Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x). Dus formule 1 is goed. De oppervlakte van het grasveld is 1 3 5 5 60 m, de oppervlakte van het tegelpad is 1 3 x 5 1x m. De totale oppervlakte is A 5 60 1 1x. Dus formule 3 is ook goed. c Met formule 1: A 5 1(5 1 0,8) 5 1 3 5,8 5 69,6 m. Met formule 3: A 5 60 1 1 3 0,8 5 60 1 9,6 5 69,6 m. V- rechthoek a formule met haakjes A 5 3(c 1 5) formule zonder haakjes A 5 3c 1 15 rechthoek b: formule met haakjes A 5,5(f 1 1) formule zonder haakjes A 5,5f 1,5 rechthoek c: formule met haakjes A 5 1(4 1 r) formule zonder haakjes A 5 48 1 1r V-3a 3 a 16 3 3a 118 d 3 d 1,5,5d 15 y 5 3a 1 18 y 5,5d 1 5 b 3 b 11 e 3 e 11 1 1 10 10b 110 1 y 5 10b 1 10 y= e+ c 3 c 1 4 4c 18 y 5 4c 1 8 V-4a 3 5 1a a 5a 1a y 5 5a 1 a b 3 b 9 3 3b 7 y 5 3b 7 c 3 6 c 4 4 4c y 5 4 4c 1 e 1 1 f 3 10 1f 5 50 15f y 5 50 1 5f d 3 8 1d,5 0 15d y 5 0 1 5d e 3 e 13 3e 6e 19e y 5 6e 1 9e f 3 g 1 g g g y 5 g g V-5a y 5 x 1 5x 1 4x 1 0 of korter y 5 x 1 9x 1 0 b y 5 x 1 7x 1 x 1 7 of korter y 5 x 1 8x 1 7 c y 5 x 1 4x 1 10x 1 40 of korter y 5 x 1 14x 1 40 d y 5 x 16x 1x 1 6 of korter y 5 x 17x 1 6 e y 5 x 1 4x 1 3x 1 1 of korter y 5 x 1 7x 1 1 f y 5 x 1 x 1 x 1 1 of korter y 5 x 1 x 1 1 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 81
8 V-6a y 5 x x 1 3x 3 of korter y 5 x 1 x 3 b y 5 7x 1 x 1 35 1 5x of korter y 5 x 1 1x 1 35 c y 5 1 x x 1 x of korter y 5 x x 1 1 d y 5 x 9x 1 9x 81 of korter y 5 x 81 V-7a Uit de grafiek lees je af dat bij y 5 10 de waarden x 5 3 en x 5 3 horen. b Uit de grafiek lees je af dat bij y 5 5 de waarden x 5 en x 5 horen. c x 1 1 5 6 x 5 5 x = 5, 4 of x = 5, 4 d Bij y 5 1 hoort één waarde van x, namelijk x 5 0. e Bij y 5 0 hoort geen enkele waarde van x, want de grafiek heeft geen snijpunt met de horizontale as. V-8a p 1 4 5 0 d 8 1 p 5 33 p 5 16 p 5 5 p 5 4 of p 5 4 p 5 5 of p 5 5 b p 3 5 4 e p 5 0 p 5 36 p 5 0 p 5 6 of p 5 6 p 5 0 c p 5 4 f 9 1 p 5 90 p = 4 of p = 4 p 5 81 p 648, of p 648, p 5 9 of p 5 9 V-9a x 4 3 1 0 1 3 4 y 11 4 1 4 5 4 1 4 11 b y 1 10 8 6 4 4 3 1 O 4 6 x 1 3 4 c Uit de grafiek lees je af x 5 1 of x 5 1. d x 5 5 geeft x = 5 of x = 5 10-1 Ontbinden in factoren 1a 3 5 3 3 3 3 3 3 5 70 b Langs de route, 5, 3, 5, 3 is de vermenigvuldiging het grootst, namelijk 3 5 3 3 3 5 3 3 5 450. c Langs de route,, 3, 3, 3 is de vermenigvuldiging het kleinst, namelijk 3 3 3 3 3 3 3 5 108. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
a b c De getallen, 3 en 5 zijn niet in kleinere factoren te schrijven. 3 5 3 3 3 3 3 3 5 360, klopt. Joke krijgt eerst 18 3 0, dan 3 3 6 3 4 3 5 of 3 3 6 3 3 10 en daarna 3 3 3 3 3 3 3 5. Ze vindt zo dezelfde factoren als Surya. 3a 4 5 3 3 3 7 c 900 5 3 3 3 3 3 3 5 3 5 b 105 5 3 3 5 3 7 d 480 5 3 3 3 3 3 3 3 5 4a a= 3 x wordt korter geschreven a 5 6x b b= 3 x x wordt korter geschreven b 5 6x c c= 6x x wordt korter geschreven c 5 1x d d= 3 x wordt korter geschreven d 5 6x 5a p 5 14q kun je schrijven als p= 7 q b k 5 5q kun je schrijven als k = 55 q q c w 5 30v kun je schrijven als w= 3 5 v v d c 5 30d kun je schrijven als c= 3 5 d 6 r = x 3 x kun je schrijven als r 5 6x. u= 3 x x kun je schrijven als u 5 6x. De formules r = x 3 x, s 5 6x en u= 3 x x geven voor iedere waarde van x dezelfde uitkomsten. 