Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Blok - Vaardigheden bladzijde a domein en bereik b x = = = c Me behulp van onderdeel b en de grafiek: d Eers: log x = ofwel x = = Dan me behulp van de grafiek: ; e log = wan = log = wan = 7 f log = wan 7 = 7 log 7= wan 7 = 7 a Plo eers de grafiek: Dan: domein en bereik b x = = dus x = x = = = dus x = x = dus x = log x = = = dus x = x = dus x = log x = dus x = log a x = = dus x = dan is x = b x =( ) = dus x = c log( x ) = dus log( x ) = log( x ) = dus x = = Dan is x = dus x = 7 of x = 7 d x = ofwel x = dus x = ofwel x = e x = log log Dan is x = f x = dus x = log Dan is x = log 6 a q = p dus q= log p q = p dus q= log p p logq= p dus q = p logq= p dus q = b log7+ log = log 6 6 6 6 log= log = log 6 Dan: 6 log+ 6 log = 6 log6+ 6 log = 6 log log= log = log = log = dus log + = + = 96
Blok - Vaardigheden Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde bladzijde a p= log( q+ ) = log( q + ) dus q + = en dan is q = b p+ p + = log( + q) dus + q = p+ p en dan is q = = c p= log( q ) dus q p p p = en dan is q = + dus q = ( + ) d q p 9= dus ( p 9) = p+ = en dan is q= log( p+ ) e q q q+ q q p + = = = log( p+ ) = q ofwel q= log( p+ ) + Dan is q= log( p+ ) + f p p p= log( q ) = log( q )dus = q ofwel q = + p p 6a logp = log P en logt = logt Dan: logp+ logt = logp + logt = log( P T ) b log( P T ) = log( P T ) = dus P T = = 7a logp+ logt = log PT = dus PT = = b logh+ log K = log H K = dus H K = = c 6 6 6 6 6 logx + log y= logx + log y = log x y = dus x y = 6 = 6 d loga= log( a) = log( a ) en logb= log( b ) Dan: log( a ) = log( b ) ofwel log( a ) + log( b ) = Dan: log( a b ) = dus a b = = 6 ofwel a b = e q log( q) log( 6q ) = log log 6q = q en logp= log p Dan: log log p q = p ofwel p q = q f log( R) = log( R) en log( Q ) = log( Q ) Dan: log( R) + log( Q ) = log( R) ( Q ) = dus ( R) ( Q ) = = ofewel R ( Q ) = a Domein van f: x> x< Domein van f: Domein van g: x+ > x> Domein van g: b De overlap usen he domein van f en he domein van g is precies c ( x)( x + x+ ) = x + 6x+ x x x= x + x + x + en dan klop he. 9a logx+ log( x ) = logx + log( x ) = log( x ( x )) = log( x x ) b logx= log x en log( x+ ) = log( x+ ) = log( x + x + 6) Dan: fx () + gx () = logx + log( x + x+ 6) = log x ( x + x+ 6) = log( x + x + 6x ) 7 7 7 7 7 7 c logx+ logx= log( x x) = log( 6x ) = log( 6x) = log 6x a logx+ log( x ) = log( x ( x )) = log( x x) b log( x+ ) + log( x ) = log( x+ )( x ) = log( x + x ) c Eers: log( x) = log( x) = log( 6 6x+ x ) Dan: fx () + gx () = log( x ) + log( 6 6x+ x ) = log( x )( 6 6x+ x ) Vervolgens: log( x )( 6 6x+ x ) = log( x 9x + x 9) d Eers: log( x+ ) = log( x+ ) = log( x + x+ ) en = log 9 Dan: fx () + gx () = log9+ log( x + x+ ) = log( 9 ( x + x+ )) = log( 9x + x+ 9) 97
Blok - Vaardigheden Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde a De grafiek is en opziche van die van fx () = log x uigerek en verschoven dus sijg de grafiek nog seeds. b De grafiek is en opziche van die van fx () = log x gespiegeld in de vericale lijn x = 7 dus daal de grafiek. c De grafiek is en opziche van die van fx () = log x uigerek gespiegeld in de x-as en verschoven dus daal de grafiek. d Er word door log x gedeeld (en vervolgens word de grafiek me facor uigerek). De grafiek zal dalen. bladzijde a p p= ofwel p ( p ) = dus p = of p = p= dus p = of p = x x b Omda = ( ) c x = heef geen oplossing. d x = dus x = log 77 x x a x = p dan is = ( ) = p en dan volg p p+ 6= b p p+ 6= ( p )( p ) = p= of