Twee vertellingen ver 7r J. P. HOGENDJK Tekst van een vrdracht, gehuden p de jaarlijkse studiedag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren,T ktber 1979 te Utrecht. Dames en Heren, De 'twee vertellingen ver n ', waarver deze vrdracht gaat, zijn echt gebeurd; ze spelen zich af in de bleitijd van de slam. De hfdpersnen van beide vertellingen zijn slamitische meetkundigen : de eerste is Al-Kuhi, die in de tiende eeuw leefde, wat hij met z deed hud ik ng even geheim. De tweede vertelling gaat ver Al-Kashi ( + 140). Hij heeft ninlídecimalen benaderd, zijn resultaat n : 6,8185071795865 is tt in de laatste decimaal crrect. Er zijn een aantal redenen waarm ik deze twee vertellingen ver z heb uitgekzen als nderwerp vr vandaag. Allereerst is n een getal dat je vaak tegenkmt in de dagelijkse praktijk van het nderwijs, en als zdanig dacht ik dat z wel paste in het thema van vandaag. Verder ligt het nderwerp in de sfeer van de geschiedenis van de wiskunde, p verzek van de rganisatren. Tensltte hp ik dat ik met deze twee vertellingen de meesten van u iets zal vertellen dat hen ng niet bekend is; deze vertellingen zijn k leuk mdat ze niet helemaal znderverband zijn met wat vandaag in verschillende werkgrepen hier gebeurt, vral in de werkgrepen ver merkwaardige prducten, kleine redeneringen en blikwisseling. De indeling van de lezing is verder als vlgt. Eerst zal ik een krte inleiding geven ver de wetenschap en de wiskunde in de slam. Dan zal ik iets meten vertellen ver het werk van Archimedes. Hierp vlgen de verhalen veral-kuhi en Al-Kashi. Z'n 10 jaar na de dd van Mhammed, we leven dan in het jaar 750 na Chr., is Bagdad de hfdstad van het lslamitische rijk. De kaliefen beginnen nu van Bagdad een centrum van wetenschap te maken, drdat zlj zveel mgelijk handschriften met wetenschappelijke werken in het Grieks, het Oud-Syrisch en het Sanskrit naar Bagdad laten kmen, en daar laten vertalen. En vanaf dat mment ntstaat er een slamitische wetenschap met een eigen karakter, een slamitische wetenschappelijke traditie die bijvrbeeld in Perzië tt ver in de l9e eeuw levend is gebleven. Met wetenschappen bedel ik hier dan vral geneeskunde, filsíïe, wiskunde, natuurwetenschappen en aardwetenschappen. De taal van de wetenschappen blijft tt in de 5e eeuw het Arabisch, alhewel lang niet alle geleerden die binnen deze traditie werkten Arabieren waren. Het meren- 95
deel was Mslim van andere natinaliteit (bijv. Perzen), en er waren k Christelijke en Jdse geleerden, die binnen de slamitische wetenschappelijke traditie gewerkt hebben. k wil en kan hier geen verzicht geven van de ntwikkeling van die wetenschappen, f zelfs alleen van de wiskunde f de meetkunde; bvendien zu ik u dan meten plagen met een hele lijst van Arabische namen, die u misschien wat vreemd in het gehr zuden liggen. k zal mij beperken tt de namen Al-Kuhi en Al-Kashi. De slam heeft het bestuderen van de wetenschappen bijna altijd aangemedigd: Gd wil namelijk, dat de mens studeert. Vandaar dat de wetenschappen vaak in een spiritueel kader geplaatst wrden, dit zullen we straks k zien in het werk van Al-Kuhi. De wiskunde staat binnen de wetenschappen hg in aanzien, niet alleen mdat ze tegepast kn wrden, maar k mwille van zichzelf. Want veel wiskundigen dachten, dat getallen en meetkundige hguren deel uitmaakten van een nvergankelijke, nstffelijke wereld, die dichter bij Gd is dan nze stffelijke aarde. De wiskunde werd vral van de 9e tt de 15e eeuw beefend. Er zijn ng heel veel wiskundige teksten uit deze peride ver, in biblitheken ver de hele wereld. Hiervan is maar een klein deel nderzcht, en vral p het gebied van de meetkunde hebben we ng helemaal geen verzicht van wat er gepresteerd is. Daarm is het beeld van de slamitische meetkunde, dat in samenvattende