7a r 5 18x is ook te schrijven als r = 18 x x of als r = 3x 6 x. Er zijn nog andere manieren. b De formule y 5 35x is bijvoorbeeld te schrijven als y= 35 x x of als y= 5 7x of als y= 5x 7 x. 8a De oplossing y= 3x 3x is niet juist. b De formule y 5 9x is bijvoorbeeld ook te schrijven als y= 9 x x of als y= 33 x x. 9a De formule y 5 6x kun je schrijven als y= x 3x b De formule y 5 1x kun je schrijven als y= 3x 4x c De formule y 5 14x kun je schrijven als y= 7 x d De formule y 5 4x kun je schrijven als y= 1 x e De formule y 5 15x kun je schrijven als y= 5x 3x 10a/b p 10 1 a 5 4p 1 1 0 5 8 b 5 4(p 1 3) 0 5 8 c 3 p 13 4 4p 11 b 5 4(p 1 3) is zonder haakjes te schrijven als b 5 4p 1 1, dus zijn beide formules hetzelfde. d - e De formule b 5 (p 1 6) is zonder haakjes geschreven b 5 4p 1 1 en geeft dus dezelfde uitkomsten als a 5 4p 1 1. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 83
84 10- Ontbinden van tweetermen 11a 3 a 1 3 7 7a 1 1 b h 5 7(a 1 3) 1a k 5 (1r 18) k 5 3(8r 1) k 5 6(4r 6) b k 5 4(6r 9) of k 5 1(r 3) 13a h 5 4(a 1 5) b k 5 3(f 11) c d 5 4(h 1 3) 14a 3 q 16 q q 16q 15a b y 5 q(q 1 6) In a en a zit één gemeenschappelijke factor a en in 3 en 15 is 3 de grootste gemeenschappelijke factor. b 3 a 15 3a 3a 115a c p 5 3a(a 1 5) d 3 b 3 5b 5b 15b e h 5 5b(b 3) 16a 3 a 17 a a 17a d 3 t 3 1t 1t 36t n 5 a(a 1 7) j 5 1t(t 3) b 3 h 15 h h 15h e 3 p 19 7p 7p 163p e 5 h(h 15) k 5 7p(p 1 9) c 3 1 13b f 3 x 3 15b 15b 145b 1x 4x 36x q 5 15b(1 1 3b) y 5 1x(x 3) 17 3 t 3 3t 6t 19t 3 t 13 3t 6t 19t Als je bij de formules van Robbert en Joost de haakjes weer wegwerkt krijg je bij beiden dezelfde formule. 18 3 a 1 5 10a 15 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
19a p 5 7(q 3) c y 5 5x(x 3) b r 5 (3s 1 ) d d 5 1e(1 3e) 0a Ja, ze heeft gelijk. 18t 5 6t 3 3t en 36t 5 6t 3 6. b 3 3t 16 6t 18t 136t j 5 6t(3t 1 6) c Vivian heeft 9t of 18t gevonden. d j 5 9t(t 1 4) of j 5 18t(t 1 ) 1a p 5 7v(v 1 3) d f 5 10s(s 1 1) b n 5 6a(3a 1 4) e e 5 9h(h 17) c c 5 8h(4h 3) f y 5 6x( 1 5x) 10-3 A 3 B 5 0 a - b De route 1, 3, 4,,, 5, levert het product 480 op. c Bijvoorbeeld de route 1, 3, 7, 6,, 0, of 1, 3, 7, 0, 1, 5, of 1,, 0,, 1, 0, d Vier routes leveren niet het product nul op. e Je moet een route kiezen waarbij één van de getallen gelijk aan nul is. 3a x 1 0 1 3 4 5 y 5 0 3 4 3 0 5 b y 8 6 4 1 O 1 3 4 x 5 4 c 3 x 4 x x 4x d In de tabel van opdracht a zie je dat de uitkomst gelijk is aan nul voor x 5 0 en x 5 4. e Bij x 5 0 is de factor x uit x(x 4) gelijk aan nul, bij x 5 4 is de factor x 4 gelijk aan nul. 4 (x 1 )(x 7) 5 0 (m 7)(m 1 4) 5 0 3k(k 1 4) 5 0 x 1 5 0 of x 7 5 0 m 7 5 0 of m 1 4 5 0 3k 5 0 of k 1 4 5 0 x 5 of x 5 7 m 5 7 of m 5 4 k 5 0 of k 5 4 m = 3 1 of m 5 4 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 85
