lesbrief Functies en symmetrie (even en oneven functies) 7N5p 013 gghm
Symmetrie Bij grafieken van functies hebben we te maken met twee soorten symmetrie: lijnsymmetrie en puntsymmetrie. In deze lesbrief gaan we kijken hoe je symmetrie ten opzichte van een punt of een lijn aan kunt tonen met behulp van het functievoorschrift. Lijnsymmetrie Bij lijnsymmetrie kun je de grafiek van een functie spiegelen ten opzichte van een verticale lijn; dus de lijn = p. Een functie kan immers nooit symmetrisch zijn ten opzichte van een horizontale lijn (waarom niet?). Ook symmetrie ten opzichte van een schuine lijn is om dezelfde reden onmogelijk. We bekijken een (algemeen) voorbeeld. Zie de figuur hiernaast. De as van symmetrie is de lijn = p Voor elk punt op een afstand a van deze lijn is de functiewaarde hetzelfde. Er geldt dus: f ( p a) = f ( p+ a) Voorbeeld Gegeven is f ( ) = 6+ 3, toon aan dat f() symmetrisch is ten opzichte van de lijn = 3 Volgens de regel moet gelden: f (3 a) = f (3 + a) f(3 a) = (3 a) 6(3 a) + 3= 9 6a+ a 18+ 6a+ 3= a 6 en f(3 + a) = (3 + a) 6(3 + a) + 3= 9+ 6a+ a 18 6a+ 3= a 6 Dus f (3 a) = f (3 + a) voor elke waarde van a en de grafiek is symmetrisch in de lijn = 3. Oefening 1 Toon aan dat de grafiek van f ( ) = 4 4+ 8symmetrisch is in de lijn = 3. Even functies Voor het speciale geval dat een grafiek van een functie symmetrisch is in de Y-as ( = 0), noemen we de functie even. Voor een even functie geldt dus: f ( a) = f ( a) (ook vaak aangegeven met f ( ) = f( ) )
Puntsymmetrie In de afbeelding hiernaast is een grafiek getekend van een functie die symmetrisch is ten opzichte van het punt (p, q). Dit betekent dat als je vanuit = p een stapje ter grootte van a naar links gaat en een stapje van a naar rechts, dan liggen de bijbehorende y-waarden (functiewaarden) even ver van q af; de functiewaarden f(p a) en f(p + a) liggen even ver van q af. In formulevorm geeft dit: f( p a) + f( p+ a) = q = f( p) Voorbeeld: 3 5 Toon aan dat de grafiek van f( ) = symmetrisch is ten opzichte van het punt (, 3). f( a) + f( + a) Er moet gelden: = 3 3( a) 5 1 3a 3a 1 f( a) = = = ( a) a a 3( + a) 5 1+ 3a 3a+ 1 en f( + a) = = = ( + a) a a 3a 1 3a+ 1 6a + f( a) + f( + a) 6 zodat = a a = a = = 3 en dit klopt, er moest 3 uitkomen! Oefening Gegeven is f( ) =. Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt (1, 0) Oneven functies Een functie noemen we oneven als de grafiek symmetrisch is t.o.v. het punt (0, 0). Er geldt dus: f ( a) = f( a) (ook vaak aangegeven met f ( ) = f( ) ) Oefening 3 3 Gegeven is g ( ) = 3+ 3 Bewijs dat g() symmetrisch is t.o.v. het punt (1, 1).
