Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt niet. a A 0 6 AB 6 BC 0 AC C? B 6 00 6 De optelling van de kwadraten klopt, dus nabc is een rehthoekige driehoek. D DF EF DE 6 6 F? E 6 De optelling van de kwadraten klopt niet want en geen 6, dus ndef is geen rehthoekige driehoek. M? K KL KM LM 600 600 76 600 L De optelling van de kwadraten klopt niet want 76 80 en geen 600, dus nklm is geen rehthoekige driehoek. Blok - Vwo
d Blok - Vwo V VW WX X W VX 6 De optelling van de kwadraten klopt niet want 8 en geen 6, dus nvwx is geen rehthoekige driehoek. a d e f g PQ 0 PR 0 QR... 600 00 00 Als de lengte van QR gelijk is aan 00 = 0 m, dan is /P een rehte hoek. Als QR langer is dan 0 m, dan is /P een stompe hoek. Als QR korter is dan 0 m, dan is /P een sherpe hoek. Als /P sherp is, dan is de lengte van QR kleiner dan 0 m. Als /P stomp is, dan is de lengte van QR groter dan 0 m. De grootst mogelijke lengte van QR is 0 0 70 m. De kleinst mogelijke lengte van QR is 0 0 0 m. a KL KM LM De optelling van de kwadraten klopt niet want 6 en geen, dus nklm is geen rehthoekige driehoek en /K is niet reht. De langste is te kort voor een rehthoekige driehoek. /K is kleiner dan 0. d nklm is een sherphoekige driehoek.
a AC 6 BC AB 8 6 6 De optelling van de kwadraten klopt niet want 6 6 en geen 6, dus nabc is geen rehthoekige driehoek en /C is geen rehte hoek. De lengte van AB wordt dan 6 78,. In de getekende driehoek is AB te lang. d In de getekende driehoek is a + <. e nabc is een stomphoekige driehoek. f Als a + =, dan is /C reht en is nabc een rehthoekige driehoek. Als a + >, dan is /C sherp en is nabc een sherphoekige driehoek. Als a + <, dan is /C stomp en is nabc een stomphoekige driehoek. 6 AC 8 6 AB 0 BC 00 6 Er geldt dat 6 00 < 6, dus nabc is stomphoekig. KM 67 LM KL 67 8 Er geldt dat 67 8 >, dus nklm is sherphoekig. PQ PR QR 68 68 Er geldt dat 68, dus npqr is rehthoekig. Blok - Vwo
a Blok - Vwo VWO Opdrahten De hoeken van alle vierkanten zijn 0 en van elk vierkant zijn de vier n even lang, dus kun je altijd de vier n met dezelfde fator vermenigvuldigen om de n van een ander vierkant te krijgen. Je moet er voor zorgen dat er een tweetal overeenkomstige hoeken is dat even groot is. Bij alle rehthoeken is de reedte 0,7 keer de lengte, ehalve ij de rehthoek met een lengte van 6 m en een reedte van, m. a /C 80 6 7, /D 80 7 6 en /E 80 7 6 De driehoeken ABC en CDE zijn toh gelijkvormig omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, want /A /D 6, /B /E en /C /C 7. De fator van driehoek CDE naar driehoek ABC is, :,. De lengte van BC is,,, m en de lengte van DE is, :,, m. d De lengte van AE is,,, m en de lengte van BD is,, m. e De oppervlakte van ncde is 8, :, < 0,67 m. a De driehoeken PQR en TSR zijn gelijkvormig want /P /T en /R /R, dus is ook /Q /S. De fator van driehoek TSR naar driehoek PQR is 0 : 8,. De lengte van RQ is 8,, 0, m. De lengte van SQ is 8, 0, 8, m. Bijvooreeld a N M 8 mm 8 mm 0 0 mm 0 K 0 0 mm L Osar kan hierij de driehoeken UVZ en XYZ geruiken. De fator van driehoek XYZ naar driehoek UVZ is 8 : 6, dus UZ is keer zo lang als YZ. Samen zijn ze m lang. De lengte van UZ is = m en de lengte van YZ is = m.
6 80 600 0... 600 8000 De diagonaal van het grondvlak is 0... 8000 8 000 00 0 00 8000 m. De lihaamsdiagonaal is 0 00 0 m. Van de uis steekt ongeveer 0 0 m uit de kist. 7 Een shetsje laat diret zien dat KL of LM het langst is. 08 KL... KL 06 7 LM... 0 66 06 8 8 86 00 LM 00, dus KL is het langst. Een shetsje laat ook diret zien dat MN of KN het kortst is. Bij MN kun je een rehthoekige driehoek maken met rehthoeksn en 66 en ij KN kun je een rehthoekige driehoek maken met rehthoeksn en. Van die laatste driehoek zijn eide rehthoeksn kleiner dan ij de eerste driehoek, dus is KN het kortst. 8a... 8 De diagonaal van het grondvlak is = m.... 0 De lengte van de lihaamsdiagonaal is 0 m. Invullen van d = 0 geeft d = 0 en invullen van l, en h geeft l + + h = + + = + 8 + = 0, dus het antwoord klopt. l... l l Blok - Vwo
a 6 Blok - Vwo De diagonaal van het grondvlak is l +. h d l + l h d De optelling geeft d l h. Van punt A naar punt B moet je 6 7 naar rehts en 0 naar oven. AB 7 BC... AC 0 8 0 BC 8 = Punt C ligt oven of onder punt B. En en. Dat geeft voor de oördinaten C(, ) of C(, ). Van punt P naar punt Q moet je naar rehts en 8 naar eneden. PQ... PQ = PQ QR... PR 0 8 0 QR = Punt R moet op de irkel met middelpunt Q en straal liggen. Verder moet de hoek tussen PQ en QR gelijk zijn aan 0. Een tekening in een assenstelsel maken geeft dat punt R de oördinaten (0, ) of (6, ) heeft.
