08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p p + p p p p c Snijden met de xas, dus 0, geeft, k p : (p + )x en l p : (p )x 6, ofwel k p : px + x en l p : px x 6 { px + x px x 6 x x px + x p + 6 p p d Snijden met de as, dus x 0, geeft k p : (p ) en l p : (p + ) 6, ofwel k p : p en l p : p + 6 { p p + 6 p p p p 6 Gemengde opgaven
e k p en m p, q vallen samen, dus p + p p p + q Uit p + p p p + volgt (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p Uit p + p en p q volgt + q Dus p a Stel P(x, ) en q q q q d(p, l) x + x + x + + d(p, A) ( x ) + ( ) d(p, A) geeft ( x ) + ( ) kwadrateren geeft (x ) + ( ) x + d(p, l) geeft x + x + x + { x + geeft { x (x ) + ( ) (x ) + ( ) x elimineren geeft ( ) + ( ) ( ) + ( ) 6 6 + + + 06 6 + 0 06 + 0 D 0 6, dus D 06 06 + 0 0 x 6 Dus de punten zijn (, ) en (, ) x + Het stelsel { heeft (x ) + ( ) b Stel P(x, ) 6 geeft x geen oplossingen x + d(p, l) d(p, A) met geeft ( x ) + ( ) x + ( x ) x + x x + x x + x + x 8x x x Dus de punten zijn (, ) en (, ) en geeft x Gemengde opgaven
c Stel P(x, ) d(p, l) d(p, A) geeft x + ( x ) + ( ) x + ( x ) + ( ) (x + ) ((x ) + ( ) ) x + x + 6 (x x + + 6 + ) x + x + 6 x 0x + 0 + 0 + 6x + x + 0x + 0 0 6x + x 0x 0 + 0 De punten P liggen op de kromme 6x + x 0x 0 + 0 a c : x + + 8x + 0 c : (x + ) + ( ) x + 6x + + + x + + 6x De machtlijn van c en c is k: x { x geeft { x + x + + 8x + 0 x + + 8x + 0 x elimineren geeft ( + ) + + 8( + ) + 0 + + + + 8 + 0 + 0 + + 0 D 6, dus er zijn geen reële oplossingen De machtlijn van c en c en cirkel c hebben geen punten gemeenschappelijk dus c en c snijden of raken elkaar niet b c : x + + 8x + 0 x + 8x + + 0 (x + ) 6 + ( ) + 0 (x + ) + ( ) 6 Dus M (, ) en straal c : (x + ) + ( ) Dus M (, ) en straal M en M zijn twee verschillende punten, dus c en c zijn niet concentrisch c d(m, A) ( ) + ( ) + d(m, A) >, dus A ligt buiten c d De macht is ( + ) + ( ) + e M (, ) Voor r van c geldt r ( + ) + ( ) Dus c : (x + ) + ( ) f Machtlijn k van c en c : x 0 + + 8 0 + 0, dus B(0, ) op c Raaklijn in B(0, ) aan c : (0 + )(x + ) + ( )( ) 6 x + 6 6 x 0 x 0 x 0 geeft 0, dus Dus M(0, ) r 0 + ( ) + 8 0 + Dit geeft c : x 8 + ( + ) 8 bladzijde a c : (x ) + ( ) De poollijn van Q ten opzichte van de cirkel is ( )(x ) + ( )( ) x + + 0 x + 0 x { x geeft { x (x ) + ( ) (x ) + ( ) 8 Gemengde opgaven
