Hoofdstuk 8, Statistische maten 1 Hoofdstuk 8 Statistische maten Kern 1 Centrum- en spreidingsmaten 1 a Partij is een kwalitatieve variaele, kindertal een kwantitatieve, discrete variaele.,c d kindertal partij Modus 2 PvdA Mediaan 2 Gemiddelde 2,09 De mediaan is de middelste waarneming van de 45 geordende waarnemingen. Het gaat dus om de 23 e waarneming. Die valt in de categorie 2. Gemiddelde = 0 9 + 1 7 + 14 2 +... + 6 3 2,09. 45 kindertal 0 1 2 3 4 5 6 10 aantal personen 9 7 9 8 3 1 3 5 Nee, de 23 e waarneming zou dan nog steeds in de categorie met 2 kinderen vallen. 2 a De modus. Bij een kwalitatieve variagele is dat de meest voor de hand liggende centrummaat. Het gemiddelde. Omdat het geen kwantitatieve variaele is, is het gemiddelde niet te epalen. c De mediaan. De toestanden zijn te ordenen, de volgorde is niet willekeurig gekozen. Zo zou de middelste waarneming gevonden kunnen worden. 3 a Het gemiddelde is 35,8. De mediaan is 35,9. De mediaan verandert niet. c De slotronde duurde 47,7 35,2 = 12,5 seconde langer. De tegenstander komt daarom 12,5 seconde later over de finish. Er zijn 25 ronden gereden, dus de gemiddelde rondetijd is 0,5 seconde slechter, dat is 36,3 seconde. 4 a groep A groep B gemiddelde 5,6 5,6 mediaan 6 6 modus 6 6 Ondanks de verschillen tussen de twee groepen geven de centrummaten hetzelfde eeld. De spreidingsreedte = hoogste waarneming laagste waarneming. Spreidingsreedte groep A = 9 2 = 7. Spreidingsreedte groep B= 9 2 = 7. c Bij groep B is de spreiding groter, omdat daar meer waarnemingen van het centrum verwijderd zijn. Er zijn relatief meer uitschieters, zowel naar oven als naar eneden. 5 a Het eerste kwartiel is de mediaan van de eerste 15 waarnemingen. Het derde kwartiel is de mediaan van de laatste 15 waarnemingen. Zo vind je voor groep A: eerste kwartiel = 5 en derde kwartiel = 7. Voor groep B vind je: eerste kwartiel = 4 en derde kwartiel = 8. groep A groep B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c De meeste spreiding vind je ij groep B. De middelste 50% waarnemingen liggen hier tussen de 4 en 8, terwijl voor groep A geldt dat de middelste 50% waarnemingen tussen 5 en 7 liggen. In de oxplot is dit te herkennen aan de grootte van de ox. Hoe kleiner de ox, hoe minder spreiding in de waarnemingen.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 2 6 a Voor de meisjes geldt 1 13 + 1 14 + 2 15 + 4 16 + 2 17 = 155 = 15,5. 10 10 Voor de jongens geldt 2 12 + 2 13 + 3 14 + 4 15 + 7 16 + 2 17 = 298 = 14,9. 20 20 2 12 + 3 13 + 4 14 + 6 15 + 11 16 + 4 17 453 = = 15,1 30 30 De spreidingsreedte = 17 12 = 5 cd s. c De 10 jongens heen samen dus 143 cd s. Dat rengt het totaal op 453 + 143 = 596. Het aantal leden wordt verhoogd van 30 naar 40. Het nieuwe gemiddelde wordt dan 596 = 14,9. Over de 40 spreidingsreedte kan geen uitspraak worden gedaan. In het uiterste geval zou het ijvooreeld mogelijk zijn dat één van de jongens 143 cd s heeft en de overige 9 jongens 0 cd s.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 3 Kern 2 De standaardafwijking 7 a 38 + 46 + 58 + 52 + 36 = 46 5 kwadratische reactietijd afwijking afwijking 38 8 64 46 0 0 58 12 144 52 6 36 36 10 100 8 + 0 + 12 + 6 10 c Het gemiddelde van de afwijkingen is = 0. Afwijkingen naar oven compenseren 5 afwijkingen naar eneden. d Het gemiddelde van de kwadratische afwijking is niet 0, omdat door het kwadrateren afwijkingen naar eneden ook een positieve waarde krijgen. Het gemiddelde is 64 + 0 + 144 + 36 + 100 = 68,8 5 8 a 3 5 7 9 11 gemiddelde 7 afwijkingen 4 2 0 2 4 kwadr. afw. 16 4 0 4 16 gemiddelde 8 stand. afw. 8 2,83 0 1 8 7 12 8 gemiddelde 6 afwijkingen 6 5 2 1 6 2 kwadr. afw. 36 25 4 1 36 4 gemiddelde 106 stand. afw. 106 4, 20 6 6 9 a 160 165 170 175 180 185 190 spreidingsreedte = 190 160 = 30 cm. De kwartielafstand = derde kwartiel eerste kwartiel = 182,5 167,5 = 15 cm. c 160 165 170 175 180 185 190 gemiddelde 175 afwijkingen 15 10 5 0 5 10 15 kwadr. afw. 225 100 25 0 25 100 225 gemiddelde 100 stand. afw. 100=10 11 a, Voer de scores in ij lijst L1, de aantallen in lijst L2. Via STAT-CALC 1-Var Stats (L1, L2) vind je gemiddelde 62,02 en standaard afwijking 3,20. c Het gaat dus om kandidaten die meer dan 3,20 onder 62,02 heen gescoord, dus scores van 58 punten of minder. Dat waren 8 leerlingen. d Meer dan 3,20 oven 62,02 etekent scores van 66 punten of meer. Dat waren ook 8 leerlingen.