Even en oneven functies nader bekeken Zoals we hiervoor gezien hebben kunnen niet alleen getallen even en oneven zijn maar functies ook! De benaming even en oneven komt bij de machtsfuncties vandaan: n - alle functies van de vorm f ( ) = zijn even functies als n even is n - alle functies van de vorm f ( ) = zijn oneven als n oneven is. Een even functie kun je aan zijn grafiek herkennen aan het feit dat de Y-as de symmetrie-as van de grafiek. Een oneven functie herken je aan de grafiek doordat de oorsprong het symmetrie-punt is. Functies optellen en aftrekken Niet alleen machtsfuncties kunnen even of oneven zijn, er zijn vele andere functies die even of oneven kunnen zijn; goniometrische functies, gebroken functies, functies met een absolute waarde erin en allerlei combinaties van verschillende functies. Algemeen geldt dat bij het optellen (of van elkaar aftrekken) van functies die allen even zijn weer een even functie ontstaat en bij het optellen (of aftrekken) van functies die allen oneven zijn een oneven functie ontstaat. Hieronder enkele voorbeelden: even even even even oneven oneven oneven oneven
Het optellen of aftrekken van even en oneven functies geeft echter geen eenduidig resultaat:?????? Functies vermenigvuldigen We kunnen ook functies met elkaar vermenigvuldigen. Aan de hand van een paar voorbeelden oneven even oneven oneven even even concluderen we: even even = even even oneven = oneven oneven even = oneven oneven oneven = even Dit blijkt algemeen te gelden. Het bewijs hiervoor, hoewel niet zo moeilijk, laten we buiten beschouwing. Functie van een functie Als laatste kijken we nog even ( ) naar kettingfuncties. Als je een functie toepast op een functie, wat gebeurt er dan met de ontstane functie? We kijken weer naar een paar voorbeelden: f ( ) = sin( ) g( ) = f g = ( ( )) sin( ) f ( ) = g( ) = 1 sin( ) f ( g( )) = (1 sin( )) f ( ) = g( ) = 1+ cos( ) f ( g( )) = (1+ cos( ))
Als e ( ) een even functie is en o ( ) is een oneven functie dan geldt: e(o()) = even o(o()) = oneven o(e()) = even e(e()) = even De laatste twee regels kunnen nog algemener gesteld worden: - Elke functie toegepast op een even functie geeft weer een even functie! dus: f ( e ( )) is even als e() even is, aan f() wordt geen eis gesteld! Zodoende zijn f( ) = 4, g ( ) = ( + cos( ), h ( ) = log(cos( )) en ga zo maar door, allemaal even functies! Overzicht van de regels Hieronder een samenvatting van de regels die we ontdekt hebben voor het combineren van even en oneven functies: 1 even + even = even oneven + oneven = oneven 3 even + oneven =??? 4 even even = even 5 even oneven = oneven (en uiteraard oneven even = oneven) 6 oneven oneven = even 7 even ( oneven ) = even 8 oneven ( oneven ) = oneven 9 oneven ( even ) = even 10 even ( even ) even Oefening 4 Geef van de volgende functies aan of ze even, oneven of geen van beide zijn, zonder de grafiek te plotten of functiewaarden uit te rekenen! 1 4 3 a f ( ) = + 1 3 e f ( ) = ( + ) 4 3 b f ( ) = cos( ) f f ( ) = ( + ) c f ( ) = 4sin( )cos( ) g d f 3 ( ) sin ( ) = h f 1 f( ) = sin( ) + 4 ( ) = ( + 1)(4 5)
Oefening 5 Bewijs algebraïsch dat f( ) = symmetrisch is t.o.v. het punt (0, 1) 1 + e Oefening 6 3 Gegeven is f( ) = p + 5 17 Bepaal voor welke waarde van p de functie symmetrisch is t.o.v. het punt (, 1). Oefening 7 Ga van de volgende functies na of ze even, oneven of geen van beide zijn, doe dit algebraïsch, dus door middel van een berekening en niet door de regels te gebruiken of te plotten: a b c d f ( ) = 3 f ( ) = 3 f 3 ( ) = + 4 f( ) = + 1 3 Oefening 8 Onderzoek of de volgende functies even, oneven of geen van beide zijn: a f ( ) = 1 + b f ( ) = cos(3 ) c d e f ( ) = 1 f ( ) = 1 f 3 ( ) = ( 4)( + 4) Oefening 9 Onderzoek, algebraïsch, of de functie g ( ) = ln met 0 en g (0) = 0, even, oneven of geen van beide is.