Impulsmoment en spin: een kort resumé

D Impulsmoment en spin: een kort resumé In deze appendix worden de relevante aspecten van impulsmoment en spin in de kwantummechanica op een rijtje gezet. Dit is een kort resumé van de stof die in het college Kwantummechanica 1 is behandeld. Impulsmomentoperatoren: de vectoroperator ˆ J heet een impulsmomentoperator als de componenten Ĵx, Ĵy en Ĵz hermitisch zijn en voldoen aan de commutatierelaties [Ĵx, Ĵy = i Ĵ z (cyclisch) ˆ J ˆ J = i ˆ J. (D.1) Met (cyclisch) wordt aangegeven dat de relatie ook geldt voor cyclische permutaties van (x, y, z). Dit houdt in dat de afzonderlijke componenten van ˆ J niet commensurabel zijn, hetgeen een puur kwantummechanisch effect is. Verder kunnen we hieruit afleiden dat ˆ J Ĵ x + Ĵ y + Ĵ z (D.) commuteert met alle componenten van ˆ J, oftewel [ ˆ J, ˆ J =. (D.3) Bewijs: [ ˆ J, Ĵx (33) ==== [ Ĵ x, Ĵx + Ĵ y [Ĵy, Ĵx + [Ĵy, ĴxĴy + Ĵz [Ĵz, Ĵx + [Ĵz, ĴxĴz (D.1) ==== i ( Ĵ y Ĵ z + ĴzĴy) + i (Ĵz Ĵ y + ĴyĴz) =. De bewijzen voor Ĵy en Ĵz gaan volledig analoog. Dit betekent automatisch dat er een simultane set eigenfuncties { jm j } van ˆ J en Ĵz moet bestaan. Voor deze eigenfuncties geldt het volgende: ˆ J jm j j(j + 1) jm j, Ĵ z jm j m j jm j, j =, 1, 1, 3, = impulsmoment kwantumgetal, (D.4) m j = j, j+1,, j 1, j = magnetisch kwantumgetal. De mogelijke meetresultaten van ˆ J en Ĵz zijn dus gekwantiseerd. Bewijs: voer de zogenaamde raising en lowering operatoren Ĵ + Ĵx + iĵy en Ĵ Ĵx iĵy = Ĵ + (D.5) in, alsmede de toestanden φ ± Ĵ± jm j. Met behulp van de identiteiten Ĵ Ĵ ± = Ĵ x +Ĵ y ± i[ Ĵ x, Ĵy (D.1),(D.) ======= ˆ J Ĵ z Ĵz en [Ĵz, Ĵ± (D.1) ==== ± Ĵ± v

vinden we het volgende voor de toestanden φ ± : φ ± φ ± = jm j Ĵ Ĵ± jm j = [ j(j + 1) m j (m j ± 1) jm j jm j, Ĵ z φ ± = ĴzĴ± jm j = Ĵ±(Ĵz ± ) jm j = (m j ± 1) φ ±. Uit de eerste ongelijkheid leiden we af dat m j j. Op grond van de tweede identiteit geldt verder dat het kwantumgetal m j in stappen van 1 verhoogd (verlaagd) kan worden door telkens Ĵ + (Ĵ ) op de eigentoestand jm j te laten werken. Om een conflict met de eis φ ± φ ± te voorkomen moet deze reeks aan de bovenkant stoppen omdat φ + verdwijnt en aan de onderkant omdat φ verdwijnt. Dit legt dan het spectrum in vergelijking (D.4) volledig vast. D.1 Baanimpulsmoment in de kwantummechanica Een voorbeeld van zo n impulsmomentoperator is de baanimpulsmomentoperator Bewijs: ˆ L ˆ r ˆ p. (D.6) [ˆLx, ˆL y = [ŷˆpz ẑ ˆp y, ẑˆp x ˆxˆp z (33),(36) ==== i ŷˆp x + i ˆp y ˆx (D.6) ==== i ˆL z (cyclisch). In de plaatsrepresentatie wordt dit dus ˆ L plaatsrepr. i r. Om de eigenfuncties in de plaatsrepresentatie te beschrijven gaan we over op bolcoördinaten: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, met r [, ), θ [, π, φ [, π. (D.7) Voor een golffunctie ψ(r) die niet afhangt van de hoeken θ en φ geldt dan het volgende: ˆ L ψ(r) = i r ψ(r) = i r r dψ(r) =, r dr zodat de componenten