a Blok - Keuzemenu Projet - De getallenwereld van Pythagoras Zo n drietal noemt men een Pythagoreïsh drietal omdat in een driehoek met n, en de stelling van Pythagoras geldt. 6 De optelling van de kwadraten klopt, dus de driehoek is rehthoekig. Als je alle getallen van het Pythagoreïsh drietal (,, ) met vermenigvuldigt, dan krijg je het drietal (6, 8, 0). De ijehorende driehoek is een vergroting met fator. Er geldt : en 6 :, dus x = =. d Alle drietallen die je krijgt door alle getallen van het Pythagoreïsh drietal (,, ) met hetzelfde getal te vermenigvuldigen geven weer een Pythagoreïsh drietal. a 8 6 7 8 De optelling van de kwadraten klopt, dus de driehoek is rehthoekig en (8,, 7) is een Pythagoreïsh drietal. Alle drietallen die je krijgt door alle getallen van het Pythagoreïsh drietal (8,, 7) met hetzelfde getal te vermenigvuldigen geven weer een Pythagoreïsh drietal. Er geldt : 8 en 68 : 7, dus voor x = = 60 is (, x, 68) een Pythagoreïsh drietal. Er geldt 6 : 8 7 en 0 : 7, dus voor y = 7 7 = is (6, 0, y) een Pythagoreïsh drietal. a Invullen van m = en n = geeft a = =, = = = en = + = + =. Je krijgt het Pythagoreïsh drietal (,, ). Invullen van m = en n = geeft a = =, = = = en = + = + =. Ja, je krijgt het Pythagoreïsh drietal (,, ). - d Als m gelijk is aan n, dan is m n = 0 en he je geen driehoek. Als m kleiner is dan n, dan is m n een negatief getal en he je geen driehoek. Blok - Keuzemenu 7
a 8 Blok - Keuzemenu getal 6 7 8 0 ehte delers en, en, en en, en,,, en 6, en 7 Het getal 6 is een volmaakt getal. som van de ehte delers De ehte delers van 8 zijn,,, 7 en en 7 8. d Alleen 6 en 8 zijn volmaakte getallen onder de 0. a Het getal heeft niet preies twee delers, maar heeft slehts één deler. Een priemgetal heeft één ehte deler, want een priemgetal heeft preies twee delers, namelijk en het getal zelf, maar het getal zelf telt niet mee ij de ehte delers. Natasja krijgt eerst 0, dan en dan 7, dus 7 0. Hanneke krijgt eerst 0, dan en 7, dus 7 0. Beide leerlingen krijgen dezelfde priemgetallen, namelijk,, en 7. d Hoe je het ook doet, je krijgt altijd dezelfde priemgetallen. 6a 0 7 Eerst he je het getal, daarij komen de priemgetallen, en 7, dan twee priemgetallen vermenigvuldigen geeft, 7 en 7. 6 d De ehte delers van het getal 6 zijn,,,,, en. 6 7 8 6 0
7a 0 ominatie van priemgetallen - en 0 : 6 en 0 : 0 en 0 : 66 en 0 : 0 6 en 0 : 6 0 en 0 : 0 en 0 : en 0 : en 0 : 0 en 0 : 6 ehte delers en 6 en 0 en 66 en 0 6 en 0 en en en en 0 en 6 De ehte delers van 0 zijn,,,, 6, 0,,,, 0,,, 66, 0 en 6. d 0 7 De ehte delers van 0 zijn,,, 7, 0,,, 6,, 6, 70,, 0, 8 en. 8a 70 7 De ehte delers van 70 zijn,,, 0, 7, en 8. De ehte delers van zijn,,,,, en 6. 6 De ehte delers van 6 zijn,,, 8, 6,, 6, en 8. 86 De ehte delers van 86 zijn,,,,, 6 en. 0 7 8, dus 70 is geen volmaakt getal. 6, dus is geen volmaakt getal. 8 6 6 8 6, dus 6 is een volmaakt getal. 6 8, dus 86 is geen volmaakt getal. a 0 De ehte delers van 0 zijn,,,, 0,, 0,,, en 0. 8 7 De ehte delers van 8 zijn,,, 7 en. De som van de ehte delers van 0 is 0 0 0 8. De som van de ehte delers van 8 is 7 0. In de tael van opdraht staan geen evriende getallen. Blok - Keuzemenu
