5,7. Praktische-opdracht door N woorden 4 mei keer beoordeeld

Transcriptie

1 Praktische-opdracht door N woorden 4 mei ,7 175 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding en probleemstelling De laatste jaren hoor je steeds meer over fabrikanten die proberen hun verpakkingen milieuvriendelijker te maken. Dat kan door de vorm van de verpakking te veranderen. De verhouding tussen de oppervlakte en de inhoud is niet bij elke vorm hetzelfde. Soms helpt het ook om andere materialen te gebruiken die minder schadelijk zijn voor het milieu. Een kleinere oppervlakte bij dezelfde inhoud is niet alleen beter voor het milieu, maar ook goedkoper voor de fabrikant. Wij gaan de verpakkingen opdelen in wiskundige figuren waarvan we de formules voor de oppervlakte en de inhoud bepalen. Soms verwaarlozen we daarbij een klein gedeelte van de oppervlakte en de inhoud (bijvoorbeeld de oppervlakte van de dop van een cola fles is erg klein en door zijn vorm moeilijk te berekenen). Onze onderzoeksvraag is: Hoe economisch is een verpakking van een bepaalde vorm? We delen daarvoor de oppervlakte door de inhoud, die we eerst allebei berekend hebben. Behalve de standaard wiskundige vormen, berekenen we ook de oppervlakte en inhoud van combinatie van verschillende wiskundige vormen. Ook willen we de oppervlakte en inhoud van een soort cilinder met een zeshoekige bodem berekenen. Dat is meteen ons extraatje. Fabrikanten kiezen niet altijd de meest economische verpakkingen, ook de vorm is belangrijk. Is het makkelijk te vervoeren? Ziet het er luxe uit? Wekt de vorm de suggestie dat er meer inzit dat er werkelijk inzit? Dure artikelen hebben vaak ook een aparte vorm om de aandacht te trekken. Wij vinden dat fabrikanten gedwongen moeten worden om artikelen zo economisch mogelijk te verpakken. Het milieu lijdt onder de grote berg afval. Zwerfafval kan opgelost worden met bijvoorbeeld statiegeldflessen of navulverpakkingen. Ook mosterdpotjes die na gebruik als glas te gebruiken zijn, is een goed idee. Inleiding bij de opdrachten In de volgende 5 pagina s geven we de algemene formules van bekende lichamen, zoals kubus, balk piramide, enzovoort. Daarbij staan de beschrijvingen hoe we aan die formules gekomen zijn. We hebben iedere ribbe een letter gegeven, bijvoorbeeld x. Als een of meer ribben een andere lengte hebben moeten we ze een andere naam geven. Dus bijvoorbeeld y of een andere letter. Dit is bij de overige figuren het geval: daar hebben we dan ook andere letters gebruikt: x, y, z, h, t, d, s. h kun je opmeten maar is erg lastig, en d kun je al helemaal niet meten omdat die zich binnenin een lichaam bevindt. Die moet je dus berekenen, en de berekening daarvan staat beschreven en uitgelegd bij de appendix, op pagina De sterretjes (*) die je in ons verslag ziet zijn vermenigvuldigingstekens. Pagina 1 van 12

