Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 17 oktober

Transcriptie

1 Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 17 oktober 2013

2 Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek en / Rooster informatie Donderdag 10:00 13:00, HG 08A-05 (totaal 10 keer) Collegevrije week: 24 oktober 2013 Boek en website David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Wiley and Sons, ISBN (2008) Zie website URL: Beoordeling Huiswerkopgaven 20%, tentamen 80%

3 Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Speciale relativiteitstheorie Viervectoren Energie en impuls Quantumfysica Formalisme Spin van deeltjes Structuur van hadronen Symmetrieën Behoudwetten, quarkmodel Symmetriebreking Veldentheorie Lagrange formalisme Feynman regels Quantumelektrodynamica Diracvergelijking Quarks en hadronen Quantumchromodynamica Elektrozwakke wisselwerking Higgs formalisme

4 Axiomas van de quantummechanica 1. Toestand van een systeem wordt door toestandsfunctie voorgesteld 2. Iedere fysische grootheid correspondeert met een hermitische operator 3. Een toestand van een systeem, waarin een fysische grootheid A een nauwkeurig bepaalde (zogenaamde scherpe) waarde heeft, moet door een eigenfunctie van de corresponderende operator beschreven worden. De waarde van de grootheid A in deze toestand is de bijbehorende eigenwaarde a. Er geldt A = a 4. Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de operator A, voor een systeem dat beschreven wordt door de toestandsfunctie geen scherp bepaalde waarde heeft, dan kan men toch een verwachtingswaarde aangeven, namelijk Indien de metingen aan het systeem in dezelfde toestand meerdere malen worden uitgevoerd, dan vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies de waarde < A >.

5 Axiomas van de quantummechanica Wanneer is het resultaat van een meting uniek? Beschouw spreiding Uniek resultaat betekent met Als het systeem zich in een eigentoestand bevindt, dan levert een meting als uniek resultaat de eigenwaarde a die hoort bij deze eigentoestand Fysische operator heeft een spectrum van eigenwaarden Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden a n Na de meting wordt de toestand beschreven door eigenfunctie De eigenfuncties zijn compleet Voor een willekeurige toestand geldt

6 Operatoren van positie en impuls Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en Lagrange Operator x voor positie x Operator p x voor impulscomponent p x Toestanden met scherpe impuls Reële deel is een harmonische golf Golflengte zoals vereist door de Broglie Definieer golfgetal Toestand met scherp bepaalde positie, bijvoorbeeld x = a Oplossing noemen een delta functie Als geen delta-functie Waarschijnlijkheidsverdeling

7 Onzekerheidsrelaties Beschouw golffunctie Superpositie van golven Golfpakketje van een deeltje Gemiddelde impuls p x Er geldt p x p Voor de breedte geldt Onzekerheidsrelatie van Heisenberg Onzekerheid zit ingebouwd in het formalisme

8 Commutatierelaties Laat operatoren voor positie en impuls werken op een functie f en verwissel de volgorde... Het verschil bedraagt Dit geldt voor elke functie f We vinden de operatorvergelijking Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen Dit geldt ook voor de andere component, voor energie en tijd, voor impulsmoment componenten onderling, etc. Voor verdieping zie sectie 3.2.6

9 Schrödingervergelijking Impulsoperator Vectoroperator die een gradiënt neemt Operator voor kinetische energie Erwin Schrödinger 1933 Laplace-operator Operator voor potentiële energie Hamiltoniaan Operator voor totale energie Operatorvergelijking Schrödingervergelijking

10 Energieoperator Energieoperator Eigenfuncties Harmonische functies met hoekfrequentie Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben energie Toestandsfunctie met scherpe energie Correspondeert met een harmonische trilling op ieder punt in de ruimte Het is een staande golf! Om de golf te karakteriseren, dienen we de ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking Ook wel

11 Schrödingervergelijking Waterstofatoom Tijdonafhankelijk Coulombpotentiaal Sferische coördinaten Operator Dit geeft Oplossen via scheiden van variabelen Dit bevat Laguerre polynomen en sferisch harmonische functies Quantumgetallen n, l en m

12 Waterstofatoom Energieniveaus Overige effecten: Relativistische correctie -9, ev Spin-baan koppeling fijnstructuur Zn ev Spin-spin koppeling hyperfijnstructuur 21 cm lijn Darwin term 2nE n2 /m e c 2, Lamb-verschuiving 1 GHz

