiviteit (½) t / T = beginactiviteit e 0.693 * t / T = beginactiviteit e λ * t De combinatie van het getal 0,693 gedeeld door de halveringstijd T wordt de zogenaamde vervalconstante van de radioactieve stof genoemd. Deze vervalconstante wordt meestal aangeduid met het symbool λ. De vervalconstante is voor elk radioactief nuclide verschillend. De vervalconstante geeft aan welke fractie van de radioactieve atoomkernen per tijdseenheid vervalt. Verzwakking en transmissiefractie Voor bundels röntgen- en gammastraling die afgeschermd worden blijkt de verzwakking te kunnen worden beschreven als een exponentiële afname. Zo kan het resterende dosistempo nadat de straling is verzwakt door een afschermingsdikte d, worden berekend door het aanvankelijke dosistempo (op dezelfde plaats en zonder de afscherming) te vermenigvuldigen met de exponentiële veranderingsfactor. Bij afscherming noemen we deze veranderingsfactor de transmissiefractie. Ook hier zijn de drie volgende schrijfwijzen identiek: Dosistempo na afscherming d = dosistempo zonder afscherming (½) d / D = dosistempo zonder afscherming (½) H = dosistempo zonder afscherming e 0.693 * d / D = dosistempo zonder afscherming e µ d De letter d wordt gebruikt om de dikte van de afscherming aan te duiden; hoofdletter D is de halveringsdikte van het afschermingsmateriaal, zodat het quotiënt d/d gelijk is aan het aantal halveringsdikten H dat overeenkomt met de afschermingsdikte d (Let op: de materiaaldikte d en de halveringsdikte D moeten uitgedrukt worden in dezelfde lengte-eenheid). zie dictaat "Radioactiviteit"
SBD 9756a Rekentechnieken - 7 - Ook hier blijkt uit de identieke schrijfwijze voor de transmissiefractie dat de constante µ gelijk is aan 0,693 gedeeld door halveringsdikte D. Deze constante wordt de verzwakkingscoëfficiënt genoemd 2, meestal aangeduid met symbool µ. Bij het uitvoeren van afschermingsberekeningen moet men erop bedacht zijn dat de halveringsdikte D (en dus ook de verzwakkingscoëfficiënt µ) verschillend zijn naar gelang de aard van het afschermingsmateriaal en bovendien ook varieert naar gelang de energie van de straling. Als de afschermingsdikte d en de halveringsdikte D bekend zijn, kan men met de bovenstaande rekenregels uitrekenen wat het dosistempo wordt na afscherming. Deze rekenregels gelden niet alleen voor het dosistempo maar ook voor elke andere grootheid die een maat is voor de stralingsintensiteit, zoals exposietempo, kermatempo, fluxdichtheid enz. 3 In omgekeerde richting kan men met behulp van de rekenregels ook de benodigde afschermingsdikte d berekenen die behoort bij een bepaalde transmissie, mits men de halveringsdikte van het materiaal kent. Het komt er dan op aan om het aantal halveringsdikten H te vinden waarbij de veranderingsfactor (½) H gelijk is aan de gewenste transmissiefractie. Rekenen met logaritmen Met kennis van logaritmische rekentechnieken is het mogelijk om aan de hand van de hiervoor behandelde formules voor de exponentiële functies, berekeningen uit te voeren voor radioactief verval en voor de bepaling van afschermingsdikten. Wanneer we de verhouding tussen het dosistempo met afscherming en het dosistempo zonder afscherming voorstellen door de transmissiefractie F, dan kan de afschermingsdikte d worden berekend uit de volgende logaritmische rekenregel: Wanneer we als rekenvoorbeeld kijken naar een verzwakking met bijvoorbeeld een factor 0, dan komt dit overeen met een transmissie van /0. Uit deze rekenregel volgt dan dat de benodigde afschermingsdikte gelijk is aan 3,3 de halveringsdikte ofwel Op soortgelijke wijze kan het tijdsverloop t worden berekend dat overeenkomt met een radioactief verval tot een restfractie R. Deze restfractie R is de verhouding tussen de activiteit op het beoogde tijdstip t en de beginactiviteit. Met hetzelfde getallenvoorbeeld als hiervoor gegeven, kan worden berekend dat het tijdsverloop dat benodigd is voor een radioactief verval tot /0 van de oorspronkelijke activiteit correspondeert met t = 3,3, T. 2 3 zie dictaat "Wisselwerking en afscherming" zie dictaat "Dosisbegrippen bij stralingsbescherming"