5a (x 1 15)(x ) 5 0 d (r )(4r 8) 5 0 x 1 15 5 0 of x 5 0 r 5 0 of 4r 8 5 0 x 5 15 of x 5 r 5 of 4r 5 8 r 5 of r 5 dus r 5 b (3r 1)(r 8) 5 0 e s(s 1 13) 5 0 3r 1 5 0 of r 8 5 0 s 5 0 of s 1 13 5 0 3r 5 1 of r 5 8 s 5 0 of s 5 13 r 5 4 of r 5 8 f p(p 1 5) 5 0 c (n 4)(n 1 4) 5 0 p 5 0 of p 1 5 5 0 n 4 5 0 of n 1 4 5 0 p 5 0 of p 5 5 n 5 4 of n 5 4 6a De grafiek snijdt de x-as bij x 5 0 en x 5. b x 5 0 geeft y 5 0 3 0 5 0, klopt x 5 geeft y 5 3 5 0, klopt c De oplossingen zijn x 5 0 en x 5. d x(x ) 5 0 als x 5 0 of x 5 0 Dus de oplossingen zijn x 5 0 en x 5. 7a x 1 4x 5 0 c n 1 30n 5 0 e 3x 1x 5 0 x(x 1 4) 5 0 n(n 1 15) 5 0 3x(x 4) 5 0 x 5 0 of x 1 4 5 0 n 5 0 of n 1 15 5 0 3x 5 0 of x 4 5 0 x 5 0 of x 5 4 n 5 0 of n 5 15 x 5 0 of x 5 4 b 4g 10g 5 0 d t 7t 5 0 f h h 5 0 g(4 10g) 5 0 t(t 1 7) 5 0 h(h ) 5 0 g 5 0 of 4 10g 5 0 t 5 0 of t 1 7 5 0 h 5 0 of h 5 0 g 5 0 of 4 5 10g t 5 0 of t 5 7 h 5 0 of h 5 g 5 0 of g 5 0,4 8a Job vindt x 5 8 en x 5 10. b Invullen van x 5 8 geeft 8 3 (8 ) 5 8 3 6 5 48. Invullen van x 5 10 geeft 10 3 (10 ) 5 10 3 8 5 80. Job denkt dat het product van twee factoren 8 is als ten minste één van de factoren 8 is. En dat is niet juist. c Bij de vergelijking x(x ) 5 0 is een product gelijk aan 0 en dan moet wel ten minste één van de factoren gelijk zijn aan 0. 9a Invullen van a 5 1,5 geeft h 5 3 3 1,5 1,5 5 4,5,5 5,5 meter. b Voor a 5 is de hoogte h 5 3 3 5 6 4 5 meter. Voor a 5,5 is de hoogte h 5 3 3,5,5 5 7,5 6,5 5 1,5 meter. c An het begin en aan het eind van de brug is de hoogte gelijk aan 0. Door de vergelijking die hoort bij h 5 0 op te lossen vind je de waarden van a die horen bij A en B. d 3a a 5 0 a(3 a) 5 0 a 5 0 of 3 a 5 0 a 5 0 of a 5 3 e De afstand AB is 3 meter. 86 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
10-4 Ontbinden in factoren 30a Vergelijking 3 kun je nog niet oplossen. De linkerkant van de vergelijking kun je op dit moment nog niet ontbinden in factoren. b p(4 8p) 5 0 h 5h 5 0 (w 3)(w 1 ) 5 0 p 5 0 of 4 8p 5 0 h(h 5) 5 0 w 3 5 0 of w 1 5 0 p 5 0 of 8p 5 4 h 5 0 of h 5 5 0 w 5 3 of w 5 p 5 0 of p 5 1 h 5 0 of h 5 5 31a De parabool snijdt de x-as bij x 5 1 en x 5 3. b Bij de snijpunten met de x-as geldt y 5 0, dus moet je de vergelijking x 4x 1 3 5 0 oplossen. c Werk in de linkerkant van (x 1)(x 3) 5 0 de haakjes weg. 3 x 3 x x 3x 1 1x 13 De vergelijking wordt dan x 3x 1x 1 3 5 0 ofwel x 4x 1 3 5 0 d De parabool snijdt de x-as voor x 5 en x 5 5. e y 5 (x )(x 5) 3a Werk de haakjes weg in y 5 (x 1 3)(x 1 11) en je krijgt y 5 x 1 11x 1 3x 1 33 of korter y 5 x 1 14x 1 33. b In de tabel worden de gelijksoortige termen 3x en 11x samengenomen. Dus 14 5 3 1 11. c Het getal 33 is het product van de getallen 3 en 11. Dus 33 5 3 3 11. 33a Voor de gezochte getallen in y 5 (x 1 )(x 1 ) moet gelden 3 5 10. b Bij de formule y 5 x 1 7x 1 10 past de rechtertabel, want 3 5 5 10 en 1 5 5 7. c y 5 (x 1 )(x 1 5) 34a Bij de formule y 5 x 1 x 3 past de rechtertabel, want 1 3 3 5 3 en 1 1 3 5. b y 5 (x 1)(x 1 3) 35a 80 1 en 80 79 80 en 40 38 80 4 en 0 16 80 5 en 16 11 80 8 en 10 80 10 en 8 1 80 16 en 5 111 80 0 en 4 116 80 40 en 138 80 80 en 1 179 b Van de getallen 10 en 8 is de som 1. c y 5 (x 1 10)(x 8) Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 87
