Syteem- en regeltechniek (35) /9 Uitwerking notebook tentamen Syteem- en Regeltechniek (35) Opgave 6 augutu 2 3:45 7:5 uur a. Beredeneer dat het yteem twee mechaniche vrijheidgraden heeft en dat voor het geheel een vijfde orde yteem zal worden gevonden. Bij het aandrijven van de motor zal de linkertang meebewegen. Deze beweging wordt door de eerte vrijheidgraad bechreven. Tuen de linkertang en de tafel zit de fleibiliteit k, zodat voor de tafel een tweede vrijheidgraad nodig i. De rechtertang beweegt weer met de tafel mee, zodat hiermee alle vrijheidgraden zijn bechreven. Twee mechaniche vrijheidgraden leveren, al de poitie relevant zijn, ieder twee toetanden. De VCM met de panning al ingang levert de vijfde toetand vanwege de zelfinductie L (de elektriche tijdcontante). Normering: Maimaal 6 punten. De verdeling van de punten i: 3 voor de mechaniche vrijheidgraden, voor de orde van het mechaniche ubyteem en 2 voor het elektriche deel. b. Geef een ideaal fyich model en één of meer vrijlichaamdiagrammen van het gezochte yteem. Benoem relevante grootheden. Hiervoor mogen zelf gedefinieerde ymbolen worden gebruikt al uit het antwoord duidelijk blijkt hoe deze zijn uit te drukken in de grootheden die in de opgave zijn gedefinieerd. Een analye van het bechreven yteem geeft het ideaal fyich model van figuur (a). Aan de linkerkant taat een vrij tandaard elektromotor met panningturing met de zelfinductie L en de elektriche weertandrvan de poelen. Dan volgt het mechaniche deel met achtereenvolgen de maam m van de motor, een overbrenging met de aftanda van motor tot charnierpunt, de equivalente traagheidj l van de (a) (b) Figuur : (a) Ideaal fyich model van de poitioneerbare tafel en (b) na vereenvoudiging van het mechaniche deel.
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-2/9 linkertang, een overbrenging van de lengte l van het taafje, de tijfheid k, de maa m T van de tafel, nog een keer een overbrenging l en traagheid J l, nu van het rechtertaafje. Voor nieuw geïntroduceerde grootheden wordt in de figuur een uitdrukking gegeven. Dit IFM kan worden vereenvoudigd door alle tar verbonden maa en traagheden amen te nemen, zie figuur (b). Vanwege de twee vrijheidgraden blijven dan twee maa (of traagheden) over waarvan uitdrukkingen voor de waarden m en m 2 in de figuur zijn gegeven. Er zijn meerdere oploingen mogelijk. Let er wel op dat de overbrenging in de aandrijving blijft zitten. Figuur 2: Vrijlichaamdiagrammen van de poitioneerbare tafel. Vanuit het vereenvoudigde ideaal fyich model volgen onmiddellijk de vrijlichaamdiagrammen van figuur 2. Merk op dat er alleen een kracht van de motor en een kracht ten gevolge van de tijfheid i. Normering: Maimaal 2 punten. Let op het correct meenemen van de overbrenging (3 punten) en de equivalente maa (2 punten). c. Stel een blokchema op vanuit de/het vrijlichaamdiagram(men). Uit het ideaal fyich model van figuur en de VLS-en van figuur 2 volgt vrij eenvoudig het blokchema van figuur 3. Hierin i link het elektrich deel te herkennen en recht het mechanich deel. Ertuen bevinden zich de motorcontante k m en de overbrenging, beide twee keer. U UL /L /L I F /m /m v v R k R /m2 /m2 k v v Figuur 3: Blokchema van de poitioneerbare tafel. Normering: Maimaal 8 punten. d. Geef (gemotiveerd) aan hoe het model kan worden vereenvoudigd om een tweede orde model te krijgen en geef de overdrachtfunctie die dan wordt gevonden van VCM-panning U naar poitie. Een tweede orde yteem kan worden verkregen door de elektriche tijdcontante en de tijfheid k te verwaarlozen. De eerte tap i logich omdat deze tijdcontante in de regel vrij klein i. De tweede
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-3/9 tap i noodzakelijk omdat een tweede orde yteem vereit dat er maar één mechaniche vrijheidgraad i en dan moeten alle maa en traagheden met elkaar verbonden zijn. We krijgen dan een IFM dat bijna gelijk i aan figuur (b), maar dan met de twee maa m en m 2 gecombineerd en geen tijfheid k. Dit i du een vrije maa m +m 2 = ( a 2 l) m m + 2 3 m l +m T waarop een kracht a l k mi werkt en de troom nu door de elektriche weertand R wordt bepaald. Het vereenvoudigde blokchema taat in U UR /R /R I F /(m+m2) /(m+m2) v v Figuur 4: Vereenvoudigd blokchema van de tafel. figuur 4 en hieruit volgt de overdrachtfunctie bijvoorbeeld met blokchemamanipulatie: G() = U = k ma Rl (m +m 2 ) + k2 m a2 Rl 2 (m +m 2 ) = a Rl (m +m 2 ) 2 + k2 m a2 Rl 2. Normering: Maimaal 8 punten. Het beredeneren van de benodigde