Het Oudbabylonisch kleitablet AO uit het Louvre Hieronder staan afbeeldingen en vertalingen van de vier rechthoekszijden van een rechthoekig blok no. AO uit het Louvre in Parijs. De tekeningen (op ware grootte) zijn ontleend aan O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte, Berlin: Springer,, deel, Tafels -, en de vertalingen zijn gebaseerd op Neugebauer s Duitse vertalingen op pp. - van deel van het genoemde werk. Het blok is aan vier kanten beschreven tussen 000 en 00 v. Chr. Het is, cm hoog en, cm breed. De kleine cijfertjes aan het begin van de regels zijn regelnummers in de tekening. Woorden tussen haakjes zijn toegevoegd, evenals enkele getallen in gepunte haken < >. De getallen kun je zelf in de tekening herkennen, waarbij het je zal opvallen dat de tablet op veel plaatsen een beetje beschadigd is. De oud-babylonische sexagesimale schrijfwijze is gehandhaafd, dus bijv. zou kunnen betekenen 0 +, of ook + of 0 + 0 +. Hoe het 0 0 gehele deel van het breukdeel zou kunnen worden gescheiden is niet aangegeven (misschien zijn verschillende interpretaties mogelijk; de lege stukken tussen de sexagesimalen zouden misschien iets kunnen zeggen.)
Vertaling van het blok: Kant I Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt. Wat de lengte over de breedte uitsteekt heb ik bij de oppervlakte opgeteld en (er komt). Verder, lengte en breedte opgeteld (is). Wat zijn de lengte en de breedte? lengte breedte de sommen oppervlakte Jij bij je methode, de som van lengte en breedte 0 optellen, er komt 0. Nu bij optellen, (er komt). De helft van afbreken 0 maal 0 (is) 0 Van 0 0 aftrekken is het verschil. heeft 0 als kwadraat (wortel) Nu 0 bij de eerste 0 optellen, er komt als lengte 0 van de tweede 0 0 aftrekken, er komt als breedte die je bij opgeteld hebt van, de breedte, aftrekken is de uiteindelijke breedte., de lengte en, de breedte heb ik vermenigvuldigd maal is de oppervlakte lengte over breedte wat steekt het uit? steekt het uit; deze bij de oppervlakte optellen is het resultaat. 0 Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt. Daarna de helft van de lengte en een derde van de breedte bij mijn oppervlakte opgeteld en (er komt) Verder, lengte en breedte opgeteld (is)
(Kant II) Wat zijn de lengte en de breedte? Jij bij je methode... omgekeerde van de helft... omgekeerde... deel keer je om. De -de deel daarvan, 0, breek je af 0 maal (is) 0 voor de som van lengte en breedte breng ik, en 0 0 van, mijn som aftrekken 0 is het verschil Het gaat niet verder. en heb ik vermenigvuldigd maal (is) Het -de deel levert 0 aan je 0 van... je som van lengte en breedte aftrekken 0 is het verschil de helft daarvan... breek je af 0 geeft dit je als resultaat tot zijn tweede verhef je; maal is 0 < >. Daarvan 0 aftrekken 0 is het verschil bij de eerste optellen: (er komt) 0 en wat ik van de som van lengte en breedte afgetrokken heb 0 tel je bij <0> op is de lengte. Van de tweede aftrekken: (is) de breedte de sommen lengte oppervlakte breedte Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt
Jij bij je methode 0, de som van lengte en breedte 0 0 maal 0 (is) 0 Van 0 0 de oppervlakte aftrekken: (er komt) 0 Het gaat niet verder. De helft, van 0, breek je af. 0 maal 0 (is) 0 bij 0 optellen. heeft 0 als kwadraatwortel 0 hoeveel steekt dit boven 0 uit? 0 steekt het uit. 0 bij 0 optellen: is de lengte. 0 van 0 aftrekken: 0 0 is de breedte Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd, en zo de oppervlakte gemaakt Verder, de lengte en de breedte heb ik opgeteld en (het is) aan de oppervlakte gelijk. Lengte, breedte en oppervlakte heb ik opgeteld, (er komt). Wat zijn de lengte, breedte en oppervlakte? Van 0 ashlu afstand heeft e e n man hopen tegels 0 hier naartoe gebracht; ban koren heb ik hem (als totaal loon) gegeven. Nu heeft de bouwmeester mij opgedragen dit te organiseren mensen heb ik erbij geroepen de ene heeft een (bepaalde) hoeveelheid de tweede twee maal zoveel de derde drie maal zoveel de vierde vier maal zoveel de vijfde vijf maal zoveel 0 hier naartoe gebracht. (Kant III) Verder, wat de lengte over de breedte uitsteekt heb ik met de som van de lengte en mijn (breedte) vermenigvuldigd daarbij heb ik mijn oppervlakte opgeteld: (er komt) 0. Verder heb ik lengte en breedte opget... (er komt) 0 0 0 de sommen lengte 0 oppervlakte 0 breedte ashlu is ongeveer meter hoop tegels is altijd 0 tegels Een ban is een inhoudsmaat, ca.. liter
