Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen met vooraf opgegeven waarden. Als deze waarden functiewaarden van een functie f zijn, eet p et k-de graads Lagrange interpolatiepolynoom van f op de steunpunten x,..., x k en wordt aangeduid met L k (f). Dit definieert impliciet een lineaire afbeelding L k : C (I) P k (I). De Lagrange basis B = {φ,..., φ k } van de vectorruimte P k (I) bestaat uit de functies φ j met de eigenscap dat φ j (x i ) = δ ij, de Kronecker delta-functie. Ten opzicte van die basis eeft L k (f) de plezierige vorm L k : C (I) P k (I) : f k f(x j )φ j. (1) De interpolatiefout f L k (f) is een functie in C (I) waarvan zowel de maximumnorm als de standaardnorm 2 kan worden begrensd in termen van de breedte van et interpolatieinterval en de overeenkomstige norm van de tweede afgeleide f van f. Op et college deden we dit expliciet voor f L 1 (f). In onderstaande opgaven gebeurt dit voor f L 1 (f) 2 en f L 2 (f). Tot slot introduceerden we de vectorruimte S 1 (J ) van continue, stuksgewijs lineaire functies ten opzicte van een partitie J van et interpolatie-interval I. Ook iervan definieerden we een basis, de zogeeten nodale basis B = {v,..., v n } bestaande uit functies v j S 1(J ) met de eigenscap dat v j(x i ) = δ ij. De continue, stuksgewijs lineaire interpolant van een gegeven f C (I) is dan de functie uit S 1(J ) die in de partitie-punten a = x < x 1 < < x n = b overeenstemt met f. Dit definieert impliciet de continue stuksgewijs lineaire interpolatie-operator n L 1 J : C (I) S(J 1 ) : f f(x j )v j. (2) Hiervan was relatief eenvoudig te bewijzen dat j= j= f L 1 J (f) 1 8 2 f, (3) waarbij de maximale breedte van de deelintervallen I j = [x j 1, x j ] uit de partitie J is. Dit oudt in dat de bovengrens van de interpolatiefout met een factor vier afneemt als alle intervallen uit de partitie gealveerd worden. Zie actereenvolgens secties 6.1, 6.2, 8.2 (p.224-226), 11.2 (p.293-294) en 11.3 uit et boek. 1
Opgave 1: Benadering van ( 1 2 )! - de faculteit van een alf Euler definieerde in 173 de Gammafunctie Γ(x) = t x 1 e t dt. (4) Duidelijk is dat Γ(1) = 1, en met partiële integratie vinden we eenvoudig dat Γ(n+1) = nγ(n). Dus, n! = Γ(n + 1). Ecter, ook voor niet-geele waarden van x 1 is Γ(x) welgedefinieerd. Bijvoorbeeld, met de substitutie t = u 2 vinden we dat Γ Dientengevolge is ( 1 2 ) = e t t dt = Γ 1 u e u2 2udu = 2 e u2 du = π. (5) ( ) 3 = 1 ( ) 1 2 2 Γ = 1 π. (6) 2 2 Dit getal zou je dus kunnen zien als de legale waarde van de faculteit van een alf. Links: Euler voor slects tien Zwitserse frank. Rects: Γ(z) voor z C. De waarde van een alf faculteit zou je ook kunnen proberen te verkrijgen middels interpolatie van de faculteitsfunctie met de geele niet-negatieve getallen als steunpunten. Bereken daarom zowel voor k = 2 als voor k = 3 de interpolant L k (f) van f(n) = n! op de steunpunten,, k en evalueer de beide interpolanten in n = 1 2. Maak ierbij gebruik van de Lagrange basis voor de betreffende polynoomruimte. Opgave 2. Even wennen aan die normen Scrijf L 1 voor lineaire Lagrange interpolatie op de randpunten en 1 van I = [, 1]. Bewijs, of geef een tegenvoorbeeld voor ieder van de volgende uitspraken: (a) f C (I) : L 1 (f) f. (b) C R : f C (I) : L 1 (f) 2 C f 2. (c) f C (I) : L 1 (f) 2 f. 2