van de baanimpulsmomentoperator uitsluitend werken op het hoekgedeelte van een golffunctie. Dit houdt automatisch in dat een golffunctie ψ(r) een simultane eigenfunctie is van ˆ L en ˆ L bij de eigenwaarden. Als ˆr de operator is die een golffunctie in de plaatsrepresentatie vermenigvuldigt met r, dan geldt dus dat [ˆ L, ˆr =. (D.8) Op grond hiervan beperken we de analyse van de simultane eigenfuncties van ˆ L en ˆL z tot de ruimtelijke hoekvariabelen. Voor de genormeerde set simultane eigenfuncties Y l,ml (θ, φ) geldt het volgende: ˆ L Y l,ml (θ, φ) = l(l + 1) Y l,ml (θ, φ) (l =, 1, ), ˆL z Y l,ml (θ, φ) = m l Y l,ml (θ, φ) (m l = l, l+1,, l 1, l). (D.9) vi

Deze eigenfuncties, die bolfuncties worden genoemd, zijn volledig gespecificeerd door de kwantumgetallen l en m l (d.w.z. dat er geen verdere ontaarding is in de hoekvariabelen). Het baanimpulsmoment kwantumgetal l neemt alleen geheeltallige waarden aan. Dit is het gevolg van het feit dat een ruimtelijke golffunctie slechts één waarde heeft in een gegeven ruimtelijk punt, oftewel een ruimtelijke golffunctie is enkelvoudig (zie 1.6.3). In termen van de ruimtehoek-integratie dω π π dφ dθ sin θ = π 1 dφ dcos θ (D.1) 1 worden de orthonormaliteits- en volledigheidsrelaties voor de bolfuncties gegeven door dω Y l,m l (θ, φ)y l,m l (θ, φ) = δ ll δ ml m l, (D.11) l= l m l = l Y l,m l (θ, φ )Y l,ml (θ, φ) = δ(φ φ ) δ(cos θ cos θ ) δ(ω Ω ). (D.1) Een willekeurige functie f(θ, φ) in de hoekvariabelen is derhalve te schrijven als f(θ, φ) = l= l m l = l a l,ml Y l,ml (θ, φ), a l,ml = Onder pariteit transformeren de bolcoördinaten overeenkomstig dω Y l,m l (θ, φ)f(θ, φ). (D.13) r, θ, φ pariteit r, π θ, φ + π (D.14) en hebben de bolfuncties de volgende transformatie-eigenschap: Y l,ml (θ, φ) pariteit Y l,ml (π θ, φ + π) = ( 1) l Y l,ml (θ, φ). (D.15) Dus Y l,ml heeft even/oneven pariteit als l even/oneven is. D. Spin: het intrinsiek impulsmoment De spin van een elementair deeltje is een intrinsieke definiërende eigenschap van dat deeltje. Het volgt uit het relativiteitsprincipe in de relativistische QM (zie het college Kwantummechanica 3), hetgeen zegt dat alle inertiaalsystemen fysisch gezien equivalent zijn. Rotaties in de plaatsruimte worden op die manier vergezeld van een compenserende verandering in de ruimte opgespannen door de intrinsieke (d.w.z. niet-ruimtelijke) vrijheidsgraden van het systeem, zodanig dat de relativistische golfvergelijking precies dezelfde vorm heeft in beide inertiaalstelsels. In de niet-relativistische QM manifesteert de spin van een vii