88 36a Het product is 11 en de som is 17. c Het product is 18 en de som 16. 11 1 en 1 13 11 en 6 8 11 3 en 4 7 y 5 (x 1 3)(x 1 4) 18 1 en 8 19 18 en 4 16 p 5 (q 1 )(q 1 4) b Het product is 14 en de som 114. d Het product is 17 en de som is 110. 14 1 en 4 15 14 en 1 114 110 1 en 10 111 110 en 5 17 r 5 (d 1 )(d 1 1) e 5 (w 1 )(w 1 5) 37a Het product is 11 en de som is 7. d Het product is 8 en de som 1. 11 1 en 1 13 11 en 6 8 11 3 en 4 7 11 1 en 1 13 11 en 6 8 11 3 en 4 7 y 5 (x 3)(x 4) 8 1 en 8 7 8 en 4 8 en 4 1 c 5 (c )(c 1 4) b Het product is 110 en de som 7. e Het product is 11 en de som is 8. 110 1 en 10 111 110 en 5 17 110 en 5 7 11 1 en 1 113 11 en 6 18 11 en 6 8 r 5 (d )(d 5) p 5 (q )(q 6) c Het product is 40 en de som 16. f Het product is 10 en de som is 3. 40 1 en 40 39 40 en 0 18 40 4 en 10 6 40 4 en 10 16 n 5 (t 4)(t 1 10) 10 1 en 10 11 10 en 5 3 e 5 (w 1 )(w 5) Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
10-5 Kwadratische vergelijkingen 38a De vergelijkingen en 5 hebben aan de linkerkant een tweeterm. De vergelijkingen 1, 3, 4 en 6 hebben aan de linkerkant een drieterm. b b 5b 5 0 e 1 4e 5 0 b(b 5) 5 0 e(e 1 4) 5 0 b 5 0 of b 5 5 0 e 5 0 of e 1 4 5 0 b 5 0 of b 5 5 e 5 0 of e 5 4 c a 1 8a 1 7 5 0 c 1 13c 1 36 5 0 (a 1 1)(a 1 7) 5 0 (c 1 9)(c 1 4) 5 0 a 1 1 5 0 of a 1 7 5 0 c 1 9 5 0 of c 1 4 5 0 a 5 1 of a 5 7 c 5 9 of c 5 4 d 15d 14 5 0 f f 30 5 0 (d 1 7)(d ) 5 0 (f 6)(f 1 5) 5 0 d 1 7 5 0 of d 5 0 f 6 5 0 of f 1 5 5 0 d 5 7 of d 5 f 5 6 of f 5 5 39a Hij vindt x 5 9 of x 5 10. b Invullen van x 5 9 geeft (9 3)(9 4)5 6 ofwel 6 3 5 5 6 en dat klopt niet. Invullen van x 5 10 geeft (10 3)(10 4) 5 6 ofwel 7 3 6 5 6 en dat klopt niet. Sven denkt dat het product van twee factoren 6 is als ten minste één van de factoren 6 is. En dat is niet juist. 40a x 1 4x 5 0 x(x 1 4) 5 0 x 5 0 of x 1 4 5 0 x 5 0 of x 5 4 b De grafiek bij de formule y 5 x 1 4x snijdt de horizontale as bij x 5 0 en bij x 5 4. 41a Als een product van twee factoren gelijk is aan 1 geldt niet dat ten minste één van de factoren gelijk is aan 1. b x 1 4x 1 5 0 (x 1 6)(x ) 5 0 x 1 6 5 0 of x 5 0 x 5 6 of x 5 c De snijpunten zijn (6, 1) en (, 1). Ze kloppen met de grafiek. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 89
90 4a x x 5 8 f e 10e 5 11 x x 8 5 0 e 10e 11 5 0 (x 4)(x 1 ) 5 0 (e 11)(e 1 1) 5 0 x 4 5 0 of x 1 5 0 e 11 5 0 of e 1 1 5 0 x 5 4 of x 5 e 5 11 of e 5 1 b x 1 10x 5 9 g c 3c 5 18 x 1 10x 1 9 5 0 c 3c 18 5 0 (x 1 9)(x 1 1) 5 0 (c 6)(c 1 3) 5 0 x 1 9 5 0 of x 1 1 5 0 c 6 5 0 of c 1 3 5 0 x 5 9 of x 5 1 c 5 6 of c 5 3 c a 1 a 5 35 h f 1 4 5 5f a 1 a 35 5 0 f 1 5f 1 4 5 0 (a 1 7)(a 5) 5 0 (f 1 4)(f 1 1) 5 0 a 1 7 5 0 of a 5 5 0 f 1 4 5 0 of f 1 1 5 0 a 5 7 of a 5 5 f 5 4 of f 5 1 d d 1 5d 5 6 i a 3a= 0 d 5d 1 6 5 0 1 a( a 3) = 0 (d )(d 3) 5 0 a 5 0 of 1 a 3 = 0 d 5 0 of d 3 5 0 a 5 0 of 1 a = 3 d 5 of d 5 3 a 5 0 of a 5 46 e b 8b 5 9 b 8b 9 5 0 (b 9)(b 1 1) 5 0 b 9 5 0 of b 1 1 5 0 b 5 9 of b 5 1 43a De vergelijkingen D en H kun je met een bordje oplossen. b De vergelijkingen B, E en G moet je eerst op nul herleiden. c B: t 1 6t 1 8 5 0 E: k k 8 5 0 G: h 1 9h 5 0 d Bij de vergelijkingen A en G kun je nu een tweeterm ontbinden. A: 3p(p 3) 5 0 G: h(h 1 9) 5 0 e Bij de vergelijkingen B en E kun je nu een drieterm ontbinden. B: (t 1 )(t 1 4) 5 0 E: (k 4)(k 1 ) 5 0 f A: 3p 5 0 of p 3 5 0 E: k 4 5 0 of k 1 5 0 p 5 0 of p 5 3 k 5 4 of k 5 B: t 1 5 0 of t 1 4 5 0 F: v 5 0 of v 1 9 5 0 t 5 of t 5 4 v 5 0 of v 5 9 C: f 1 1 5 0 of 5f 8 5 0 G: h 5 0 of h 1 9 5 0 f 5 1 of 5f 5 8 h 5 0 of h 5 9 f 5 1 of f 51,6 H: b 5 9 D: x 5 81 b 5 3 of b 5 3 x 5 9 of x 5 9 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
44a a 1a 5 0 f h 1 5 5 6h a 1a 1 0 5 0 h 1 6h 1 5 5 0 (a )(a 10) 5 0 (h 1 1)(h 1 5) 5 0 a 5 0 of a 10 5 0 h 1 1 5 0 of h 1 5 5 0 a 5 of a 5 10 h 5 1 of h 5 5 b b 1b 5 0 g 5d 15d 5 0 b(b 1) 5 0 5d(d 3) 5 0 b 5 0 of b 1 5 0 5d 5 0 of d 3 5 0 b 5 0 of b 5 1 d 5 0 of d 5 3 c 4c(c 8) 5 0 h i 1 i 5 8 4c 5 0 of c 8 5 0 i 1 i 8 5 0 c 5 0 of c 5 8 (i 1 4)(i ) 5 0 d f 1 f 4 5 0 i 1 4 5 0 of i 5 0 (f 1 6)(f 4) 5 0 i 5 4 of i 5 f 1 6 5 0 of f 4 5 0 i (e 1 6)(e 1 6) 5 0 f 5 6 of f 5 4 e 1 6 5 0 of e 1 6 5 0 e g 3g 5 4 e 5 6 of e 5 6 g 3g 4 5 0 e 5 6 of e 5 3 (g 4)(g 1 1) 5 0 g 4 5 0 of g 1 1 5 0 g 5 4 of g 5 1 45a De oppervlakte is 3 3 7 1 7 3 7 5 1 1 49 5 70 m. b De oppervlakte van het vierkant is a 3 a 5 a m, de oppervlakte van de linker rechthoek is 3 3 a 5 3a m. De totale oppervlakte is dus a 1 3a. Als de oppervlakte gelijk moet zijn aan 40, moet de vergelijking a 1 3a 5 40 opgelost worden. c a 1 3a 5 40 a 1 3a 40 5 0 (a 1 8)(a 5) 5 0 a 1 8 5 0 of a 5 5 0 a 5 8 of a 5 5 De oplossing a 5 8 heeft hier geen betekenis, omdat de zijde van een vierkant geen negatieve lengte kan hebben. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 91
9 10-6 Gemengde opdrachten 46a x 1 x 5 0 x(x 1 ) 5 0 x 5 0 of x 1 5 0 x 5 0 of x 5 De grafiek snijdt de x as bij x 5 0 en x 5. b Voor de punten op de grafiek met y 5 3 geldt x 1 x 5 3. x 1 x 3 5 0 (x 1 3)(x 1) 5 0 x 1 3 5 0 of x 1 5 0 x 5 3 of x 5 1 De coördinaten van de snijpunten zijn (3, 3) en (1, 3). c Voor de snijpunten van de grafiek met de lijn y 5 x geldt: x 1 x 5 x x 1 x 5 0 x(x 1 1) 5 0 x 5 0 of x 1 1 5 0 x 5 0 of x 5 1 Invullen van x 5 0 in y 5 x geeft y 5 0. Invullen van x 5 1 in y 5 x geeft y 5 1. De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0) en (1, 1). d Voor de snijpunten van de grafiek met de lijn y 5 1 x geldt: x + x= 1 x 1 x + 1 x= 0 1 xx ( + 1 ) = 0 1 x 5 0 of x + 1 = 0 x 5 0 of x = 1 1 Invullen van x 5 0 in y 5 1 x geeft y 5 0. Invullen van x = 1 1 in y 5 1 1 1 3 x geeft y = 1 =. 4 De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0) en ( 1 1, 3 ). 4 47a 4a(a 5) 5 0 d (d 1 )(3 d) 5 0 4a 5 0 of a 5 5 0 d 1 5 0 of 3 d 5 0 a 5 0 of a 5 5 d 5 of d 5 3 d 5 1 of d 5 3 b (b 1 )(b 3) 5 0 e (4e 1 1)(e 1 ) 5 0 b 1 5 0 of b 3 5 0 4e 1 1 5 0 of e 1 5 0 b 5 of b 5 3 4e 5 1 of e 5 1 e 5 1 of e 5 1 4 c c(c 3) 5 0 f ( 1 f + )(f 1 10) 5 0 1 c 5 0 of c 3 5 0 f + = 0 of f 1 10 5 0 1 c 5 0 of c 5 3 f = of f 5 10 f 5 4 of f 5 10 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