vereenvoudigingen levert 2 punten. Opgave 2 a. Geef de geloten lu overdracht van referentie r(t) naar uitgang y(t) voor het bechreven ervoyteem. Voor een PD-regelaar kunnen we chrijven C() = k p (+τ). Dan i de geloten lu overdracht T() = C()P() +C()P() = k p(+τ) J 2 +c + kp(+τ) J 2 +c = k p τ+k p J 2 +k p τ +c+k p. Normering: Maimaal 4 punten. Let op dat een overdrachtfunctie met een teller- en een noemerpolynoom wordt gechreven, du de één-na-laatte uitdrukking hierboven i niet acceptabel al eindantwoord. b. Bepaal het type van dit yteem. Wat volgt hieruit voor de grootte van de eindfout van het geloten lu yteem bij een tapvormige verandering van de ingang. In de open lu overdracht C()P() = k p(+τ) J 2 +c zit geen afgeplitte / term. Het type i du nul en dat betekent dat er een eindige eindfout i. Bij een eenheidtap i die +K p = +k p /c = c k p +c. Merk op dat die eindfout vrij eenvoudig met boventaande geloten luoverdracht T() kan worden geverifieerd.
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-4/9 Normering: Maimaal 4 punten. Er moet epliciet zijn vermeld dat de open lu overdracht wordt gebruikt om het type te bepalen, ander levert dat geen punten. Een correcte bechouwing van het type levert dan 2 punten en de reterende 2 punten zijn voor de eindfout. c. Geef intellingen van de regelaar zodanig dat de polen van het ervoyteem een relatieve demping van.6 hebben en dat het yteem in taat i een tapvormige verandering van het referentie ignaal r(t) te volgen met een maimale fout van 2% na.2. De fout i hierbij gedefinieerd ten opzichte van de eindwaarde van de uitgang y(t). We gebruiken de formule voor een tweede orde yteem. De relatieve demping ζ =.6 van de geloten lu polen i voorgechreven. Om de ω n te bepalen bechouwen we de gegeven 2% ettling time van.2. De geloten lu overdracht heeft weliwaar een nulpunt, maar het i verantwoord om de invloed daarvan op de ettling time in eerte intantie te verwaarlozen. Dan moet gelden dat zodat t,2% 4 ζω n, ω n = 4 ζt,2% = 4 = 33 rad/..6.2 De geloten lu overdracht chrijven we al zodat T() = c+k p J k p τ J met al reultaat k p τ/j +k p /J 2 +k p τ/j +(c+k p )/J, = ω 2 n = 2ζω n k p = ω 2 nj c =. τ = 2ζω n J/k p =.4 Normering: Maimaal punten. Weglaten van het effect van de c op de berekende k p kot 2 punten. Het gebruik van Groenhui i niet relevant en levert maimaal 3 punten. d. Controleer de werking van het yteem met de PD-regelaar uit het vorige onderdeel met behulp van MATLAB en/of SIMULINK. Verifieer of met dit yteem aan de pecificatie wordt voldaan en pa, indien nodig, de regelaar gemotiveerd aan. Het imuleren van de gezochte tapreponie in een SIMULINK model met regelaar C() en mechanich yteem P() i wat gecompliceerd omdat in C() een zuivere differentiator zit. Met het MATLAB commando tep kan echter heel eenvoudig de gezochte reponie worden gevonden al de geloten lu overdrachtfunctie i berekend. Dat kan met het feedback commando, maar ook direct met het reultaat van opgave a (al de betreffende parameter gedefinieerd zijn):
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-5/9 Step Repone Step Repone.375.5.9.92 Amplitude.6825.455 Amplitude.69.46.2275.23..2.3 Time (ec) ω n = 33.3 rad/..2.3 Time (ec) ω n = 35.4 rad/ Figuur 5: Stapreponie voor twee intellingen van de bandbreedte ω n. >> T = tf([kp*taud kp], [J kp*taud c+kp]); >> tep(t) Het reultaat taat in figuur 5 Wat hierin opvalt i natuurlijk de eindfout, omdat de eindwaarde gelijk i aan T() = k p c+k p =.9. Verder i er een fore overhoot, die kan worden toegechreven aan het nulpunt >> zero(t) -25.2778 Dit ligt namelijk dicht in de buurt van de polen die beteld zijn al >> damp(t) Eigenvalue Damping Freq. (rad/) -2.e+ + 2.67e+i 6.e- 3.33e+ -2.e+ - 2.67e+i 6.e- 3.33e+ De overhoot hoeft geen probleem te zijn, want in de pecificatie wordt niet hierover voorgechreven. Alleen de ettling time i gevraagd. Die heeft in de regel weinig lat van een dergelijk nulpunt, zoal op het eerte gezicht ook uit figuur 5 blijkt. Al we gaan inzoomen bij t =.2, dan blijkt de reponie ca..888 te zijn hetgeen 2.4% van de eindwaarde ligt en du net niet voldoet. De eenvoudigte oploing hiervoor i een (kleine) aanpaing van de geloten lu bandbreedte. Met bijvoorbeeld ω n net iet meer dan 35 rad/ wordt de rechter tapreponie van figuur 5 gevonden. Met MATLAB kan hiervan worden gecontroleerd dat de fout na.2 minder dan 2%. Merk op dat hierbij k p i toegenomen, zodat de eindfout ook kleiner i geworden. Normering: Maimaal 8 punten.