13 Harmonische oscillator Systeem wordt verplaatst uit evenwicht 2 dx Toenemende tegenwerkende kracht F ma m kx 2 dt Harmonische oscillaties rond evenwichtspunt x( t) Acost Frequency Potentiële energie k 2 m T 1 2 V ( x) kx 2 2n x z

14 Quantum harmonische oscillator Hamiltoniaan 2 pˆ 1 Hˆ m xˆ 2m k 2 k m m V ( x) 1 kx 2 2 Schrödingervergelijking Ĥ E Golffuncties Energieën 1/4 2 m x 1 m m 2 n( x), 0,1,2,... n e Hn x n 2 n! 1 En n 2 H ( x) 1 0 H ( x) 2x 1 H x x 2 2( ) 4 2 H x x 3 3( ) 8 12 H x x x 4 2 4( ) H x x x x 5 3 5( ) H x x x x ( ) H x x x x x ( )

15 Huiswerk: opgave 3.5.1

16 Huiswerk: opgave 3.5.2

17 Huiswerk: opgave 3.5.2

18 Huiswerk: opgave x

19 Huiswerk: opgave 3.5

20 Huiswerk: opgave 3.5

21 Huiswerk: opgave 3.5 x

22 Huiswerk: opgave 3.5

23

24

25 Voor n = 1 vinden we Huiswerk: opgave 3.5.7

26 Huiswerk: opgave 3.5.8

27 Spin en baanimpulsmoment Klassiek baanimpulsmoment: L = r mv - we kunnen alle drie de componenten meten en dus tegelijkertijd weten - de componenten mogen elke waarde hebben QM baanimpulsmoment: L = r mv - een meting van bijvoorbeeld L x verandert de waarde van L y en L z - we mogen L 2 en L z tegelijkertijd kennen - metingen geven als resultaat slechts bepaalde toegestane waarden L 2 L z Idem voor spinimpulsmoment - s kan zowel integer als half-integer waarden aannemen! Spin: eigenschap van deeltje fermionen bosonen

28 Spin is een eigenschap van een deeltje - dit in tegenstelling tot baanimpulsmoment - we onderscheiden fermionen en bosonen Spin van deeltjes Elementaire deeltjes Samengestelde deeltjes q q q q Najaar 2008 Jo van den Brand 28

29 Optellen van impulsmomenten Toestand met impulsmoment: l m l > of s m s > Voorbeeld: elektron in waterstofatoom bezet baantoestand 3 1 > en spin toestand ½ ½ > Dit betekent l = 3, m l = -1, s = ½ (maar ja, het is een elektron!), m s = ½ Stel voor dat er spin-baan koppeling is We zijn dan niet geinteresseerd in L en S individueel (die zijn niet behouden), maar in het totale impulsmoment J Najaar 2008 Jo van den Brand 29

30 Optellen van impulsmomenten Het meson Baanimpulsmoment is gelijk aan nul Spin van quark en antiquark leveren spin van het meson: S = S 1 + S 2 Hoe tellen we twee impulsmomenten op? Klassiek zouden we de componenten optellen QM kennen we enkel 1 component en de grootte Hoe combineren we en tot? De z-componenten tellen gewoon op De lengten tellen vectorieel op! We hebben de volgende mogelijkheden: Voorbeeld: een deeltje met spin 1 heeft baanimpulsmoment 3. Totaal impulsmoment is dan j = 2, 3 of 4. Najaar 2008 Jo van den Brand 30

31 Optellen van impulsmomenten De baryonen Je hebt drie quarks in een toestand met baanimpulsmoment nul Wat zijn de mogelijk spins van de resulterende baryonen? Stel eerst de spin van twee quarks samen: ½ + ½ = 1 of ½ - ½ = 0. Voeg nu het derde quark toe: 1 + ½ = 3/2 of 1 - ½ = ½, en 0 + ½ = ½. Het baryon kan dus spin 3/2 of ½ hebben: het decouplet (j = 3/2 ) en octet (j = ½ ). Als we verder nog baanimpulsmoment toelaten, dan nemen de combinaties toe. Najaar 2008 Jo van den Brand 31

32 Clebsch Gordan coefficiënten We weten nu welk totaal impulsmoment j mogelijk is, als we j 1 en j 2 combineren De expliciete decompositie van in toestanden is met Clebsch Gordan coefficiënten Bereken CGs m.b.v. groepentheorie of quantummechanica 2 Najaar 2008 Jo van den Brand 32