deeltje zich via een mysterieuze additionele interactie B ˆ S met een constant magneetveld B. Uit de Stern Gerlach experimenten volgt dat de spinoperator ˆ S commuteert met de kanonieke plaats/impulsoperatoren en dat ˆ S gekwantiseerde eigenwaarden heeft in de richting van het magneetveld, hetgeen als expliciet ruimtelijke richting gevoelig is voor rotaties in de plaatsruimte. De spinoperator heeft dus de eigenschappen van een impulsmomentoperator en voldoet derhalve aan de commutatierelaties (D.1), zoals je zou verwachten op grond van het relativistische verband met de rotaties in de plaatsruimte. De eigenwaarden van de commuterende observabelen ˆ S en Ŝz worden gekarakteriseerd door de spin s =, 1, 1, 3, en het magnetisch spinkwantumgetal m s = s, s+1,, s 1, s. Het fundamentele verschil met het baanimpulsmoment kwantumgetal l is dat de spin s van een deeltje een vaste (definiërende) eigenschap is. Hoe dat precies in zijn werk gaat zal pas duidelijk worden met behulp van de relativistische QM. Op dit moment nemen we alles wat met spin te maken heeft simpelweg aan als empirische feiten. Omdat voor een gegeven deeltje de spin s dus vast ligt kunnen we een vaste (s + 1)-dimensionale spinruimte (gelabeld door de spinvariabele σ = m s ) toekennen aan deze additionele intrinsieke vrijheidsgraden. In de plaatsrepresentatie ziet dit er als volgt uit: spin : ψ( r, t) spin s : ψ( r, σ, t) = waarbij de spinvectoren (spinkets) χ s,ms ψ ms ( r, t) χ s,ms ψ +s ( r, t). ψ s ( r, t), (D.16) een basis vormen van de (s+1)-dimensionale spinruimte. De componenten van de spinoperator ˆ S werken als (s+1) (s+1) matrices op deze spinruimte. (spinbra s) χ s,m s, geldt Voor de basisvectoren χ s,ms, alsmede de bijbehorende rijvectoren ˆ S χ s,ms = s(s + 1) χ s,ms, Ŝ z χ s,ms = m s χ s,ms en χ s,m s χ s,m s = δ msm s. (D.17) Een genormeerde toestand van een spin-s deeltje moet derhalve voldoen aan ψ(t) ψ(t) ==== (D.16) χ s,m χ s,m s s d r ψm ( r, t)ψ m s s ( r, t) = d r ψ ms ( r, t) = 1. m s,m s = s De bijbehorende waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffuncties wordt dan ψ ms ( r, t) d r = waarschijnlijkheid om het deeltje in het volume-element d r rond r te vinden op tijdstip t met spincomponent m s langs de z-as, d r ψ ms ( r, t) = waarschijnlijkheid dat het deeltje een spincomponent m s langs de z-as heeft op tijdstip t. viii

Spinonafhankelijke Hamilton-operatoren: als de Hamilton-operator van het systeem niet afhangt van de spin van het beschouwde deeltje, dan mag de r - en t -afhankelijkheid buiten beschouwing worden gelaten in de spinruimte. De spintoestand van het deeltje kan dus simpelweg worden beschreven door de spinvector χ s = a ms χ s,ms, (D.18) met normering χ sχ s = m s,m s = s χ s,m s χ s,m s a m s a m s (D.17) ==== a ms = 1. (D.19) De coëfficiënt a ms is dan de waarschijnlijkheidsamplitude om het deeltje in de basisspintoestand χ s,ms te vinden. De totale golffunctie van het systeem voldoet dan in de plaatsrepresentatie aan ψ( r, σ, t) = ψ( r, t) χ s, i ψ( r, t) = Ĥ ψ( r, t). (D.) t D.3 De spinruimte voor spin-1/ deeltjes Omdat de kwantummechanica wordt overspoeld met spin-1/ deeltjes (zoals elektronen, nucleonen, etc.) zetten we de eigenschappen van de spin-1/ spinruimte