Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer dan een liter (dus de bewering stemt overeen met de gegeven formule) maximumscore Als L (onbegrensd) toeneemt, nadert 0,69 L tot 0 Hieruit volgt dat + 79 0,69 L nadert tot Dit geeft dat C nadert tot 5,7, dus de grafiek heeft een horizontale asymptoot www. - -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II maximumscore b Uit de tabel volgen bijvoorbeeld de vergelijkingen a 0 = 0, en b a 70 =,5 Deze vergelijkingen op elkaar delen, geeft b b 70,5 = 0 0, 0 0, ( = ) 70,5 Hieruit volgt b 0, 6 Invullen van bijvoorbeeld L = 0 en W = 0, geeft a =, 0 0 Uit de tabel volgt dat als L verdubbeld wordt (van 0 naar 60), W met een factor 0,95 wordt vergroot 0, b 0,95 Uit = volgt b 0, 0, 6 Invullen van bijvoorbeeld L = 0 en W = 0, geeft a =, 0 0 Opmerking Als met een nauwkeuriger waarde van b is gerekend, kan de waarde van a afwijken. maximumscore 5,5, log =0 + L W 5,5, log L Hieruit volgt W = 0 0, 5,5 log( ) Dus 0 L W = 0 Dit geeft W = 0 5,5 L, 5,5, logw = log(0 ) + log( L ) 5,5, Dus logw = log(0 L ) Dit geeft W = 0 5,5 L, Opmerking 5,5 Als voor 0 een benadering is gegeven, hiervoor geen scorepunten aftrekken. www. - -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Functies met een wortel 5 maximumscore Invullen van (7, 08) geeft 7 7 + a = 08 Hieruit volgt 7 + a = Dit geeft 7 + a = 6, dus a = 6 maximumscore 6 Opgelost moet worden x x+ 8 = x (met x 0 ) Dus x + 8 = Hieruit volgt x + 8 =, dus x = P Dit geeft y = 8 Dus ( ) ( ) P OP = + 8 = 980 ( = 5) 7 maximumscore In het functievoorschrift van f moet x worden vervangen door x 8 Dit geeft gx ( ) = ( x 8) x Haakjes wegwerken geeft gx ( ) = x x 8 x 8 maximumscore 9 g' ( x) = x ( een gelijkwaardige vorm) x Beschrijven hoe de vergelijking g' ( x ) = 0 kan worden opgelost (Het minimum wordt aangenomen voor) x = 6 www. - -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Kruis in cirkel 9 maximumscore PS = MS MP MP = ( x + x = ) x (omdat > 0 x ) MS =, dus PS = x 0 maximumscore Er geldt: x = ( x = x ) Hieruit volgt x = Dus x = ( een gelijkwaardige vorm) 6 Er geldt: MP = Hieruit volgt x + x = 9 Dus x = ( een gelijkwaardige vorm) 6 www. - -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Een cosinusfunctie maximumscore (sin x cos x ) = 0 leidt tot sin x cos x= 0 Hieruit volgt sin x = 0 cos x = 0 Dit geeft de oplossingen x = 0, x = π en maximumscore 6 Beschrijven hoe de extreme waarden 0 en 0,5 van f worden gevonden met de GR Hieruit volgt a = 0,5 en b = 0,5 Het bepalen van de periode met de GR Hieruit volgt c = De x-waarde van een top van de grafiek van f ligt midden tussen de nulpunten x = 0 en x = ( ) π f ( π ) = = Hieruit volgt a = en b = 8 8 Met behulp van de nulpunten x = 0 en x = volgt dat de periode π π gelijk is aan π Hieruit volgt π c = = π www. - 5 -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Punt op hyperbool maximumscore Oppervlakte OAP = b h = a f ( a) x 6 Het functievoorschrift van f herschrijven tot f( x) = x a a 6 (a a) a a Oppervlakte OAP = = = a ( a ) a Oppervlakte OAP = b h = a f ( a) a a Oppervlakte OAP = + = + a a a ( ) Oppervlakte a aa a a = + = a a a maximumscore 5 Er geldt: [ Oppervlakte OAP] = Beschrijven hoe [ OAP] (a )( a ) (a a) ( a ) Oppervlakte = 0 opgelost kan worden Hieruit volgt a = ( a = voldoet niet) a = invullen geeft de minimale oppervlakte 9 www. - 6 -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Scharnierende vierkanten 5 maximumscore Hulplijn AE verdeelt APED in twee gelijke driehoeken AED en AEP Opp( APED) = Opp( AED) = AD DE DE = tan 5 Opp( APED ) = tan 5 en dit is afgerond 0,7 6 maximumscore 5 De cosinusregel in ABP : BP = + cos BAP Hieruit volgt cos BAP = 0,8 Hieruit volgt BAP 5 Het antwoord: α = 55 ABP is gelijkbenig, dus AMP met M het midden van BP is rechthoekig sin MAP = 0, Hieruit volgt MAP 7,5 Hieruit volgt BAP 5 Het antwoord: α = 55 Met F de loodrechte projectie van P op AB geldt: AF = sinα, dus BF = sinα PF = cosα De stelling van Pythagoras in BFP geeft BP = cos α + ( sin α) Beschrijven hoe cos α + ( sin α) = 0, 6 kan worden opgelost Het antwoord: α = 55 www. - 7 -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Cirkel om vierhoek 7 maximumscore PR is een middellijn van c, het midden van PR is dus het middelpunt van de cirkel + Voor de coördinaten van het middelpunt M geldt x M = = 7 + 7 en y M = = 9 De straal van c = (7 ) + (9 ) = 0 8 maximumscore 5 x = invullen in de cirkelvergelijking geeft ( y 9) ( = 00 6) = 6 Hieruit volgt y = 7 S 7 De richtingscoëfficiënt van PR = = Lijn l staat loodrecht op PR, dus er geldt l: y = x+ b Lijn l gaat door S (, 7). Hieruit volgt b = 7 De y-coördinaat van P is 9 = 8 minder dan de y-coördinaat van M Omdat xs = xp, geldt wegens symmetrie van de cirkel in de lijn met vergelijking y = 9 dat y S = 9 + 8 = 7 7 De richtingscoëfficiënt van PR = = Lijn l staat loodrecht op PR, dus er geldt l: y = x+ b Lijn l gaat door S (, 7). Hieruit volgt b = 7 www. - 8 -
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II 9 maximumscore 5 Punt Q ligt op lijn l y = x+ 7 substitueren in de cirkelvergelijking geeft ( x 7) + ( x+ 8 ) = 00 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden Dit geeft x = 6,6 Q Q ligt op l, invullen van x Q in de vergelijking van l geeft y Q = 5, 8 (dus Q (6,6; 5,8) ) Punt Q ligt op lijn l Punt Q is het beeldpunt van punt S bij spiegeling in PR De lijn door PR heeft als vergelijking y = x Het snijpunt van l met PR is (8,68;,) x = 8,68 + (8,68 ) = 6,6 en y =, + (, 7) = 5,8 Q Q (dus Q (6,6; 5,8) ) www. - 9 -