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 4 12 a Het gemiddelde weekloon zal ook 50, stijgen, tot 900,. Door een gelijke verhoging voor iedereen verandert de standaardafwijking niet, die lijft dus 200,. Het gemiddelde weekloon gaat met 5% omhoog en wordt dus 892,50. De standaardafwijking gaat omhoog met 1,05 en wordt 204,94. c Bij een verhoging in procenten gaan de hogere lonen er meer op vooruit dan de lagere lonen. De ond voor lager personeel ziet daarom meer in de verhoging met een vast edrag. 13 a Er zijn 40 waarnemingen. De mediaan is het gemiddelde van de 20 e en de 21 e waarneming. Dat is hier dus 13,5 km. Het eerste kwartiel is het gemiddelde van de 10 e en de 11 e waarneming, dat is dus 12,5 + 14,7 = 12,6 km. Het derde kwartiel is het gemiddelde van de 30 e en de 31 e waarneming, dat is 2 dus 14,5 + 14,9 = 14,7 km. 2 11 12 12,6 13 13,5 14 14,7 15 16 c 50%, namelijk de laagste 25% en de hoogste 25%. d Zet het aantal kilometers in lijst L1 en de aantallen in lijst L2. L1 11,0 11,8 12,0 12,5 12,7 13,0 13,4 13,5 13,6 13,9 14,5 14,9 15,0 15,9 L2 1 3 3 3 2 4 1 6 2 3 2 5 4 1 Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1,L2). De gemiddelde afstand is 13,50 en de standaardafwijking is ongeveer 1,16. e Het gaat om alle waarnemingen die kleiner zijn dan 13,50 1,16 = 12,,33 en alle waarnemingen die groter zijn dan 13,50 + 1,16 = 14,66. Dat zijn 23 van de 40 waarnemingen, dat komt overeen met 17 0,575 57,5% 40 = =.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 5 Kern 3 Schatten ij klassen 14 a Waarschijnlijk iets meer dan 2100 meter. c klassenmidden aantal totale afstand 2100 2300 2500 2700 2900 3100 3300 3500 122 200 249 291 189 143 84 72 2100 122=256200 460000 622500 785700 548100 443300 277200 252000 d Zet de klassenmiddens in lijst L1 en de aantallen in lijst L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddelde afstand van 2700 km en een standaardafwijking van 377,75 m. 15 lengte (cm) lengte (cm) klassenmidden aantal 160 164 165 169 170 174 175 179 180 184 185 189 190 194 195 199 159,5 164,5 164,5 169,5 169,5 174,5 174,5 179,5 179,5 184,5 184,5 189,5 189,5 194,5 194,5 199,5 162 167 172 177 182 187 192 197 1 2 9 12 14 7 4 1 Zet de klassenmiddens in lijst L1 en de aantallen in lijst L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddelde lengte van 179,8 cm en een standaardafwijking van 7,22 cm. 16 a 162, 167, 172, 177, 182, 187, 192 en 197 gram. c Zet de klassenmiddens in lijst L1 en de percentages in lijst L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddeld gewicht van xxx gram en een standaardafwijking van xxx gram. d Het gaat om alle appels lichter dan xxxxx en zwaarder dan xxxx.. In totaal is dat 17 a 100% 75% 50% 25% < 2 <4 <6 <8 <10 cum. frequentie 31 54 71 77 80 cum. percentage 38,75% 67,50% 88,75% 96,25% 100,0% 0% 0 2 4 6 8 10 50% van de waarnemingen is kleiner dan de mediaan. Kijk je op de verticale as ij 50%, dan vind je op de horizontale as 2,8. c 25% van de waarnemingen is kleiner dan het eerste kwartiel. Kijk op de verticale as ij 25%, dan vind je op de horizontale as 1,3. 75% van de waarnemingen is kleiner dan het derde kwartiel. Kijk op de verticale as ij 75%, dan vind je op de horizontale as 4,7.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 6 18 a De mediaan is 37,5. Het eerste kwartiel 29, het derde kwartiel is 43. 25 30 35 40 45 50 19 a De mediaan lees je af ij een cumulatieve frequentie van 50%. Je vindt in dit plaatje dan een zwangerschap van xxx dagen. duur klassenmidden cum.frequentie frequentie zwangerschap 230 < 240 240 < 250 250 < 260 260 < 270 270 < 280 280 < 290 290 < 300 235 245 255 265 275 285 295 0,05 0,16 0,35 0,60 0,81 0,93 1,00 0,05 0,11 0,19 0,25 0,21 0,12 0,07 Zet de klassenmiddens in L1, de frequenties uit de laatste kolom in L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddelde zwangerschapsduur van 266. c Omdat het hier om heel veel waarnemingen gaat. Afwijkingen naar oven komen ongeveer even vaak voor als even grote afwijkingen naar eneden. Hierdoor ligt ongeveer 50% van de waarnemingen onder het gemiddelde en 50% oven het gemiddelde.
