UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Signalen en Transformaties 5608 op maandag 9 oktober 007, 9.00.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren!. Een periodiek signaalft wordt op het interval[, gegeven door t< 0, ft= 0 t<. a Toon aan dat het lijnenspectrum vanf gelijk is aan i e ikπ/ k 0, f k = k=0. We hebben voork 0: f k = = 0 fte ikω 0t dt e ikω 0t dt 0 e ikω 0t dt [ ] = ikω 0 e ikω 0 [ ] 0t ikω 0 e ikω 0t 0 = ikω 0 e ikω 0 e ikω 0 + Gebruik makend vanω 0 = π T = π krijgen we: f k = i e i/ e 4i/ en aangezien: e i/ =e 4i/ krijgen we het gegeven antwoord voork 0. Voork=0hebben we: f 0 = = 0 ft dt dt = = 0 dt en ook dat komt overeen met het gegeven antwoord.
b Bepaal de reële Fourierreeks. We weten dat de reële Fourierreeks wordt gegeven door: a 0 + k= a k coskω 0 t+b k sinkω 0 t. We weten datω 0 = π en f k=a k ib k. We vinden dusa 0 = en voork>0: f k = i e ikπ/ = i cos = sin +i a k = sin b k = cos i sin cos Hieruit volgt dat de reële Fourierreeks gelijk is aan: + k= [ sin ] t cos + cos sin t. c Is de reële Fourierreeks overal gelijk aan de functieft? Als de functie continu is in een punt dan is in dat punt de Fourierreeks altijd gelijk aan de functie. We moeten alleen de punten waar de functie niet continu is nader controleren. In het punt 0 maakt de functie een sprong van naar. Daar is de Fourierreeks gelijk aan: f0 +f0+ = 0 maar de functie voldoet aan f0 =. De functie is dus niet overal gelijk aan de Fourierreeks. d Bereken het amplitudespectrum g k van het signaalgt=ft. Bij een tijdverschuiving van een functie zal alleen het fasespectrum veranderen. Het amplitudespectrum blijft gelijk en we hebb g k = f k en we vinden g 0 = terwijl voork 0: g k = e ikπ/ = + cos sin = cos
. Van een ideaal laagdoorlatend filter wordt de frequentieresponsie Hω gegeven door Hω=trian π ωe iωt 0. Hierin ist 0 > 0. a Bepaal de impulsresponsieht van het systeem. trian π t 4 sin πω πω 4 sin πt πt π trian π ω 4 sin πt πt π trian π ω sin πt π t trian π ω sin πt t 0 π t t 0 trian π ωe iωt 0 We vinden: ht= sin t t 0ω π t t 0 Aan het systeem wordt een ingangssignaal ut= sinπ t t toegevoerd. Zijyt de responsie van het systeem op het gegeven ingangssignaalut. b Schets het amplitudespectrum van yt en bereken de energie inhoud van dit signaal. rect π t sinπω ω sin πt π rect π ω t sin πt π rect π ω t sin πt πrect π ω t en dus is de Fouriergetransformeerde vanut gelijk aan: Uω=πrect π ω
We krijgen: Yω=HωUω=πrect π ω trian π ωe iωt 0 Yω =πrect π ω trian π ω 4.5.5.5 0.5 0 0.5 0 De energieinhoud vanyt is gelijk aan: E y = π en we vinden E y = 7π 4 Yω dω c Bereken de kruis spectrale dichtheids u,y vanueny, d.w.z. de Fouriergetransformeerde van de kruiscorrelatieρ u,y t vanueny waar: met ρ u,y t= ρ u,y t= ρ u,y t=u gt gt=y t uτ+ty τ dτ ut τy τ dτ De Fouriergetransformeerde vanut is gelijk aan: Uω=πrect π ω
en uit de Fouriergetransformeerde vanyt: Yω=πrect π ω trian π ωe iωt 0 volgt dat de Fouriergetransformeerde vangt gelijk is aan: Gω=πrect π ω trian π ωe iωt 0 maar dan is volgens de convolutiestelling: S u,y ω=uωgω=π rect π ω trian π ωe iωt 0.. Bepaal de convolutie van ft = sint en gt = rect π t op twee verschillende manieren. f gt= en we krijgen: ft τgτ dτ f gt= π π sint τ dτ =[cost τ] π π = cost π cost+π = 0 Aan de andere kant, de Fouriergetransformeerde vanft is gelijk aan: Fω= π i [δω δω+] terwijl de Fouriergetransformeerde vangt gelijk is aan: Gω= sinπω ω maar dan is de Fouriergetransformeerde vanf gt gelijk aan: FωGω= π i = π i = 0 sinπω [δω δω+] ω [ δω sinπ δω+ sin π ] π π en dus is ook de convolutief gt gelijk aan 0. 4.