33 PDG bevat tabel van CG coefs zie Najaar 2008 Jo van den Brand 33

34 Voorbeeld 1: Clebsch Gordan coefs Elektron in waterstofatoom bezet toestand voor baanimpulsmoment en voor spin. We meten J 2. Welke waarden kunnen we vinden? Wat is de waarschijnlijkheid voor elk van de waarden? Waarden: j = l + s = 2 + ½ = 5/2 of j = l s = 2 ½ = 3/2 De z componenten tellen op: m = 1 + ½ = ½ Koppel spin 2 aan spin ½ Beschouw rij 1 en +½ Lees af PDG Waarschijnlijkheid: kwadrateren! Najaar 2008 Jo van den Brand 34

35 Voorbeeld 2: Clebsch Gordan coefs Twee spin ½ toestanden kunnen combineren tot spin 1 en 0. Wat is de CG decompositie voor deze toestanden? We zien dat PDG Er zijn drie spin 1 toestanden triplet en één spin 0 toestand singlet Najaar 2008 Jo van den Brand 35

36 Spin ½ systemen Spin ½ systemen Leptonen, quarks, proton, neutron, etc. Deeltjes kunnen spin up () of spin down () hebben We gebruiken 2-component kolomvectoren: spinoren Algemene toestand van een spin ½ deeltje We meten S z is waarschijnlijkheid op waarde is waarschijnlijkheid op waarde Complex getal Najaar 2008 Jo van den Brand 36

37 Spin ½ systemen We willen S x of S y meten voor toestand Mogelijke meetwaarden weer en Wolfgang Pauli 1931 Maar wat zijn de waarschijnlijkheden? Introduceer operatoren Bepaal eigenwaarden Bepaal eigenvectoren. Voor S x Schrijf toestand als lineaire combinatie van eigenvectoren Najaar 2008 Jo van den Brand 37

38 Spin ½ systemen: Pauli spin matrices Pauli spin matrices Hiermee Vector componenten (in R3) veranderen onder coordinaten transformaties als Spinor componenten (in C2) veranderen onder coordinaten transformaties als Er geldt met langs rotatieas Merk op dat exponent een matrix is! Najaar 2008 Jo van den Brand 38

39 Orientation entanglement relation Stel een object voor dat met zijn omgeving verbonden is met elastische draden. Een rotatie over 720 o leidt niet tot entanglement. Spinmatrix Najaar 2009 Jo van den Brand 39

40 Isospin (u en d flavor) symmetrie Idee: sterke wisselwerking gelijk voor proton en neutron elektrische lading speelt geen rol Isospin I proton neutron nucleon Componenten in isospinruimte Nucleon heeft isospin ½ en de derde component, I 3, heeft eigenwaarden +½ (proton) of ½ (neutron) Sterke wisselwerking invariant onder rotaties in isospinruimte en volgens Noether: isospin behouden in alle sterke interacties. Analoog aan rotatie-invariantie in gewone 3D: leidt tot behoud van impulsmoment Najaar 2008 Jo van den Brand 40

41 Isospin symmetrie We kennen isospin toe aan de diverse multipletten Pion: I = 1, I = 0 D, I = 3/2 multiplicity = 2I +1 Alles volgt uit isospin toekenning op quark niveau Alle andere deeltjes hebben isospin I = 0 Najaar 2008 Jo van den Brand 41

42 Isospin symmetrie: deuteron Twee nucleon systeem geeft I = 0 of I = 1 Triplet Singlet In de natuur observeren we enkel het deuteron als gebonden toestand van proton en neutron NN interactie bevat een I (1) I (2) term! Leidt tot attractie in singlet toestand deuteron heeft I = 0 Najaar 2008 Jo van den Brand 42

43 Isospin symmetrie: NN verstrooiing Beschouw NN verstrooiing Isospin toestanden (a) (b) (c) Enkel isospin I = 1 combinatie draagt bij, want de sterke wisselwerking kan isospin niet veranderen! Amplitudes hebben verhouding Werkzame doorsneden In overeenstemming met meetgegevens Najaar 2008 Jo van den Brand 43

44 Isospin symmetrie: N verstrooiing Beschouw N verstrooiing elastisch ladingsuitwisseling Pion I = 1, nucleon I = ½ amplituden I = 3/2 en ½ Decompositie We vinden Najaar 2008 Jo van den Brand 44

45 N verstrooiing Delta resonantie N verstrooiing: aangeslagen toestanden van het nucleon D resonantie bij 1232 MeV D heeft spin 3/2 >> dus Najaar 2008 Jo van den Brand 45

46 Levensduur m B Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z. m C m A c.m. systeem Levensduur: verschillende vervalskanalen, b.v. Vertakkingsverhouding Eenheden b.v. Najaar 2009 Jo van den Brand 46

47 Werkzame doorsnede Telsnelheid A + B C + D Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Najaar 2009 Jo van den Brand 47

48 Voorbeelden Foton-koolstof/lood n- 238 U Najaar 2009 Jo van den Brand 48

49 Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol Verstrooiing aan een massieve bol: Berekening werkzame doorsnede Geometrie b R Berekening werkzame doorsnede: (vgl. Rutherford verstrooiing) Totale werkzame doorsnede, oppervlak zoals de bundel die ziet: Najaar 2009 Jo van den Brand 49

50 Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Alfa deeltjes: T b = 4 7 MeV Ernest Rutherford 1908 Coulomb potentiaal Najaar 2009 Jo van den Brand 50

51 Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Voor b b < b < b b +db b Najaar 2009 Jo van den Brand 51

52 Gouden regel van Fermi In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi s Golden Rule Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Enrico Fermi 1938 Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa s, energieën en impulsen Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica. Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving. Najaar 2009 Jo van den Brand 52

53 Aantal verstrooide deeltjes Inkomende flux j in = rv = rp/m Ruimtehoek dw Differentiële werkzame doorsnede ds Verstrooiingstheorie Gouden regel Vlakke golven voor begin en eindtoestand Dichtheid van eindtoestanden We vinden Gebruik definitie van Fouriertransformatie Bornse benadering

54 Elastische verstrooiing We hadden Elastische verstrooiing Impulsoverdracht Centrale potentiaal Coulomb potentiaal Gebruik afschermingsparameter a Neem Niet-relativistisch en in zwaartepuntsysteem Rutherford werkzame doorsnede

55 Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > b min =R a + R t ofwel Meet interactieafstand b min versus A Eigenlijk b min R a + R t + R s Najaar 2009 Jo van den Brand 55

56 Rutherford verstrooiïng Plot b min versus A 1/3 Er geldt Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol Rutherford vond Najaar 2009 Jo van den Brand 56

57 Elastische elektronen verstrooiing We hadden Uitgebreide ladingsverdeling Ladingsdichtheid r(r) Fourier getransformeerde Modelonafhankelijke meeting van de ladingsverdeling Robert Hofstadter 1961

58 Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektronen aan lood: MeV Pb spinloos - 12 decaden Model-onafhankelijke informatie over ladingsverdeling van nucleon en kernen Najaar 2009 Jo van den Brand 58

59 Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektron-goud verstrooiing - energie: 153 MeV ladingsverdeling: Ladingsdichtheid is constant! Najaar 2009 Jo van den Brand 59

60 Elastische elektron-proton verstrooiïng Proton structuur - niet puntvormig - geen Dirac deeltje (g=2) - straal is 0.8 fm - exponentiele vormfactor

61 Ladingsverdeling van het neutron n= p + n Experiment MeV elektronen - elektronpolarisatie deuterium atoombundel - D-polarisatie elektron-neutron coincidentie meting

62 Diep-inelastische verstrooiïng DIS definitie: - Vierimpuls Q 2 > 1 (GeV/c)2 - Invariante massa W > 2 GeV puntvormige deeltjes: partonen (=quarks)

63 DIS Bjørken schaling Verstrooiing van puntvormige objecten in het nucleon Parton model Quark model Friedman, Kendall, Taylor; 1990 Energieverlies bij elastische verstrooiing Bjørken schaal variabele Impuls gedragen door quarks q p q p p Infinite momentum frame: Geen p T en m q = m p = 0 q+ p = p q -q 2 = Q 2 = 2p q p = Q 2 /2p q.q LAB: x = Q 2 /2Mn neem n = Q 2 /2m q

