Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 0 6. ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 Auteurswet j o het Besluit van augustus 985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Rekenen met goniometrische eenheden. De eenheidscirkel. Het verband tussen sinus, cosinus en tangens 4. Radialen 9.4 Het decimale hoekstelsel 6 Grafieken van goniometrische verbanden 6. Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens 6. Grafieken met radialen 9 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 54. Formules opstellen van goniometrische functies 54 4 Sinusregel en cosinusregel 6 4. Sinusregel 6 4. Cosinusregel 67

Rekenen met goniometrische eenheden De eenheidscirkel In figuur is een rechthoekige driehoek getekend die een schuine zijde heeft met een lengte. Deze driehoek noemen we de eenheidsdriehoek. C SZ = OR A α AR B Figuur OR = overstaande rechthoekzijde AR = aanliggende rechthoekzijde SZ = schuine zijde In deze eenheidsdriehoek geldt: OR OR AR AR sinα = = = OR en cosα = = = AR SZ SZ In figuur a beweegt de lijn met de pijl zich tegen de wijzers van de klok in omhoog tot hij een hoek van 90 maakt met het horizontale vlak. In figuur b is te zien dat de lijn met de pijl te beschouwen is als de straal van een cirkelsector waarvan de middelpuntshoek achtereenvolgens 5, 0, 45, 60, 75 en 90 is. De lengte van de straal is.

Rekenen met goniometrische eenheden -as,0 90o 75 o 60 o,0 90o 75 o 60 o 0,8 45 o 0,8 45 o 0,6 0 o 0,6 0 o 0,4 0,4 0, 5 o sin 5 o 0, r = 5 o 0 0 0 o 0 0, 0,4 0,6 0,8,0 0 0, 0,4 0,6 0 o -as 0,8,0 cos 5 o Figuur a Figuur b Vanuit het punt op de cirkelomtrek waar de middelpuntshoek 5 is, is een hoogtelijn getekend. Hierdoor ontstaat een rechthoekige driehoek. Zie figuur b. Hier geldt: OR OR sinα = = = = r Met een eenheidsdriehoek kunnen we dus de sinus van een hoek aflezen op de verticale as. Vb. We willen de sinus van 5 bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven: eenheidsdriehoek met α = 5. Gevraagd: sin5. Oplossing: we lezen af: sin 5 = 0, 6. Controle met de rekenmachine: sin 5 = 0, 59. Zo kan de cosinus worden afgelezen op de horizontale as, omdat geldt: AR AR cosα = = = = r We willen de cosinus van 5 bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven Eenheidsdriehoek met α = 5. Gevraagd cos5 Oplossing We lezen af: cos 5 = 0, 97. Controle met de rekenmachine: cos 5 = 0, 966.

Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Bepaal met behulp van figuur b de onderstaande waarden: a sin0 = b sin0 = c sin 45 = d sin60 = e sin90 = f cos0 = g cos0 = h cos 45 = i cos60 = j cos90 =

4 Rekenen met goniometrische eenheden Het verband tussen sinus, cosinus en tangens Uit oefening kunnen we twee regels afleiden, namelijk: sin α = cos( 90 α) en cosα = sin( 90 α) Oefeningen Bereken de volgende hoeken: a sin 0 = cos... b sin 0 = cos... c sin 45 = cos... d sin 60 = cos... e sin 90 = cos... Bereken α : a cos( 90 α) = 0, 906 b sin( 90 α) = 0, 588 c cos( 90 α) = 0, 59 d sin( 90 α) = 0, 7

Rekenen met goniometrische eenheden 5 e cos( 90 α) = 0, 966 In figuur is de cirkelsector uit figuur aangevuld tot een hele cirkel met r =. Deze cirkel noemen we de eenheidscirkel. Het middelpunt is het punt ( 0, 0) ; de omtrek is π. Deze eenheidscirkel is verdeeld in vier kwadranten: I van 0 tot 90 ; II van 90 tot 80 ; III van 80 tot 70 ; IV van 70 tot 60. 0 o 05 o 90 o,0 75 o 60 o 5 o 0,8 45 o 65 o 50 o II 0,6 0,4 0, I 0 o 5 o 80 o 0 o / 60 o -,0-0,8-0,6-0,4-0, 0, 0,4 0,6 0,8,0 95 o 0 o III -0, -0,4-0,6 IV 0 o 45 o 5 o -0,8 5 o 40 o 55 o -,0 70 o 85 o 00 o Figuur De sinus van een hoek wordt net als bij oefening steeds afgelezen op de verticale as. De cosinus op de horizontale as. Als de draairichting tegen de wijzers van de klok in gaat, zijn de hoeken positief. Met de wijzers van de klok mee, noemen we de hoeken negatief. Dus: + 00 = 60.

6 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen 4 Maak de juiste rondjes zwart. Kwadrant Kwadrant Kwadrant Kwadrant 4 Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Tabel 5 Bepaal met behulp van figuur : a sin40 b sin( 0 ) c sin50 d sin0 e sin75 f sin60 g cos40

Rekenen met goniometrische eenheden 7 h cos( 0 ) i cos 70 j cos 0 k cos 0 l cos 45 6 In welk kwadrant liggen de hoeken van: a sin40 b sin( 0 ) c sin50 d sin0 e sin75 f sin60

8 Rekenen met goniometrische eenheden g cos40 h cos( 0 ) i cos 70 j cos 0 k cos 0 l cos 45 Tussen sinus, cosinus en tangens bestaat een verband. Dit verband drukken we uit in de volgende formule: sin α tan α = cosα Oefeningen 7 Maak de tabel compleet voor de tangens. kwadrant kwadrant kwadrant kwadrant 4 Sinus positief positief negatief negatief Cosinus positief negatief negatief positief Tangens Tabel

Rekenen met goniometrische eenheden 9 Radialen In de techniek drukken we de grootte van een hoek vaak uit in radialen in plaats van in graden. De eenheid radiaal korten we meestal af tot rad. We gaan nu het verband tussen hoeken en radialen bekijken. De grootte van een middelpuntshoek α is radiaal als de bijbehorende booglengte even groot is als de straal. Zie figuur 4. B M r α = rad r boog AB = r A Figuur 4 De lengte van de cirkelboog AB kunnen we berekenen met de formule: α AB = π r 60 Daarbij moeten we α in graden uitdrukken! Als we α in radialen uitdrukken, geldt: α = rad als boog AB = r ; α = rad als boog AB = r ; α = rad als boog AB = r ; α = π rad als boog AB = π r. Voor α in radialen geldt blijkbaar voor de lengte van de cirkelboog AB de volgende formule: AB = α r Vb. We willen de booglengte AB berekenen van een cirkelsector met een straal van m en een middelpuntshoek van 0, 5rad. Gegeven r = m en α = 0, 5rad Gevraagd AB Oplossing AB = α r AB = 0, 5rad m = 0, 5m

0 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen 8 Hoe groot is de booglengte AB als r = m en: a α = rad b α = rad c α = rad d α = π rad We hebben gezien dat de grootte van de middelpuntshoek in de eenheidscirkel π rad is als de booglengte gelijk is aan π. Deze booglengte komt overeen met de omtrek van de hele eenheidscirkel, want: omtrek = π r = π = π De middelpuntshoek van een volledige cirkel is echter ook 60. Hieruit volgt dus dat 60 overeenkomt met π rad, ofwel dat 80 overeenkomt met π rad. Dit noteren we als volgt: 60 π rad, ofwel 80 π rad. Nu we het verband tussen graden en radialen weten, kunnen we ze eenvoudig in elkaar omrekenen: π 80 π rad rad 80 π Dus door het aantal graden te vermenigvuldigen met, krijgen we het aantal radialen. 80 80 π rad = 80 rad =. π Door het aantal radialen te vermenigvuldigen met graden. 80 π, krijgen we de hoek in

Rekenen met goniometrische eenheden Vb. We willen een hoek van, 5rad omrekenen in graden en een hoek van in radialen. Gegeven a. α =, 5rad b. β = Gevraagd a. α in graden b. β in radialen Oplossing 80 a. α =, 5rad α, 5 = 85, 9 π π b. β = β = 0, 56rad 80 9 Reken de volgende hoeken om van graden naar radialen: a 48 b 4 c 70 d 90 e 5 f 0

Rekenen met goniometrische eenheden 0 Reken de volgende hoeken om van radialen naar graden: a α = 0, 78 rad b α = 0, 5rad c α = 0, 5π rad d α = 0, π rad e α = 5rad f α = 4, 4rad Als we met onze rekenmachine de sinus, cosinus of tangens van een hoek willen berekenen, moeten we eerst controleren of onze rekenmachine op de juiste eenheid ingesteld staat. Als we moeten rekenen met graden, moet de rekenmachine ingesteld staan op (DEG). Werken we in radialen, dan zetten we de rekenmachine op RAD. Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op radialen met mode mode []. We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode []. Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op radialen met: DRG, kiezen vervolgens met de cursortoets voor RAD en eindigen met =. We kunnen hem opnieuw op graden instellen door: DRG, kiezen voor DEG en eindigen met =.

Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Bereken in decimalen nauwkeurig: a sin, 4 b sin 4 π c cos 8 d cos8 e tan 0, 5π f tan, 05 g sin5 h sin 45 i cos 5, 67 j cos, 5π

4 Rekenen met goniometrische eenheden k tan60 l tan50 Vb. 4 Gegeven a. sin α = 0, 56 b. cos α = 0, 4 c. tan α =, 45 Gevraagd a. Bereken α in radialen. b. Bereken α in radialen. c. Bereken α in radialen. Oplossing,0 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 π 6 π π π 5π 6 π 7π 6 4π π 5π π 6 π Figuur 5

Rekenen met goniometrische eenheden 5,0 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 π 6 π π π 5π 6 π 7π 6 4π π 5π π 6 π Figuur 6 a. sin α = 0, 56, α = 0, 6 rad of α = π 0, 6 =, 78 rad. Zie figuur 5. b. cos α = 0, 4, α =, rad of α = π, = 5, 06 rad. Zie figuur 6. c. tan α =, 45, α =, 7rad Oefeningen Bereken α in radialen. a sin α = 0, 85 b sin α = 0, 5 c sin α = 0, 866 d sin α = 0, 5 e cos α = 0, 4 f cos α = 0, 866

6 Rekenen met goniometrische eenheden g cos α = 0, 04 h cos α = 0, 5 i tan α =, 8 j tan α =, 8 k tanα = 4 Het decimale hoekstelsel Bij het landmeten gebruiken we meestal nog een andere hoekmaat. Het hoekstelsel met een rechte hoek van 90 blijkt niet handig in de praktijk. Daarom is in de landmeetkunde het decimale hoekstelsel ingevoerd met als eenheid de gon. In het decimale hoekstelsel is een rechte hoek niet 90 graden, maar 00gon. De middelpuntshoek van een cirkel is daarom geen 60 graden, maar 400 gon. Dus: 90 00gon waaruit volgt dat: 60 400gon α Bij het omrekenen van graden naar gon gebruiken we de formule: 400gon. 60 400 Door het aantal graden te vermenigvuldigen met, krijgen we de hoek in gon. 60 α Bij het omrekenen van gon naar graden draaien we de zaak om: 60. 400 gon 60 Door het aantal gon te vermenigvuldigen met krijgen we de hoek in graden. 400 Zoals we geleerd hebben, moeten we de rekenmachine instellen op DEG als we de sinus of cosinus van een hoek in graden willen berekenen. Als de hoeken in radialen zijn gegeven, stellen we de rekenmachine in op RAD. Op de meeste wetenschappelijke rekenmachines vinden we behalve deze twee insteltoetsen nog een derde toets: de GRA-toets bij CASIO-machines of de GRD-toets bij TI-rekenmachines. Deze instelling hebben we nodig als we de sinus, cosinus of tangens van een hoek in gon willen berekenen.

Rekenen met goniometrische eenheden 7 Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op gon met mode mode [ ]. We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [ ]. Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op gon met: DRG, kiezen voor GRD en bevestigen met =. We kunnen opnieuw op graden instellen met: DRG, kiezen voor DEG en bevestigen met =. In het volgende overzicht staat aangegeven hoe we in de verschillende hoekstelsels de sinus van een rechte hoek berekenen: Hoek: Bereken: Rekenmachine op: Intoetsen: Uitkomst: 90 sin90 DEG sin [90] 00 gon sin00 GRA of GRD sin[00] π rad sin π RAD sin ([0,5] [ ]) Tabel Tip: als de rekenmachine geen GRA of GRD-toets heeft, zoals de grafische rekenmachine TI-8/84, rekenen we de hoeken in gon eerst om naar graden. Vervolgens bepalen we daarvan de sinus, cosinus of tangens. Vb. 5 We willen een hoek α van 60 omrekenen in gon. Gegeven α = 60 Gevraagd α in gon Oplossing 400 α = 60 α 60 = 66, 7gon 60

8 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Reken om van graden naar gon : a 80 = b 0 = c 5 = d 75 = e 75 = f 45 = Vb. 6 We willen een hoek α van 60gon omrekenen in graden. Gegeven α = 60gon Gevraagd α in graden. Oplossing 60gon 60 gon 60 = 54 400gon