Opgave 3. De interpolatiefout van kwadratisce Lagrange interpolatie Laat a < b en I = [a, b] met middelpunt m. Laat L 2 : C (I) P 2 (I) de kwadratisce Lagrange interpolatieoperator zijn op de steunpunten a, m, b. Veronderstel dat f C 3 (I). (a) Bewijs dat er voor alle x I een ξ(x) I bestaat zodanig dat f(x) (L 2 f)(x) = (x a)(x m)(x b) f (ξ(x)). (7) 6 Generaliseer iertoe stapsgewijs et bewijs voor L 1 gegeven op oorcollege. (b) Laat zien dat (x a)(x m)(x b) 1 36 3(b a) 3 Hint: transleer m naar en onderzoek de functie c(x) = x(x 2 2 ) met = 1 2 (b a). (c) Geef L 2 (f) expliciet voor f : [, π] R : x sin(x) en laat zien dat f L 2 (f) π3 3 216 (d) Reproduceer et volgende plaatje even snel in Matlab. (8) (.2486). (9) Kwadratisce interpolatie: de bovengrens van de fout is veel ruimer dan de ecte fout. (e) Geef een mogelijke oorzaak voor et niet scerp zijn van de foutgrens. Opgave 4. Een bovengrens voor f L 1 f 2 Laat g C 2 (I) en veronderstel dat g(a) = g(b) =. (a) Bewijs middels de oofdstelling van de integraalrekening en de Caucy-Scwarz ongelijkeid voor et standaardinproduct dat voor alle x I, g(x) 2 (x a) g 2 2. (1) 3
(b) Laat zien dat uit (a) volgt dat (c) Bewijs dat er een p I bestaat met g (p) =. (d) Bewijs op soortgelijke wijze als in (a) dat voor alle x I, g 2 2 1 2 (b a)2 g 2 2. (11) g (x) 2 x p g 2 2. (12) (e) Bewijs op soortgelijke wijze als in (b) met beulp van (d) dat (f) Combineer (11) en (13) voor g = f L 1 f en laat zien dat g 2 2 1 2 (b a)2 g 2 2. (13) f L 1 f 2 1 2 (b a)2 f 2. (14) Gegeven is een partitie J van I bestaande uit deelintervallen I j = [x j 1, x j ], waarbij a = x < x 1 < < x n = b. Scrijf L 1 J (f) voor de continue, stuksgewijs lineaire interpolant van een functie f C 2 (I). (g) Bewijs dat f L 1 J f 2 2 2 f 2, waarbij = max(x j x j 1 ). (15) j Let op:: et bewijs iervan verloopt wezenlijk anders dan et bewijs in de maximumnorm. 2. Adaptieve continue stuksgewijs lineaire interpolatie Gegeven een partitie J van I = [a, b] geldt dat de fout bij continu stuksgewijs lineair interpoleren als volgt wordt begrensd, f L 1 J f 1 8 2 f. (16) Hier is de maximale breedte van de deelintervallen uit J. Dus, gegeven een tolerantie ε > kan, indien f bekend is, de waarde van worden berekend waarvoor de bovengrens in (16) gelijk is aan ε. Vervolgens kan n worden bepaald waarvoor = (b a)/n en J worden gekozen als de uniforme partitie van I in n deelintervallen van gelijke lengte. Als f sterk in grootte varieert op I is dit geen optimale strategie. Als bijvoorbeeld de maximale absolute waarde van f op de linkerelft I l van I eel veel kleiner is dan op de recterelft I r van I, loont et de moeite om (16) toe te passen op beide afzonderlijke deelintervallen. De waarde van l beorende bij I l zal dan veel groter zijn dan de waarde r beorende bij I r, en die dus gelijk is aan voor eel I. Het is in dit geval beter om een uniforme partitie J l van I l te bepalen en een uniforme partitie J r van I r, en dan J te definiëren als J = J l J r. Op deze manier wordt de tolerantie ε geaald met minder deelintervallen en dus minder evaluaties van de functie f. Dit idee leidt op natuurlijke wijze tot een recursieve procedure om een betere partitie (met minder deelintervallen) te vinden dan de uniforme partitie. De recursiebasis is dat een interval I = [c, d] wordt geaccepteerd als (triviale) partitie J = {I} van ziczelf, als de opgegeven tolerantie ε is geaald. Is dit niet et geval, bepalen we afzonderlijke partities J l en J r van de linker- en recterelften I l en I r en voegen die samen tot J = J l J r. 4