Gegeven is de differentaalvergelijking y t+yt=ut. Verder is gegeven dat de ingangut=sint,t R. Drie vrienden waren tijdens het studeren aan het kijken hoe we de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking het beste kunnen bepalen. Ron beweert dat we dit kunnen doen met Fourierreeksen omdat de ingangut een periodieke functie is. Harry beweert daarentegen dat we dit beter kunnen doen met behulp van de Laplacetransformatie. Hermione vindt haar vrienden maar erg dom en beweert dat ze allebei ongelijk hebben. Aan u de vraag om uit te zoeken wie gelijk heeft en waarom. Bovendien, willen we u vragen de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking te bepalen. Natuurlijk heeft Hermione gelijk. De Fourierreeks kan alleen periodieke oplossingen vinden. Maar de homogene vergelijking heeft als oplossing een exponentiële functie en die is niet periodiek. Aan de andere kant, Harry heeft ook ongelijk want via de Laplace transformatie werken we alleen voor t > 0 terwijl er een algemene oplossing wordt gezocht voor allet R. De oplossing vinden we via het oplossen van de homogene vergelijking en het vinden van een particuliere oplossing. Voor het vinden van een oplossing van de homogene vergelijking y t+yt=0 proberen wee rt en we vindenr =. De algemene oplossing van de homogene vergelijking is dus: y h t=ae t Voor het vinden van een particuliere oplossing proberen we een functie van dezelfde vorm alsut. In dit geval proberen we een constantey p t=c sint+c cost en we vindenc = enc =. De algemene oplossing is dus: yt=ae t + sint cost 5. Gegeven is de differentiaalvergelijking y t y t 6yt=u t ut. a Bepaal de impulsresponsie van. Om de impulsresponsie te vinden kiezen weut=δt. We vinden na de Laplacetransformatie Us = en s s 6Ys=s Us=s Ys= s s s 6 = s s s+ = s+
Kortom yt=e t ½t De impulsresponsie is dus gelijk aane t ½t. b Als ingang kiezen we ut = 5 ½t. Bepaal alle begrensde oplossingen voor t> 0 van. yt Ys y t sys y0 y t s Ys sy0 y 0 aan de andere kant: ut Us= 5 s u t sus u0 =5 We vinden: s s 6Ys=5 5 s +sy0 +y 0 y0 Ys= [ 5 5 ] s s 6 s +sy0 +y 0 y0 of Ys= 5 s s 6 5 ss s 6 s s s 6 y0 s s 6 y 0 y0 We krijgen: Ys= s s+ + 5 s s s+ 5s + 5s+ 5s 5s+ y0 y 0 y0 en Ys= 5 s 5 s+ y0 +y 0 y0 y 0 5s 5s+ Via de inverse Laplace transformatie krijgen we: yt= 5 ½t 5 e t ½t 5 y0 +y 0 e t ½t 5 y0 y 0 e t ½t Om een begrensde oplossing te krijgen moeten we hebben dat y0 +y 0 =0. We kunnen door een geschikte keuze van de begincondities y0 y 0 willekeurig kiezen zelfs onder de conditie y0 +y 0 =0. Alle begrensde oplossing worden dus gegeven door: yt= 5 ½t+Ae t ½t
c Gegevenut= voort> bepaal alle oplossingen van voort> gegeven y=eny =0. Je kunt dit op twee manieren oplossen. Door een verschuiving kunnen we eerst een oplossing vinden metut = voort > 0 gegeveny0 = eny 0=0en dan de oplossing terugschuiven. Een andere methode is eerst de algemene oplossing vinden voor de homogene vergelijking y t y t 6yt=0 en we krijgen: y h t=ae t +Be t Daarna proberen we een particuliere oplossing te vinden met een constante ingang ut =. We krijgen: y p t= De algemene oplossing is: Ae t +Be t + Uity=eny =0krijgen we Ae +Be + = en Ae + Be = 0 We krijgen uit de tweede vergelijkinga= e5 B en dus e +e B= A= 0 e, B= 5 e Als we dit samenvoegen krijgen we: 0 e t + 5 et +