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-6/9 Opgave 3 a. Ontwerp met een Bode diagram een regelaar met alleen proportionele actie voor dit yteem waarmee de gewente bandbreedte wordt ingeteld. Bepaal de relatieve demping van het verkregen geloten lu yteem met behulp van het Bode diagram en controleer dit reultaat met de geloten lu overdrachtfunctie van het yteem. Voor deze opgave hebben we natuurlijk het open lu Bode diagram nodig van regelaar enp(), du zeg k p P(). Dan i het Bode diagram van P() = 432 (+6) 2 een prima tartpunt. Dat kan met MATLAB eenvoudig worden gevonden en taat in figuur 6. Hierin lezen Magnitude (db) 4 2 2 4 6 8 Bode Diagram Phae (deg) 9 8 27 2 3 Frequency (rad/ec) P() k p P() Figuur 6: Bode plot voor het ontwerp van proportionele regelactie. we af (of berekenen we in MATLAB) dat bij de beoogde bandbreedte de verterking 4 db bedraagt. De P-actie moet du gelijk zijn aan k p = 4 db = om de cro-over frequentie juit in te tellen. Dit i in figuur 6 geverifieerd. Wat ook gelijk te zien i dat bij deze cro-over frequentie de fae net de 8 o doornijdt. Met andere woorden de PM = o ofwel de relatieve demping van het verkregen geloten lu yteem i. Dit kan worden gecontroleerd met de geloten lu overdracht. In MATLAB kan die worden berekend met al reultaat T() = k pp() +k p P() = 432 3 +2 2 +36+4.32 5. Met het pole commando volgen hieruit de polen, te weten een polenpaar in ±6i en een reële pool in 2. Het zuiver imaginaire polenpaar geeft aan dat er geen demping i en dat i in overeentemming met de eerder gevonden faemarge. Normering: Maimaal punten. Puntenverdeling: 2 voor het initiële Bode diagram, voor de P-actie, 2 voor de faemarge/demping en 3 voor de controle met de geloten lu overdracht.
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-7/9 b. Ontwerp voor C() een lead filter waarmee aan de getelde eien voor het geloten lu yteem kan worden voldaan. Gebruik een Bode diagram bij het ontwerp en beoordeel met dit Bode diagram de geloten lu tabiliteit van het yteem. Net al in de vorige opgave nemen we een Bode diagram van P() al tartpunt. Een formule voor het lead filter i C() = k p T + αt +. Met het tappenplan vinden we hiervoor: Gezien de gewente bandbreedte mikken we in eerte intantie op een cro-over frequentie op de helft van de gewente bandbreedte ligt, du ω c = 3 rad/. Bij die frequentie i de amplitude van het ongecompeneerde yteem volgen MATLAB G(jω c ) =.32 = 3 db. Om deze cro-over frequentie in te tellen moet k p = 3 zijn. Bij de gewente cro-over frequentie van ω c = 6 rad/ lezen we de ongecompeneerde PM af (zie vorige onderdeel), namelijk PM= o. Voor een gewente relatieve demping van ca. ζ =.5 treven we naar een PM=5 o. Het lead filter moet du voor Φ ma = 55 o zorgen al we een etra marge van 5 o nemen. Dan volgt α uit α = inφ ma +inφ ma =.. Dan i T = ω c α =.53 en αt =.53. Hiermee i het ontwerp klaar: C() = 3.53+.53 +. Bode Diagram Magnitude (db) 4 2 2 4 6 8 P() k p P() C() P() Phae (deg) 9 8 27 2 3 Frequency (rad/ec) Figuur 7: Bode plot met het ontwerp van een lead filter. Figuur 7 geeft het Bode diagram van het yteem met het ontworpen lead filter. De ingetelde croover frequentie en faemarge zijn duidelijk te herkennen. Uiteraard i de faemarge poitief, evenal de verterkingmarge (geen verterking groter dan db bij een fae van 8 o ), zodat het yteem met dit lead filter tabiel i.
