PARADOXEN 1 Dr. Luc Gheysens

Transcriptie

1 PARADOXEN Dr. Luc Gheysens REKENKRONKELS Inleiding Het niet stellen van voorwaarden, een onoplettendheid in het rekenwerk, het verkeerd toepassen van een rekenregel, een foutieve redenering leiden soms tot grappige en onmogelijke resultaten. Om dit te illustreren staan hieronder vier fictieve verhaaltjes en één merkwaardig bewijs. Daarna komen een reeks leuke rekenkronkels aan bod. We nodigen de lezer meteen uit om precies aan te stippen waar de fout zit in de redenering of in de berekening. De juf schrijft op het bord vier breuken en vraagt om die correct te vereenvoudigen: Mieke voert de opdracht als volgt uit: Mieke behaalde op Paradoen dr. Luc Gheysens

2 De wiskundeleraar heeft net uitgelegd dat bij bepaalde functies een verrassende limietwaarde kan verschijnen wanneer de variabele nadert naar een reële getalwaarde. Om dit te illustreren schrijft hij op het bord: lim. 8 8 Daarna vraagt hij of iemand het antwoord kent op de volgende vraag: Bereken lim. 5 5 Jos, een wiskundecrack in wording, geeft als antwoord lim. 5 5 Nadat de wiskundelerares de stelling van Pythagoras heeft bewezen, schrijft ze de volgende opgave op het bord: Mark vindt als eerste het antwoord: Paradoen dr. Luc Gheysens

3 Eamenvraag. Los op naar : Antwoord van een vlugge leerling: uit de opgave volgt dat () en bijgevolg is. Dit blijkt de juiste oplossing te zijn! Als een oudere man een jonge vrouw wil veroveren, dan zoekt hij eigenlijk veel problemen. Hoe kan je dit bewijzen? () Om een jonge vrouw te veroveren, heeft een oudere man tijd en geld nodig. We kunnen stellen dat: () Maar time is money, dus () Uit () en () volgt: JONGE VROUW VEROVEREN TIJD GELD TIJD GELD JONGE VROUW VEROVEREN (GELD)² (4) Maar geld is de wortel van veel problemen, dus (5) Uit () en (4) volgt: GELD VEEL PROBLEMEN JONGE VROUW VEROVEREN VEEL PROBLEMEN. Paradoen dr. Luc Gheysens

4 Paradoen dr. Luc Gheysens 4 Eerste bewijs. a² a² a² a² a(a a) (a a) (a a) a a a Stel hierin a, dan is. Tweede bewijs. Stel a b, dan is a² ab a² a² a² ab a² a² ab a² ab a² ab (a² ab) a² ab Derde bewijs. Met behulp van matrirekenen vinden we: en () Dan is (wegens ())... Hieruit volgt dat.

5 Paradoen dr. Luc Gheysens 5 Derde bewijs. Met behulp van matrirekenen en via de formule (A B)² A² AB B² vinden we wanneer A, B en C : (A B)² C () en A² AB B² C () Uit () en () volgt dat. Vierde bewijs. Hiervoor gebruiken we de formule van het binomium van Newton: n n n n n n b b na... b² a! ) n(n b n a a b) a (. Stel hierin n, dan is (a b) a b en dit betekent dat en dus is. ². ². ². ². ² (². ²). (². ². ²) (. )². (.. )² Hieruit volgt dat.