Opgave 5: Recursieve adaptieve interpolatie gebaseerd op een foutgrens Veronderstel dat je bescikt over een functie function y = ErrBound(le,ri,ddf) die de maximale absolute waarde van de tweede afgeleide ddf van een gegeven functie f over een interval [le,ri] retourneert, vermenigvuldigd met.125*(ri-le)^2. (a) Scrijf deze functie onder de vereenvoudigende aanname dat de absolute waarde van ddf monotoon stijgend is. (b) Scrijf een functie function J = AdaptIntBnd(a,b,ddf,tol) die gebruik maakt van de functie ErrBound, die et bovenbescreven idee van recursie implementeert en een partitie J retourneert zodanig, dat f L J (f) kleiner dan of gelijk aan de tolerantie tol is. Merk op dat de te interpoleren functie f is niet nodig is om J te bepalen. Terzijde: Een partitie J van I is op college gedefinieerd als een verzameling van deelintervallen I j van I. Realiseer daarom een partitie J als een k 2 matrix, waarbij iedere rij et begin en eindpunt van et deel-interval bevat. (c) Test je code op de functie f(x) = x 6 op et interval I = [, 1] met ε =.1. Je kan de output van je programma gebruiken om een grafiek van f en zijn continue stuksgewijs lineaire interpolant te laten plotten, en in etzelfde plaatje verticale lijnen tussen (x j, ) en (x j, f(x j )) voor ieder van de partitiepunten x j. Dit brengt de breedte van de diverse deelintervallen goed in beeld. Zie et Matlab commando line. Opgave 6: Recursieve adaptieve interpolatie gebaseerd op een foutscatter In de praktijk eb je vaak niet de bescikking over f, en zelfs als je dat al ebt, is et vaak niet eenvoudig om de maximale absolute waarde van f over een gegeven interval te bepalen. Ook dit kan dan numeriek worden gedaan. De minst subtiele metode is de volgende. = b m = m a. Dan is f(b) 2f(m) + f(a) 2 = Gegeven f op [a, b], scrijf m = (a + b)/2 en f(b) f(m) f(m) f(a) een differentiequotiënt van differentiequotiënten, en dus een benadering voor f (m). De absolute waarde iervan kan dan in een zogenaamde foutscatter worden gebruikt, als alternatief voor de bovengrens van de fout zoals in Opgave 5. (a) Scrijf een functie ErrEst(li,re,f) die deze foutscatting op [li,re] retourneert. (b) Kopieer AdaptIntBnd. Pas de kopie aan tot function J = AdaptIntEst(a,b,f,tol) die gebruik maakt van de functie ErrEst in plaats van de functie ErrBound. (c) Test je code op de functie f(x) = x 6 op et interval I = [, 1] met ε =.1. (d) Vergelijk de resultaten met die uit Opgave 5. Probeer ook andere functies. Pas op! Het gebruik van een foutscatter geeft geen garantie dat de partitie die door de code wordt gegenereerd voldoet aan de opdract. Het kan gebeuren dat de fout die gemaakt wordt in et benaderen van f desastreuze gevolgen eeft. (e) Geef een voorbeeld van een functie f waarvoor dit gebeurt. (17) 5