Rekenen met goniometrische eenheden 9 4 Reken om van gon naar graden: a 80gon = b 65gon = c 40gon = d 50gon = e 00gon = f 80gon = 5 Bereken: a sin0 b cos5 c tan75 d sin60 gon e cos40 gon

0 Rekenen met goniometrische eenheden f tan0gon g sin 0, π h cos π i tan Vb. 7 Gegeven We willen de hoek α in gon berekenen als: a. sin α = 0, 56 b. cosα = 0, 4 c. tan α =, 45 Gevraagd a. α in gon b. α in gon c. α in gon Oplossing a. sin α = 0, 56 α =, gon of α = 00gon, gon = 76, 8gon (in plaats van 80 α ) b. cos α = 0, 4 α = 77, 8gon of α = 400gon 77, 8gon =, gon (in plaats van 60 α ) c. tan α =, 45 α = 74, gon Oefeningen 6 Bereken α in gon : a sin α = 0, 564 b cos α = 0, 7

Rekenen met goniometrische eenheden c tan α = 0, 45 d sin α = 0, 75 e cos α = 0, 89 f tan α = 0, 57

Rekenen met goniometrische eenheden Antwoorden a 0 b 0, 5 c 0, 7 d 0, 87 e f g 0, 87 h 0, 7 i 0, 5 j 0 a 90 b 60 c 45 d 0 e 0 a α = 7, b α = 60, 0 c α = 6, 7 d α = 47, 8 e α = 8, 4 4 Kwadrant Kwadrant Kwadrant Kwadrant 4 Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Tabel 5a 0, 64 b 0, 5 c 0, 94 d 0, 5 e 0, 96 f 0 g 0, 77 h 0, 5 i 0 j 0, 64

Rekenen met goniometrische eenheden k 0, 87 l 0, 7 6a kwadrant b kwadrant 4 c kwadrant d kwadrant 4 e kwadrant f kwadrant g kwadrant h kwadrant i kwadrant 4 j kwadrant k kwadrant 4 l kwadrant 7 kwadrant kwadrant kwadrant kwadrant 4 Sinus positief positief negatief negatief Cosinus positief negatief negatief positief Tangens positief negatief positief negatief Tabel 4 8a m b m c m d 6, 8 m 9a 0, 84 rad b, 6rad c 4, 7rad d, 57rad e, 9rad f 5, 76rad 0a 45 b 8, 8 c 90 d 59, 4 e 86, f 5, 8 a 0, 78 b 0, 707 c 0, d 0, 66 e

4 Rekenen met goniometrische eenheden f, 74 g 0, 4 h 0, 707 i 0, 88 j 0, 707 k, 7 l 0, 577 a α = 0, 97rad of α =, 7rad b α = 0, 5rad of α =, 66rad c α =, 05rad of α = 4, 9rad d α = 0, 56rad of α =, 58 rad e α =, 6rad of α = 5, rad f α =, 6rad of α =, 66rad g α =, 55rad of α = 4, 7rad h α =, 09rad of α = 4, 9rad i α = 0, 85rad j α = 0, 85rad k α = 0, 79rad a 00 gon b 8, 9gon c 05, 6gon d 66, 7gon e 8, gon f 6, gon 4a 4 b 58, 5 c 6 d 5 e 80 f 7 5a 0, 5 b 0, 574 c, 7 d 0, 809 e 0, 588 f, 96 g 0, 809 h i 0, 4

Rekenen met goniometrische eenheden 5 6a 8, gon of 6, 9gon b 4, gon of 75, 7gon c 7, 0gon d 54, gon of 45, 9gon e 9, 7gon of 70, gon f 6, 0gon

Grafieken van goniometrische verbanden Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens We beginnen met het tekenen van de grafiek van de sinus, dus = sin. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Vervolgens stellen we een tabel op waarin we voor een aantal waarden voor de bijbehorende berekenen. We nemen hierin voor het interval [ 0 ; 60 ] met steeds stappen van 0. De bijbehorende -waarde kunnen we met onze rekenmachine berekenen. Let op dat onze rekenmachine op graden (DEG) staat ingesteld. 0 0 60 90 0 50 80 0 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 0 40 70 00 0 60 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur.,5,0 0,5 0-0,5 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o -,0 -,5 Figuur

Grafieken van goniometrische verbanden 7 Op dezelfde wijze kunnen we ook de grafiek van de cosinus tekenen. Vb. Teken de grafiek van = cos op het interval [ 0 ; 60 ]. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij de -waarden de waarde voor te berekenen. 0 0 60 90 0 50 80 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 0 40 70 00 0 60 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur.,5,0 0,5 0-0,5 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o -,0 -,5 Figuur We vervolgen met de grafiek van de tangens. Vb. Teken de grafiek van = tan op het interval [ 0 ; 60 ]. Eerst tekenen we weer een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij de -waarden de waarde voor te berekenen. 0 0 60 90 0 50 80 0 0, 577, 7-0, 7 0, 577 0 0 40 70 00 0 60 0, 577, 7-0, 7 0, 577 0 Tabel

8 Grafieken van goniometrische verbanden Als we met onze rekenmachine tan90 en tan70 berekenen, krijgen we geen uitkomst (Math ERROR). Met andere woorden: deze waarde valt niet te berekenen. We zeggen ook wel dat tan90 en tan70 onbepaald zijn. De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur. 8 6 4 0 - -4-6 -8 Figuur 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o In de volgende paragraaf zullen we werken met radialen in plaats van graden. Let op dat bij alle berekeningen onze rekenmachine nu op radialen moet zijn ingesteld. Voor het verband tussen graden en radialen geldt: 60 = π radialen. Met dit verband kunnen we de volgende tabel opstellen: graden radialen graden radialen 0 0 0 π =, 67 6 0 60 90 0 50 π = 0, 5 6 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 π =, 6 6 40 π = 4, 9 70 π = 4, 7 00 π = 5, 4 0 5 π = 5, 76 6 60 π = 6, 8 80 π =, 4 Tabel 4

Grafieken van goniometrische verbanden 9 Grafieken met radialen Vb. Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ]. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. De term π benaderen we door 0, 5 om deze -waarde op de getallenlijn te 6 kunnen tekenen. Voor het berekenen van de bijbehorende -waarde moeten we sin ( π / 6 ) = intpen! 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0 0,5 0, 866 0, 866 0, 5 0 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel 5 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 4. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 4

0 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 4 Bereken: sin = 0, 6 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine:. We stellen onze rekenmachine in op radialen.. We tpen in: SHIFT sin [ 0. 6 ] = met als afgerond resultaat 0, 64. 4 - - - - -4 Figuur 5 4 5 6 7 In figuur 5 zien we dat de grafieken = sin en = 0, 6 nog een tweede snijpunt hebben. Dat tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: = π 0, 64 =, 50. Tussen 0 en π vinden we dus de antwoorden: = 0, 64 rad en =, 50 rad. Omdat = sin een periodieke functie is en = 0, 6 een horizontale lijn, zijn er oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na π terug. Die waarde π noemen we de periode. Alle oplossingen kunnen we daarom kortweg noteren als: = 0, 64 rad + k π en =, 50 rad + k π. Daarbij is k een willekeurig geheel getal. Voor k = 0 vinden we = 0, 64 rad + 0 π = 0, 64 rad of =, 50 rad + 0 π =, 50 rad. Voor bijvoorbeeld k = vinden we = 0, 64 rad + π = 6, 9rad of 4 =, 50 rad + π = 8, 78 rad. We controleren die laatste oplossing: sin 8, 78 rad = 0, 60, en dat klopt! Dus als we voor de vergelijking sin = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: = α + k π of = ( π α) + k π. Het is handig om bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen de grafiek van de betreffende goniometrische functie op het interval [ 0; π ] te schetsen. Op deze manier zien we eenvoudig hoe we aan de tweede oplossing moeten komen zonder een formule te onthouden.

Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op: a sin = 0, 866 b sin = 0, c sin = d sin = 0, 5 e sin = 0 f sin = 0, g sin = 0, 65

Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 5 Teken de grafiek van = cos op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 Tabel 6 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 6. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 6

Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 6 Bereken: cos = 0, 4 We gaan dit op de volgende manier met de rekenmachine berekenen: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. Vervolgens tpen we in: SHIFT cos [ 0. 4 ] = met als afgerond resultaat, 6. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 7 In figuur 7 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken = cos en = 0, 4 een -waarde heeft van, 6. Ook hier zien we een tweede snijpunt, dat we als volgt berekenen: = π, 6 = 6, 8, 6 = 5,. De antwoorden zijn: =, 6rad of = 5, rad. Omdat = cos een periodieke functie is en = 0, 4 een horizontale lijn is, zijn ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na π terug. Dit noteren we als: =, 6rad + k π of = 5, rad + k π. Dus als we voor de vergelijking cos = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: = α + k π of = ( π α) + k π.