SBD 9756a Rekentechnieken - 8 - Tabel van veranderingsfactor (/2) H Wanneer men de logaritmische en exponentiële rekentechnieken niet beheerst, moet men gebruik maken van tabellen en grafieken, waaruit de samenhang tussen de macht H en de waarde van de veranderingsfactor is uitgewerkt. In de getallentabel is voor verschillende waarden van H de bijbehorende waarde van veranderingsfactor (½) H vermeld. (Opmerking: de decimale getallen zijn afgerond). H 0,5 2 3 3,3 4 5 6 6,6 7 8 9 0 0,7 0,5 0,25 0,25 0, 0,06 0,03 0,06 0,0 0,008 0,004 0,002 0,00 / 2 / 4 / 8 / 0 / 6 / 32 / 64 / 00 / 28 / 256 / 52 / 024 Grafieken met logaritmische schaal De grafiek van de exponentiële functie die de veranderingsfactor aangeeft als functie van de waarde van H gaat door de punten (0, ), (, 0,5), (2, 0,25), (3, 0,25), (4, 0,06) enz. Zo'n grafiek loopt al gauw van het papier. Daar is een oplossing voor gevonden door gebruik van de zogenaamde logaritmische schaal. De schaal heet logaritmisch, omdat de hoogte van een punt op de verticale schaal gelijk is aan de 0-logaritme van het schaalgetal. Dit komt erop neer dat de schaalwaarde op de verticale as overeenkomt met de waarde 0, evenzo komt functiewaarde 2 overeen met 00, functiewaarde 3 komt overeen met 000 enz. Gaat men op zo'n logaritmische schaal één schaalwaarde naar boven, dan wordt de bijbehorende waarde van de functieschaal vermenigvuldigd met het getal 0. Voorgedrukt logaritmisch papier is altijd voorzien van een horizontale lineaire schaalverdeling en een verticale logaritmische schaalverdeling. Grafieken van exponentiële functies worden rechte lijnen op logaritmisch papier. In de grafiek op de volgende pagina is op de horizontale as de waarde van M in lineaire stappen uitgezet en op de verticale as staat de bijbehorende waarde van de veranderingsfactor (/2) H en dus ook e 0,693 H, uitgezet op de logaritmische schaal. Bij elke waarde van M is dus via de grafiek de waarde te bepalen van de bijbehorende veranderingsfactor die overeenkomt met de exponentiële functie (/2) H. logaritmisch 0 00 000 0 2 3 lineair
SBD 9756a Rekentechnieken - 9 - /2 /4 0. /8 /6 Resterende fractie /32 /64 0.0 /28 /256 /52 0.00 0 2 4 6 8 0 Aantal halveringstijden Aantal halveringsdikten /024
SBD 9756a Rekentechnieken - 0 - Machten van het getal 0 Wanneer we hele grote of hele kleine getallen moeten opschrijven, komen we in problemen. Het getal duizend is nog wel op te schrijven, maar één miljoen heeft zes nullen nodig en één miljard al negen nullen. Eén duizendste is ook niet moeilijk te noteren, maar het wordt lastiger met één-miljoenste (zes cijfers achter de komma), of één-miljardste (negen cijfers achter de komma). Daarom is voor dit soort grote en kleine getallen een meer hanteerbare notatie ontwikkeld: de getallen worden uitgedrukt in machten van 0. Zo schrijft men 00 (= 0 0) als 0 2 en.000.000 (= 0 0 0 0 0 0) als 0 6. Het getal 0,00 (één duizendste) is dus /000 (= 0 0 0) en dit is (/0) 3 en dat wordt weergeschreven als 0-3. In de onderstaande tabel is een overzicht gegeven. = 0 0 (per definitie) 0 = 0 0, = 0 00 = 0 2 0,0 = 0 2 000 = 0 3 0,00 = 0 3 0000 = 0 4 0,000 = 0 4 00000 = 0 5 0,0000 = 0 5 000000 = 0 6 0,00000 = 0 6 0000000 = 0 7 0,000000 = 0 7 00000000 = 0 8 0,0000000 = 0 8 000000000 = 0 9 0,00000000 = 0 9 enzovoorts enzovoorts. Bij positieve machten van 0 is het getal in de exponent dus gelijk aan het aantal nullen. Bij negatieve machten van 0 is het getal in de exponent gelijk aan het aantal cijfers achter de komma. Het getal 4000 wordt nu als volgt genoteerd: 4000 = 4 000 = 4 0 3 ; ook wel geschreven als 4 *0 3. In de onderstaande tabel staat nog een aantal voorbeelden. 53000 = 53 000 = 53 * 0 3 53000 = 5,3 0000 = 5,3 * 0 4 400000 = 4, 000000 = 4, *0 6 400000 =,4 0000000 =,4 *0 7 0,0089 = 8,9 0,00 = 8,9 * 0 3 0,0089 = 89 0,000 = 89 * 0 4 0,000003 =,3 0,00000 =,3 * 0 6 0,000003 = 3 0,000000 = 3 * 0 7 Voorvoegsels De machten van 0 zijn ook weer te geven als voorvoegsels: een bekend voorvoegsel is kilo; bijvoorbeeld in het woord kilometer, wat 000 meter betekent. Een ander bekend voorbeeld is het voorvoegsel milli, wat éénduizendste betekent (millimeter, milliliter). In onderstaande tabel zijn de meest gebruikte voorvoegsels met hun afkortingen en betekenis samengevat. m = milli = 0 3 k = kilo = 0 3 µ = micro = 0 6 M = mega = 0 6 n = nano = 0 9 G = giga = 0 9 p = pico = 0 2 T = tera = 0 2 Bijvoorbeeld: