9 AW 57 nr juni 06 Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? Frits Beuers Illustratie: Ryu Tajiri
Frits Beuers Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? AW 57 nr juni 06 95 Frits Beuers Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht beuers@uunl Vaantiecursus Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? In het voorjaar van 03 overromelde de Chinees-Ameriaanse wisundige Yitang Zhang de wisundige wereld met de aanondiging van het bewijs dat er een geheel getal A bestaat zó dat er oneindig veel aren gehele getallen nn A bestaan die beide riem zijn Als A gelij aan zou zijn geweest dan zou dit een bewijs voor het beruchte riemtweelingvermoeden zijn geweest Dit vermoeden is waarschijnlij even oud als de getaltheorie zel Uit het bewijs van Zhang volgt iets zwaers namelij dat A leiner is dan zeventig miljoen iettemin was het bewijs van Zhang unie in zijn soort en tot dusver voor onmogelij gehouden door andere eerts in de analytische getaltheorie In dit artiel geet Frits Beuers een overzicht van een aantal eiten over riemtweelingen en de ontwielingen die leidden tot Zhangs ontdeing en het vervolg ero Door insanningen van veel wisundigen is in de loo van 03 5 de grens voor A teruggebracht tot 6 In dit artiel zal oo gerobeerd worden het idee van Zhangs bewijs over te brengen O dit lut is nog onzeer het bewijs is niet helemaal triviaal Een geheel getal > dat alleen zichzel en als deler heet noemen we een riemgetal De rij riemgetallen begint als volgt: 357 3 7 9 3 9 3 37 3 7 53 59 6 67 7 73 79 83 89 97 0 03 09 3 7 3 37 39 9 39 9 5 57 63 67 73 79 8 9 93 97 99 3 7 Bij het oschrijven van deze rij omt meteen al een stel vragen naar voren Bijvoorbeeld gaat deze rij oneindig lang door? Waarschijnlij wel maar we moeten er wel een bewijs voor geven Dat zullen we in dit artiel o twee manieren doen namelij een bewijs aomstig van Euclides en een ander van Euler og een vraag die rijst Gegeven X hoeveel riemgetallen # X zijn er? Kun je daar een eenvoudige ormule voor geven? Dat is wat lastiger te beantwoorden maar het is in el geval mogelij ormules te geven die deze aantallen bij grove benadering geven Dit wordt mogelij gemaat door de zogenaamde Priemgetalstelling uit 899 og een vraag: zijn er oneindig veel riemgetallen die o een eindigen? O een 7? Het antwoord daaro is ja en wordt gegeven door een stelling van Dirichlet uit 85 die zegt dat ele rij van de vorm aa qa qa 3qa q met aq! en ggd( aq ) = inderdaad oneindig veel riemgetallen bevat In het bijzonder geldt dit voor de rij 0n met n = 3 Maar zoals iedereen weet zijn er oo onogeloste roblemen Bijvoorbeeld het Goldbachvermoeden dat zegt dat el ge heel even getal $ te schrijven is als som van twee riemgetallen In de novelle van Dioiades Uncle Petros and the Goldbach Conjecture unnen we lezen hoe iemand tot wanhoo an worden gedreven door de mislute ogingen een dergelij vermoeden aan te tonen Emirisch bewijsmateriaal is er in overvloed Het getal 00 is bijvoorbeeld o 6 manieren som van twee riemgetallen en het getal 0000 o 65 manieren De unst is echter aan te tonen dat el even getal o minstens één manier een som van twee riemgetallen is Dat is tot nog toe niemand gelut Een ander notoir robleem is het riemtweelingvermoeden Mer namelij o dat () 57 ( 3) ( 7 9) ( 9 3) ( 3) ( 59 6) ( 7 73) ( 0 03) aren oeenvolgende oneven getallen zijn waarvan beide elementen riem zijn De vraag is o er oneindig veel van bestaan Waarschijnlij wel maar dat is tot dusver nog niet aangetoond Men heet wel heel grote riemtweelingen gevonden bijvoorbeeld 666669 375680695685 $! De enig beende technieen om dit soort roblemen aan te aen is via de analytische getaltheorie in het bijzonder de cirelmethode en zeemethoden Dit zijn lastige technieen die heel veel gebrui
96 AW 57 nr juni 06 Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? Frits Beuers maen van slimme aschattingen en resultaten uit de Fouriertheorie en comlee unctietheorie De vooruitgang in concrete resultaten is over het algemeen heel langzaam Maar soms zijn er verrassingen Zo lieten bijvoorbeeld Terence Tao en Ben Green in 008 zien dat er in de rij riemgetallen eindige reenundige rijen unnen vooromen van ele geozen lengte De tot nu toe (ebruari 05) langst beende reenundige rij heet lengte 6 en wordt gegeven door 600359399596 77509 $ 309870 $ n voor n = 0 5 Een andere sectaculaire ontwieling is nog recenter In het voorjaar van 03 ondigde de Chinees-Ameriaanse wisunde Yitang Zhang aan dat er een getal A bestaat zó dat er oneindig veel aren riemgetallen van de vorm nn A zijn Als A gelij zou zijn aan zou dit een bewijs van het riemtweelingvermoeden hebben beteend Zhang on alleen maar aantonen dat A < 70 000 000 Maar zels dit resultaat is unie in zijn soort en eigenlij door niemand voorzien Het artiel dat Zhang bij het restigieuze Annals o Mathematics indiende werd al vrij snel door de reerees goedgeeurd en geubliceerd Het verhaal rond deze doorbraa is een bijzondere Wisundige onderzoeers worden geacht hun meest creatieve wer rond hun 30ste te roduceren Zhang was 58 jaar oud en bovendien had hij tot dan toe weinig geubliceerd o wisundegebied O Wiiedia vind je een uitgebreide beschrijving van de levensloo van Zhang Een interview un je vinden in een artiel uit de ew Yorer [] De grens van 70 miljoen in Zhangs stelling is een gevolg van de methode die hij gebruite Het was toen al duidelij dat met een wat voorzichtiger benadering deze waarde wel leiner gemaat zou unnen worden En dat is recies wat gebeurde Een aar ween na Zhangs ublicatie stelde Terence Tao een zogenaamd Polymathroject voor Een ublie roject via internet waar in rincie iedereen aan on bijdragen Het eerste deel van het roject werd agesloten met een grens van 680 Tijdens dit roject wam de jonge ostdoc James Maynard met een iets andere aana die eenvoudiger blee te zijn en oo nog eens betere grenzen oleverde Dit werd deel twee van het roject dat uiteindelij agesloten werd met een grens van 6 Voor een overzicht van deze historie en de huidige stand van zaen zie [5] Zoals het er nu naar uitziet zullen er nieuwe ideeën nodig zijn om de grens van het riemtweelingvermoeden te bereien Het nadeel van veel recente ozienbarende ontwielingen in de wisunde is dat de details vaa te ingewield en secialistisch zijn voor een breder ublie van niet-ingewijden Het aantal wisundigen dat bijvoorbeeld de details van het bewijs van de laatste stelling van Fermat ent is zeer beert De reden is dat je eerst enele jaren moet wijden aan het bestuderen van onderweren als modulaire vormen galoisreresentaties et cetera die de basis vormen van het bewijs Het rettige van Maynards bewijs is dat als je bereid bent een blac bo ut 965 te acceteren de aleiding relatie weinig voorennis vereist maar wel een line ortie technische vaardigheid en uithoudingsvermogen In rincie zou een goede derdejaars wisundestudent het bewijs moeten unnen volgen met eventueel wat begeleiding En dit is inderdaad wat er gebeurd is Ilja elen vorig jaar nog bachelorstudent heet Maynards bewijs als onderwer voor zijn bachelorscritie gehad Gestert door deze ervaring zal i aan het eind van deze test heel ort een indru geven van de ingrediënten van het bewijs van Maynards resultaat Maar voor het zover is geven we een inleiding in wat we weten van riemtweelingen hetgeen hoelij wat lichtere ost vormt Priemgetallen tellen In deze aragraa ijen we naar de oneindigheid van de verzameling riemgetallen en hoe vaa ze vooromen onder de natuurlije getallen (dat zijn gehele getallen $ ) Stelling (Euclides) Bij el natuurlij getal bestaat er een riemgetal dat groter is dan Hieruit volgt meteen dat er oneindig veel riemgetallen zijn Je unt bijvoorbeeld voor de getallen 0 00 000 iezen Bewijs Kij naar het getal! waarin! staat voor het roduct van alle getallen van tot en met Deze heet een riemdeler oem deze Stel dat # Dan is oo een deler van! Maar een riemgetal an niet twee oeenvolgende getallen delen Dus # an niet gelden Conclusie: > Hier is een wat sterer resultaat Stelling (Euler) De oneindige rees riem is divergent Dat wil zeggen als je de inverse riemgetallen 3 5 7 achtereenvolgens bij elaar otelt dan gaat de rij gevonden deelsommen naar oneindig toe Uiteraard volgt hieruit dat er oneindig veel riemgetallen bestaan Het bewijs hiervan is wat lastiger Het is misschien wel beend dat de som van de inverse natuurlije getallen divergent is Dus 3 g = 3 We noemen dit de harmonische rees Om de divergentie in te zien breen we de rees o in stujes waarbij de som van el stuje > is als volgt: 3 # = 5 g 8 # 8 = 9 g 6 8 # 6 = et cetera De som van deze waarden gaat naar oneindig Dit bewijs werd al in de veertiende eeuw gevonden door icole d Oresme We bewijzen nu Eulers stelling Bewijs We iezen en meren allereerst o dat % c gm> g () # waarin het roduct over de riemgetallen # loot Bij het wegweren van de haajes uit het roduct moet je uit ele actor een term nemen en vervolgens die termen vermenigvuldigen Als je bijvoorbeeld de termen 3 en voor de andere actoren neemt rijg je 6 Dit wordt recies de term 6 rechts O deze manier zie je dat het roduct lins alle inversen van gehele getallen geet die samengesteld zijn met riemactoren # Dat zijn in ieder geval tot en met Vandaar het ongelijheidsteen
Frits Beuers Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? AW 57 nr juni 06 97 5 0 5 0 5 0 00 000 800 600 00 00 Beschouw nu de volgende ongelijheid % a > % c gm () # # 0 0 60 80 00 000 000 6000 8000 0 000 Deze volgt door in ele actor de ongelijheid ( ) > g voor 3 # te gebruien Dit is een leine ogave die laat i aan de lezer over u nog een derde ongelijheid % (3) > loga = log a # # # Deze volgt uit het eit dat we in ele term > log( ) unnen gebruien voor > 0 (B: de log hier is de ln o school) In de ongelijheid () staat rechts de harmonische rees Die gaat naar oneindig als " 3 Dus de linerzijde van ongelijheid () % # c g m gaat oo naar oneindig als " 3 Uit de ongelijheid () concluderen we vervolgens dat % # _ i naar oneindig gaat als " 3 Tenslotte met ongelijheid (3) concluderen we dat # naar oneindig gaat als " 3 We gaan nu riemgetallen tellen en deiniëren de zogenaamde riemtelunctie r () = #{ # riem} waarin we aantal met het symbool # aangeven Figuur toont een graie van r () voor # 00 Hierin zien we duidelij de stajes die gemaat worden als we met een riemgetal asseren Deze onregelmatigheden verdwijnen (o het oog) als we een wat groter domein voor iezen zie Figuur De graie is nu een mooie vloeiende iguur geworden en men an zich avragen o er een eenvoudige ormule bestaat om deze graie (bij benadering) te beschrijven Hier is veel over geseculeerd maar het was Gauss die een duidelij heuristisch argument ga Kies X heel groot en D lein ten ozichte daarvan Het rincie van Gauss zegt dat het aantal riemgetallen in het interval [ X X D] ongeveer gelij is aan D log X Met andere woorden de gemiddelde dichtheid van de riemgetallen in de buurt van X is log X Ter ondersteuning hiervan bereende Gauss een aantal tabellen zoals Tabel Daarin is D = 0 5 genomen en met s () geven we het aantal riemgetallen in [ 0 5 ] aan Mer o dat de getallen in de tweede en derde olom meestal in hun eerste twee cijers overeenomen Als we aannemen dat de dichtheid van de riemgetallen in de buurt van X gelij is aan log X dan is het aantal riemgetallen # gelij aan de som van alle dichtheden van zeg tot en met X en dus Figuur Figuur 3 Figuur dt li( ) = # logt In Figuur 3 wordt een lot getoond van de uncties r () en li( ) samen In deze lot geldt dat r () < li( ) maar dat is niet altijd zo Het blijt namelij dat r() - li( ) oneindig vaa van teen wisselt Voor wele dat voor het eerst gebeurt weet men echter niet Dat r () en li( ) inderdaad dicht bij elaar liggen wordt bevestigd door de riemgetalstelling: Tabel s () 0 5 log( ) 0 8 5 58 0 9 83 85 0 0 306 3 0 09 398 0 36 369 0 3 338 330 0 305 30 0 5 80 895 00 000 800 600 00 00 000 000 6000 8000 0 000 Stelling 3 (Hadamard De la Vallée-Poussin 899) De verhouding van r () en li( ) gaat naar als naar oneindig gaat Het blijt dat li( ) redelij in de buurt ligt van log Het is een leine ogave om aan te tonen dat hun verhouding naar gaat als " 3 Priemtweelingen tellen We voeren nu een telunctie voor riemtweelingen in: r (): = #{ n n en n riem} # Het riemtweelingvermoeden omt dus neer o r () " 3 als " 3 Om een gro idee van r () te rijgen herhalen we het idee van Gauss Kies X heel groot en D iets leiner We vragen ons a hoeveel riemtweelingen er in het interval [ X X D] vooromen We laten daartoe n van X tot X D - loen en bealen de ans dat zowel n als n riem zijn Als deze ansen onahanelij zouden zijn is dat ongeveer ( log X) waarmee het aantal riemaren o ongeveer D ( log X) omt Helaas is de ans dat n riem is enigszins ahanelij van de waarde van n Als bijvoorbeeld toevallig n even is dan is n zeer geen riem We unnen dit omzeilen door alleen naar de oneven getallen in [ X X D] te ijen Het aantal riemgetallen in de verzameling is nog steeds ongeveer D log X Het aantal oneven getallen D De ans dat een oneven getal in het interval riem is is dus log X De ans dat zowel n als n voor oneven n riem zijn wordt ( log X) Maal het aantal oneven getallen D geet dit de verwachting van D ( log X) riemtweelingen in [ X X D] Dit is tweemaal zo groot als wat we eerst hadden als verwachting Een dergelije correctie unnen we voor alle leine riemgetallen uitvoeren en we vinden dat het verwachte aantal riemtweelingen tussen X en X D gelij is aan
98 AW 57 nr juni 06 Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? Frits Beuers met D C ( log X) ( - ) C = # % 3 ( - ) oneven riem Dit geet aanleiding tot het volgende vermoeden Vermoeden (Hardy Littlewood 93) Deinieer li () = C # dt ( logt) Dan gaat de verhouding van li () en r () naar als " 3 Om in te zien hoe goed deze benadering is geven we een tabel (zie Tabel ) Hierin is s () gelij aan het aantal riemtweelingen in 0 5 Dit lijt goed te gaan Helaas is er echter weinig bewezen Met behul van zeemethoden heet men bewezen dat er een constante C > 0 bestaat zó dat r () < C$ li () geldt als groot genoeg is Een gevolg van deze bovengrens is de volgende stelling Stelling (V Brun 99) De oneindige som convergeert en riem Dit is het eerste niet-triviale resultaat o het gebied van riemtweelingen Voor we verder gaan noem i nog een ander resultaat Een getal n heet bijna riem als het owel riem is owel een roduct van twee riemgetallen Tabel s () C # 0 ( log ) 0 8 377 389 0 9 3 307 0 0 6 9 0 8 05 0 7 7 0 3 7 0 3 7 0 5 7 0 5 Lins Viggo Brun (885 978) en rechts een ostzegel ter ere van Jing-Run Chen (933 996) Stelling 5 (Jing-Run Chen 973) Er bestaan oneindig veel riemgetallen zó dat een bijna riem is Dit was destijds een ozienbarend resultaat en de Chinese osterijen hebben een ostzegel aan het wer van Chen gewijd (zie Figuur ) Generalisaties In laats van riemtweelingen unnen we oo naar andere aren ijen Paren riemgetallen van de vorm nn heten riemtweelingen nn heten riemnevennichten nn 6 heten sey aren et cetera Oo unnen we drietallen nemen Bijvoorbeeld nn n Het is een eenvoudige oeening om te zien dat deze drie getallen alleen riem unnen zijn als n = 3 Voor n > 3 is minstens één van de drie getallen deelbaar door 3 Kies nu een willeeurige rij van gehele getallen 0 = a < a < g < a We beschouwen -tuels n a n a n a en vragen ons a o er oneindig veel n bestaan zó dat el van deze getallen riem is We noemen een riemgetal een obstructie voor rijen van het tye n a n a als voor ele gehele n minstens één van de getallen n a n a n a deelbaar is door We zagen net dat = 3 een obstructie is voor nn n In het algemeen als er een obstructie is dan moet gelden dat # a - a We noemen de rij a < a g < a toelaatbaar als rijen van het tye n a n a geen enele obstructie hebben Als bijvoorbeeld = = 3 de eerste riemgetallen zijn dan is het niet lastig te zien dat een toelaatbare rij vormt Er omen dus toelaatbare rijen van willeeurige lengte voor Hier is een generalisatie van het riemtweelingvermoeden: Vermoeden Stel dat a < a < g < a toelaatbaar is Dan zijn er oneindig veel n zó dat n a n a n a allen riem zijn et als bij de riemtweelingen is er oo een vermoeden over de aantallen van dergelije -tuels onder een gegeven het zogenaamde -tuel vermoeden van Hardy en Littlewood En net als bij de riemtweelingen zijn we nog heel ver verwijderd van enige vorm van bewijs Wel seelt het gebrui van toelaatbare rijen een belangrije rol in het wer van Zhang en Maynard Gaten vullen We gaan langzamerhand naar de vraag toe hoe lein de astand tussen oeenvolgende riemgetallen an zijn Daartoe noteren we de rij riemgetallen met < < 3 < g < n < g In het bijzonder = = 3 et cetera Vraag: Kies c > 0 Kunnen we aantonen dat er oneindig veel n zijn zó dat - < c log? n n $ n Om te illustreren hoe lastig deze vraag is geven we een chronologisch overzicht van de bewezen resultaten o dit gebied Als c > dan is het antwoord ja Dit is een gevolg van de riemgetalstelling Dit is een ogave voor de lezer Ja een dergelije c bestaat met c # (Erdős 90) Dit is geen ogave voor de lezer meer maar een die resultaat 3 Ja voor ele c $ (Bombieri Davenort 966) Ja voor ele c $ (Maier 988) 5 Ja voor ele c > 0 (Goldston Yilderim Pintz 005) We zien dat de ontwieling heel langzaam gaat Het laatste resultaat van Goldston Yilderim en Pintz uit 005 was zels een onverwachte doorbraa Er geldt nog iets meer Stelling 6 (GYP 005) Voor ele e > 0 heet de ongelijheid e - < n n ( log n) oneindig veel olossingen a het beend worden van deze stelling had men enige tijd hoo dat er een mogelij bewijs richting riemtweelingen in zat Helaas na een aanvanelij oti