Hoofdstuk 8, Statistische maten 7 Kern 4 Klokvormige verdelingen 20 Gemiddelde 1000 ml. Modus 1000 ml. Mediaan 1000 ml. De drie centrummaten vallen samen. 21 a Wel. Het gaat om een continue variaele met een grote hoeveelheid meetwaarden. Uitschieters naar eneden (dus lichte jongens) zijn even waarschijnlijk als even grote uitschieters naar oven. Niet. Het gaat hier om een klein aantal waarnemingen, dat levert nooit een klokvorm op. c Niet. Er is wel een grote hoeveelheid waarnemingen (365), maar deze zullen niet symmetrisch rond een gemiddelde waarde liggen. d Niet. Er is een grote hoeveelheid waarnemingen, maar ook hier zullen de waarnemingen zich niet symmetrisch rond het gemiddelde evinden. Een uitschieter naar oven is hier waarschijnlijker dan een even grote uitschieter naar eneden. e Wel. Wanneer je van heel veel 25 cl-flesjes ier de inhoud meet, zullen de inhouden symmetrisch rond de gemiddelde waarde liggen. De kans dat je een flesje tegenkomt waar x ml teveel in zit is even groot als de kans op een flesje waar x ml te weinig in zit. 22 a De modus is 162 cm, die lengte heeft de hoogste frequentie. De mediaan is de middelste waarneming, dus de 2501 e waarneming. Die is ook 162 cm. (Tot en met 161 cm tel je 2349 waarnemingen.) lengte aantal klassenmidden 1500 135 139 1 137 140 144 18 142 145 149 122 147 1200 150 154 467 152 155 159 1118 157 900 160 164 1520 162 165 169 1115 167 600 170 174 489 172 175 179 128 177 180 184 22 182 300 185 189 1 187 c Zie afeelding rechts 137 147 157 167 177 187 lengte d Zet de klassenmiddens in lijst L1 en de aantallen in lijst L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddelde lengte van 162,07 cm en een standaardafwijking van 6,71 cm. e De modus en de mediaan zijn eide 162 cm. Voor het gemiddelde vinden we ook een schatting van ongeveer 162 cm. De centrummaten vallen dus ij enadering samen. De polygoon is ij enadering klokvormig. aantal 0
Hoofdstuk 8, Statistische maten 8 23 a 162 6,7 = 155,3. 162 + 6,7 = 168,7. Het gaat om alle lengten die tussen 155,3 cm en 168,7 cm liggen. Dat zijn ijna alle waarnemingen in de categorieën 155-159, 160 164 en 165 169. Dat zijn er 1118 + 1520 + 1115 = 3753. We rekenen nu echter te veel mee. De lengten die afgerond worden op 155 cm zijn 154,5 tot 155,5. Hiervan mogen we dus eigenlijk 8 niet meetellen. De lengten die 10 worden afgerond op 169 zijn 168,5 tot 169,5. Hiervan mogen we ook 8 niet meetellen. Totaal 10 verschillen dus 3753 8 10 170 8 157 = 3491 lengten minder dan één keer s van m. Dat komt 10 overeen met 3491 100% 69,8% 5001 =. Op dezelfde manier vind je dat 4781 lengten tussen 148,6 cm en 175,4 cm liggen. 4781 100% = 95,6% van de waarnemingen verschillen minder dan twee keer de standaardafwijking 5001 van het gemiddelde. c Ja, de verdeling voldoet ij enadering aan de vuistregels. 24 a De standaard afwijking is 2980 2780 = 200 gram. 84%. c 2,5% d 13,5% e Het gemiddelde wordt dan 2880 gram. De standaardafwijking verandert niet, is dus 200 gram. 25 a Zet de scores in lijst L1 en de aantallen in lijst L2. Toets via STAT-CALC in: 1-Var Stats (L1, L2). Je vindt dan een gemiddelde score van 7,6 en een standaardafwijking van 1,28. Tussen m s en m + s liggen alle scores van 6,4 tot 8,8. Dat zijn er 37 van de 56, dat komt overeen met 66,0%. Tussen m + 2s en m + 2s liggen alle scores van 5,1 tot en met 10. Dat zijn er 53 van de 56, dat komt overeen met 94,6% De scores voldoen dus ij enadering aan de vuistregels van klokvormige verdelingen. De verdeling is niet symmetrisch.