48a Invullen van a 5 1 geeft h 5 4 3 1 1 5 4 1 5 3 meter. b Bij h 5 0 hoort de vergelijking 4a a 5 0. a(4 a) 5 0 a 5 0 of 4 a 5 0 a 5 0 of a 5 4 Bij a 5 0 en a 5 4 is de hoogte nul meter. c De tunnel is 4 0 5 4 meter breed. 49a Bij a 5 4 vind je d 5 0,1 3 4 1, 3 4 5 1,6 4,8 5 3,. Op 4 meter van de linkeroever is het kanaal 3, meter diep. b 0,1a 1,a 5 0 a(0,1a 1,) 5 0 a 5 0 of 0,1a 1, 5 0 a 5 0 of 0,1a 5 1, a 5 0 of a 5 1 Bij 0 meter en bij 1 meter van de linkeroever is de diepte nul. c Ja, het kanaal is 1 meter breed. d Het midden van het kanaal is bij a 5 6. Invullen van a 5 6 geeft d 5 0,1 3 6 1, 3 6 5 3,6 7, 5 3,6. Het kanaal is daar 3,6 meter diep. e Als het schip van 5 meter breed in het midden van het kanaal van 1 meter breed vaart, is er aan beide zijkanten van het schip (1 5) : 5 3,5 meter over. Op 3,5 meter van de linkeroever is d 5 0,1 3 3,5 1, 3 3,5 5 1,5 4, 5,975, dus is het kanaal,975 meter diep. Het schip met een diepgang van,7 meter kan er dus varen. Het schip van 6 meter breed heeft aan beide kanten nog 3 meter over. Op 3 meter van de linkeroever is d 5 0,1 3 3 1, 3 3 5 0,9 3,6 5,7, dus is het kanaal,7 meter diep. Het schip met een diepgang van,8 meter kan daar niet varen. 50 formule ontbinding 18 1 en 18 17 y 5 x 17x 18 y 5 (x 1 1)(x 18) 18 en 9 7 y 5 x 7x 18 y 5 (x 1 )(x 9) 18 3 en 6 3 y 5 x 3x 18 y 5 (x 1 3)(x 6) 18 6 en 3 13 y 5 x 1 3x 18 y 5 (x 1 6)(x 3) 18 9 en 17 y 5 x 1 7x 18 y 5 (x 1 9)(x ) 18 18 en 1 17 y 5 x 1 17x 18 y 5 (x 1 18)(x 1) Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 93
94 51a Een vierhoek heeft twee diagonalen. b Een zeshoek heeft negen diagonalen. 1 1 c Invullen van n 5 4 geeft d = 4 1 4= 8 6=, klopt. 1 1 Invullen n 5 6 geeft d = 6 1 6= 18 9= 9, klopt. d Een zevenhoek heeft 1 1 1 1 7 1 7= 4 10 = 14 diagonalen. 1 1 e n 1 n= 135 f Vermenigvuldig links en rechts met en je krijgt de vergelijking: n 3n 5 70 n 3n 70 5 0 (n 1 15)(n 18) 5 0 n 1 15 5 0 of n 18 5 0 n 5 15 of n 5 18 Een achttienhoek heeft precies 135 diagonalen. 5a x 6x 5 8 d 0 5 x 1 x x 6x 1 8 5 0 x x 5 0 (x )(x 4) 5 0 x(x ) 5 0 x 5 0 of x 4 5 0 x 5 0 of x 5 x 5 of x 5 4 e x 5 3x b 64 5 x 16x x 3x 5 0 0 5 x 16x 1 64 x(x 3) 5 0 (x 8)(x 8) 5 0 x 5 0 of x 3 5 0 x 8 5 0 of x 8 5 0 x 5 0 of x 5 3 x 5 8 f x 5 5x 4 c x 64 5 0 x 5x 1 4 5 0 x 5 64 (x 4)(x 1) 5 0 x 5 8 of x 5 8 x 4 5 0 of x 1 5 0 x 5 4 of x 5 1 53a De lengte van rechthoek S is 0 meter, de breedte is x meter, dus de oppervlakte is A 5 0 3 x of korter A 5 0x. b Van rechthoek R bereken je de oppervlakte met de formule A 5 1x, van vierkant T bereken je de oppervlakte met de formule A 5 x. c Voor de oppervlakte van het tegelpad tel je de oppervlakten van R, S en T bij elkaar op. Dat geeft de formule A 5 0x 1 1x 1 x of korter A 5 x 1 3x. d A 5 68 geeft de vergelijking x 1 3x 5 68. e x 1 3x 5 68 x 1 3x 68 5 0 (x 1 34)(x ) 5 0 x 1 34 5 0 of x 5 0 x 5 34 of x 5 De oplossing x 5 34 heeft hier geen betekenis, dus x 5. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
54a Invullen van p 5 geeft A 5 1000 00 3 5 600. Er worden dan 600 bakjes friet per dag verkocht. b 1000 00p 5 460 00p 5 540 p 5 540 : 00 5,70 De prijs per bakje friet was toen e,70. c 1000 00 3,50 5 500 Bij een prijs van e,50 per bakje worden er 500 bakjes friet per dag verkocht. De opbrengst is dan 500 3,50 5 150 euro. d De opbrengst O in euro s bereken je door het aantal verkochte bakjes friet A te vermenigvuldigen met de prijs p per bakje friet. Dus O 5 p 3 A ofwel A 5 p(1000 00p). Zonder haakjes