beken ver de geschiedenis van de wiskunde gegeven wrdt, bijna altijd erg karikaturaal. De geleerden hebben veel meer gedaan dan in deze beken vermeld staat. Sms vind je zelfs de pvatting dat de geleerden van de slam 'ns' (wij westerlingen) weliswaar een dienst bewezen hebben, drdat ze de ude Griekse werken ver meetkunde vertaald en bewaard hebben * zdat ze weer in het Latijn vertaald knden wrden en wij er kennis van knden nemen - maar dat die geleerden verder niets anders knden dan het schrijven van drge en nvruchtbare cmmentaren. Dat is niet waar, en dat hp ik u nder andere met deze vrdracht te laten zien. Want de slamitische meetkundigen waren wel degelijk in staat tt creatieve prestaties. Hiervan wrdt de laatste jaren steeds meer bekend, en z is k het werk van Al-Kuhi en Al-Kashi bekend gewrden. Hierbij met ik aantekenen dat het werk van Al-Kuhi ver 7r ng niet vertaald en uitgegeven is. Over dit werk bestaan samenvattende artikelen, maar wie de finesses wil weten met ng steeds het manuscript erbij halen. lkzalnu een samenvatting geven van een deel van het werk van Archimedes. Allereerst is in dit verband belangrijk de manier waarp Archimedes n benadert. Zijn idee is u waarschijnlijk wel bekend: benader de cirkelmtrek met mtrekken van regelmatige in- en mgeschreven veelheken die je kunt uitrekenen (zie Íig. 1). k ver enkele afkrtingen in: r: straalvandecirkel l,: mtrek van de ingeschreven regelmatige n-hek,: mtrek van de mgeschreven regelmatige n-hek z^: zljde van de ingeschreven regelmatige n-hek Z^: zrjde van de mgeschreven regelmatige n-hek 96
Figuur Archimedes det in feite het vlgende. Hij begint met de ingeschreven regelmatige zeshek en de mgeschreven regelmatige twaalfhek. Het is bekend dat z6,z' r r!/ 15 'zes Archimedes spreekt niet ver qutiënten maar ver verhudingen; ik heb dit gemakshalve in mdernere terminlgie vertaald. ta Dan benadert hij uita u, n : rrrr 6, 1,4, 4S;Z-J! uit4vr n - 1,4, 48. Hij met bij deze vergangen wrteltrekken; hij geeft bij de vergang pfu""n 7r afschatting van de wrtel naar beneden, bij de vergan g p"*, een afschatting van de wrtel naar bven Z geeft hij een exact bewijs van zijn eindresultaat: "10 7l lg r 'n.ry. :]{'cirtelmeting', prp. ) Het is eigenlijk anachrnistisch hier het symbl n te gebruiken. Dit symbl werd pas in 1706 vr het eerst gebruikt, Archimedes spreekt ver de verhuding van diameter en mtrek van de cirkel. Ter intrductie van het werk van Al-Kuhi met ik u iets vertellen ver de verlevering van het werk van Archimedes ver ppervlakten, inhuden en zwaartepunten van figuren. Hiervan is slechts een gedeelte in het Arabisch vertaald, zdat de slamitische geleerden niet alle resultaten van Archimedes kenden. Wel vertaald in het Arabisch zijn de twee beken ver de bl en de cylinder van Archimedes, en zijn 'Cirkelmeting' ; hierdr waren zijn stellingen ver mtrek en ppervlakte van de cirkel, ppervlakte en inhud van de bl en het blsegment, en mantelppervlakte van de kegel binnen de slam bekend. Men wist echter niet dat Archimedes k de ppervlakte van de ellips, de inhud 97
van de rtatielichamen van de ellips, een parablsegment en een hyperblsegment, en de zwaartepunten van een parablsegment, zijn rtatielichaam en een blsegment bepaald had. Verder heeft Archimedes de ppervlakte van het parablsegment bepaald! maar k de beken waarin hij dit resultaat bewijst zijn niet vertaald in het Arabisch. Archimedes nemt echter zijn stelling ver de ppervlakte van het parablsegment in het vrwrd van zijn eerste bek ver de bl en de cylinder. Omdat dit bek wel in het Arabisch vertaald was, wisten de slamitische geleerden dat Archimedes de ppervlakte van het parablsegment bepaald had, al wisten ze niet he. Maar het duurde niet lang ttdat zij zelf k een bewijs vnden * p een andere manier. Spedig daarna werden de stellingen ver de inhud van het rtatielichaam van het parablsegment en de ppervlakte van de ellips herntdekt en bewezen. 4 \ Figuur Als ik zeg dat Archimedes f een slamitische meetkundige de ppervlakte f inhud van een figuur bepaalt, dan bedel ik niet dat hij een frmule geeft, maar dat hij bewijst dat de ppervlakte f inhud van de figuur gelijk is aan bijvrbeeld de ppervlakte van een bepaalde driehek, f de inhud van een bepaalde cylinder. Z bewljzen Archimedes en zijn slamitische cllega's dat de ppervlakte van een parablsegment gehjk is aan vier derde maal de ppervlakte van de driehek met dezelfde basis en tp als het segment (ftg. ). Nu kmen we aan in de tiende eeuw, bij Al-Kuhi, die het werk heeft vrtgezet waarmee zijn vrgangers in de negende eeuw begnnen waren. Maar laat ik u eerst iets ver het leven van Al-Kuhi vertellen. Al-Kuhi had in zijn jeugd niet z'n serieuze instelling, hij hrde bij een grepje 98
kmedianten f acrbaten, die p de markten ptraden. Maar daarna, z gaat een bigraaf verder, 'greep hem de zrg m de eeuwigheid', en hij wijdde zich aan de studie van de wetenschap. Hij werd een zeer vraanstaand meetkundige, in de tweede plaats k astrnm. Onder zijn leiding werd een bservatrium gebuwd in de tuin van het kninklijk paleis te Bagdad; hier werden, alweer nder zijn leiding, astrnmische waarnemingen gedaan. Al-Kuhi had veel leerlingen, een knap uiterlijk en is hgbejaard gewrden. Er zijn een aantal van zijn uitspraken bewaard gebleven, nder andere: 'Dr verheven, zuivere intentie wrdt de mens datgene gegeven wat hij vraagt; niet dr hard werken.' Tch heeft Al-Kuhi zelf hard gewerkt, er zijn ngeveer 40 meetkundige werken van hem bewaard gebleven, en hij met er ng meer geschreven hebben. Van de bewaarde werken zijn p dit mment zeven ged nderzcht. van de resterende is vaak niet meer dan de titel bekend. Al-Kuhi heeft.a. de stelling die de inhud van het rtatielichaam van een ellips geeft, herntdekt, en k resultaten van Archimedes ver zwaartepunten van het parablsegment, zijn rtatielichaam, en de halve bl. Dit heeft hrj nafhankelijk van Archimedes gedaan, hij schrijft dat hem geen resultaten van anderen p dit gebied bekend waren. We weten niet he Al-Kuhi zijn stellingen afgeleid heeft, want zijn grte leerbek in zes delen ver de therie van de zwaartepunten is verlren gegaan. Maar gelukkig nemt Al-Kuhi enkele van zijn resultaten in een bewaard gebleven crrespndentie met een vriend (wiens naam ik niet zal nemen m uw geheugen niet met Arabischenamen p de pref te stellen). En nu kmen we bij n terecht, want de vriend vraagt in zijn eerste brief (k geef veral vrije weergaven) : 'k heb gehrd dat jij bewezen hebt, dat mtrek en diameter van de cirkel zich verhuden als twee gehele getallen.' De vriend vraagt hierver pheldering. Al-Kuhi zegtinzijn antwrd het vlgende: Beschuw eens een halve bl, een mwentelingslichaam van een parablsegment, en een kegel, die alle drie in één en dezelfde cylinder ingeschreven zijn, als in Íïg.. s het nu niet verbazingwekkend dat de inhuden van de halve bl, het rtatielichaam van het parablsegment en de kegel gelijk zijn aan respectievelijk Figuur 99
twee derde, de helft en één derdè van de inhud van de cylinder? Dit wij st erp, dat Gd de dingen tch p wnderbaarlijke wijze gerdend heeft! Maar ik heb een ng miere vlgrde gevnden in de zwaartepunten van smmige figuren! Beschuw hierte een halve cirkel ABT met diameter lb. middelpunt M; MT AB,entegelijkertijd de gelijkbenige drieh ek ABTenhet parabisegment ABT vande parabl met tp T, as TM,die dr A en B gaat. Als we deze drie figuren m TM draaien, ntstaan drie nióuwe: uit de halve cirkel een halve bl, uit het parablsegment een rtatielichaam en uit de driehek een kegel. z.ie fig. 4. Figuur 4 we duiden het zwaartepunt van elk van deze zes figuren aan met z. Nu vind je de vlgende wnderbaarlijke rdening (die Al-Kuhi in een tabel geeft) in de verhudingen ZM : T M ZM:TM vlakke figuren mwentelingslichamen driehek l: kegel :4 parablsegment :5 m\ry.lichaam parablsegment :6 halve cirkel :7 halve bl :8 Dan gaat Al-Kuhi met zijn resultaat vr de halve cirkel aan het werk (fig. 5, ntaties dezelfde als in Íïg. 4). We weten : ZM: TM : :7. Kies nu A' p MA zdat ) M A' : ;, en trek een nieuwe halve cirkel A' B' T'met middelpunt M, als in de figuur. 400