x elimineren geeft ( ) + ( ) ( ) + ( ) + + 8 + 6 8 + 6 0 + 8 0 ( )( 8) 0 8 x geeft x en 8 geeft x 6 Dus A(, ) en B(6, 8) P(x, ) op de middelloodlijn van AQ geeft d(p, A) d(p, Q) ( x + ) + ( ) ( x + ) + ( ) (x + ) + ( + ) (x + ) + ( ) x + x + + + x + x + 8 + 8 + 8 x + 6 P(x, ) op de middelloodlijn van BQ geeft d(p, B) d(p, Q) ( x 6) + ( 8) ( x + ) + ( ) (x 6) + ( 8) (x + ) + ( ) x x + 6 + 6 + 6 x + x + 8 + 8 + 8 6x + { x + 6 6 6x + geeft x + 6 088 { x + 6 0 68 6x + 6x + 6x + 6 6x x Dus het middelpunt N van de omgeschreven cirkel van driehoek ABQ is N (, ) De straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABQ is 8 6 0 d(a, N) ( + ) + ( ) + + 6 + b Het midden van AB is, 8 (, ) d(a, B) ( 6) + ( 8) +, dus de straal van c is Dit geeft c : ( x ) + ( ) ( ), ofwel c : ( x ) + ( ) c c : (x ) + ( ) x 6x + + 8 + 6 x + 6x 8 0 c : ( x ) + ( ) 8 x x + + + x + x + 0 Machtlijn m van c en c : x + Raaklijn in P(, ) aan c : ( )(x ) + ( )( ) x + x + { x + x + 8 geeft x + { x + + x + x + x Dus M (, ) en r 0 ( ) + ( ) 6 8 0 Dit geeft c : ( x ) + ( ) Gemengde opgaven
a De gevraagde punten liggen op de middelloodlijn m van AB, dat is de lijn door de middelpunten van c en c c : x + + 6x + 0 x + 6x + + 0 (x + ) + ( ) + 0 (x + ) + ( ) Het middelpunt van c is M (, ) c : (x + ) + ( ) Het middelpunt van c is M (, ) De lijn m door M en M : (x ) (x + ) + x { x x + + 6x + 0 elimineren geeft x + (x ) + 6x (x ) + 0 x + x + x + + 6x + x + 8 + 0 x + 60x + 0 D 60, dus D x 60 x 60 + + 0 0 x x geeft ( ) + en x + geeft + ( ) Dus (, + ) en ( +, ) b De poollijn van P ten opzichte van c is ( + )(x + ) + (0 )( ) x 6 + x 6 { x 6 geeft { x x + + 6x + 0 (x + ) + ( ) elimineren geeft (x + ) + ( 6 x ) x x 8 + 6 + + ( x ) 00 x + 6x + + x + x + x + x + 0 6 x + x + 6 0 D 8 6 dus D 6 x 6 86 x + 6 86 x 6 x geeft 6 Dus de raakpunten zijn ( 06, ) en (, 0) c c : x + + 6x + 0 c : (x + ) + ( ) x + x + + + x + + x 0 De machtlijn van c en c is x + 6 0 x + 0 x 6 06 en x geeft 0 Gemengde opgaven
Stel (λ, λ) heeft macht 8 ten opzichte van c Dit geeft (λ ) + λ + 6(λ ) λ + 8 λ λ + 6 + λ + 8λ λ + 8 0 λ 0λ 80 0 λ λ 8 0 (λ + )( λ ) 0 λ λ De gevraagde punten zijn (, ) en (8, ), dus C(, ) en D(8, ) 6 a AM OA + OM a + m (in!oam) CM AM, dus CM AM a + m MP OP + OM p + m (in!opm) MP CP + CM (in!pcm), dus CP MP CM p + m (a + m ) p a Dus PC p a b PA p a en PB p + a, dus PA PB (p a)(p + a) p a en dat is PC Dus PA PB PC c De cirkel snijdt de xas in (, 0) en (, 0) De macht van P ten opzichte van de cirkel is ( )( + ) B A P O x x + PA PB AB PA (PA + ) PA + PA PA + PA 0 D ( ) 80, dus D 80 PA + PA PA voldoet voldoet niet PA Dus A ligt op de cirkel met straal en middelpunt P en op de cirkel x + { x + { x + (x ) + geeft x + x 0 x 0 x x geeft Er zijn twee punten A A (, ) en A (, ) B ligt op de cirkel met straal en middelpunt P en op de cirkel x + { x + { x + (x ) + ( ) x + x 0 x x x geeft Dus A (, ) en B (, ) en A (, ) en B (, ) Gemengde opgaven
a (0, ) C D z A B (a, 0) O (b, 0) x De zwaartelijn z door A(a, 0) en het midden D( b, ) van BC is 0 0 (x a) b a (x a) b a b a x b a a De zwaartelijn z door B(b, 0) en het midden E ( a, ) van AC is 0 0 (x b) a b (x b) a b a b x a b b De zwaartelijn z door C(0, ) en het midden F a + b, 0 van AB is 0 ( x 0) a + b 0 6 + a + b x c { b a x a b a a b x a b b 0 b a a b x a b + b a a b b a a b x a b b a a b ( a b) ( b a) a( a b) b( b a) x ( b a)( a b) ( b a)( a b) x a( a b) b( b a) a 6ab b + 6ab ( a b) ( b a) a 6b b + 6a a b a b ( a b ) ( a + b)( a b) a b + ( a b) ( a b) a b x a b b x a + b a + b b geeft a + b b a b a b a b a b a b a b Dus Z a + b, is het snijpunt van z en z Substitutie van x a + b 6 a + b in z geeft + +, dus Z ligt ook op z a + b Dus de zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt Gemengde opgaven
b d(a, Z) d(d, Z) a b a a b a + + ( ) + 0 + a b + a ab + b + a ab + b + ( ) a b b a b b + + 6 + b a b ab a a ab b + + + + + 6 6 6 Dus er geldt d(a, Z) d(d, Z), dus AZ : DZ : bladzijde 8 Stel het snijpunt van de as en de lijn is het punt Q Stel verder P(0, λ) Er geldt PQ + AQ AP ( λ) + AQ AQ 0 ( λ) Dus A ( 0 ( λ), ) 0 + Het midden M van AP is ( λ ) λ, 0 ( ( λ ), + λ) x 0 ( ) λ + λ, dus x 0 ( ) λ λ λ geeft x x x 0 ( + ) 0 ( 0 ) 0 00 80 + ( ) x + 80 00 kwadrateren geeft x ( + 80 00) x + 0 x + 0 x + ( ) 0 x + ( ) Dus M ligt op de cirkel met middelpunt (0, ) en straal Stel P(x P, P ) + x 0 + P P Het midden Q van AP is, ( + x, ) P P x Q + x P Q geeft x x P P Q P Q Voor P geldt x P + P Dit geeft (x Q ) + ( Q ) x Q 8x Q + + Q x Q x Q + + Q (x Q ) + Q Dus Q ligt op de cirkel met middelpunt (, 0) en straal rc l m en l door A(0, ), dus l: mx + l snijdt de xas in P, dus P( m, 0) k l en k door A(0, ), dus k: m x + p xas en p door P( m, 0), dus p: x m k en p snijden elkaar in het punt S, dus voor S geldt Gemengde opgaven
+ m x x m, dus x m x x + x + Dus alle punten S liggen op de parabool x + a d(p, A) d(p, B) ( x 6) + ( + ) ( x ) + ( ) kwadrateren geeft ((x 6) + ( + ) ) (x ) + ( ) (x x + 6 + + + ) x x + + + x 8x + + + 8 + x x + + + x + x + 0 x + 8x + 0 x 8x + + 0 (x ) 6 + ( + ) 0 (x ) + ( + ) 0 De punten P liggen op de cirkel met middelpunt (, ) en straal 0 b d(p, C) ( x + ) + ( ) kwadrateren geeft (x + ) + ( ) 6 x + x + + + 6 x + + x 8 d(p, A) d(p, B) geeft x + 8x + 0 (zie a) { x + + x 8 x + 8x + 0 x 8 8 x x x x + 8x + 0 x + ( x ) 8x + ( x ) 0 x + x x + 8x + 6x 0 x x 0 x 0x 0 Dus de punten zijn ( 6, ) en (, 6 ) D (0 ), dus D 0 0 + x x 6 6 x 6 x x 6 geeft en x x 6 geeft 6 6 Gemengde opgaven