Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken zijn rechthoekig. De oppervlakte van een alk kunnen we erekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken ij elkaar te tellen. Dus. oppervlakte = lengte reedte + reedte hoogte + lengte hoogte. Of in formulevorm: A = l + h+ l h De inhoud of het volume erekenen we als volgt: Volume = lengte reedte hoogte. Of in formulevorm: V = l h zijde zijde zijde Figuur ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 5 In figuur zien we een kuus getekend, hierij zijn alle zijden gelijk, dus lengte = reedte = hoogte. Zo n zijde noemen we meestal rie. De oppervlakte van een kuus kunnen we weer erekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken ij elkaar te tellen. Omdat deze vlakken gelijke vierkanten zijn, geldt voor de oppervlakte van een kuus: Oppervlakte = 6 zijde zijde Of in formulevorm: A = 6 z z = 6 z Voor de inhoud van een kuus geldt: Volume = zijde zijde zijde Of in formulevorm: V = z z z = z V. Gegeven Voor een alk geldt: lengte = m; reedte = m en hoogte = 5 dm. Gevraagd Oppervlakte en inhoud Oplossing Hoogte = 5 dm = 5, m A = l + h+ l h A = m m+ m, 5m+ m 5, m = 7m V = l h V = m m, 5m = 5m Oefeningen Bereken de oppervlakte en de inhoud van een alk met de volgende afmetingen: l = m, = dm en h = 5 cm. Bereken de oppervlakte en het volume van een kuus met een rie van cm. Van een alk is de oppervlakte 090 cm. De lengte is cm en de hoogte is, dm. Bereken de reedte en het volume van de alk. ThiemeMeulenhoff septemer 0

6 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 De inhoud van een alk is 5, 5cm. De reedte is, dm, terwijl de hoogte 57, cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze alk. 5 Een kuus heeft een inhoud van 78 cm. Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte. 6 De totale oppervlakte van een kuus is A = 76 cm. Bereken de lengte van een zijde en de inhoud. HET PRISMA EN DE PIRAMIDE In figuur is een driezijdig prisma getekend. Bij een prisma is de dwarsdoorsnede overal gelijk. Een prisma kan ook meer zijden heen. Deze zijden kunnen rechthoekig zijn, maar kunnen ook de vorm van een parallellogram heen. hoogte Figuur dwarsdoorsnede De oppervlakte van een prisma kunnen we erekenen door de oppervlakte van alle zijden ij elkaar op te tellen. Of in formulevorm: A = Σ A zijde De inhoud of het volume van een prisma erekenen we met: volume = oppervlakte dwarsdoorsnede hoogte ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 7 De dwarsdoorsnede loopt evenwijdig aan het grondvlak, de oppervlakte van de dwarsdoorsnede kunnen we vervangen door de oppervlakte van het grondvlak, dus ook geldt: volume = oppervlakte grondvlak hoogte Of in formulevorm: V = Agv h In figuur 4 is een piramide getekend. Ook nu kunnen we een dwarsdoorsnede tekenen. Merk op dat deze naar oven toe steeds kleiner wordt. T T dwarsdoorsnede hoogte A E D C T F E T B F Figuur 4 De oppervlakte van een piramide erekenen we door de oppervlakten van de grensvlakken ij elkaar op te tellen. Voor de piramide in figuur 4 geldt dan: oppervlakte piramide = 4 oppervlakte driehoek ABT + oppervlakte grondvlak Of in formulevorm: A = 4 z hz + z = z hz + z waarij z = zijde grondvlak en h z = hoogte zijvlak. Tip: om de hoogte van driehoek ABT te erekenen, geruiken we de stelling van Pythagoras. De inhoud of het volume van een piramide erekenen we met: volume = oppervlakte hoogte Of in formulevorm: V = z h ThiemeMeulenhoff septemer 0

8 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren V. Gegeven Van de piramide uit figuur 4 is het grondvlak een vierkant met een zijde van 6cm. De hoogte van de piramide is 7cm. Gevraagd a. Bereken het volume.. Bereken de totale oppervlakte. Oplossing a. V = z h A = ( 6cm) 7cm = 84 cm. We erekenen eerst de hoogte h z van ABT met de stelling van Pythagoras. = + 7 = 58 h z = 58 = 76, cm A = z h + z h z z A = 6cm 76, cm + ( 6 cm) = 7, cm V. Gegeven Het prisma van figuur heeft als grondvlak een driehoek met een asis van 8cm en een hoogte van 6cm. De hoogte van het prisma is 8 cm. Gevraagd Bereken het volume van het prisma. Oplossing V = Agv h V = 8cm 6cm 8cm = 4cm Oefeningen 7 De dwarsdoorsnede van figuur is een gelijkenige driehoek met gelijke rechthoekzijden van 6cm. De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 0 cm. a Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede. Bereken de oppervlakte van het prisma. c Bereken het volume van het prisma. ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 9 8 Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5cm. De hoogte TT = 5 cm. a Bereken de oppervlakte van de piramide. Bereken de inhoud van de piramide. 9 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 5 cm. De hoogte edraagt 0 cm. a Bereken de oppervlakte van de piramide. Bereken de inhoud van de piramide. 0 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 5 cm. De inhoud edraagt 000 cm. a Bereken de hoogte van de piramide. Bereken de oppervlakte van de piramide. Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 6cm en 7cm. De inhoud is 6 cm. a Bereken de hoogte van het prisma. Bereken de oppervlakte van het prisma. ThiemeMeulenhoff septemer 0