1/' 'Li Figuur, A' M B' B Nu past Al-Kuhi twee stellingen te (die hij vr willekeurige cirkelsectren en cirkelbgen frmuleert). l. Omdat Zhetzwaartepunt is van de halve cirkel ÁTB.isZk zwaartepunt van de bg A'T'B'.. Omdat Zhet zwaartepunt van de bg Á'T'B'is, geldt, dat de lengte van de bg A'B'zich verhudt tt de lengte van de rechte A' B' als A' M tt MZ. Het bewijs van deze twee stellingen was te vinden in zijn grte zesdelige werk ver zwaartepunten, we kunnen het dus helaas niet meer nalezen. De twee stellingen zijn echter wel waar, en ik geef u graag de pgave mee een bewijs ervr te cnstrueren. Hierbij mag u dan geen mderne hulpmiddelen zals symblische ntaties en integralen gebruiken, u met een bewijs vinden zals Al-Kuhi het k gegeven zu kunnen hebben. k verwacht dat uw bewndering vr Al-Kuhi dr deze elening zeer zal tenemen. De tepassing van de twee stellingen leidt tt het vlgende resultaat: n bga'b' A'M TM 7 14 dus z :ï ::j. tar-rcuhileidt dit p iets mslachtiger manier met gebruik van verhudingen af) Een drm is werkelijkheid gewrden! Er is alleen een kleine meilijkheid: Al-Kuhi kent de Cirkelmeting van Archimedes, en dus k diens resultaat,#.,.+.nu is :jwel kleiner aan l], maar :f is niet grter un 1fr. Al-Kuhi heeft een slimme plssing van dit prbleem bedacht: ae lf is een verschrijving in het handschrift, er heeft rsprnkelijk # gestaan. Wanneer de getallen lfr.n,# t" het Arabisch in wrden wrden uitgeschreven, lijken ze inderdaad veel p elkaar: 401
.10 7l r!: 9l 'h ir* t J>l cl. 'ljê-l ej.ts t at)ti th ë**-; t r*l i,r 'l11l áj.r,s t &)tt Alleen de twee wrden irs* (70) en ir* (90) zijn verschillend, en het verschil wrdt ng kleiner wanneer men bedenktdat de puntjes bven en nderde wrden vaak werden weggelaten in handschriften. k met hierbij pmerken, dat Al-Kuhi misschien een versie van de Cirkelmeting van Archimedes kende. waarin het bewijs van de Archimedische benadering van z ntbrak. kzalde verdere argumenten van Al-Kuhi laten rusten, en zelf enig cmmentaar p de redenering geven. Tt uw geruststelling kan ik zeggen dat Al-Kuhi's redenering inderdaad een fut bevat, de verhud ing Z M : T M : : 7 vr de halve cirkel is njuist. Alle andere waarden vr ZM: TM in de tabel klppen wel, en in de tweede brief van Al-Kuhi aan zijn vriend kmt de aap uit de muw: Al-Kuhi heeft zijn resultaten vr de vijf andere gevallen meetkundig bewezen, maar zijn resultaat vr de halve cirkel ng niet. Al-Kuhi wijt dit echter uitsluitend aan zijn eigen nkunde. De verhuding ZM: TM met immers wel :7 zijn, wegens het bestaan van de wnderbaarlijke rdening - het zu tch heel vreemd zijn, wanneer die verhuding niet :7 was. Daar met u niet m lachen, want Al-Kuhi bedelde dit heel serieus. Het juiste resultaat vr de halve cirkel is ZM: TM : 4:n, maar dit is feitelijk k wat Al-Kuhi afleidt dr zijn twee stellingen uit zijn leerbek ver zwaartepunten te te passen! We kunnen zijn redenering zelfs als vlgt weergeven: Hij leidt af ZM: TM :!-:n. wegens filsfische redenen met gelden ZM:TM : : 7, cnclusie: z : 8. 9' De redenering van Al-Kuhi is dus minder fut dan p het eerste gezicht zu wrden vermed. We kunnen verder het vlgende zeggen; wat Al-Kuhi ng wilde den - het bepalen van het zwàartepunt van de halve cirkel - had hij in feite al gedaan. Dat zag hij zelf niet, hiervr had hij het prbleem van een heel andere kant meten bezien - iets dat wij tegenwrdig wel een blikwisseling nemen. Het lijkt mij dat een dergelijke blikwisseling erg meilijk geweest zu zijn vr Al-Kuhi: daarvr had hij zijn gelf in de wnderbaarlijke rdening van de zwaartepunten meten pgeven. Van het vervlg van het verhaal weten we weinig; we weten niet, he de cllega's van Al-Kuhi p deze vndst gereageerd hebben, en f de blikwisseling later tch is pgetreden.er zrjn slechts een paar kritieken bewaard gebleven van mensen, die de wiskunde van Al-Kuhi niet helemaal begrepen. Z hren we dat nder de sterrenkundigen de mening heerste, dat mtrek en diameter van de cirkel zich niet als twee gehele getallen knden verhuden, mdat een rechte lijn en een cirkel twee lijnstukken 'van verschillende srt'waren. (Hierp antwrdde Al-Kuhi dat Archimedes tch bewezen had dat de ppervlakken van een bl en een kegel tch k een ratinale verhuding knden hebben, twee ppervlakken die tch veel meer van elkaar verschilden dat twee eenvudige delen van het platte vlak; een cirkel en het vierkant van de straal) 40
U heeft nu een njuiste berekening gezien van een slamitische geleerde. De geleerden in de slam hebben k juiste berekeningen van z uitgeverd, en ik wil het laatste gedeelte van mijn vrdracht besteden aan z'n juiste berekening, namelijk de berekening van de l5e-eeuwse rekenmeesteral-kashi. Al-Kashi hrde tt een grep van 60 à 70 wiskundigen en sterrenkundigen die in de jaren 140^140 in Samarkand werkten. Samarkand ligt tegênwrdig in de Svjet-Unie, niet ver van de Afghaanse grens. De wis- en sterrenkunde kwamen in deze peride in Samarkand tt grte blei, nder andere mdat de plaatselijke kning een ged wis- en sterrenkundige was. Vrdat ik Al-Kashi's berekening van z kan bespreken met ik laten zien he het heelal er in die peride uitzag in de gen van de astrnmen. n het begin van zijn brief ver de cirkelmtrek zegt A -Kashi (ik geef steeds vrije aarde p 1.500 km (in tegenwrdige lengtematen uitgedrukt). Om de aarde draaiden zn, maan en planeten, daarbuiten was de sfeer van de vaste sterren, die eenmaal in 4 uur m de aarde draaide. Men schatte de diameter van deze buitenste sfeer p 0.000 aarddiameters, dit is 70 miljen km. Zie Íïg. 6. n het begin van zijn brief ver de cirkelmtrek zegt Al-Kashi (ik geef steeds vrije weergaves): Archimedes heeft bewezen dat de verhuding van mtrek en diameter grter is dan f.n kleiner Oan 1. Het verschil van deze twee waarden i, e - 7l --'- -7' '- 497' als we de mtrek van een cirkel met diameter 70 miljen km willen uitrekenen, geeft dit een nnauwkeurigheid van * 550.000 km. Later heeft men n nauwkeuriger benaderd, maar tch z, dat de nzekerheid in de mtrek van dezecirkel ng steeds + 00.000 km is. Als we ppervlak ten f inhuden wi llen berekenen, kan de nnauwkeurigheid ng veel grter wrden. Figuur ó 40
Kennelijk is het de bedeling van Al-Kashi geweest, nz ged te benaderen, dat deze benadering vr altijd nauwkeurig geneg zu zijn, want nu maakt hij bekend, wat hij van plan is: hij wil een benadering van n berekenen met een z grte precisie, dat men de mtrek van een cirkel met diameter 600.000 aarddiameters met een nnauwkeurigheid van hgstens een haarbreedte kan bepalen. De haarbreedte is een ged gedefinieerde lengtemaat van ngeveer 0,5 mm, de cirkel die Al-Kashi hier beschuwt heeft een straal van ruim 4 miljard kilmeter, ngeveer de afstand van de planeet Plut tt de zn. kzelf vind het pvallend dat deze cirkel in de wereld van Al-Kashi helemaal niet bestaan kan (de diameter van de sfeer van de vaste sterren was immers slechts 0000 aarddiameters), dit verhindert Al-Kashi blijkbaar niet, tch ver een dergelijke cirkel na te denken. Al-Kashi kiest een nieuwe cirkel met straal 60, en tnt aan dat het vldende is, de mtrek van deze cirkel met een precisie van 60-8 te bepalen, m de vereiste nauwkeurigheid van n te bereiken. De mtrek van deze cirkel wil hij benaderen dr de mtrek van een geschikte regelmatige ingeschreven."-hek te berekenen: deze mtrek kan immers vr elke n met willekeurige precisie berekend wrden uitgaande van de ingeschreven regelmatige zeshek. k herinner u aan mijn ntaties i en k vr de mtrekken van respectievelijk de ingeschreven en mgeschreven regelmatige k-hek. Al-Kashi met nu een n bepalen zdat i..rn minder dan 60-8 van decirkelmtrek verschilt. Aan deze vrwaarde is zeker vldaan wanneer i..n en.nminder dan 60-8 van elkaar verschillen. n een vernuftig bewijs tnt Al-Kashi aan, dat dit laatste het geval is wanneer n minstens 8 is. Al-Kashi ziet zich dus de taak gesteld it.rzz te berekenen: de mtrek van een regelmatige ingeschreven 800.5.168- hek. Hij heft 0r.rzt niet uit te rekenen, immers hij weet van te vren, dat i..rzs minder dan 60-8 van de cirkelrntrek verschilt. n dit pzicht is zijn methde dus een duidelijke vruitgang p de methde van Archimedes. Al-Kashi stelt zich k de vraag he nauwkeurig, dat wil zeggen in heveel sexagesimalen, hij zrjn berekeningen met uitveren. Al-Kashi geeft zijn berekeningen niet in het decimale, maar in het sexagesimale stelsel, het talstelsel met grndtal 60. Om zijn redenering te kunnen begrijpen, meten we eerst de methde beschuwen waarmee hij i..rzs berekent. Essentieel hierin is de manier waarp Al-Kashi van de regelmatige ingeschreven k-hek p de regelmatige ingeschreven k-hek vergaat. k nem de zijde van de regehnatige ingeschreven k-hek weer zk, z is de krde van een bg uun $ graden. K Al-Kashi berekent vr fr : 6,1,4,...,." niet z, maar een andere grtheid die lk w uzal nemen, w is de krde van een bg van 80 - T gruoen. n fi g. 7 is K A B de diameter van de cirkel, BC : z, AC - x,. De stelling van pythagras levert ns het verband tussen z ken w k: z 1 + 14, ' : A 8 : 0 (de straal van de cirkel is 60). Al-Kashi bewijst, dat w ru uit w berekend kan wrden via t+,r0:60(10 *ru). 404
AOB Figuur 7 Al-Kashi berekent eerst zijn 'startwaarde' rl.'6-60ji, dan vr n:1,,...,6 h,.r* t dr de vierkantswrtel te trekken uit 60(10 + w.n). Hierna kunnen (w..r8) en 6z(zr.rzs) berekend wrden uit wr?.:60 (10 *,u) vr k :.1en rfr + w.f;:1gz.vr k:.s. Tensltte vlgt zr.rg dr wrteltrekking. Vr de nauwkeurigheid waarmee gerekend met wrden heeft een en ander het vlgende te betekenen: ir.r8 met met een precisie van 60*8, dus in 8 sexagesimalen nauwkeurig berekend wrden. Omdat.8 ngeveer 60s is, met elke zijde van de regelmatige ingeschreven.8-hek in l sexagesimalen wrden berekend..8 wrdt verkregen dr wrteltrekking; zr.r is ngeveer z grt als het.8-e deel van de cirkelmtrek, en daarm kan Al-Kashi een schatting geven van de rde ervan : z.r8 r 60-4. Daarm met het kwadraat in l7 sexagesimalen bekend zijn, m dr wrteldeling.8 zelf in l sexagesimalen te berekenen (z met mijns inziens de redenering van Al-Kashi geweest zijn, de tekst geeft hierver niet helemaal uitsluitsel, wellicht drdat de kpiïst hem verkeerd heeft vergeschreven). Dus met k het kwadraat van w,.zï in l7 sexagesimalen berekend wrden. Het verband tussen dit kwadraat en w.7 wrdt gegeven dr de frmule wr?.:60(10 t r) vrk :.1,wegens het vrkmen van de 60 in deze frmule met wr.r7 tt in l8 sexagesimalen bepaald wrden. Al-Kashi besluit alle w.n in l8 sexagesimalen te berekenen. Om zr.r8 te berekenen met Al-Kashi 8 maal een vierkantswrtel trekken. De verige rekenperaties die hij met uitveren (vermenigvuldigen met 60, ptellen van 10) zijnzeer eenvudig in het sexagesimale stelsel, zdat de wrteltrekkingen de hfdschtel vnnen. n Íig. 8 vindt u de eerste wrteltrekking. Al-Kashi berekent hier w6, de krde van een bg van 10 graden, w6:60j: Jt.e'. Al-Kashi cntrleert alle wrteltrekkingen dr van het antwrd weer het kwadraat uit te rekenen. Tensltte geeft Al-Kashi i..rz8, in sexagesimalen en in decimalen, vlledigheidshalve k wr.r8 en.8 (berekend uitgaande van i..r8), enn in sexagesimalen en decimalen. n decimale ntatie ('met ndische cijfers') is zijn resultaat n :6,8185071795865, tt in de laatste decimaal crrect. 405
De eerste berekening. U itkmst : De krde van een derde deel van de mtrek, dat is de krde van het supplement van het z-esde deel ó a ( (t è{ ' e (! E 5 ' J x s 4 (É E.É 0 0 0 J c E 55 a! È 0 -c' $.s" 0!.9 ^s -.è" b' E 58 E N.b8!-ó q) N 7 O (! "'-"" 57 a! è Ë ec? è(l 5ó O È ré ' E c! () 0 c )s "! 44! N sc! N É* è 5 -]l 4.t 56? 4 48 58 57 tienden elfden twaalfde dertienden veertienden vijftienden zesti nden zeventienden acht tienden? 5ó 49 49 47 48 49 l 59 44 4 4 4 5 47 5r 7 5 9 45 5 54 l 9 40 t{ 5 5 6 9 r5 l8 9 40 5l 55 9 t4 6 5 4t t l9 ló 5 t 8 4 6 4 7 8 s0 49 45 46 56 't 55 58 55 9 5 54 0 _11 55 5ó 8 4 l l5 l l8 59 )) 49 5 t 8 t 47 8 6 5 l l 50 5ó 40 4 9 l8 ló 40 5ó ó l 50 50 5 9 0 6 0 l7 4t 7 t5 l l5 9 5l 4 l 9 8 5 l9 9 t? 58 9 9 5t \4 t4 t 59 5ó 46 5 47 8 5l lt l6 l6 49 46 40 l6 48 ó t7 46 ló 0 1 ') -tj 5 75 9 l 9 4t 4 45 44 0 58 8 t 4 0 6i ll 55 ló l 4 7 l 8 6 5 6 57 9 58 8 4 4 t8 5l ló 7 40 44 ó 50 5 49 48 49 59 4 4 47 7 9 5 77 50 45 5ó 55 55 5 8 5 l 7 50 45 5ó 55 55 5 0 44 7 50 45 56 55 55 5 0 5l 56 l 5 7 50 45 56 55 54 56 7 50 45 J 7 50 45 56 54 57 l 7 50 45 56 7 50 45 56 7 ',7 50 45 5ó 55 7 50 44 58 l 7 50 45 56 55 55 4 5 7 50 l 7 50 45 56 55 55 5 6 55 7 50 45 56 55 55 5 4 '7 50 45 5ó 55 55 5 8 J 7 50 45 5ó 55 55 5 8 50 Figuur 8 406
Telichting hijíi9.8. Al-Kashi nteert gehele en niet-gehele getallen in het sexagesimale stelsel. echter znder gebruik te maken van een kmma f een hieraan equivalent symbl. Zijn systeem is het vlgende: x 60'heet een n-de macht (r > l), een eenheid heet een graad. x 60- heet een minuut, x 60. heet een tweede (f : secnde), x 60- heet een derde, algemeen heet x 60-'een m-de(rn à ). Al-Kashinteertnu hetgetal.60 + 5 + 1.60- +4.60-l alseerstemachten,5graden, minuut en?4 tweeden, f als 5 4 tweeden. Al-Kashi gebruikt m de getallen tt en met 59 aan te duiden geen 59 verschillende symblen, maar een letterschrift. dat feitehjk een Arabische vertaling is van een letterschrift uit de Griekse udheid. Hierin wrden de getallen l... 4, 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 0, 40, 50 met verschillende letters aangeduid; het getal bijv. wrdt genteerd met de letter vr het getal 0 en daarachter de letter vr het getal. n de bvenstaande berekening trekt Al-Kashi de vierkantswrtel uit tweede machten. Het antwrd:1455587 56044514l564485857achttiendenisbvenindetabeltevinden. Hij vindt dit antwrd (dat ik met a zal aanduiden) p de vlgende manier: Omdat a :.60 zal het hgste getal in de sexagesimale schrijfwijze van a een eerste macht zijn. Schrijf a in het sexagesimale stelsel. a: cr*,.60+a *a,.60--r+.. +a,r.60--tt +.. 0 í a, S 59 Al-Kashi gebruikt hulpgetallen à,. die hij nderaan in de tabel nteert: h -, : - r' 60', b, : a - r'60-i* +... * a,-r' 60-:iu + a,'60" i vr i à 0. a*, is het grtste gehele getal met rr*,t í. b- r : ír- r.60r : tweedemacht(ndersteregel tabel). a- r.60 : a,r' b -r : tweedemacht(regelvanbven) a - (a -r'60) : a - a-r'à,r : tweede machten (r.l v.b) - : tweede machten (r. v.b) :.60. a is het grtste gehele getal met d '(a - t'60 * a) í.60. a : Qf. h, : a - r '60 + a. : 4 graden (r. v.), Q'h : 56 49 graden (r.4 v.b) tweede macht (r. v.b) az -(a*r'60 + a\z:(a - -r'b-,) -a'b:00 graden - 15649 graden: ll graden (r.5 v.b). a, ishetgrtstegehelegetal metdr'60-t(a-r'60 + a+ at'60*t) : aja*1*a'60-r + a, '60-) S graden, ar : 55. br :a -, * a'60- + at'60- : 655 tweeden (r. v.) a1'b, : 9 405 tweeden (r. 6 v.b) a - (a-r'60 + + at'60-t) : @ - a-t'h,t - a'h) - at'h, : ll graden - 9405 tweeden: 195 tweeden (r.7 v.b). Zvrmenzich in de tabel rijen getallen naar beneden en naar bven. Na het vinden van an en ón begint Al-Kashi weer bvenaan, respectievelijk nderaan en vervlgt de berekeningen. Al-Kashi gebruikt de 59-pref ('weegschaal') m zijn berekeningen te cntrleren. Deze pref berust.a. p het feit dat in het zestigtallig stelsel ieder getal mdul 59 cngruent is met de sm van zijn sexagesimalen.vrbeeld:hetprductvrda.:58ená.:7504458esden(r.5v.)isgelijkaan 0 55 8 4 zesden (r. l0 v.b). + 7 + 50 + 44 + 58 : 8 : 5 (md 59), + 0 + 55 + + 8 + 4 : l1:54(md59),eninderdaadisnu7504458 x 58=5 x 58:90:54(md59).Al-Kashi nteert de getallen 5 en 54 nder'weegschaal'. De tabel waarin Al-Kashi ter cntrle het kwadraat van a : l 4 55 58 7 56 0 44 5 l 4 56 4 48 58 57 achttienden berekent is hier niet weergegeven. 407
Al-Kashi is met dit resultaat recrdhuder geweest tt 596, in dat jaar benaderde Ludlf van Ceulen n in 0 decimalen nauwkeurig. Maar Ludlf van Ceulen heeft niet geweten, dat hij hiermee het recrd van Al-Kashi brak, want het werk van Al- Kashi is in het westen nbekend gebleven tt 1950. Dames en Heren, k heb grte bewndering vrdeze prestatie van Al-Kashi, en ik hp, datdat bij u hetzelfde is. We meten steeds bedenken, dat Al-Kashi niet de beschikking had ver nze symblische ntaties (waarvan ik in het vrgaande dankbaar gebruik gemaakt heb). Hij mest alle gelijkheden, waarvr wij deze ntaties gebruiken, uitdrukken als gelijkheden van ppervlakten van rechtheken, vierkanten, drieheken enzvrt - p een manier waarvan wel eens gezegd wrdt dat zij tt de 'knip- en plakwiskunde' behrt. U met beide vertellingen ver z dan k ten dele als pleidi zien, m 'primitievere'vrmen van wiskunde niet als minderwaardig te begchuwen. Deze vrínen hebben hun nut gehad in de ntwikkeling van de mensheid als geheel, er zrjn prachtige resultaten mee bereikt, en naar mijn idee hebben dergelijke'primitievere' vrmen ng steeds hun nut in de ntwikkelingsgang van ieder menselijk individu. n het bijznderzu ik mijn tweede vertelling als ndertitel willen meegeven: 'He we met knip- en plakwiskunde nin16 decimalen kunnen benaderen.' k dank u vr uw aandacht. Literatuur Geschiedenis van de wiskunde, algemeen: D. J. Struik, Geschiedenis van de Wiskunde, Amsterdam, 1977. Archimedes: E' J. Dijksterhuis, Archimedes, Grningen, 198 (vervlgd in dejaargangen 198-1944 van Euclides). Van dit werk van Dijksterhuis bestaat een Engelse vertaling, uitgegeven nder de titel 'Archimedes', Kpenhagen 1956. slamitische traditie : A. P. Juschkewitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Leipzig, 1964. F. Sezgin, Geschichtedes Arabischen Schrifttums, Band V, Mathematik,Leiden 1974 (gaat tt het jaar r050). Al-Kuhi : zie p.14-1 van het bek van F. Sezgin, vr het werk van Al-Kuhi ver n zie J. L. Berggren, The barycentric therems f Ab[ Sahl al-k[hi. Abstracts f Sessin Papers f the Secnd nternatinal Sympsium n the Histry f Arabic Science, Alepp,5-1 april 1979,p. 48. J. Sesian, Nte sur tris therèmes de Mécanique d'al-q[hl et leur cnséquence. Centaurus 1t97918t -97. Al-Kashi's werk ver n: P. Luckey, Der Lehrbrief iiber den Kreisumfang vn Óamsid b. Mas'ud al-ka5i. Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse frir Mathematik und allgemeine Naturwissenschaften, 950/6. Een handschrift met de brief van Al-Kashi ver z is in facsimile gepubliceerd in : B. A. Rsenfeld, V. S. Segal, A. P. Juschkewitsch, Dzemsid Giyaseddin al-kasi, Klyuè arifmetiki, Traktat b bkruznsti, Msku 1956, p. 8-44. De tabelvan fig. 8 bevindt zich in dit bek pp.40,in het artikel van P. Luckey p p. l (Duits) en p. 84 (Arabisch). Tensltte dank ik Dr. J. L. Berggren, mdat hij mijn aandacht gevestigd heeft p het werk van Al-Kuhi ver 7r, 408