fi 0 Blok - Keuzemenu ICT Projet - Fratals a/ De tekening hieronder is op shaal :. d a a d A m F C D m E m B In een gelijkzijdige driehoek zijn alle n even lang en alle hoeken even groot, namelijk 80 : 60. De lijnstukken DE, EF en DF zijn even lang, want ze lopen allemaal van het midden van een naar het midden van een andere, dus ook ndef is een gelijkzijdige driehoek. Dus zijn ndef en nabc gelijkvormig. De n van ndef zijn allemaal 6 m lang. Je moet de lengten van de n van nabc met de fator 6: = vermenigvuldigen om de lengten van de n van ndef te krijgen. De fratal wordt opgeouwd door van een gelijkzijdige driehoek de middens van de n met elkaar te verinden. Daarna worden van de gelijkzijdige driehoeken aan de randen telkens weer de middens van de n met elkaar veronden. Alle driehoeken van de zeef van Sierpinski zijn gelijkzijdige driehoeken. Al deze gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig, want alle n zijn even lang en alle hoeken zijn even groot. Bij elke stap wordt steeds de fator geruikt, want de n van de gelijkzijdige driehoek die ontstaat door de middens van een gelijkzijdige driehoek te verinden, zijn de helft van de n van die driehoek. Na één stap heeft de fratal drie rode driehoeken en één groene driehoek. Iedere rode driehoek wordt in vier driehoeken verdeeld. Daarvan wordt de innenste driehoek groen en de overige drie driehoeken aan de rand worden rood. aantal aantal rode aantal groene stappen driehoeken driehoeken 0 0 7 8 0 6 7 6 Na zes stappen heeft de zeef van Sierpinski 7 6 0 driehoeken en dat is voor het eerst meer dan 000 driehoeken.
a De groene driehoek past vier keer in nabc. Je moet de oppervlakte van nabc met ( ) = vermenigvuldigen om de oppervlakte van ndef te krijgen. Na één stap is het deel van nabc groen en is het deel rood. d Het deel van nadf is groen geworden. e Van nabc is nu het 7 + = + = deel groen geworden. 6 6 6 f Na twee stappen is het 7 7 6 7 = = deel rood. 6 6 6 6 6 Na drie stappen is het 7 + 8 = + 7 = deel groen geworden. 6 6 6 6 a De fratal egint met een vierkant. Iedere wordt in vier stukken verdeeld en de middelste twee van die stukken worden vervangen door een vierkant naar rehts en een vierkant naar links. Dat wordt telkens herhaald. De oppervlakte van figuur is 6 m, want er gaat de oppervlakte van één vierkant naar innen van af en er komt de oppervlakte van één vierkant naar uiten ij. De oppervlakte van figuur is ook weer 6 m. De n van figuur zijn 6 = m. De omtrek van figuur is dan 6 m. De omtrek van figuur is 6 m. d Bij elke stap wordt de omtrek van de figuur twee keer zo groot. e De omtrek van figuur is 6 m. 6a - aantal stappen 6 7 aantal vierkanten 7 6 7 aantal driehoeken 7 6 7 Na zeven stappen heeft de Pythagorasoom vierkanten en 7 driehoeken. 7a De twee kleine vierkanten zijn even groot, dus de oppervlakte is :, m. AC... BC... AB...,, In het shema hieroven zie je dat AB = m en AC BC, m. DE AC, m DF... EF... DE,,,, DF EF, =, m 6 Blok - Keuzemenu
d e f Blok - Keuzemenu Van alle driehoeken in deze fratal zijn de overeenkomstige hoeken gelijk, want alle driehoeken heen één hoek van 0 en twee hoeken van.,, De lengtes van de n van het grote vierkant zijn met, = = = vermenigvuldigd om de lengtes van de kleine vierkanten te krijgen.,, De lengtes van de n van de grote driehoek zijn met, = = = vermenigvuldigd om de lengtes van de kleine driehoeken te krijgen. 8a De oppervlakte van vierkant is :, m. De oppervlakte van vierkant is, :, m. De oppervlakte van vierkant 7 is, :, m. De oppervlakte van driehoek is, :, m. De oppervlakte van driehoek is, :, m. De oppervlakte van driehoek 6 is, : 0,6 m. Zowel de oppervlakte van de vierkanten als de oppervlakte van de driehoeken wordt telkens gehalveerd. d aantal stappen oppervlakte van alle vierkanten samen oppervlakte van alle driehoeken samen totale oppervlakte 8 7 6,, 6,7, 0,,,7 6, e De totale oppervlakte van de Pythagorasoom na vijf stappen is 6, m. a - In de fratal kun je een dinosaurus herkennen. Bij elke keer vouwen wordt elk lijnstuk de helft. d aantal stappen aantal lijnstukken 0 6 7 8 0 8 6 6 8 6 0 e Na tien stappen heeft de figuur 0 lijnstukken. f De zwarte lijnstukken komen zo diht ij elkaar te liggen dat je ogen het ondersheid tussen zwart en wit niet meer kunnen maken.