Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Proeftentamen, Functies van één veranderlijke (952600) De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren! 2/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
. Toon aan voor alle x 2. ; /. d dx tan.arcsin x/ D. x 2 / 3=2 3/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben volgens de kettingregel: d dx tan.arcsin x/ D cos 2.arcsin x/ D sin 2.arcsin x/ D x 2 p x 2 D. x 2 / 3=2 p x 2 p x 2 4/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2. (a) Bepaal het minimum van de functie: f.x/ D x 2 ln x met x 2.0; /. (b) Bepaal met behulp van a) en de insluitstelling: lim x#0 x 3 ln x Het antwoord alleen is niet voldoende! 5/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We berekenen eerst de afgeleide: f 0.x/ D 2x ln x C x We zien dat de afgeleide 0 is voor x D p e. Voor x 2.0; p e / is de functie dalend en voor x 2. p e ; / is de functie stijgend. Het minimum wordt dus aangenomen in x D p e en het minimum is dus gelijk aan: 2e : 6/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor x 2.0; / hebben we: x 2e 6 x3 ln x 6 0 waarbij we voor de linkerongelijkheid onderdeel a) gebruikt hebben. We hebben: lim x#0 x 2e D 0 lim 0 D 0 x#0 De insluitstelling garandeert dan dat: lim x 3 ln x D 0 x#0 7/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
3. (a) Schrijf het complexe getal 2 2i in de polaire vorm: re i' (b) Schrijf in de vorm a C bi. 2i 3 C 4i 8/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 ϕ r 2 9/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 2i D re i' r D p 8 ' D 4 0/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2i 3 C 4i D 2i 3 4i 3 C 4i 3 4i. 2i/.3 4i/ D 25 D 5 0i 25 D C 2i D 5 5 2 5 i /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
4. Bepaal de volgende integraal Z=2 0 x 2 cos x dx: 2/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We gaan dit aanpakken met partiële integratie en we vinden: Z=2 0 x h 2 cos x dx D D x h cos x D i =2 2 sin x 0 i =2 0 Z=2 0 sin x dx: 3/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
5. Bereken de volgende integraal Z x C p dx 4 2x x 2 4/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We gebruiken eerst de substitutie y D 4 2x x 2 en dus: dy D. 2 2x/dx D 2.x C /dx We vinden: Z Z x C p dx D 4 2x x 2 2 p y dy D p ycc D p 4 2x x 2 CC 5/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
6. Bepaal voor de functie f.x/ D 2 sin x C cos x het Taylorpolynoom van de graad 2 rond x D 2. 6/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: f./.x/ D f.2/.x/ D 2 cos x C sin x.2 sin x C cos x/ 2 2 sin x C cos x 2.2 cos x sin x/2 C.2 sin x C cos x/ 2.2 sin x C cos x/ 3 en dus: f. 2 / D 2 f./. 2 / D 4 f.2/. 2 / D 3 4 en dus wordt het Taylorpolynoom gegeven door: f. 2 /Cf./. 2 / Š.x.2/ 2 /Cf. 2 /.x 2Š 2 /2 D 2 C 4.x 2 /C 3 8.x 2 /2 : 7/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
7. Bereken Z 0. C x/ ln. C x/ x dx 8/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Met de substitutie y D ln. C x/ vinden we: en dus Z. C x/ ln. C x/ dx D dy D C x dx Z y dy D ln y D lnœln. C x/ 9/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We vinden: Z 0. C x/ ln. C x/ x dx D lim s#0 D lim s#0 ŒlnŒln. C x/ lnœln 2 D lnœln 2 C lim s#0 D lnœln 2 C ln ln x s lnœln. C s/ C ln s s ln ln. C s/ s lim s#0 ln. C s/ D lnœln 2 C ln D lnœln 2 waarbij we in de vierde gelijkheid gebruik hebben gemaakt van de continuïteit van de logaritme. 20/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
8. (a) Bepaal de algemene oplossing van de lineaire differentiaalvergelijking: Ux 2 Tx C 2x D 0 (b) Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking: Ux 2 Tx C 2x D t 2 2/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We proberen een oplossing van de vorm e rt. We vinden:.r 2 2r C 2/e rt D 0 De bijbehorende karakteristieke vergelijking is dus: r 2 2r C 2 D 0 We vinden r D C i of r D i. We hebben nu twee complexe nulpunten en de theorie vertelt ons nu dat twee onafhankelijke oplossingen gegeven worden door e t sin t en e t cos t en de algemene oplossing wordt dan gegeven door: e t sin t C ˇe t cos t met en ˇ willekeurige constanten. 22/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We proberen een particuliere oplossing van de vorm Invullen levert op: We krijgen: at 2 C bt C c 2a 2.2at C b/ C 2.at 2 C bt C c/ D t 2 2a D 4a C 2b D 0 2a 2b C 2c D 0 We vinden dus a D 2, b D en c D 2. De particuliere oplossing die we vinden is dus gelijk aan: 2.t2 C 2t C / D 2.t C /2 23/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Gecombineerd met het antwoord van a. ( de algemene oplossing van de homogene vergelijking) vinden we: e t sin t C ˇe t cos t C 2.t C /2 24/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
9. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking: Tx D 2e t. t/ p C x met x.0/ D 0 voor t > 0. 25/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben en dus: Z dx dt D 2e t. Z 2 p dx D Cx t/ p C x. t/e t dt We vinden met behulp van partiële integratie: Z Z. t/e t dt D.t /e t e t dt D te t C C en Z 2 p Cx dx D p C x C C 2 De oplossing wordt dus bepaald door: p C x D te t C C () en dus x D te t C C 2 : 26/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Uit de laatste vergelijking met x.0/ D 0 vinden we C D of C D. Echter C D klopt niet als we het vergelijken met (). Dus we vinden als oplossing: x.t/ D te t C 2 D t 2 e 2t C 2te t 27/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Ga na of voor de functie f W Œ0; /!.0; gedefinieerd door: f.x/ D. C x/ 3 de inverse functie bestaat. 28/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We kijken naar de afgeleide van f en zien dat: f 0.x/ D 3. C x/ 4 < 0 Het is dus een dalende functie op het hele domein en dus zeker een injectieve functie. Bovendien geldt: f.0/ D ; lim f.x/ D 0 x! en dus daalt de functie van naar 0. Omdat de functie continu is worden, volgens de middelwaardestelling, alle waarden in het interval.0; aangenomen. Het randpunt 0 wordt natuurlijk niet aangenomen omdat f.x/ nooit gelijk is aan 0. Hieruit volgt dat de functie surjectief is. Omdat de functie surjectief en injectief is bestaat de inverse functie. 29/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI