Technische Univesiteit Eindhoven Tentamen Inleiding Natuukunde 3NA0 17 januai 011, 14:00-17:00 uu Het tentamen bestaat uit die opgaven, ondevedeeld in totaal 16 deelopgaven die samen bij juiste beantwooding maximaal 100 punten opleveen. De weging van de deelvagen zijn expliciet vemeld. E zijn tenminste 55 punten nodig om een voldoende cijfe te behalen. Lees de tekst en vagen goed doo vóó aan de beantwooding te beginnen. Vemeld op elk antwoodblad deelopgavenumme, naam en collegekaatnumme. Fomulee bondig, motivee altijd Uw antwood en vegeet niet alle gebuikte symbolen expliciet te definiëen!
Opgave 1 (totaal 0 punten) In de nevenstaande figuu is een massaspecto- wodt om geïoniseede mete weegegeven die gebuikt atomen met een veschillende massa uimtelijk te scheiden. De ionen woden met een snelheid v doo het gat in S geïnjecteed in een gedeelte van de massaspectomete waa een homogeen magnetisch en elektisch veld aanwezig zijn. Het magnetische veld B staat loodecht op het elektische veld E. Het elektische veld ligt in het vlak van de figuu en wijst naa echts tewijl het magnetische veld vanuit het papie omhoog wijst. We zullen de spectomete gebuiken om enkelvoudig geïoniseede Natium and Kalium atomen te scheiden. Gegevens: massa Na + -ion 3.8 10-6 kg massa K + -ion 6.47 10-6 kg snelheid van Na + en K + ionen 700 m/s afstand van S tot S 3 is 50 cm afstand tussen plaat P en plaat P is 5 cm B = 0.1 T, B = 0.5 T en e = 1.6 10-19 C a) Geef een uitdukking (in symbolen) voo het elektische veld E dat nodig is om de ionen doo het gat in S 3 te stuen. [4 punten] In het ondeste gedeelte van de bovenstaande figuu is een homogeen magneetveld B aanwezig dat loodecht uit de figuu omhoog wijst. In dit veld doolopen de Natium en Kalium ionen een halve cikel alvoens ze een fotogafische plaat teffen. b) Geef een uitdukking (in symbolen) voo de afstand tussen het gat in S 3 en de plaats waa de ionen de fotogafische plaat teffen. Welke ionen zullen de fotogafische plaat het dichtst bij het gat S 3 teffen? [6 punten] c) Geef een uitdukking (in symbolen) voo de tijd tussen de passage doo het gat in S en het teffen van de fotogafische plaat. Welk van de ionen komt als eeste aan op de fotogafische plaat of beeiken ze de plaat gelijktijdig? [6 punten] d) Wat is de functie van het gedeelte van de massaspectomete tussen S en S 3 als een onbekend ion met een onbekende snelheid via S in de massaspectomete geïnjecteed wodt? [4 punten]
Opgave (totaal 40 punten). Een ondezoeke geïnteesseed in themische veschijnselen vult een bolvomig kopeen vat met een ioud van V a = 1.0 10 3 [m 3 ] met een zekee hoeveelheid van n(n ) [mol] stikstofgas (N ). In het vat, dat na het vullen hemetisch wodt afgesloten, is een dukopneme aangebacht. Ook is op de binnenwand van het vat, dat een wanddikte heeft van een halve millimete, een tempeatuuopneme bevestigd. Bij aanvang van het expeiment is de duk van het gas in het vat gelijk aan de atmosfeische duk van P a = 1.0 10 5 [Pa] en de tempeatuu die van de omgeving T a [K], ongevee gelijk aan kametempeatuu van 300 [K]. Bij een degelijke duk en tempeatuu mag edelijkewijs evan uitgegaan woden dat de ideale gaswet opgaat. De ondezoeke dompelt het vat in een aquaium waain zich kokend wate bevindt. Doo constante toevoeging van wamte blijft het wate koken ook nadat het vat in het wate is gebacht. a) [8 pnt] De ondezoeke valt op dat het even duut voodat de tempeatuuopneme een tempeatuuveandeing meet, maa dat het nog lange duut voodat e een mekbae duktoename plaatsvindt. Veklaa. Na veloop van tijd nemen duk van het gas en tempeatuu van de binnenwand van het vat niet mee toe en beeiken de waaden T b en P b. De gemeten tempeatuu op de binnenwand T b van het vat blijkt gelijk te zijn aan de bekende kooktempeatuu van wate bij de heesende atmosfeische duk. De ondezoeke concludeet hieuit dat het gas een toestand van themisch evenwicht heeft beeikt met het vat waa het inzit en dat het vat in themisch evenwicht is gekomen met het wate. b) (i) [4 pnt] Wat kan hieuit ove de vehouding van de ms-snelheden van de kopeatomen en stikstofmoleculen geconcludeed woden? (ii) [4 pnt] En dat van de stikstof- en de watemoleculen? Maak bij de beantwooding van beide ondedelen expliciet gebuik van de nulde hoofdwet van de themodynamica. De ondezoeke vegelijkt de omtek van het vat vóó ondedompeling, O a, en na de ondedompeling en het instellen van het themische evenwicht met het kokende wate, waadoo de omtek van het vat O b wodt. Hij mekt op dat de uitzetting voldoet aan de elatie (O b O a ) / O a = α (T b T a ) waabij α een uitzettingscoëfficiënt waavan de waade ongevee 10 5 [K 1 ] bedaagt. c) (i) [ pnt] Geef aan hoe de ioud van het vat na instelling van het nieuwe themische evenwicht V b afhangt van de gootheden α, V a, T a en T b, en (ii) [4 pnt] hoe de vehouding van de dukken P b /P a voo en na afhangen van α, T a en T b. (iii) [ pnt] Neemt de duk van het gas toe of af, oftewel, is P b /P a gote of kleine dan 1? Veklaa. De hoeveelheid wamte die doo het vat met het gas is opgenomen uit het kokende wate blijkt bij tamelijk goede benadeing gelijk te zijn aan Q = n(cu) C V (Cu) (T b T a ), waabij n(cu) het aantal mol kope (Cu) waa het vat uit bestaat en C V (Cu) de isochoe molaie wamtecapaciteit van dat kope. Het vat weegt ongevee 0.5 [kg] en bestaat dus uit ca. 4 [mol] kope. d) [8 pnt] Veklaa waaom voo de molaie wamtecapaciteit van het kope geldt dat C V (Cu) = 3R, met R = 8.314 [J mol -1 K -1 ] de univesele gasconstante, tewijl dat voo het stikstofgas voldoet aan C V (N ) = 5R/.
e) [8 pnt] Kennelijk zijn zowel de bijdage van het gas aan de opgenomen hoeveelheid wamte als de mechanische abeid die het vat veicht op de omgeving klein ten opzichte van de toename van de intene enegie van het kope. Toon dit doo middel van een beekening van alle die de bijdagen aan, evan uitgaande dat het volume dat de kopeen wand inneemt vewaaloosbaa is ten opzichte van het volume van het gas. Opgave 3 (totaal 40 punten). De Bohse banen van een zeke atoom woden aangeduid met een index n, die aangeeft hoe vaak de de-boglie golflengte past op de omtek van de baan. Voo dit atoom is bekend dat de elektostatische kacht tussen de ken en het elekton wodt gegeven doo F = z /, waain z een constante en de staal van de baan. De massa van het elekton is m. π mz 1 a) Leid af dat de kinetische enegie in baan n gegeven wodt doo. h n (Hint: maak gebuik van het feit dat de elektostatische kacht gelijk is aan de centipetale kacht die nodig is om het elekton in zijn baan te houden) [8 punten] b) Laat zien dat de dimensies van antwood a) coect zijn (NB: let op dat z niet dimensieloos is) [4 punten] c) Waaom is het binnen de klassieke fysica niet mogelijk om elektonen in een stabiele baan ond de ken te laten bewegen en waaom binnen de quantummechanica wel? [5 punten] d) Geef een uitdukking voo de staal van de 1-ste Bohse baan van een watestof atoom in temen van de constantes h en z en de massa m. [5 punten] Veondestel dat de onzekeheid in de positie van het elekton gelijk is aan de staal van de eeste Bohse baan van het watestof atoom ( 1 ). e) Beeken de minimale onzekeheid van de coespondeende impuls van het elekton in deze baan. [6 punten] Een homogene daad van een zeke metaal heeft een lengte L. Ove deze daad wodt een spanningsveschil V aangelegd. Het metaal wodt gekaakteiseed doo een gemiddelde vije tijd t v, de tijd dat een geleidingselekton vijelijk beweegt alvoens te botsen met het ooste. f) Duk de diftsnelheid van de elektonen in daad uit in gegeven paametes en natuuconstanten [8 punten] g) en laat zien dat de dimensie van je eindantwood coect is [4 punten]
