earby integers P.G. van de Veen, 19 juli 011 Hoeveel opeenvolgende negens heeft ( + 3) 010 achter de komma Wat een vreemde vraag! Zijn dat er dan veel En hoe tel je ze Dit getal is toch veel te groot om uit te schrijven Want ( + 3) 010 is groter dan 10 010 10 log 3 = 010 log 3 > 959 010 3 en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want Dus ( + 3) 010 is veel te groot om met een simpele rekenmachine uit te rekenen. En waaróm zouden er regelmatig negens achter de komma verschijnen En zouden er nog meer voorbeelden zijn van getallen die zich vreemd gedragen Hieronder het antwoord en de analyse in een aantal stappen. I. Eerste experimentele waarneming: Met de rekenmachine is snel te controleren dát inderdaad ( + 3) voor steeds grotere waarden van een geheel getal lijkt op te leveren. ( + 3) 9.898979 ( ) 8 ( + 3) 4 97.98979 ( ) 10 ( + 3) 6 969.998969 ( ) 1 + 3 9601.999896 + 3 95049.99999 + 3 940898 Vreemd! Al bij de niet eens zo grote macht 1 is de uitkomst volgens de Grafische Rekenmachine een geheel getal! Maar we kunnen ( + 3) 1 uitschrijven (met het Binomium van ewton) tot: ( 3 ) 1 1 1 1 11 3 1 10 3... 1 1 3 11 1 3 1 + = + + + + + 0 1 1 1 En hierin zien we om en om dat er hoe dan ook een 3 blijft staan. Het eindantwoord kan onmogelijk een geheel getal zijn. En toch lijkt onze rekenmachine dat te beweren. Waarom Maakt de rekenmachine afrondfouten Dat blijkt niet het geval want een computerprogramma dat met grotere precisie rekent laat zien dat het antwoord inderdaad bijna een geheel getal is. Met het programma Maple zijn de eerste 3000 cijfers van ( + 3) 006 uitgerekend.
De eerste 3000 cijfers van ( + 3) 006. Het aantal negens direct achter de komma is gelijk aan 998. 377741987339959696618357461477390609948960413038395110840895770113959353818190078975771 90636589009805445398694405974595316139614590060781377436383157444407405178034458464 78566636684581633383781084703383756365445065104459610796667730384181356811888959691 864905579661494868804355163047841940567094749845780163910674687599563797454431313175 6968775095840104697491510878880975804106346387850743688356045305794397039986439434 153048054508810606748444335839464885551893878046890304331835745963044910430596198051445 05918349569764487886303918457841717806699664456873733339609160639078031448318464359 396674785854464509661341353534994399570338880094878856735098570769439998056568505 6789018531704678736477056337009178417958553159648034151039579086559809007600571 307680914138564350540041604017303577430366033064035683357483350137131450618473615565186 358343166858847818407156790561339955805631439866040969,9999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999973569185033195891730483645314411647815595753694906590177856557590 79370349534176758005746761764558354705130998797705613913904661143600991879571951338407470 4590880811415305390561604970633990047490590199816734409646855145078633731105314606 68750155889937350153167946306154633015049874177338611876745156051786164393978671 36391616657356781318631483556836156884483068587914901599559677864916683374347854 7755370919560506901666375813099987486667016658958551081805910837758400545750434734363 187578337643145700090659741148933555383871413477760101148387411013809388675414551 84685556059548493130695630331570058137558971787839981091473913661869770048780193178330558 56977078101643674353657005665059609469147519413445186330169107878841314145140136167 5495194159318679565500386537394974814080908648456316375709910149946490156480937010186 97858959818986977716883566504978383858136486083939598147473887993447467918 Er blijken een 998 achtereenvolgende negens direct achter de komma voor te komen. Ook dit getal is dus bijna een geheel getal of te wel een integer. Hoe kan dit Die vraag heeft mij lang bezig gehouden zonder aanvankelijk maar iets verder te komen. Totdat..
II. Tweede experimentele waarneming: ( + 3) met n=oneven convergeert helemaal niet naar een integer! Dat doet-ie alleen als n even is. Maar als n even is kunnen we schrijven: ( + 3) = ( + 3) = ( 5+ 4) De vraag is dus in het algemeen of en wanneer de vorm ( a+ b) naar een integer convergeert. Het blijft vreemd! Hoe kan er nu ooit een integer als antwoord komen uit een macht van irrationaal getal Ook die vraag bleef mij lang bezig houden zonder maar iets verder komen. Totdat.. III. Analogie: Er bestaat wel een uitdrukking die een beetje vergelijkbaar is, namelijk de getallen van Binet:. n n 1+ 5 1 5 + U n = 5 Deze formule levert voor willekeurige gehele n het n e Fibonacci getal. (Het getal uit het rijtje 1,1,,3,5,8,11 enz. ) Bij bijvoorbeeld met n=6 komt er inderdaad 8 uit, het 6e Fibonacci getal. Dus kennelijk kunnen wortels elkaar soms op een of andere manier opheffen. ou is dit wel een heel andere vorm dan ( + 3) Het verschil is dat in die formule van Binet al die + 5 en 5 termen in de teller mooi tegen elkaar wegvallen tegen de 5 in de noemer. IV. Plotseling inzicht in die analogie Bekijk eens een uitdrukking die er ongeveer uitziet als die formule van Binet zoals : ( a+ b) + ( a b) Omdat alle wortel-termen tegen elkaar wegvallen levert deze vorm beslist een integer resultaat op. Dus: ( a+ b) + ( a b) = Integer Aha! Maar dan geldt ook: ( a+ b) = Integer ( a b) en hieruit volgt dat ( a b) convergeren naar een integer als lim ( a b) = 0 Dat is het geval als a b 1 convergeert als b 1< a < b+ 1 (1) < en daaruit volgt dat ( a b) + zal + uitsluitend naar een integer Het voorbeeld met a=5 en b=4 voldoet hieraan want 4 1 5 4 1 < < + We hebben nu in elk geval een ingang voor ons probleem gevonden!
V. Generalisatie: Wanneer zal nu in het algemeen ( convergeren ) p + q voor een even macht naar een integer Door weer te kwadrateren gaat deze vorm over in: ( p + q+ 4 pq) Door p q a en 4 pq b + = = gaat deze uitdrukking over in ( a b) voorwaarde dat: pq 1< p + q < pq + 1 () + en daaruit volgt als VI. Algebraïsche uitwerking en conclusies: a. Zijn er nog meer vormen zoals ( + 3) We weten dat voldaan moet zijn aan pq 1< p + q < pq + 1 Als we q = p+ 1 invullen zouden we als voorwaarde krijgen: p + 1 1< p+ 1< p + p + 1 De rechterkant uitwerkend zien we dat dit altijd inderdaad klopt want: 1 1 p + < p + p + p < p + p En de linkerkant uitwerkend: p + 1 < p + 1 en dat klopt ook (even kwadrateren) voor elke p > 1 Dus we hebben nu ontdekt dat élke vorm ( p p ) integer waarde convergeert! + + voor een even macht naar een 1 b b. Uit p + q = a en pq = b volgt p ap+ = 0 en daaruit volgt (met de ABC formule) 4 dat p alleen maar een integer kan zijn als a b het kwadraat is van een integer. (3) p en q kunnen dus makkelijk opgezocht worden door bij elke a en b die aan b 1< a < b+ 1 voldoen na te gaan of ze ook voldaan aan voorwaarde (3) Dat levert de volgende lijst van tot integer converterende wortelsommen tot de 10 waarin triviale veelvouden en triviale kwadraten zoals: ( 3+ 4) zijn weggelaten. ( 3) Enkele wortelvormen die naar een integer converteren + 5 + ( ) + ( 3+ 7) + ( 5+ 7) ( 5+ 8) ( + ) + ( 6+ 8) ( 6+ 10) + ( 7 + 10) ( 3 5) ( 5 6) ( 6 7) ( 7 8) 5 10
VII. Terug naar de oorspronkelijke vraag: Hoeveel negens achter de komma telt ( + 3) 010 Een getal dat eindigt op.99 wijkt 0.01 af van een integer. Het aantal negens van zo n getal laat zich berekenen met de logaritme. Als een getal b.v. 0.01 afwijkt van een integer staan er achtereenvolgende negens achter de 10 log 0.01 = komma want ( ) En een getal dat eindigt op 0.9997 wijkt 0.0003 af van een integer. 10 log 0.003 3.58 dus 3 achtereenvolgende negens achter de komma. ( ) Aha, het aantal negens kunnen we dus berekenen door de 10 log te nemen van de afwijking en dan daarvan het aantal cijfers vóór de komma te nemen! Oh ja en die min laten we weg. VIII. Oplossing en generalisatie: u kunnen we eindelijk de oorspronkelijke vraag beantwoorden: Hoeveel negens achter de komma telt ( + 3) 010 010 1005 ( + 3) is gelijk aan ( 5 + 4 ) ( 5+ 4) 1005 wijkt van een integer af met ( 5 4) 1005 Het aantal negens achter de komma van ( + 3) 010 volgt dus uit 1005 ( ) ( ) log 5 4 = 1005 log 5 4 1000,568 10 10 Dus ( + 3) 010 heeft 1000 achtereenvolgende negens achter de komma! IX. og meer inzichten: Uiteraard is de afwijking van een integer niet altijd hetzelfde voor willekeurige ( Het hangt er maar net van af hóe snel lim ( a b) De vorm ( 7 + 8) convergeert heel snel, de vorm ( ) naar 0 convergeert. a + 5+ 10 juist langzaam. Zó langzaam dat de convergentie op een rekenmachine niet meer zichtbaar wordt aangezien de getallen te groot worden. --- b )