2 Kubus Opp: 6x2 Inh: x3 Een kubus wordt gevormd door 12 ribben van gelijke lengte. Omdat ze een gelijke lengte hebben, kunnen we ze allemaal x noemen. De oppervlakte van een vierkant wordt berekend met de algemene formule: lengte * breedte. Een kubus heeft zes gelijke vierkanten die de oppervlakte ervan vormen. Zo wordt de formule van de oppervlakte van een kubus: 6 * lengte * breedte. De formule wordt dan: 6 * x * x dus: 6 * x2 De inhoud van een kubus wordt berekend met de algemene formule: lengte * breedte * hoogte (of diepte). De formule van de oppervlakte wordt dan: x * x * x oftewel: x3 Balk Opp: 2xy + 2yz + 2xz Inh: xyz Van een balk hoeven niet alle ribben een gelijke lengte te hebben. Alleen de ribben die evenwijdig zijn aan elkaar hebben een gelijke lengte. Zo noemen we de lengte van de balk x, de breedte y en de hoogte/diepte z. Een balk heeft, net als een kubus, zes vlakken. Als men daar de oppervlaktes van berekent (lengte * breedte) en die bij elkaar optelt, is de oppervlakte van de hele balk berekend. Zoals de ribben die evenwijdig aan elkaar zijn een gelijke lengte hebben, zo hebben de vlakken van de balk die evenwijdig aan elkaar zijn, een gelijke oppervlakte. Zo zijn er twee oppervlaktes x * y, twee oppervlaktes y * z en twee oppervlaktes x * z. Als je deze optelt kom je uit bij: 2xy + 2yz + 2xz. Dit is dus de formule van de oppervlakte van de balk. De voor de inhoud van een balk geldt dezelfde formule als voor de inhoud van een kubus, namelijk lengte * breedte * hoogte (of diepte). De formule: x * y * z, dus xyz Prisma Opp: xh + 3zy Inh : ½ xhz We noemen de zijden van het grondvlak van de prisma x en z, de schuine zijde y en de hoogte (gemeten Pagina 2 van 12

3 vanaf het grondvlak van de prisma recht omhoog naar de top) h. Om de oppervlakte te berekenen moet je weer alle oppervlaktes van de zijden bij elkaar optellen. We beginnen met de driehoek: de formule voor de oppervlakte van een driehoek is ½ * basis * hoogte. Als je de driehoek op de lijn van h doormidden snijdt, en die omgekeerd weer tegen elkaar aanplakt, heb je een rechthoek: De oppervlakte van deze rechthoek is dan: ½ basis (van de driehoek die je ervoor had) * hoogte (van de vroegere driehoek). Vandaar ½ * basis * hoogte. Dan blijven de rechthoekige zijdes nog over: y * z. Er zijn twee driehoeken en drie rechthoekige zijdes, de formule wordt dus: 2 * ½ * x (basis) * h + 3 * z * y. Dus: xh + 3yz. Voor de inhoud van een prisma geldt: oppervlakte van het grondvlak * hoogte (of diepte). We nemen de driehoek als grondvlak, en als hoogte/diepte de ribbe die we z genoemd hebben. Dus: oppervlakte driehoek * y dan wordt de uiteindelijke formule: ½xhz. Zie voor h weer de appendix Piramide 4-zijdig Opp: 2xh + x2 Inh: 1/3x2d We noemen de zijde van het grondvlak x, de ribben van de schuine zijden y en de denkbeeldige lijn vanuit het midden van ribbe x schuin omhoog naar de top: h en de (ook denkbeeldige) lijn die vanuit het middelpunt van het grondvlak recht omhoog gaat d, deze laatste geeft de hoogte van de piramide aan. Om de oppervlakte te berekenen moeten we weer de oppervlaktes van alle vlakken bij elkaar optellen. We beginnen weer met de driehoekige schuine zijde. Hiervan zijn er vier gelijke. De oppervlakte hiervan is ½ * x * h. Dan de oppervlakte van het grondvlak nog: die is lengte * breedte, dus x * x. Nu wordt de formule dus: 4 * ½ * x * h + x * x Dit wordt dan weer: 2xh + x2. Kijk voor h weer bij de appendix. De algemene formule van de inhoud van een piramide geldt als volgt: 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. Met de hoogte bedoelen we hier d. Deze staat hierboven beschreven en in het tekeningetje getekend hoe hij loopt. d is weer te berekenen met de appendix: let wel op dat in dit geval de basis x is en de schuine lijn is h. De inhoud wordt dus: 1/3 * x * x * d, dus 1/3x2d. tetraëder Pagina 3 van 12

4 Opp: 2xh Inh: 1/6xhd We noemen de ribben van het lichaam (gelijkzijdige driehoeken, maar dat hebben we niet zo getekend omdat het dan te onduidelijk werd) x, we noemen de lijn in het grondvlak die van een punt van de gelijkzijdige driehoek naar het midden van de tegenoverliggende ribbe (x) loopt h, dit is de hoogte ven de gelijkzijdige driehoek, en als laatste noemen we de denkbeeldige lijn die loopt van het midden van het grondvlak (ook het midden van h) naar de top van de tetraëder d. We moeten wederom de oppervlaktes van de 4 vlakken bij elkaar optellen. Aangezien alle vlakken gelijke gelijkzijdige driehoeken zijn is het niet zo moeilijk: ½ * basis * hoogte dus 4 * ½ * x * h Dus de oppervlakte van de hele tetraëder is dus: 2xh De inhoud wordt bij een piramide, wat ook staat bij de berekening van de inhoud van de 4-zijdige piramide, met de formule: 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. De oppervlakte van het grondvlak hebben we hierboven al berekend: ½xh. De hoogte hebben we d genoemd, voor de berekening van h en d: zie de berekening van de inhoud van de 4-zijdige piramide en de appendix De formule wordt dus: 1/3 * ½ * x * h * d. Dit wordt: 1/6xhd. Cilinder Opp: 2pr2 + 2prh Inh: pr2h De hoogte van de cilinder noemen we h, en de straal r. de straal loopt vanaf het midden van de cirkelrechtstreeks naar de buitenkant van de cilinder. Voor de oppervlakte moeten we de boven- en de onderkant (twee maal dezelfde cirkel) van de cilinder optellen bij de oppervlakte van de mantel: als je de cilinder in de lengte op h doorsnijdt en daarna de mantel uitvouwt, krijg je een rechthoek, en de oppervlakte van deze rechthoek uitrekenen is dan niet meer zo moeilijk. De breedte van de rechthoek is h, de lengte van de rechthoek is de omtrek van de cirkel aan de onder- en bovenkant van de cilinder. De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: 2pr. De oppervlakte van de mantel wordt dan: h * 2pr. De oppervlakte van de onder- en bovenkant van de cilinder bereken je met de formule: pr2. Je hebt twee cirkels dus: 2pr2. De hele oppervlakte wordt dan: 2pr2 + 2prh. De inhoud van een cilinder bereken je met dezelfde formule als die van de prisma: oppervlakte grondvlak * hoogte. De oppervlakte van het grondvlak hebben we hierboven al gegeven: pr2. De hoogte blijft gewoon h. De formule voor de inhoud wordt dus: pr2 * h dus: pr2h. Pagina 4 van 12

5 Kegel Opp: pr2 + pry Inh: 1/3pr2h De kegel heeft niet zoveel ribben die je moet benoemen. Allereerst is er het grondvlak: een cirkel, waarvan we de straal r noemen. De schuin lopende lijn van het grondvlak naar de top noemen we y, dit is de beschrijvende lijn. De hoogte (vanaf het beginpunt van de straal tot aan de top) noemen we h. De mantel, als je hem openknipt en uitrolt, is een onvolledige cirkel. Volgens de stelling van Pythagoras is y = Ö( r2 + h2). De formule van de oppervlakte van de mantel is: pry. De oppervlakte van het grondvlak is: pr2. Samen is dat dus: pr2 + pry. Weer geldt: inhoud = 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. Dus: 1/3 * pr2 * h wordt 1/3pr2h. De formules hierboven hebben we met het polytechnisch zakboekje bepaald. Bol Opp: 4pr2 Inh: 4/3pr3 Bij de bol zijn er nog minder lijnen die je kunt benoemen, namelijk maar één, en dat is de straal, die we natuurlijk weer r noemen. Dat maakt dat de formule er ook niet zo ingewikkeld uitziet. De formule van de oppervlakte wordt dan ook: 4pr2. De algemene formule van de inhoud van een bol ziet er als volgt uit: 4/3pr3. Met deze formules heeft het polytechnisch zakboekje ons wat geholpen. Opdracht Afgeknotte cirkelkegel Groene Zwitserse kaas De volgende waarden heb ik allemaal opgemeten. R = straal grondvlak = 3,25 cm r = straal bovenvlak = 2,5 cm s = beschrijvende lijn = 7,5 cm h = hoogte = 7 cm Pagina 5 van 12

6 De formules van de inhoud en oppervlakte van een afgeknotte cirkelkegel heb ik uit het polytechnisch zakboekje gehaald. De oppervlaktes heb ik eerst bij elkaar opgeteld en vervolgens bij elkaar opgeteld. Hoe economisch is deze verpakking? Halve bol Paturain kruidenkaas r = straal = 4cm Deze verpakking is een halve bol. Hiervoor heb ik dus de formule voor een bol *0,5 nodig. Ik heb voor de oppervlakte apart de oppervlakte voor het deksel uitgerekend. Die heb ik weer bij elkaar opgeteld. Hoe economisch is deze verpakking? Afgeknotte piramide Goudkuipje h = hoogte = 3cm s = beschrijvende lijn = 3,5cm dg = diameter grondvlak = 5,5cm db = diameter bovenvlak = 6,5cm rg = straal grondvlak = 2,75cm rb = straal bovenvlak = 3,25cm Wat was de hoogte als de piramide niet afgeknot was geweest? 3,25-2,75=0,5cm stijging per 3cm. 2,75: 0,5= 5,5 5,5*3=16,5 cm hoger. 16,5+3=19,5cm Inhoud van de totale piramide: Inhoud van het gedeelte dat afgeknot is: Inhoud van goudkuipje is dan =109cm3. Hoe economisch is deze verpakking? Combinatie van kegel en cilinder fles coca cola Ik heb de volgende maten gemeten : o = omtrek = 29,5cm d = diameter = 9cm r = straal = 4,5cm ht = totale hoogte = 32cm hc = hoogte cilinder = 21cm hk = hoogte kegel = 11cm s = beschrijvende lijn = 8cm Ik heb de fles verdeeld in een cilinder onder en een kegel boven. Daarom heb ik veel losse berekeningen Pagina 6 van 12

7 moeten maken, die ik later weer bij elkaar opgeteld heb. De formules heb ik niet meer uitgeschreven, maar meteen ingevuld, omdat anders de formules te lang werden. Hoe economisch is deze verpakking? Combinatie van piramide en cilinder Maggi saus De volgende maten heb ik gemeten: dg = diameter grondvlak = 4,5cm rg = straal grondvlak = 2,25cm db = diameter bovenkant piramide = 6cm rb = straal bovenkant piramide = 3cm dc = diameter cilinder = 2,5cm rc = straal cilinder = 1,25cm hc = hoogte cilinder = 5,5cm hp = hoogte piramide = 8,5cm s = beschrijvende lijn piramide = 9,5cm 3-2,25=0,75cm 0,75 in 8,5 cm Nog 2,25cm te gaan 2,25:0,75=3 3*8,5=25.5cm erbij hoogte totale piramide=25,5+8,5=34cm Ik heb het maggiflesje opgedeeld in een afgeknotte piramide en een cilinder. Die bereken ik afzonderlijk en tel ik daarna bij elkaar op. Hoe economisch is deze verpakking? cilinder met zeshoekig grondvlak langnese bijenhoning x = 3cm r = straal = 2,25cm h = hoogte = 8,5cm Om de oppervlakte van 1 driehoek te bepalen, reken ik eerst de hoogte van de driehoek uit. Hiermee kan ik de oppervlakte berekenen. Hiermee bereken ik de oppervlakte van de zijkanten. Hoe economisch is deze verpakking? Prisma Toblerone x = 6 cm Pagina 7 van 12

8 z = 30,6 cm h = 5,2 Oppervlakte = xh + 3zy = 6 * 5,2 + 30,6 * 6 = 370,8 cm2 Inhoud= ½xhz = ½ * 6 * 5,2 * 30,6 = 477,36 cm3 Oppervlakte/inhoud = 0,78 Cilinder Caotina-bus (Zwitserse chocolademelk) h = 17,5 r = 4,8 Oppervlakte = 2pr2 + 2prh = 2p* 4,82 + 2p * 4,8 * 17,5 = 672,55 cm2 Inhoud = pr2h = p * 4,82 * 17,5 = 1266,70 cm3 Oppervlakte/inhoud = 0,53 Poedersuikerbus r = 3 cm h = 19,5 cm Oppervlakte = 2pr2 + 2prh = 2p* p * 3 * 19,5 = 424,12 cm2 Inhoud = pr2h = p * 32 * 19,5 = 551,35 cm3 Oppervlakte/inhoud = 0,77 Tetraëder Spelling-piramide x = 11,5 h = 8,9 d = ½hÖ(3) (zie appendix) Oppervlakte = 2xh = 2 * 11,5 * 8,9 = 204,70 cm2 Inhoud = 1/6xhd = 1/6 * 11,5 * 8,9 * ½ * 8,9 * Ö(3) = 131,48 cm3 Oppervlakte/inhoud = 1,56 Balk Tea-for-one doosje x = 6 y = 6,6 Pagina 8 van 12

9 z = 12,2 Oppervlakte = 2xy + 2zy + 2xz = 2 * 6 * 6,6 + 2 * 12,2 * 6,6 + 2 * 6 * 12,2 = 386,64 cm2 Inhoud = xyz = 6 * 6,6 * 12,2 = 483,12 cm3 Oppervlakte/inhoud = 0,80 Pak hagelslag x = 9,5 y = 16 z = 4 Oppervlakte = 2xy + 2zy + 2xz = 2 * 9,5 * * 4 * * 9,5 * 4 = 508,00 cm2 Inhoud = xyz = 9,5 * 16 * 4 = 608,00 cm3 Oppervlakte/inhoud = 0,84 Opdracht 3 Gegeven: Een cilinder heeft een inhoud van 1 liter (1000 cm2). Bereken de hoogte en de diameter waarbij een minimale hoeveelheid blik nodig is. Uitwerking: De algemene formule voor de inhoud van een cilinder: inhoud cilinder = p*r2*h De algemene formule voor het berekenen van de oppervlakte: oppervlakte cilinder = 2*p*R2+2*p*R*H Hierin staat R voor de straal van de cirkel. De straal is de helft van de diameter. H staat voor de hoogte van de cilinder. Ik weet de inhoud, dus dat kan ik invullen inde formule. 1000cm3 = p*r2*h Ik kan deze formule uitdrukken in H. H = 1000/(p*R2) Dit kan ik invullen in de formule voor de oppervlakte, zodat ik daarin nog maar 2 onbekende heb. Oppervlakte cilinder = 2*p*R2+2*p*R*(1000)/(p*R2) Dit kan ik invullen in mijn GR, samen met de formule voor de hoogte. Ik kijk dat waar de oppervlakte van de cilinder het kleinst is als hij positief is. Dat is bij de top van deze dalparabool. Dit reken ik precies uit met calc > minimum. Dat is het punt: (553,58;5,419) De X-as geeft de oppervlakte aan, dus die is minimaal 553,58 cm2. De Y-as geeft de straal aan, dus die is 5,419 cm. Ik moet de diameter weten. Pagina 9 van 12

10 diameter = 2*R = 2*5,419 = 10,838 cm De hoogte bereken ik door R in de vullen in de formule voor de hoogte: hoogte = 1000/(p*R2) = 1000/(p*5,419 2) = 10,84 cm Opdracht 4 Tetraëder Bij welke afmetingen is de oppervlakte zo klein mogelijk? Ik heb in vademecum voor de wiskunde de formules voor een tetraëder gevonden: x = een rib van de tetraëder. Deze formules voer ik in op mijn GR. In de tabel zoek ik uit bij welke x de inhoud 1000cm3 is. Als de inhoud 1000cm3 is, is x = 20,397cm. Dan kijk ik wat de oppervlakte is bij dezelfde x. Dan is de oppervlakte 720,6cm2. Er is bij deze inhoud geen andere oppervlakte mogelijk, dus dit is ook meteen het antwoord op de vraag Prisma We moeten berekenen wat een zo klein mogelijk oppervlak geeft bij een prisma met een inhoud van 1000 cm3. Bij de inleiding van de opdrachten staan de algemene formules van een prisma: Oppervlakte = xh + 3 zy Inhoud = ½ xhz Bij de appendix staat dat h = ½ xö(3) Inh = ½ xhz Inh = ½ x * ½ x Ö(3) * z 1000 = ¼ x2 * z * Ö(3) 4000 = x2zö(3) z = 4000 / (x2ö(3)) opp = x * h * 3xz opp = x * ½ xö(3) + 3x * (4000/x2Ö(3)) opp = ½ x2ö(3) + (3x * 4000) / ( x2ö(3)) x is ongelijk aan 0 dus: opp = ½ x2ö(3) + (3 * 4000) / (xö(3)) opp = ½ x2ö(3) / (xö(3)) Nu invoeren op GR en minimum zoeken: x = 7,37 opp = 141,05 z = 4000 / (x2ö(3)) z = 42,54 Conclusie Pagina 10 van 12