p= c x x = x = log en = x = a x = p dus de vergelijking word p p = Onbinden lever ( p+ )( p ) = dus p = of p = Dan is x = en da heef geen oplossing of x = ofwel x = log b x = p dus de vergelijking word p + p = Onbinden lever ( p+ )( p ) = dus p = of p = Dan is x = en da heef geen oplossing of x = ofwel x = log c x = of x = = = = dus x = lever x = = = dus x = lever x = d x = p dus de vergelijking word p p= ofwel p p = Onbinden lever ( p+ )( p ) = dus p = of p = Dan is x = en da heef geen oplossing of x = = ofwel x = e Eers de haakjes wegwerken: x = 7 ofwel x = x = p dus de vergelijking word p = Dus p = of p = Dan is x = en da heef geen oplossing of x = ofwel x = log f x = of x = Dan is x = dus x = of x = dus x = a Onbinden lever ( p+ )( p ) = dus p = of p = b Omda p= x geld dan: x = of x = Dan is x = of x = 9
Blok - Vaardigheden Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde 6a x = pdus de vergelijking word p p+ = Onbinden lever ( p )( p 6) = dus p = of p = 6 Dan is x = ofwel x = of x = of x = 6 ofwel x = of x = b q = p dus de vergelijking word 6 p p = 9 ofwel p + 6p 9= Vermenigvuldigen me lever p 6p+ 9= Onbinden lever ( p ) = dus p = Dan is q = ofwel x = of x = c 7 v = of 7+ v = Dan is v = 7 of v = 7 v = 7 of v = 7 d Eers de haakjes wegwerken: 9 h = ofwel h = h = p dus de vergelijking word p = Dus p = 9 of p = 9 Dan is h = 9 en da heef geen oplossing of h = 9 ofwel h = of h = 7a x y= lever y= x Vermenigvuldigen me lever dan y= x+ dus rc = b Je zag in onderdeel a da x y= lever y= x+ Subsuueer di in de vergelijking y= x dan: x+ = x Di lever x + x+ = Delen door wee geef dan x + x+ = ofwel ( x + ) = Dan is dus x =. Invullen geef y =. He enige snijpun is ( ) c k is evenwijdig me l dus rc = Dan: y= x+ Om he sargeal e vinden vul je he pun ( ) in. Dan: = + dus sargeal. Formule: y= x d De afgeleide funcie van y= x is y = x De helling in ( ) is dan = a b bladzijde dq = 7 p= p dp dq dp = c Eers haakjes wegwerken: q= 9p Dan: d q dp = 9 p= p d Eers haakjes wegwerken: q= 6p + Dan: d q dp = 6 p= p 9a Eers haakjes wegwerken: fx ()= 9x Dan: f () x = 9 x = 6x b Eers haakjes wegwerken: gx () = ( x+ )( x+ ) x= 9x + x+ x= 9x + Dan: g () x = 9 x= x 99
Blok - Vaardigheden Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde c Eers haakjes wegwerken: hp ( )= 6p Dan: h ( p) = 6 p = p 6 6 6 6 6 d Eers haakjes wegwerken: s () = 7 ( ) = 7 + = Dan: s () = 6 = 6 a Eers: Pun ( 9) f () x = x dus helling f ( ) = = Dan: raaklijn y= x+ Om he sargeal e vinden vul je he pun ( 9) in. Dan: 9= + dus sargeal. Formule: y= x+ b Eers haakjes wegwerken: fx ()= x + 6x+ 6 6x= x + 6 Dan: : Pun ( ) f () x = x= x dus helling f ( ) = = 6 Dan: raaklijn y= 6 x+ Vul he pun ( ) in. Dan: = 6 + dus sargeal. Formule: y= 6x+ = 6x c Eers haakjes wegwerken: fx ()= 9x Dan: Pun ( ) f () x = 9 x= x dus helling f ( ) = = 6 Dan: raaklijn y= 6 x+ Vul he pun ( ) in. Dan: = 6 + 6 dus sargeal 6. Formule: y= 6x 6 a f x = x = x Dan: x = lever x = of x = b f () x = x= 6x Dan: 6x = dus x = = 6 c Eers haakjes wegwerken: fx ()= x Dan is f () x = x= x Dan: x = dus x = = () a Pun P ( ) f () x = x= 6 x dus helling f ( ) = 6 = 6 Dan: raaklijn y= 6 x+ Vul he pun ( ) in. Dan: = 6 + dus sargeal. Formule: y= 6x+ b rc = dus de helling moe gelijk zijn aan. Dan is f () x = ofwel 6x = dus x = = 6 f( ) = dus dan is he pun ( ) Dan: raaklijn y= x+ Vul he pun ( ) in. Dan: = + dus sargeal. Formule: y= x+
