Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie om e vergelijking van e raaklijn aan e grafiek van ie kromme in het punt,0 op te stellen. c Beargumenteer met nauwkeurige argumentatie in elke stap! vanuit het gegeven verban tussen x en y at e volgene twee waaren merk op: e kromme is niet e grafiek van een functie! voor e rechterlimiet voor x > 0 gelen: lim yx = e π 2 lim yx = e π 2 2.5 ptn Antwoor: a We leien beie zijen van it funtievoorschrit af. kettingregel en Dit geeft: + y2 x 2 x arctanx = + x 2 x lnx = x x arctany x = x 2 lnx2 + y 2 + y y x 2 x x = 2 x 2 + y 2 x x2 + y 2 x y y x x x = x 2 2 xy y x 2 + y = 2x + 2yy 2 2 x 2 + y 2 xy y = x + yy xy yy = x + y y x y = x + y y = x + y x y 2x + 2y x 2 + y2 x y Gebruik makene van e 2
b De afgeleie in een punt is e slope van e raaklijn aan at punt. makene van vergelijking 2 berekenen we e slope in het punt,0: y = + 0 0 = Gebruik De vergelijking voor een rechte met slope m oor het punt x, y geeft an: y y = mx x y = x c We beginnen met e rechterlimiet x > 0 te nemen van beie leen van vergelijking : lim arctany x = lim 2 lnx2 + y 2 De arctan en ln functies zijn continue functies, us kunnen we e limiet naar binnen brengen. Dit geeft: y arctan lim = x 2 ln lim x2 + y 2 y arctan lim = x 2 ln lim y2 y arctan lim = ln lim x y 3 Voor we verer gaan moeten we eerste een aantal gevallen voor limietwaare uitsluiten: Stel lim y = 0, an ln lim y = ln0 = Maar het bereik van e arctan is het open interval π, π, us kan lim 2 2 y niet gelijk zijn aan 0. Stel lim y =, an ln lim y = ln = Maar het bereik van e arctan is het open interval π, π, us kan lim 2 2 y niet gelijk zijn aan. Stel lim y =, an ln lim y = ln
Maar lnx is niet geefinieer voor x < 0 en arctanx is geefinieer over e hele reële as us kan lim y niet gelijk zijn aan. Met eze informatie kunnen we verer met vergelijking 3, rekening houen met 2 gevallen: Geval : e functie yx is positief voor x-waaren nabij 0. y arctan lim = ln lim x y lim y arctan = ln lim lim x y arctan = ln lim y π 2 = ln lim y e π 2 = lim y Geval 2: e functie yx is negatief voor x-waaren nabij 0. y arctan lim = ln lim x y lim y arctan = ln lim lim x y arctan = ln lim y π 2 = ln lim y e π 2 e π 2 = lim y = lim y Beie gevallen voloen aan het gegeven verban tussen x en y, us beie waaren voor e rechterlimiet zijn gelig.
Calculus I, 20/0/20 2. a Gegeven e functie px = x 2. Bepaal e limiet lim p3 + 2px px x 0 b Bereken e vier viere machtswortels van het complexe getal bekomen via 2 3 + i2 3 + i 2.5 ptn Antwoor: a Als polynoom is e functie px continu, us kunnen we e limiet naar binnen brengen: lim p3 + 2px px = plim 3 + 2px px x 0 x 0 = p3 + 2plim x px x 0 = p3 + 2p 0 plim x 0 x = p3 + 2p0 p0 = p3 + 2p = p3 = 8 b We beginnen met het complexe getal z om te zetten in e vorm a + bi: 2 3 + i2 3 + i = 2 3 2 3 = 6 3 + 2 i = 3 + i + 2 3 3 + 2 i Vervolgens bereken we het argument θ en e moulus z om het complexe getal in polaire vorm om te zetten. De moulus kan bekomen woren via: z = 3 2 + 2 = 2
Het argument kan bekomen woren via: θ = arctan 3 = 5π 6 Merk op at e arctan ook e hoek π als resultaat geeft, maar it kan 3 6 uitgesloten woren oor e kijken in welk quarant 3 + i zich bevin. Het argument kan ook bekomen woren zoner gebruik te maken van e arctan oor z te plotten in het complexe vlak en gebruik te maken van sinus of cosinus. We kunnen us z herschrijven als: 5π z = 2cos 6 5π + isin 6 De vier vieremachtswortels zijn an gelijk aan: w = z / cos θ + isinθ = 2 / cos 5π 2 + isin5π 2 w 2 = z / cos θ + 2π = 2 / cos 7π 2 + isin7π 2 w 3 = z / cos θ + π = 2 / cos 29π 2 + isin29π 2 w = z / cos θ + 6π = 2 / cos π 2 + isinπ 2 + isin θ + 2π + isin θ + π + isin θ + 6π 5