even apart op een rijtje. De relevante spin-kwantumgetallen zijn s = 1/ en m s = ±1/, hetgeen leidt tot een -dimensionale spinruimte opgespannen door de basisvectoren ( ) ( ) 1 χ 1, 1 en χ 1, 1. (D.1) 1 De spinoperator ˆ S kan als volgt worden geschreven in termen van matrices: ˆ S σ (D.1) === σ k = σ k (k = x, y, z), [ σx, σ y = iσz (cyclisch). (D.) Omdat de drie matrices σ k eigenwaarden ± 1 moeten hebben, moeten ze voldoen aan Tr(σ k ) = en det(σ k ) = 1. Tevens ligt σ z vast omdat bovenstaande basisvectoren χ 1,± 1 eigenvectoren van σ z moeten zijn bij de eigenwaarden ± 1. Een oplossing die aan alle eisen voldoet wordt gegeven door de Pauli-spinmatrices σ x = ( 1 1 ), σ y = ( i i ) en σ z = ( 1 1 ). (D.3) Als we de eenheidsmatrix in de spinruimte aanduiden met I, dan gelden de volgende additionele eigenschappen voor deze Pauli-spinmatrices: σ k = I (k = x, y, z) en σ x σ y = σ y σ x = iσ z (cyclisch). (D.4) ix

Omdat de spinruimte -dimensionaal is zal de meest algemene spin-1/ operator  spin in de spinruimte worden gegeven door een matrix  spin =  I + Âxσ x + Ây σ y + Âz σ z  I + ˆ A σ, (D.5) waarbij  en ˆ A spinonafhankelijke operatoren zijn. Deze decompositie van een willekeurige spinoperator volgt rechtstreeks uit het feit dat de matrices I en σ een basis van matrices vormen. D.4 Optellen van impulsmomenten Een deeltje met spin geeft dus aanleiding tot twee typen van impulsmomentoperatoren: de spinoperator ˆ S en de baanimpulsmomentoperator ˆ L. De operator ˆ J = ˆ L + ˆ S heet dan de totale-impulsmomentoperator van het deeltje. Aangezien ˆ L alleen werkt op de ruimtelijke hoekvariabelen en ˆ S alleen op de spinvariabelen, moeten beide vectoroperatoren commuteren: [ˆLk, Ŝl = (k, l = x, y, z), (D.6) en voldoet ˆ J automatisch aan de commutatierelaties (D.1) van een impulsmomentoperator. De simultane eigenwaarden van ˆ J en Ĵz worden gegeven door (D.4), waarbij het totale-impulsmoment kwantumgetal j de volgende waarden kan doorlopen: j = l s, l s +1,, l+s 1, l+s. (D.7) Voorbeeld: beschouw een deeltje met spin 1/. In dat geval doorloopt het totale-impulsmoment kwantumgetal de waarden j = 1/ als l = en j = l ± 1/ als l. Op dezelfde wijze kunnen de impulsmomenten van meerdere deeltjes bij elkaar worden opgeteld. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het feit dat operatoren die betrekking hebben op verschillende deeltjes onderling commuteren. Zo wordt de totale-impulsmomentoperator van een N-deeltjessysteem gegeven door ˆ J = N ˆ J k = N (ˆ Lk + ˆ ) Sk ˆ L + ˆ S. (D.8) k =1 k =1 Voorbeeld: beschouw een -deeltjessysteem. Dan geldt ˆ J = ˆ J1 + ˆ J en heeft het kwantumgetal j het bereik j = j 1 j, j 1 j +1,, j 1 +j 1, j 1 +j. De zogenaamde Clebsch Gordan coëfficiënten j 1 j m j1 m j jm j beschrijven de basisovergang van de set eigenfuncties { jm j } van ˆ J en Ĵz naar de set eigenfuncties { j 1 j m j1 m j } van ˆ J 1, ˆ J, Ĵ 1z en Ĵ z. x