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-8/9 Normering: Maimaal punten. c. Onderzoek met behulp van poolbanen de maimale bandbreedte die met alleen P-actie kan worden gerealieerd al wordt geëit dat het geloten lu yteem tabiel moet zijn. Geef een uitdrukking voor de regelaar waarmee dit wordt gerealieerd en alle geloten lu polen van dit yteem met die maimale bandbreedte. Met poolbanen kunnen we de mogelijke ligging van de geloten lu polen in kaart brengen. Voor het yteem uitgerut met alleen P-actie levert de regelaar geen polen en nulpunten, zodat we direct uitgaan van de gegeven overdracht P() om de poolbanen te bepalen. Met het rlocu commando krijgen we poolbanen al in figuur 8. Root Locu Imaginary Ai 5 5 5 5 5 Real Ai Figuur 8: Poolbanen van P() met P-actie. Zoal nel kan worden gecontroleerd krijgen we vanwege het overchot van drie polen ook drie poolbanen die naar oneindig gaan. De aymptoten maken hoeken van 6 o, 8 o en 3 o met de poitieve reële a. Dat betekent du dat twee poolbanen het rechter halfvlak ingaan. De maimale bandbreedte wordt bereikt bij een (praktich onbruikbaar) ongedempt yteem. De ligging van deze polen kan in de grafiek worden afgelezen, maar we kunnen deze ook berekenen. Immer moet de om van de polen niet afhangen van dek p. De open lu polen zijn, 6 en 6. Al twee geloten lu polen op de imaginaire a moeten liggen, dan ligt de derde pool natuurlijk in 2. Dan kan met het rlocfind commando worden gevonden dat k p =, en dat de imaginaire polen in ±6i liggen. Dat i overigen in overeentemming met het reultaat in opgave a. Normering: Maimaal punten. De poolbanen leveren 6 punten en 4 punten zijn voor de intelling met maimale bandbreedte. d. Controleer met behulp van poolbanen of voor C() een lead filter kan worden gevonden met een nulpunt in 6 en waarmee aan de getelde geloten lu eien wordt voldaan. Geef zo mogelijk een uitdrukking voor dit lead filter. Al wep() combineren met een lead filter met een nulpunt in 6, dan wordt één van de yteempolen in 6 hierdoor afgedekt. Voor het ontwerp van het lead filter kunnen we du uitgaan van: Geen open
Syteem- en regeltechniek (35) Uitwerking notebook tentamen 6-aug-2-9/9 Figuur 9: Bijdragen van de twee bekende polen aan de fae in 3+52i. lu nulpunten, immer het nulpunt van het lead filter valt weg tegen een pool van P(). Drie open lu polen in repectievelijk, 6 (nog maar eentje) en een nog onbekende pool van het lead filter. Om de (mogelijke) ligging van die derde pool te onderzoeken, bekijken we de bijdragen aan de fae van de open lu polen in de gewente geloten lu pool 3+52i, zie figuur 9. De bijdrage van de pool ini φ = 9 o +arctan(3/52) = 2 o. De bijdrage van de (reterende) pool in 6 i φ 2 = arctan(52/3) = 6 o. Er moet gelden dat φ φ 2 φ 3 = 8 o, zodat voor de bijdrage van de derde pool volgt dat φ 3 = 8 o 2 o 6 o = o. Dat laatte gaat niet lukken. Het i niet mogelijk om een pool op de reële a te vinden die een dergelijke bijdrage kan leveren. Het i du niet mogelijk de gewente geloten lu polen te vinden met een lead filter dat een nulpunt in 6 heeft. Wie er nog wat langer aan puzzelt, kan laten zien dat de (dominante) geloten polen van een dergelijk lead filter altijd een reëel deel kleiner dan 3 hebben (al ze al comple polenpaar voorkomen). Daarmee i 3 ± 52i inderdaad net onbereikbaar. Normering: Maimaal punten. Let op dat epliciet i voorgechreven dat het lead filter een nulpunt in 6 moet hebben, du het zelf verzinnen van een lead filter met een pool in 3 levert geen of nauwelijk punten op (maar wel een hoop meer werk). 286uit