Antwooden Hetentamen 17-1-011 Opgave 1: a) In het gedeelte van de massaspectomete tussen plaat S en S 3 moeten de elektische en Loentz kacht elkaa opheffen want dan zullen de ionen pecies echtuit gaan. Dus FE = Fl en dat geeft onmiddellijk ee = Bev ofwel E = vb. b) In het ondeste gedeelte van de spectomete wekt enkel het magneetveld. De Loentz kacht wekt als de centipetale kacht. Dus Fmpz = FL en geeft = Bev waauit simpel volgt dat =. eb De afstand tussen gat in S 3 en de tefplaats op de fotogafische plaat is d = =. eb De lichtste ionen (Natium) teffen de plaat dus het dichtst bij het gat in S 3. c) De eistijd van S tot S 3 is t = l / v waabij l de afstand tussen S en S 3 is. Voo zowel de Natium als de Kalium ionen is e dus geen veschil in de looptijd van S naa S 3. De eistijd in de halve cikel is π / v = π m / eb. Omdat de Natium ionen lichte zijn als de Kalium ionen zullen ze de fotogafische plaat eede teffen. d) Het gedeelte tussen S en S 3 selecteet ionen op snelheid. Alleen ionen met een snelheid v = E / B gaan doo het gat in S 3. Omdat de snelheid nu bekend is, kunnen we de massa van de onbekende ionen meten doo de tefplaats op de fotogafische plaat t.o.v. van het gat in S 3 op te meten. deb We gebuiken dan m = v Opgave : a) Wamteovedacht geschiedt via stalingsovedacht, convectie en/of wamtegeleiding, en gaat snelle of langzame afhankelijk van welk van deze pocessen domineet. Dit uit zich in de waade van de wamtegeleidingscoëfficiënt, een van het mateiaal afhankelijke constante. Kope heeft een hoge wamtegeleidingscoëfficiënt omdat efficiënt wamtetanspot via geleiding als gevolg van moleculaie botsingen plaatsvindt de dichtheid van kope is immes hoog. Wamtetanspot doo een gas is veel minde efficiënt en dus tage omdat de dichtheid laag is en het gotendeels plaatsvindt via convectie en stalingsovedacht. Een tempeatuusveandeing uit zich oveigens in een dukveandeing via de ideale gasduk, omdat PV = nrt. b) (i) Volgens de Nulde Hoofdwet geldt dat als het kope en het gas in themisch evenwicht zijn dat hun tempeatuen gelijk moeten zijn. Vanwege de equipatitie van in dit geval de kinetische enegie van de moleculen geldt dat de ms-snelheid van moleculen (in de klassieke limiet) evenedig is met de wotel van het quotiënt van de absolute tempeatuu en de massa van de moleculen. Dit betekent dat bij gelijke
tempeatuu de ms-snelheden van het Cu en het N gelijk is aan (m Cu /m N ) met m de massa van de moleculen in kwestie. (ii) Volgens de Nulde Hoofdwet geldt dat als de systemen A en B in themisch evenwicht zijn, alsook B en C, dat A en C dan ook in themisch evenwicht moeten zijn. Dit is de tansitiviteitseigenschap van themische evenwichten. Hieuit volgt dat de tempeatuen van het stikstofgas en het wate aan elkaa gelijk moeten zijn. We passen de agumentatie van (i) wee toe en vinden dan dat de ms-snelheden van het stikstof en het wate zich vehouden als (m N /m HO ). c) (i) De waade van de volume-uitzettingscoëfficiënt is die kee dat van de lineaie. Dus: V b V a = 3αV a (T b -T a ). (ii) Het gas voldoet