(Kant IV) Die eenmaal (de hoeveelheid) hier naartoe gebracht heeft zoveel tegels hij afgeleverd heeft zoveel koren heb ik hem gegeven 0 0 ko(ren) 0 0 0 0 Over 0 ashlu heeft e e n man zestigtallen tegels hier naartoe gebracht. ban koren gaf ik hem. Nu heeft de bouwmeester mij opgedragen dit te organiseren mensen heb ik erbij geroepen 0 De eerste heeft zevenmaal een bepaalde hoeveelheid de tweede elf maal (die hoeveelheid) de derde dertien maal (die hoeveelheid) de vierde veertien maal (die hoeveelheid) hier naartoe gebracht. Zoveel tegels hij afgeleverd heeft, zoveel koren heb ik hem gegeven 0...... 0 0 0... 0 0... 0 koren Hierna volgt een opgave over tegels die door een aantal mensen gedurende een aantal dagen getransporteerd moeten worden. De tekst is zo beschadigd dat de opgave niet meer te reconstrueren is.
Commentaar: Het tablet is bijzonder niet alleen omdat er een aantal problemen opstaan die equivalent zijn met een kwadratische vergelijking, maar ook omdat er dan een oplosmethode gegeven wordt. Op veel andere tabletten staan opgaven met alleen oplossingen zonder methode. Kant I. Het probleem kan in moderne termen geschreven worden als xy + (x y) = = 0 +, x + y =. Men probeerde zulke problemen door een geschikte substitutie (dit is natuurlijk een anachronisme, bedoeld om de tekst in eerste instantie wiskundig te interpreteren, en niet om de denkwijze van de auteurs te begrijpen) te herleiden tot x + y = p, x y = q, die dan werden opgelost met een standaardrecept: x en y zijn p ± ( p ) q. In dit geval is de substitutie x = x, y = y + met p =, q = + = 0. De achtergrond van deze redeneringen was waarschijnlijk meetkundig, met vierkanten en rechthoeken; zo moet ook het standaardrecept zijn ontdekt. Het is duidelijk dat het om de methode gaat; de oplossing x =, y = kan eenvoudig met trial en error gevonden worden. Het leuke aan dit probleem is dat er ook een andere oplossing x =, y = is (die ongetwijfeld aan de opstellers bekend geweest is). Kant I, regels 0 en verder en kant II. Dit probleem is equivalent met x + y + xy =, x + y =, hetgeen wordt aangepakt met de substitutie x = x, y = y met p =, q = =. Regels - zijn niet erg duidelijk. Het probleem heeft oplossingen x =, y = en ook x =, y =. Het probleem zou evengoed kunnen worden aangepakt met de substitutie x = x, y = y +. Kant II, regels e.v., en Kant III. Dit probleem is equivalent met (x y)(x + y) + xy = 00, x+y = 00 (met oplossingen x = 0, y = 0) of met (x y)(x+y)+xy =, x+y =, met oplossingen x =, y =, naar keuze. Ik gebruik de eerste interpretatie. x = 00 y substitueren levert een kwadratische vergelijking y(y+00) = 00 00 = 00 = 00 + 0 + 0. Dit leidt tot een ander standaardprobleem x y = q, x y = p met p = 00, q = 00 met een standaardoplossing x = p + ( p ) + q, y = p + ( p ) + q. NB op deze manier verwijderen we ons waarschijnlijk heel erg van de denkmethode van de auteurs. Kant III, regels -: hier staat alleen een probleem zonder oplossing, te interpreteren als xy = x + y, xy + (x + y) = met oplossingen x =, y = of omgekeerd. Kant III, regels e.v.: De rest van het blok staan verdelingsproblemen. In het eerste probleem moet a = + + + + worden uitgerekend en dan n voor a n. a In de kolommen staan de gegevens: de afstand 0, het aantal delen voor elke arbeider, de hoeveelheid tegels, en de hoeveelheid korens (in de tweede en derde kolom een plaats te hoog aangegeven). De hoeveelheid koren wordt aangegeven in qa. Hierbij moet je weten dat ban = 0 qa. Kant IV, regel e.v.: nog zo n opgave, met ingewikkeldere gegevens.