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde ICT - Curve fiing bladzijde 6 a a 6 ; b b b ; g c Aanal = 76 d Vrijwel gelijk e 76 99 76 6 a y= x+ b y= 6x+ 676 c - d - bladzijde 7 a dag nr. 7 daglenge 6 67 6 6 9 7 77 b - c y= + sin( 7( x 79 )) d 7 dagen e februari o en me okober a To dagen verloop de groei vrijwel exponenieel. Aanal = b Aanal = 77 bladzijde a seconden b Tijdsip Ampliude 6 De groeifacor is c Zonder demping is he periodiek me periode en ampliude dus cos π. He ampliude is exponenieel a = en de evenwichssand y =. Dus cosπ +. d P = + 6a De grafiek is onvoldoende symmerisch in de vericale lijnen door de oppen. De ampliude is wisselend. b Een benadering voor de waarde van a is b = = periode 9 + = 9
ICT- Curve fiing Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde bladzijde 9 7a Ampliude verschil Toppen hebben nie de kenmerkende sinusoïde vorm. De snijpunen me de evenwichssand liggen nie periodiek. b De grafiek verschuif horizonaal. c Proberen me de schuifparameers geef: a ; b 9 d h= sin 9 ( + )
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Verdieping - Geluid bladzijde π a = seconde; Hz π b ; y = 6 sin π = 6 sin π c Je kun direc aflezen da de frequenie Hz is. bladzijde a He resulaa is van de vorm y= asin bx Dus blijf de oonhooge gelijk. He volume de ampliude verdubbel. b In he bijbehorende besand zijn de gebruike onen en y = sin( ( x )) De resulerende oonhooge blijf gelijk namelijk Hz. De ampliude en daarmee he volume word ongeveer keer zo groo. c He gaa in he besand om y = sin( x) en y = sin( ( x c)) en de superposiie hiervan. De oonhooge blijf gelijk. De resulerende geluidsgolf heef een maximaal volume als er geen faseverschil is. Als he faseverschil precies een halve rillingsijd ( c = ) is dan is he volume. De golven werken elkaar dan egen en doven elkaar ui. bladzijde a B = sin π = sin π B = 6 sin 76 B = sin b y 6 x a ( + k ) = + k = k Dus vanaf B hoor je de bovenonen nie meer en o B in heorie nog wel. a Je zie da de resulerende geluidsgolf nie overal dezelfde ampliude heef. Di kom doorda de geluidsgolven elkaar soms verserken maar elders elkaar egenwerken. b Na seconde herhaal he paroon zich. Dus is de frequenie van de zweving = Hz. c He verschil van beide oorspronkelijke frequenies: = Hz.
Verdieping - Geluid Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde 6a L = log I = log + log I + L I I I I Dus zorg een verdubbeling van I voor een oename van db. b De oename is dan log 9 c = log I I = logi log = log I + log I = I = d L= (log I log I ) L= (log I log ) L= (log I + ) L= logi + bladzijde 7a khz = Hz ; khz = Hz b = log I + log I = I = W/m c khz = Hz; khz = Hz Dus ussen en Hz. d khz = Hz ; 6 khz = 6 Hz Dus van o 6 Hz. a L = 6 respecievelijk L = 7 invullen in L= log I + geef: 6 = log I + log I = log I = I = W/m en 7 = log I + log I = 6 log I = 6 6 I = W/m 6 b L = log( + ) + L = + 7 db He geluidsniveau van wee apparaen samen is alijd kleiner of gelijk aan wee keer da van he luidse apparaa. Dus is er maximaal een verdubbeling van de inensiei en daarmee neem de geluidsniveau me maximaal db oe (zie opdrach 6a). 9a 6 = log I + log I = log I = I = W/m
Verdieping - Geluid Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde b P I bron ( 7) = = r P = 7 P = 9 Wa bron c I( ) = 9 9 6 bron 6 L log 9 + L 7 db d 9 = log 9 + r log 9 = r 9 = r r = 9 r 9 m a = log + r log = r = r r = r 9 9 m Kan nie waar zijn! r b % verlies per meer geef de facor 99 r c = log( 99 ) + r r log( 99 ) = r rlog 99 + log log log r = r log 99 logr = + log rlog 99 log r Ploen of een abel geef r 6 m.