is deze formule A 5 1000p 00p. d 1000p 00p 5 0 00p(5 p) 5 0 00p 5 0 of 5 p 5 0 p 5 0 of p 5 5 Bij e 0,- en bij e 5,- is de opbrengst gelijk aan nul. fi ICT Ontbinden van drietermen I-1a Vergelijking 3 kun je nog niet oplossen. De linkerkant van de vergelijking kun je op dit moment nog niet ontbinden in factoren. b p(4 8p) 5 0 h 5h 5 0 (w 3)(w 1 ) 5 0 p 5 0 of 8 4p 5 0 h(h 5) 5 0 w 3 5 0 of w 1 5 0 p 5 0 of 8p 5 4 h 5 0 of h 5 5 0 w 5 3 of w 5 p 5 0 of p 5 1 h 5 0 of h 5 5 I-a De parabool snijdt de x-as in de punten (1, 0) en (3, 0). b Bij de snijpunten met de x-as geldt y 5 0, dus moet je de vergelijking x 4x 1 3 5 0 oplossen. c De grafieken vallen samen. d (x 1)(x 3) 5 0 x 1 5 0 of x 3 5 0 x 5 1 of x 5 3 e De parabool snijdt de x-as voor x 5 en x 5 5. f y 5 (x )(x 5) g De grafieken vallen samen. I-3a De grafiek snijdt de x-as in de punten (, 0) en (7, 0). b y 5 (x 1 )(x 7) c De grafiek bij de formule y 5 x 3x 10 snijdt de x-as in de punten (, 0) en (5, 0). De formule is dus ook te schrijven als y 5 (x 1 )(x 5). Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 95
96 I-4a Werk de haakjes weg in y 5 (x 1 3)(x 1 11) en je krijgt y 5 x 1 11x 1 3x 1 33 of korter y 5 x 1 14x 1 33. b In de tabel worden de gelijksoortige termen 3x en 11x samengenomen. Dus 14 5 3 1 11. c Het getal 33 is het product van de getallen 3 en 11. Dus 33 5 3 3 11. I-5a In de twee andere vakjes met stippen komen twee termen die samen 7x zijn, namelijk de 7x in de formule y 5 x 1 7x 1 10. Dus moeten de getallen in de gele vakjes samen 7 zijn. b Het product van de twee getallen in de gele vakjes is het getal 10 in de formule y 5 x 1 7x 1 10. c - d De getallen en 5 geven product 10 en som 7. e y 5 (x 1 )(x 1 5) I-6a - b - c - d De getallen 10 en 8 geven product 80 en som 1. e y 5 (x 1 10)(x 8) f y 5 x 7x 1 1 is te ontbinden in y 5 (x 3)(x 4) y 5 x 1 14x 1 4 is te ontbinden in y 5 (x 1 )(x 1 1) y 5 x 6x 40 is te ontbinden in y 5 (x 10)(x 1 4) y 5 x 1 x 8 is te ontbinden in y 5 (x 1 4)(x ) I-7 - Test jezelf T-1a 3x = 3x x e 4x 1 8 5 4(x 1 ) b 6x = x 3x f 1x 1 8 5 4(3x 1 ) c 4x = 6x 4x g 4x 1 8x 5 8x(3x 1 1) d 14x = 7 x h 14x 1 7 5 7(x 1 1) T-a a 5 8(x 1 3) e r 5 7q(q 1 3) b b 5 5(x 4) f e 5 6x(x 1) c d 5 1(x 1 ) g g 5 4x(8x 1 1) d k 5 6x(4x 1 3) h h 5 x(8x 1 13) Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
T-3a a 1 4a 5 0 e (e 1)(e 8) 5 0 a(a 1 4) 5 0 e 1 5 0 of e 8 5 0 a 5 0 of a 1 4 5 0 e 5 1 of e 5 8 a 5 0 of a 5 4 e 5 1 of e 5 4 b 3b 9b 5 0 f f 4f 5 0 3b(1 3b) 5 0 f(f ) 5 0 3b 5 0 of 1 3b 5 0 f 5 0 of f 5 0 b 5 0 of 3b 5 1 f 5 0 of f 5 b 5 0 of b = 1 3 g g g = 0 c c c 5 0 g( g) = 0 c(c ) 5 0 g 5 0 of g = 0 c 5 0 of c 5 0 g 5 0 of g 5 c 5 0 of c 5 h h h 5 0 d dd ( 5) = 0 h(h 1)50 d = 0 of d 5 5 0 h 5 0 of h 1 5 0 d 5 0 of d 5 5 h 5 0 of h 5 1 T-4a Product is 1 en som is 11. e Product is 14 en som is 5. Daar horen de getallen 14 en 3 bij, Daar horen de getallen 1 en 4 bij, want 4 3 3 5 1 en 4 1 3 5 1. want 1 3 4 5 4 en 1 1 4 5 5 a 5 (x 1 4)(x 3) e 5 (x 1)(x 4) b Product is 110 en som is is 17. f Product is 6 en som is 15. Daar hroen de getallen 1 en 15 bij, Daar horen de getallen 16 en 1 bij, want 3 5 5 10 en 