Frits Beuers Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? AW 57 nr juni 06 99 Yitang Zhang misme werd het weer stil rond deze westie Totdat in 03 een volgende doorbraa laatsvond Stelling 7 (Yitang Zhang 03) Er zijn oneindig veel n zó dat < 70 000 000 n - n Zoals in de inleiding gezegd werd dit resultaat al snel vereenvoudigd en verbeterd door James Maynard In de laatste aragraa geven we een overzicht van de staen van dit alternatieve bewijs Het bewijs van Maynard De technie is gebaseerd o telresultaten van riemgetallen in een reenundige rij In de inleiding hebben we de stelling van Dirichlet genoemd die zegt dat als ggd( aq ) = dan bevat de rij aa qa qa 3q oneindig veel riemgetallen Het aantal riemgetallen # in deze rij geven we aan met r ( aq ) De verwachting is dat alle restlassen a modulo q die in aanmering omen ongeveer evenveel riemgetallen zullen bevatten Gegeven q dan geven we het aantal getallen 0< a # q met ggd( aq ) = aan met z () q de Euler z-unctie Bijvoorbeeld z() = z( 5) = z() 6 = We verwachten dat voor gegeven q de z () q uncties r ( aq ) allen ongeveer even snel met zullen groeien Dit werd voor het eerst wantitatie gemaat in de volgende stelling Stelling 8 (Siegel Walisz 936) Bij ele A > bestaat een C > 0 zó dat voor alle r() r( aq )- z() q C ( log ) < A Omdat r () ongeveer gelij is aan log zien we in het bijzonder dat de verhouding tussen r ( aq ) en r() z ( q) naar gaat als " 3 Met andere woorden de riemgetallen zijn ongeveer gelij verdeeld over de restlassen a mod q Het blijt dat voor het merendeel van de -waarden het verschil tussen r ( aq ) en r() z ( q) veel leiner is dan dat gegeven door de stelling van Siegel Walisz Dit wordt geaccentueerd door de volgende stelling die simelweg een heleboel verschillen by elaar otelt als we q over een groot berei laten loen Stelling 9 (Bombieri Vinogradov 965) Bij ele A > en ele i < bestaat er een C > 0 zó dat voor ele ma q# i ggd( aq ) = r() r( aq )- z() q < C ( log ) Dit is een stelling die met de zogenaamde grote zee bewezen an worden zie bijvoorbeeld het boe van Friedlander en Iwaniec [] Het is het uitgangsunt voor het wer van Goldston Yilderim en Pintz Om hun wer te verbeteren richting riemtweelingen zou je eigenlij een sterere versie moeten hebben van Bombieri A Foto: John D and Catherine T MacArthur Foundaation Vinogradov met een waarde van i > Ondans alle ogingen in die richting is het nog niemand gelut een dergelij resultaat te bewijzen De bijdrage van Zhang bestaat eruit dat hij een iets andere verijnde versie van Bombieri Vinogradov ontwier waarbij i > is Dit was een onverwachte wending die niemand had voorzien Het bewijs van Zhang is behoorlij technisch en niet maelij uit te leggen Het is daarom rettig dat Maynard met een heel ander idee wam waarbij het gebrui van de stelling van Bombieri Vinogradov volstaat We unnen deze stelling nu als een soort blac bo gebruien in de volgende schets van Maynards aana Tussen haajes het bewijs van de stelling van Bombieri Vinogradov is van dezelde moeilijheidsgraad als het vervolg van Maynard Met P( n) geven we de arateristiee unctie aan van de riemgetallen Dat wil zeggen P( n) = als n riem is en 0 indien niet Zij a a een toelaatbare rij en ies t > Stel dat we unnen bewijzen dat P # n# i = ( n a) > t voor grote Dat beteent dat er een n! [ ] bestaat zó dat ( n a ) > i P i t En dus bevinden zich = onder de getallen n a n a minstens 6 t @ riemgetallen In het bijzonder als t > hebben we minstens twee riemgetallen in het interval [ n a n a ] te aen Door steeds tweemaal zo groot te iezen vinden we een oneindige rij van dergelije n Helaas laat bovenstaande ongelijheid zich lastig bewijzen Geluig brengt de zeetheorie hier uitomst door gewogen sommen te nemen Voor een geschit geozen gewichtsunctie wn ( ) $ 0 (later te iezen) beijen we de sommen S ( ) = wn ( ) # n# P # n# i = S ( ) = wn ( ) ( n a) Hierin is S ( ) de (ositieve) som van de gewichten Als we erin slagen om aan te tonen dat voor voldoend grote geldt S( ) > t S( ) dan zijn we om dezelde reden als boven laar We gaan nu geschite gewichten wn ( ) iezen Goldston Yilderim en Pintz ozen - d d > 0 R = en vervolgens i i
00 AW 57 nr juni 06 Hoe bewijs je het riemtweelingvermoeden? Frits Beuers waarin wn ( ) = m() d d ( n a) g ( n a) d# R d l log m() d = n() d c m log R voor een geschite l Hier is n () d de zogenaamde Möbius n-unctie die gedeinieerd wordt door n () d = (- ) t als d = t met alle i verschillend en 0 als d deelbaar is door een wadraat > Zoals we reeds gemeld hebben lee deze euze van wn ( ) zeer eectie in 005 maar niet eectie genoeg richting riemtweelingen James Maynard bedacht een andere gewichtsunctie namelij wn ( ) = m( d d ) d ( n a) d ( n a) d g d # R = d met R - en % i i i = m( d d ) = n( d) d # % r r i = di ri log log ( r) F r r c log R m z log R i voor een slim geozen unctie F ( ) o het domein in R gegeven door de ongelijheden i $ 0 voor i = en g # We willen nu graag een t > vinden zó dat S( ) S( ) > t als groot genoeg is Door gebrui te maen van de gewichtsunctie van Maynard en de stelling van Bombieri Vinogradov an men aantonen dat ( m) m = S ( ) = b o() S ( ) - d l waarin J ( F) I ( F) 0 0 = # # I ( F) g ( Ft ( t ) dt gdt en ( m) # # # J ( F) = g a Ft ( t ) dt 0 0 m 0 dt gdt dt gdt m- m Met o() bedoelen we een unctie die naar 0 gaat als " 3 Om het bewijs a te maen is het zaa een unctie F te vinden zó dat m ( m) J ( F) = > I ( F) Alleen dan unnen we door d lein genoeg te iezen ervoor zorgen dat we een t > vinden zó dat S( ) S( ) > t als voldoende groot is Het vinden van een geschite F is een subtiel otimalisatierobleem en het is bijzonder verrassend dat het inderdaad mogelij is We moeten daarvoor wel zoeen onder uncties in minstens 05 variabelen Dat wil zeggen $ 05 Hier is een toelaatbare rij van lengte 05 008303855670 7 78 8 90 9 00 8 0 3 38 8 5 68 7 78 80 8 90 9 0 0 08 0 3 3 50 5 58 6 6 68 80 88 9 300 30 3 3 38 330 33 3 35 358 360 36 37 378 38 390 39 00 0 08 8 0 30 3 50 5 6 68 7 78 8 90 9 98 50 50 58 53 53 538 5 558 56 570 57 580 58 588 59 598 600 Mer o dat a05 - a = 600 en dat verlaart de grens in de volgende stelling Stelling 0 (James Maynard 0) Er zijn oneindig veel n zó dat - 600 n n # James Maynard Latere verbeteringen hebben ervoor gezorgd dat de grens o 6 wam Door nog groter te iezen unnen we m ( m) J ( F) = I ( F) en dus t zo groot maen als we willen Gevolg Stelling (Maynard 0) Stel r! Dan bestaat er een C r zó dat - < C voor oneindig veel n n r n r Met andere woorden by ele r! bestaat een getal C r zó dat er oneindig veel intervallen met lengte C r zijn die minstens r riemgetallen bevatten s Foto: Eleanor Grant Reerenties J Friedlander en H Iwanies Oera de Cribro AMS Colloquium Publications 57 (00) AMS J Maynard Small gas between rimes Annals o Math 8 (05) 383 3 3 Y Zhang Bounded gas between rimes Annals o Math 79 (0) 7 htt:wwwnewyorercommagazine050 0ursuit-beauty 5 htt:michaelnielsenorgolymathindeh? title=bounded_gas_between_rimes