64 Schaling: structuurfuncties enkel functie van x DIS Bjørken schaling

65 DIS Bjørken schaling Callan-Gross relatie Quarks spin 1/2 Decompositie: Gluon bijdrage van Q 2 evolutie van F 2

66 Elektron-positron annihilatie Muon productie spinfactor integreer Elektron, muon en tau zijn identiek, afgezien van massa en levensduur fractionele ladingen Twee-jet productie kleur fragmentatie

67 Elektron-positron annihilatie Twee-jet productie 1 + cos 2 q Voor E < 3.5 GeV Quarks hebben spin 1/2 R Quarks hebben kleur en fractionele lading

68 Elektron-positron annihilatie Drie-jet productie spin 0 spin 1 Gluonen hebben spin 1

69 Z 0 -resonantie e + e - verstrooiing Drie generaties! Najaar 2009 Jo van den Brand 69

70 Werkzame doorsnede e e + m m Najaar 2009 Jo van den Brand 70

71 Hoekverdelingen: e e + m m en + Najaar 2009 Jo van den Brand 71

72 En nu heb je ook e e + qq gedaan! Met drie kleuren u, c, t q ds dw : 1cos s tot s 16 27s s 9s colour d, s, b q : 3 ds dw s cos s tot 4 27s colour s 9s R s s qq mm quarks e e e e m qq m uds udsc s mm 4 2 3s udsc no color s Najaar 2009 Jo van den Brand 72

73 Delta functie van een functie We zoeken een uitdrukking voor d( f(x) ) Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x 0 Dan geldt Schrijft y = f(x) Er geldt dan Omschrijven levert Najaar 2009 Jo van den Brand 73

74 Voorbeeld: Delta functie van een functie Meerdere nulpunten: Opgave: Vereenvoudig de uitdrukking Oplossing: Er geldt Nulpunten voor x 1 = 1 en x 2 = -2 Afgeleide Dus en Najaar 2009 Jo van den Brand 74

75 Voorbeeld: Delta functie van een functie Deeltjesverval a in CM systeem Bereken I I d ( m E d p a d ( m p d p a 1 E2) m1 p1 m2 ) 1 a p 1 p 2 Er geldt Stel df d p p dit is je functie f(x) dit dx p E p E1 E2 E1E2 1 m1 p1 m2 p p p * p is de waarde van de impuls waarvoor f ( p1 ) 0 E Dan I E E1E2 1 * 1 E 2 p Najaar 2009 Jo van den Brand 75

76 Gouden regel van Fermi revisited Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden r( E f ) dn dn We schrijven (met E i = E f ) r( E ) d( E E ) de De gouden regel luidt nu Met impulsbehoud en a f de E f de 2 M 2 d ( E E ) dn fi fi i i Integreer over alle mogelijke toestanden met elke energie, merk op dat 3 (2 ) d p d p ( ) ( ) (2 ) (2 ) fi M fi d Ea E1 E2 d pa p1 p2 3 3 dn d p (2 ) 3 energiebehoud impulsbehoud toestandsdichtheid Najaar 2009 Jo van den Brand 76

77 Lorentzinvariante faseruimte In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid Relativistische contraheert volume met E / mc 2 * dv 1 Deeltjesdichtheid neemt toe met Conventie: Gebruik ' E / mc Normeer op 2E deeltjes / volume eenheid 2 E c 3 Lorentzinvariant matrixelement 2 a a a a a a/ dv 2E c *' ' LI ˆ 2E1 2E2 2E n fi ' 1 ' 2 ' n1 ' n fi M H M c c c Najaar 2009 Jo van den Brand 77

78 Lorentzinvariante vervalsnelheid Beschouw het verval n E 1 Deeltje i heeft vierimpuls p i = (E i /c, p i ) Energie E i is een functie van p i vanwege tijddilatatie We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p 1 = (m 1 c, 0) S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls van deeltje 2 in het gebied d 3 p 2 rond de waarde p 2 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand. Bijvoorbeeld voor Najaar 2009 Jo van den Brand 78

79 Voorbeeld: 0 Bereken vervalsnelheid voor met m 1 = m 2 = 0; amplitude M(p 2, p 3 ) Herschrijf delta functie Er geldt en dus Sferische coördinaten Hoekintegratie We vinden Er geldt S = ½ voor 0 Najaar 2009 Jo van den Brand 79

80 Bereken vervalsnelheid voor Tweedeeltjesverval Er geldt. Integreer over p 3 Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met r = p 2 vinden we We moeten nu nog over de delta functie integreren Dat kan in principe met We doen het nu echter met een andere methode Najaar 2009 Jo van den Brand 80

81 Tweedeeltjesverval We hebben Verander van variabele Er geldt Mits m 1 > m 2 + m 3, anders niet in het integratie interval! Merk op dat r 0 de waarde van r (= p 2 ) is waarvoor E = m 1 c 2 Je vindt Uiteindelijk Bij meer dan 2 deeltjes moet je integreren over het matrixelement Najaar 2009 Jo van den Brand 81

82 Elastische verstrooiing in het CM systeem Beschouw de botsing in CM systeem Dan geldt p p2 E1E 2 / c p p p m m c E E p / c p 2 = -p 1 Dus Herschrijf de delta functie Integreer over impuls delta functie: 4 3 p p E c m c p Najaar 2009 Jo van den Brand Gebruik 1 i i 82

83 Elastische verstrooiing in het CM systeem We vinden Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter 2 1 en p p, dus geldt (, ). Omdat vastligt, geldt M( p, ). 4 3 Gebruik We vinden M p1 p3 p1 3 p p Najaar 2009 Jo van den Brand 83

84 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Voor elastische verstrooiing geldt Dan geldt s elastisch Dit geldt ook in de limiet p 2 2 c S M 2 64 s E m i i p * * i f 2 fi dw * Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is 2 ds c SM fi dw 8 E E 1 2 De hoeken refereren naar het CM systeem! 2 2 p p f i 2 2 * c p f 2 ds S M fi dw 64 s p 2 * i * * * dw d(cos ) d * Voor een algemeen geldige vergelijking: druk dw uit in viervectoren Vierimpuls overdracht t q ( p p ) Najaar 2009 Jo van den Brand 84

85 Faseruimte Klassiek Faseruimte in 1D: Klassiek neemt elke toestand een punt met (x, p x ) in In QM hebben we rekening te houden met Volume van elke toestand is h Faseruimte met volume Lp bevat N cellen, h h Celvolume in 3D is Aantal toestanden in volume is Aantal toestanden per volume eenheid Toestandsdichtheid Najaar 2009 Jo van den Brand 85

86 Delta functie van Dirac In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de Dirac d functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1 Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan d(x) representeren, bijvoorbeeld Lim a 0 In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit. Najaar 2009 Jo van den Brand 86

87 Gouden regel voor verstrooiing Beschouw de botsing n Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de impuls van deeltje 3 in het gebied d 3 p 3 rond de waarde p 3 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de hoekverdeling van deeltje 3. Uitdrukking volgt uit Telsnelheid = n 1 (v 1 + v 2 ) n 2 s s = fi / (v 1 + v 2 ) Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven F 2 E E ( v v ) In LAB 2 2 p p m m 2 F 4 c Najaar 2009 Jo van den Brand

88 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Druk * dw t uit in termen van de Lorentzinvariant dt p1 p3 p1 p3 2p1 p3 m1 m3 2p1 p3 In CM frame: p E p * m * * 1 1,0,0, 1 p E, p sin,0, p cos * m * * * * * m * * * * * 1 3m p p E E p p t m m 2E E 2 p p cos 2 2 * * * * * Dit geeft en dus * * * * * * * 1 3 dw d(cos ) d * * 2 p1 p 2 2 * c p3 2 * c 2 * 2 * fi W 2 * 2 fi s p1 sp1 dt 2 p p cos dtd ds S M d S M d dt Integratie over * d geeft ds 2 fi dt * 64 sp1 Najaar 2009 Jo van den Brand 88 c 2 2 SM 2 Lorentzinvariant

89 Fluxfactor voor A + B c.m. stelsel: P 1 =(E 1,+p) P 2 =(E 2,p) note: v p E lab stelsel: P 1 =(E, p) P 2 =(m 2,0) Najaar 2009 Jo van den Brand 89

90 Ontdekking van het positron Kosmisch deeltje in een nevelkamer: Elektron van beneden vertraagt in de loden plaat (we weten dus de richting) Kromming in B-veld geeft aan dat het een positief deeltje betreft. Dit kan geen proton zijn, want protonen worden gestopt in het lood. Experimentele bevestiging van de voorspelling van antimaterie door de Dirac vergelijking. Antideeltjes oplossingen zijn een realiteit! Najaar 2009 Jo van den Brand 90