1 5 5 7. want 6 3 1 5 6 en 6 1 1 5 5. b 5 (x 1 )(x 1 5) f 5 (x 1 6)(x 1) c Product is 1 en som is 11. g Product is 115 en som is 8. Daar horen de getallen 1 en 11 bij, Daar horen de getallen 3 en 5 bij, want 1 3 1 5 1 en 1 1 1 5 11. want 3 3 5 5 15 en 3 1 5 5 8. c 5 (x 1)(x 1 1) g 5 (x 3)(x 5) d Product is 111 en som is 11. h Product is 30 en som is is 1. Daar horen de getallen 11 en 111 bij, Daar horen de getallen 6 en 15 bij, want 1 3 11 5 11 en 1 1 11 5 1. want 6 3 5 5 30 en 6 1 5 5 1 d 5 (x 1 1)(x 1 11) h 5 (x 6)(x 1 5) T-5a 3a 18a 5 0 f f 1 9 5 6f 3a(a 6) 5 0 f 6f 1 9 5 0 3a 5 0 of a 6 5 0 (f 3)(f 3) 5 0 a 5 0 of a 5 6 f 3 5 0 of f 3 5 0 b b 60 5 4b f 5 3 b 4b 60 5 0 g g 1 g 5 35 (b 10)(b 1 6) 5 0 g 1 g 35 5 0 b 10 5 0 of b 1 6 5 0 (g 1 7)(g 5) 5 0 b 5 10 of b 5 6 g 1 7 5 0 of g 5 5 0 g 5 7 of g 5 5 Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 97
98 c 4c(5c 1 9) 5 0 h h 5 h 4c 5 0 of 5c 1 9 5 0 h h 5 0 c 5 0 of 5c 5 9 h(h 1) 5 0 9 4 c 5 0 of c 5 = 1 5 5 h 5 0 of h 1 5 0 d d 1 d 5 0 h 5 0 of h 5 1 d(d 1 1) 5 0 h 5 0 of h 5 1 d 5 0 of d 1 1 5 0 i 3i 5 7 d 5 0 of d 5 1 i 5 9 e e 9 5 7 i 5 3 of i 5 3 e 5 16 j j 5j 5 6 e 5 4 of e 5 4 j 5j 6 5 0 (j 6)(j 1 1) 5 0 j 6 5 0 of j 1 1 5 0 j 5 6 of j 5 1 T-6a Invullen van a 5 5 geeft h 5 5 40 3 5 1 500 5 5 00 1 500 5 35 cm 5 3,5 m. b Daarvoor moet je a 5 0 invullen. c Invullen van a 5 0 geeft h 5 0 40 3 0 1 500 5 500 cm 5 5 m. d Punt B ligt ook op hoogte 500 cm, dus neem h 5 500. Dat geeft de vergelijking a 40a 1 500 5 500. e a 40a 5 0 a(a 40) 5 0 a 5 0 of a 40 5 0 a 5 0 of a 5 40 Punt A is (0, 500) en punt B is (40, 500), dus de afstand tussen A en B is 40 meter. T-7a Voor snijpunten met de horizontale as geldt y 5 0, daar hoort de vergelijking x 3x 10 5 0 bij. b x 3x 10 5 0 (x 5)(x 1 ) 5 0 x 5 5 0 of x 1 5 0 x 5 5 of x 5 De grafiek snijdt de horizontale as bij x 5 5 en bij x 5. c (x )(x 4) 5 0 x 5 0 of x 4 5 0 x 5 of x 5 4 De grafiek snijdt de horizontale as bij x 5 en bij x 5 4. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo
T-8a x x 5 0 x(x ) 5 0 x 5 0 of x 5 0 x 5 0 of x 5 De grafiek snijdt de horizontale as bij x 5 0 en bij x 5. b x x 5 8 x x 8 5 0 (x 4)(x 1 ) 5 0 x 4 5 0 of x 1 5 0 x 5 4 of x 5 De grafiek snijdt de lijn y 5 8 in de punten (4, 8) en (, 8). c x x 5 3x x 5x 5 0 x(x 5) 5 0 x 5 0 of x 5 5 0 x 5 0 of x 5 5 Invullen van x 5 0 bij y 5 3x geeft y 5 3 3 0 5 0. Invullen van x 5 5 bij y 5 3x geeft y 5 3 3 5 5 15. De snijpunten zijn (0, 0) en (5, 15). d De grafiek snijdt de horizontale as bij x 5 1 en bij x 5 4. De formule wordt dus y 5 (x 1 1)(x 4). T-9a De oppervlakte A van de rechthoek bereken je door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte, dus A 5 x(x 1 ). b A 5 4 geeft x(x 1 ) 5 4 ofwel x 1 x 5 4. c x 1 x 4 5 0 (x 1 6)(x 4) 5 0 x 1 6 5 0 of x 4 5 0 x 5 6 of x 5 4 x 5 6 heeft hier geen betekenis, want een lengte kan niet negatief zijn. x 5 4 geeft breedte 4 cm en lengte 4 1 5 6 cm. d x(x 1 ) 5 10 x 1 x 5 10 x 1 x 10 5 0 (x 1 1)(x 10) 5 0 x 1 1 5 0 of x 10 5 0 x 5 1 of x 5 10 x 5 1 heeft hier geen betekenis. x 5 10 geeft breedte 10 cm en lengte 10 1 5 1 cm. Moderne Wiskunde 9e editie B havo/vwo 99