aan de ideale gaswet, dus PV = nrt oftwel P = nrt/v met R de gasconstante. De tempeatuu van het gas neemt toe van T a naa T b = T a + (T b T a ). Doo de uitzetting van het vat, neemt het volume toe van V a naa V b = V a + 3 α V a (T b T a ). Kotom, omdat het aantal mol gas constant is, geldt P b / P a = V a T b / V b T a = ( 1 + (T b T a )/T a ) / ( 1 + 3 α (T b T a ) ). (iii) Omdat T a = 300 [K], T a = 373 [K] en α = 10 5 [K 1 ] vinden we P b / P a = 1.4. De duk neemt toe. Dit vewachten we ook omdat 3 α << T a -1 : de volumetoename van het vat is heel veel kleine dan de duktoename bij gelijkblijvende duk. De uitzettingscoëfficiënt van een gas is immes veel gote dan dat van een vaste stof. d) Vanwege de equipatitie van enegie geldt C V = s R/ met s het aantal elevante vijheidsgaden van het molecuul waa het mateiaal uit bestaat. Kope is een kistallijn metaal. Kopeatomen hebben 3 impulsvijheidsgaden plus 3 positievijheidsgaden, de laatste die komen vanwege het feit dat deze in een ooste oscilleen en zich bij goede benadeing gedagen als hamonische oscillatoen. Stikstof is een symmetisch bi-atomai molecuul. Het heeft 3 impulsvijheidsgaden, otatievijheidsgaden en vibatievijheidsgaden. De laatste vijheidsgaden woden echte pas bij tempeatuen veel hoge dan het kookpunt van wate aangeslagen en doen daaom niet mee. We hebben in dit geval dus te maken met 5 elevante vijheidsgaden. e) De hoeveelheid wamte die moet woden toegevoegd aan het stikstofgas om het in tempeatuu te doen laten stijgen bedaagt Q = n(n ) C V (N ) (T b T a ). Deze bijdage is heel klein omdat de hoeveelheid gas zo klein is: n(n ) = P a V a /RT a = 0.04 [mol] is veel kleine dan de hoeveelheid kope: n(cu) = 4 [mol]. De hoeveelheid mechanische abeid W die het vat op de omgeving veicht komt oveeen met W = P a V waabij V 3 α (T b T a ) V a de volumeveandeing van het vat. We nemen hie dus aan dat de buitenduk niet veandet. De wanddikte van het vat is ook te vewaalozen ten opzichte van de diamete van het omsloten volume. We komen hiemee op W P a V P a 3 α (T b T a ) V a = 4.4 10-1 [J]. Dit is heel klein ten opzichte van de hoeveelheid doo het kope opgenomen wamte Q = n(cu) C V (Cu) (T b T a ) = 7.3 10 3 [J].
Opgave 3: Uit de omtek van de baan vinden we, gebuik makend van de Boglie-golflengte: π = nλ =, oftewel: =. (vegelijking I) π Uit gelijkstellen van elektostatische- en centipetale kacht (let op: beiden naa z binnen geicht) vinden we:, oftewel:. (vegelijking II) = z = Dit zijn twee vegelijkingen met twee onbekenden (v en ) en dus oplosbaa. πz πz Substitutie van uit I in II levet: = en dus: = v en met K = 1 is daamee eenvoudig de gevaagde elatie af te leiden. a) Dimensie van z is N m = J m. De dimensie van de gegeven elatie is ( ) kg J m kg m = = J, zoals indedaad vewacht mag woden voo de kinetische ( J s) s enegie. b)... d) Voo n=1: = h 1 π = h πm x h π z = h 4π mz e) De minimale onzekeheid wodt bepaald doo de onzekeheidselatie van Heisenbeg: x p x =h/π; x= 1,waa 1 de staal is van de eeste Bohse baan. In deze baan geldt dat 1 1 =h/π => p x =h/(π x)=h/(π 1 ) E V V V f) Uit J = nevd en ρ = = volgt ρ =, of: v d = (waain de J JL nevd L ne ρ L elektonendichtheid n onbekend is). me Uit de gegeven vije tijd volgt: ρ =. Dit invullen in de uitdukking voo v d volgt: ne t ne Vtv evtv vd = = (waain n wegvalt! en dus alleen gegeven gootheden en nemel mel natuuconstanten vookomen). [pnt] v g) De eeeid van het echte lid is (NB: de SI eeeid voo ev = J): J s kg m s m = = ; indedaad gelijk aan de eeeid van de snelheid in het linke kg m s kg m s lid. [pnt]