Calculus I, 20/0/20 Puntenvereling: Vraag a:.5 pt. 0.25 voor het iee van impliciet afleien. 0.75 voor het correct gebruik van e afgeleiens van arctanx en lnx en e kettingregel. 0.50 voor een correcte uitwerking. Vraag b: 0.25 pt 0.25 voor het correct opstellen van e raaklijn. Moest een raaklijn correct woren opgestel, maar met een foute waare voor e slope wegens een fout antwoor op vraag a woren e punten voor eze eelvraag nog stees toegeken. Vraag c: 0.75 pt 0.25 punten voor het correct uitsluiten voor bepaale limietwaaren van yx. 0.25 voor e opsplitsing van y is negatief en positief. 0.25 punten voor e correct uitwerking. Vraag 2a: pt 0.5 voor het iee van e limiet binnenbrengen. 0.5 voor e correcte uitwerking. Moest eze oefening woren opgelost oor e gegeven functie helemaal uit te werken en an e limiet te nemen wor het punt alleen toegeken als e oplossing helemaal correct is. Vraag 2b:.5 pt 0.5 voor het uitwerken van het complexe getal. 0.25 voor het berekenen van het argument en e moulus. 0.5 voor e correcte methoe van het nemen van e wortels. 0.25 voor e uitwerking.
Calculus I, 20/0/20 Algemee opmerkingen: Vraag a is oor e meeste stuenten correct opgelost. Fouten ie hier gemaakt weren zijn vooral tegen het gebruik van e kettingregel omtren het afleien van y. Denk eraan, y is in feite een functie afhankelijk van veranerlijke x, en us niet zomaar een veranerlijke zelf. Impliciet afleien is us het antwoor. Stuenten ie hier fout gegaan zijn kijken best nog eens naar sectie 2.9. Vraag b is ook oor e meeste stuenten correct opgelost. Enkele keren wer wel e fout gemaakt at wanneer e afgeleie van vraag a wer genomen voor e slope te berekenen, het punt,0 niet wer ingevul om een waare te bekomen, maar in functie van x en y bleef staan, en zo verer uitgereken. Dit kwam an soms een kwaatische vergelijking uit wat natuurlijk geen raaklijn kan zijn, aangezien at een rechte is. Vraag c was uielijk e moeilijkste van het examen. Het belangrijkste hier is om een onerscheiing te maken tussen e mogelijkhei at y zowel positief als negatief kan zijn voor zijn limiet. Vaak wer gezeg at e limiet van y/x naar of gaat, maar it is alleen triviaal wanneer e limiet van y een einig niet-nul getal is. Om te bewijzen at e limiet van y niet 0, of kan men kijken naar het omein en bereik van e ln rechterli. Ook waren er een aantal ie in e war waren omtren het omein en bereik van e boogtangens. Kijk hiervoor terug naar sectie 3.5. Vraag 2a: e meest voorkomene fouten hier zijn simpele rekenfouten bij het uitwerken van e functie, vooral oor vergissingen bij het groot aantal haakjes. Een tip hier is om haakjes van verschillene grootte en vorm te gebruiken zoat toch altij uielijk is wat er tussen welke haakjes staat. De functie uitwerken kan echter compleet vermeen woren oor e limiet naar binnen te brengen, aangezien px een continue functie is. Een klein aantal stuenten vergisten zich echter bij e manier om een samengestele functie uit te werken. Zo is fgx niet zomaar hetzelfe als fx gx, en ook niet zomaar hetzelfe als gfx. Zie sectie 2. voor e regels van samengestele funcies. De meest voorkomene fout bij vraag 2b kwam bij het bepalen van het argument van het complexe getal. De boogtangens kan 2 waaren teruggeven, en voor het kiezen van e juiste moet je kijken naar in welk quarant het complexe getal ligt. En aner vaak voorkomene fout is bij het bepalen van e wortels zelf. Kijk goe bij e formules van e wortels wat er binnen e cosinus en sinus allemaal zich boven en oner e breukstreep bevin. Een aantal stuenten pasten ook het feit at e wortels zich op e hoekpunten van een vierkant bevinen fout toe. De zijen van it vierkant staan niet altij loorecht op e assen zoals het voorbeel op het eine van sectie A., us zomaar e eerste gevonen wortel spiegelen over e assen is niet altij e correcte oplossing.