6 - Eerste bewijs. 6 - (-)³ ) ( 6 ( [ ) ] Tweede bewijs. cos² sin² (cos²) / ( sin²) / cos³ ( sin²) / Stel hierin 8, dan is (-) / en dus is -. Derde bewijs. 6 ( 64)² 6 6 ( ) () en 6 ( 64)² ( 64) 6 ( 64) 64 4 () Uit () en () volgt dat -. Paradoale appelverkoop Twee fruithandelaars hebben elk een kist met appels. Bij de eerste verkoper krijg je appels voor euro en bij de tweede verkoper krijg je er slechts voor euro. De tweede verkoper doet het volgende voorstel aan de eerste verkoper: Aangezien er 5 appels in één kilo gaan, kunnen we beter onze voorraad samenvoegen en de appels verkopen tegen euro voor 5 appels. Dit maakt uiteindelijk geen verschil uit voor onze inkomsten en de appels zullen vlotter verkopen. Binnen het uur zijn alle appels verkocht en voor hun 6 appels hebben beide handelaars samen 4 euro inkomsten. Plots realiseert de eerste handelaar zich dat er iets misgelopen is. Mocht hij zijn appels tegen euro per stuks verkocht hebben, dan zou hem dat euro aan inkomsten hebben opgeleverd. De appels van de tweede handelaar (tegen de prijs van euro per stuks) zouden 5 euro opgebracht hebben. Samen maakt dit 5 5 euro. En nu hebben ze maar 4 euro verdiend! Hoe kan dat? Paradoen dr. Luc Gheysens 6

7 Paradoale drankrekening Drie studenten hebben in een bar elk voor euro drank verbruikt. Ze betalen elk euro aan de kelner. De gastvriendelijke patroon zegt aan de kelner: Het zijn nieuwe klanten. Geef hen maar 5 euro terug. De kelner besluit echter aan elke student euro terug te geven en stopt zo euro in zijn eigen zak. Blijkbaar hebben de studenten nu elk 9 euro betaald en heeft de kelner zelf euro verdiend. Maar keer 9 euro plus euro maakt samen slechts 9 euro. Waar is dan de resterende euro gebleven van de euro die de studenten samen hebben betaald? Waar zit de fout in de redenering? Vanuit het standpunt van de studenten is er maal 9 euro uitgegeven. Vanuit het standpunt van de kelner bedragen de inkomsten 5 7 euro. Nu is 9 5 en er is geen enkele reden om 9 te berekenen. Paradoale rit Vertegenwoordiger Pieter moet op een dag van stad A naar stad B rijden. In stad B heeft hij voor zaken uur oponthoud. Op de terugweg is er filevorming waardoor hij er beduidend langer over doet. De steden liggen 8 km van elkaar verwijderd. Bij zijn terugkeer in de firma vraagt de chef aan Pieter met welke gemiddelde snelheid hij het traject heeft afgelegd en hoe lang hij in stad B is gebleven. Pieter verklaart: Ik reed van A naar B met een gemiddelde snelheid van km/h en bij de terugreis haalde ik een gemiddelde snelheid van slechts 6 km/h. In stad B ben ik eact twee uur gebleven. Dan betaal ik je hiervoor zes uur wedde, zegt zijn baas, want jouw 6 gemiddelde snelheid was 9 km / h en 6 km tegen een gemiddelde snelheid van 9 km/h betekent dat je vier uur onderweg was. Tel hierbij de twee uur op voor het oponthoud in stad B, dan komen we uit op zes uur. Maar Pieter blijft argumenteren dat hij zes en een half uur weg was. Hij verantwoordt zich op de volgende manier. Van A naar B was het 8 km met een snelheid van km/h. De heenreis duurde anderhalf uur. Van B naar A was het 8 km met een snelheid van 6 km/h, d.w.z. dat de terugreis drie uur duurde. Samen maakt dit vier en een half uur. Tel hierbij de twee uur van het oponthoud in stad B op en zo kom ik aan 6 en een half uur. Wat was er mis met de berekening van de baas? Paradoen dr. Luc Gheysens 7

8 Paradoale stelling over kwadraten STELLING. Het kwadraat van een natuurlijk getal is nooit van de vorm 4n, waarbij n zelf een natuurlijk getal is. Bewijs. Indien het kwadraat van een natuurlijk getal van de vorm 4n is, dan is dit natuurlijk getal een y-waarde, waarbij tegelijkertijd y ² en y 4. Via gelijkstelling moet dan voldoen aan ² 4. De oplossingen van de vierkantsvergelijking ² 4 zijn 5 en 5. Geen van beide waarden levert via substitutie in y 4 (of in y ² ) een natuurlijk getal op. Hiermee is de stelling bewezen. Nochtans is voor n : 4n 9 ² en voor n 6: 4n 5 5² en voor n : 4n 49 7² Hoe kan dat? Een merkwaardige stelling over de natuurlijke getallen STELLING. Het enige natuurlijke getal verschillend van is. Bewijs. Kies een natuurlijk getal n verschillend van, dan is We tellen bij beide leden van deze gelijkheid op: (n )n... (n ). (n )n... (n ) n² n... (n ) n² n... n n(n ) n² n n² n n² n n n n. Paradoen dr. Luc Gheysens 8