11 Hierin willen wij proberen antwoord te geven op de probleemstelling: Hoe economisch is een verpakking van een bepaalde vorm? We vergelijken daarom alle verpakkingen door de uit te rekenen hoeveel cm2 oppervlak elke verpakking per cm3 heeft. Hoe hoger dit getal, hoe oneconomischer de verpakking. Een afgeknotte cirkelkegel is heel erg oneconomisch. Met 4,66 is het de hoogste score. Ik denk dat deze vorm vooral wordt gebruikt om de aandacht van klanten te trekken en om er luxe ui te zien. Een halve bol is erg milieuvriendelijk. Met 0,94 is de oppervlakte zelfs kleiner dan de inhoud. Het is alleen geen handige vorm om overal toe te passen. Zo n verpakking neemt ook meer ruimte in dat een zonder ronde vormen. De afgeknotte piramide zit in de middenmoot. Het is geen overdreven opvallende vorm, maar met 1,44 is het een redelijk economische verpakking. Een fles coca-cola is heel erg economisch. Het is een combinatie van een cilinder en een kegel die makkelijk is bij het inschenken van de cola. Dit lage getal heeft waarschijnlijk ook te maken met de grote inhoud, waardoor de oppervlakte ook in vergelijking kleiner is dan bij een kleinere fles cola. Een maggifles heeft een erg mooie vorm en met 1 als eindresultaat is het ook erg economisch. Met 1,44 is de honingpot redelijk economisch en heet toch een aparte vorm. Een toblerone heeft een goede verpakking, want 0,78 is laag. Prisma s zijn ook nog redelijk stapelbaar, dus over die vorm is nagedacht. Ook de coatine-bus en de poedersuikerbus, beide cilinders, scoren met 0,53 en 0,77 goed. Alleen lijkt mij deze vorm bij het instapelen erg onhandig. Een spelling-piramide is minder goed. Met 1,56 behoort het tot de slechtere. Een tetraëder is een leuke vorm om te zien,maar niet erg praktisch. Tea-for-one is als balk redelijk economisch met 0,84. het is alleen geen originele vorm en is duidelijk ontworpen voor het praktische gebruik en niet om de originaliteit. Appendix Als het voorkomt dat men in het hiernaast staande geval h moet weten, kan men die als volgt berekenen: y De schuine hoek ( in dit geval y genoemd) wordt meestal h berekend met de stelling van Pythagoras, wat het volgende inhoudt (zie hiernaast) a2 + b2 = c2. ½ x Zo kunnen we verder gaan met het eerste geval: c b We berekenen het eerst bij een gelijkzijdige driehoek: c2 = b2 + a2 a x2 = h2 + (½x)2 x2 = h2 + ¼x h2 + ¼x2 = x2 x h2 = x2 ¼x2 h2 = ¾x2 Pagina 11 van 12

12 h = Ö(¾x2) x h = Ö(3 * ¼x2) h = Ö(3 (½x)2) h = ½xÖ(3) opp. = basis * hoogte opp. = ½ * h * x opp. = ½ * ½xÖ(3) * x opp. = ¼x2Ö(3) Nu gaan we het berekenen bij een ongelijkzijdige driehoek: c2 = a2 + b2 y2 = (½x)2 + h2 h2 = y2 ¼x2 h = Ö(y2 ¼x2) opp. = ½ * Ö(y2 ¼x2) * x y opp. = ½x * Ö(y2 ¼x2) x Bronvermelding & Literatuurlijst Polytechnisch zakboekje Vademecum van de wiskunde, Otto Teiler Tabellen en formules, exacte vakken voor het MTO Logboek: we hebben er per persoon ongeveer 25 uur aan besteed. In totaal dus 50 uur. Pagina 12 van 12