0 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren Het grondvlak van een recht regelmatig prisma heeft 6 zijden van elk 8cm. De hoogte edraagt 5 cm. a Bereken de omtrek van het grondvlak. Bepaal de oppervlakte van het grondvlak. c Bereken de totale oppervlakte van het prisma. d Bereken het volume van het prisma. DE BOL De oppervlakte van een ol erekenen we met: oppervlakte ol = 4 π straal Of in formulevorm: A = 4 π r 4 Voor de inhoud of het volume van een geldt: volume ol = π straal 4 Of in formulevorm: V = π r V. 4 Gegeven Een ol heeft een straal van, 5m. Gevraagd Bereken de oppervlakte en de inhoud. Oplossing A = 4 π r A = 4 π (, 5m) = 8, m 4 4 V = π r V = π (, 5m) = 4, m ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren Oefeningen Bereken de oppervlakte en de inhoud van een ol met een straal van m. 4 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een ol met een middellijn van 6cm. 5 Een ol heeft een oppervlakte van 00 cm. a Bereken de straal van de ol. Bepaal de inhoud van de ol. 6 Een ol heeft een inhoud van 50 cm. a Bereken de straal van de ol. Bereken de oppervlakte van deze ol. ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 DE CILINDER Bij een cilinder zijn het grond- en ovenvlak cirkels. Zie figuur 5. De uitslag van de mantel is een rechthoek. Zie figuur 6. h r dwarsdoorsnede Figuur 5 π r h Figuur 5 mantel Voor de oppervlakte van een cilinder geldt dan ook: oppervlakte cilinder = oppervlakte cirkel + oppervlakte mantel In formulevorm: A = π r + π r h De inhoud of het volume van een cilinder erekenen we als volgt: volume cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte In formulevorm: V = π r h ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren V. 5 Gegeven Een cilinder heeft een diameter van 8 cm en een hoogte van cm. Gevraagd Bereken de oppervlakte. Bereken de inhoud. Oplossing r = d r = 8cm = 9cm A = π r + π r h A = π ( 9cm) + π 9cm cm = 75cm V = π r h V = π ( 9cm) cm = 5598, cm Oefeningen 7 Een conservenlik heeft een diameter van 0 cm en is, 7 cm hoog. a Bereken de oppervlakte van het lik. Bereken de inhoud van het lik. 8 Een ander lik heeft dezelfde inhoud van 750 cm en is 5 cm hoog. a Bereken de straal van de odem. Bereken de oppervlakte. 9 Een cilinder heeft een inhoud van 80 cm en een diameter van 8cm. a Bereken de hoogte. Bereken de totale oppervlakte. ThiemeMeulenhoff septemer 0

4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 0 De oppervlakte van de mantel van een cilinder is 0 cm. De straal is 4cm. a Bereken de hoogte van de cilinder. Bereken de inhoud van de cilinder. 5 DE KEGEL De kegel heeft als grondvlak een cirkel. De hoogte h is de afstand tussen de top T en het middelpunt van het grondvlak, r g is de lengte van de straal van het grondvlak. Zie figuur 7. T h r g A B Figuur 7 De uitslag van de mantel is een cirkelsector. Zie figuur 8. De straal van de cirkelsector is rm = TA. α T A r m B Figuur 8 ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 5 Voor de oppervlakte van een kegel geldt: oppervlakte kegel = oppervlakte grondvlak + oppervlakte cirkelsector α Of in formulevorm: A = π rg + π rm. Dit is te herleiden tot: 60 g g m A = π r + π r r De inhoud of het volume van een cilinder erekenen we als volgt: inhoud kegel = oppervlakte grondvlak hoogte In formulevorm: V = π rg h V. 6 Gegeven Het grondvlak van de kegel van figuur 8 heeft een straal van 5cm. De hoogte van de kegel is 8cm. Gevraagd Bereken de oppervlakte. Bereken de inhoud. Oplossing Om r m uit te rekenen, geruiken we de stelling van Pythagoras. m g r = h + r r m = 8 + 5 = 89 r m = 89 = 94, cm A = π r + π r r A = π ( 5cm) + π 5cm 94, cm = 6, 4 cm g g m V = π rg h V = π ( 5cm) 8cm = 09, 4 cm Oefeningen Een kerktoren heeft een diameter van 7m. De spits is 5m hoog. a Bereken de oppervlakte van de spits. Bereken de inhoud van de spits. ThiemeMeulenhoff septemer 0

6 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren Het grondvlak van een kegel heeft een straal van 8cm. De hoogte is 0 cm. a Bereken de oppervlakte van deze kegel. Bereken de inhoud van deze kegel. Een kegel heeft een inhoud van 000 cm. De hoogte is cm. a Bereken de straal van het grondvlak van deze kegel. Bereken het oppervlak van deze kegel. 4 Een kegel heeft een inhoud van 480 cm. De straal van het grondvlak is 7cm. a Bereken de hoogte van deze kegel. Bereken het oppervlak van deze kegel. ThiemeMeulenhoff septemer 0

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 7 Antwoorden A = 79 dm ; V = 5 A = 864 dm cm ; V = 78 cm = 8cm ; V = 84 cm 4 l = 78, cm ; A = 4, 9cm 5 z = cm ; A = 864 6 z = cm ; V = 7a 85, cm 4 cm c 80 cm 8a 77 cm 5 cm 9a 50 cm 650 cm 0a 96, cm 45 cm a 6cm 75, cm a 48 cm 65, 6 cm c 05, cm d 484 cm 50, m ; 5, 5 m 4, cm ;, cm 5a 8, cm 9, 0 cm 6a 9, cm 9, cm 7a 556, cm 997, 5 cm cm cm ThiemeMeulenhoff septemer 0

8 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 8a 40, cm 477, 5 cm 9a 6, cm 40, 7 cm 0a 40, cm 0, cm a 05, 6 m 6, 4 m a 5, 0 cm 670, 0 cm a 89, cm 665, 4 cm 4a 94, cm 4, 4 cm ThiemeMeulenhoff septemer 0