9 Vergelijkingen met een bizarre oplossing We bepalen een oplossing van de vergelijking ². () is geen oplossing en dus is ² () Uit () in () volgt dan door gelijkstelling: ² ² ³ - -. Maar als we deze oplossing invullen in (), dan komen we tot de bizarre vaststelling dat - (-)² of dus. Los op:. Oplossing: (beide leden kwadrateren) ² ² De oplossingen zijn dus en. Wanneer we vervangen door in de opgave, blijkt dat -. Paradoen dr. Luc Gheysens 9

10 Los op:. Oplossing: ( beide leden tot de derde macht verheffen) ( ) (term tussen haakjes is gelijk aan : zie opgave) ( beide leden tot de derde macht verheffen) ( )( ) ² 4 4. is de enige oplossing van deze vergelijking. Maar als we die oplossing invullen in de opgave, vinden we dat (-) (-) of dus. Los op in IR: log( 9) log. Oplossing: pas de rekenregels voor logaritmen toe: log( 9) log log( 9) log log log( 9) log () 9 - Dit kan geen oplossing zijn van de vergelijking daar de logaritme van negatieve getallen geen reële waarde is. Paradoen dr. Luc Gheysens

11 Een krachtig bewijs door volledige inductie STELLING. Alle inwoners van Erps-Kwerps zijn even oud. Bewijs. Via volledige inductie tonen we aan dat deze bewering juist is voor alle waarden n (aantal inwoners). Basisstap: de stelling is waar voor n (evident). Inductiestap: veronderstel dat de stelling waar is voor p, dan tonen we aan dat hieruit volgt dat ze ook waar is voor p. Uit het bovenstaande schema blijkt immers dat, als de stelling waar is voor p inwoners, ze eveneens waar is voor de inwoners die we nummeren van tot en met p, maar ook voor de inwoners die we nummeren van tot en met p (want dit zijn weer precies p inwoners). Bijgevolg zijn alle inwoners genummerd van tot en met p even oud. Europarado euro euro eurocent eurocent,6 euro,6 eurocent (afronden tot op eurocent) eurocent eurocent??? Paradoen dr. Luc Gheysens

12 Zijn alle natuurlijke getallen gelijk? We tonen aan dat voor elk natuurlijk getal n geldt dat n n. (n )² n² n (n )² (n ) n² (n )² (n ) n(n ) n² n(n ) (n )² (n )(n ) n² n(n ) (n )² (n )(n ) (n )² n² n(n ) (n )² 4 4 (n ) (n ) n (n ) ( n ) (n ) n (n ) n n. Zijn alle reële getallen gelijk? Kies twee willekeurige reële getallen a en b en stel t a b. Dan is (a b)(a b) t (a b) a² b² ta tb a² ta b² tb t² t² a ² ta b² tb 4 4 t t ( a )² (b ) ² t t a b a b Paradoen dr. Luc Gheysens

13 Een verdachte ongelijkheid Als een willekeurig reëel is waarvoor 4 < 6 < 8 en < 4 < 7, mag je dan hieruit 6 4 niet besluiten dat alle reële waarden kan aannemen tussen en 8? 4 7 Hier maakt men de redeneerfout dat uit 4 < a < 8 en < < door lid-aan-lidvermenigvuldiging volgt dat 4. < a. < 8.. Dit is niet waar omdat waarden aanneemt 7 b 7 b b die kleiner zijn dan. 6 Correcte redenering:. Uit < 4 < 7 volgt dat < <, zodat < < en < < Dit betekent dat < < Paradoen dr. Luc Gheysens