4 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op: a cos = 0, 6 b cos = 0, c cos = 0 d cos = e cos = 0, 866 f cos = 0, 6 g cos = 0, 5

Grafieken van goniometrische verbanden 5 Vb. 7 Teken de grafiek van = tan op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0 0, 577, 7 -, 7 0, 577 0 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8 0, 577, 7 -, 7 0, 577 0 Tabel 7 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 8. 4 - - - - -4 Figuur 8 4 5 6 7

6 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 8 Bereken: tan =, 5 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. Vervolgens tpen we in: SHIFT tan [, 5 ] = met als afgerond resultaat 0, 90. 4 - - - - -4 Figuur 9 4 5 6 7 In figuur 9 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken = tan en =, 5 een -waarde heeft van 0, 90. Het tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: = 0, 90 + π = 0, 90 +, 4 = 4, 04. Omdat = tan een periodieke functie is en =, 5 een horizontale lijn is, zijn er ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Het verschil met de sinus en cosinus is dat hier dezelfde antwoorden niet na π, maar steeds na π terugkomen. De tangens heeft dus een periode van π. We kunnen daarom de oplossingen, = 0, 90 rad + k π of = 4, 04 rad + k π combineren en kortweg schrijven als = 0, 90 rad + k π. Dus als tan = a, dan is = α + k π. Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op. a tan = 0, b tan = 5

Grafieken van goniometrische verbanden 7 c tan = d tan = e tan = 0, 866 f tan =, 6 g tan = 0, Vb. 9 Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 4 π = 0, 79 π =, 05 π =, 57 0 0, 866 0, 866 0 π =, 09 4 π =, 6 5 6 π =, 6 π =, 4 0, 866 0, 866 0 Tabel 8

8 Grafieken van goniometrische verbanden De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 0. 4 5 6 - - Figuur 0 We zien nu op het interval [ 0; π ] twee sinussen getekend dus een volledige sinusgolf op het interval [ 0; π ]. De periode is in dit geval π. Oefeningen 4 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0, π. a = sin b = sin c = sin 4 d = cos 0, 5 e = cos f = cos, 5 g = tan h = tan 0, 5 i = sin, 5 j = cos 4

Grafieken van goniometrische verbanden 9 We hebben gezien dat = sin en = cos een periode hebben van π. De periode van = tan is π. Als we een getal voor de zetten, zoals bij = sin, zal ook de periode veranderen. Vb. 0 Los de volgende vergelijking op: sin 4 = 0, 5 Oplossing We gebruiken de grafiek van oefening 4c. Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 4 = 0, 5rad + k π of 4 = π 0, 5 =, 4 0, 5 =, 6rad + k π (delen door 4 ). = 0, rad + k 0, 5π of = 0, 66 + k 0, 5π Zoals we ook aan de grafiek zien, is de periode van = sin 4 gelijk aan π. Oefeningen 5 Los de volgende vergelijkingen op: a cos = 0, 6 b tan =

40 Grafieken van goniometrische verbanden c sin = 0, 866 d cos, 5 = 0, 5 e sin = 0, 866 f tan =, 7 g sin 0, 5 = h cos 0, 5 =

Grafieken van goniometrische verbanden 4 Vb. Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ] en bereken sin =, 5 Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =,05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0, 7, 7 0 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8, 7, 7 0 Tabel 9 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur sin =, 5 (links en rechts delen door ) sin = 0, 75 = 0, 85 en = π 0, 85 =, 4 0, 85 =, 9 = 0, 85rad + k π en =, 9rad + k π We zien dat door het getal voor de sinusfunctie de -waarden zijn verdubbeld, de periode blijft onveranderd π.

4 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen 6 Bereken: a, 5sin = b cos =, 5 c 0, 5tan = Vb. Teken de grafiek van f( ) = sin( π ) op het interval [ 0; π ] en bereken sin( π ) = 0, 6. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 0, 866 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0 0, 5 0, 866 0, 866 Tabel 0

Grafieken van goniometrische verbanden 4 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur sin( π) = 0, 6 π = 0, 64 en π = π 0, 64 =, 4 0, 64 =, 50 π = 0, 64 (links en rechts π ) π =, 50 (links en rechts π ) = 0, 64 + π = 0, 64 +, 05 =, 69 en =, 50 + π =, 50 +, 05 =, 55 =, 69rad + k π en =, 55rad + k π We zien dat als er een getal achter de staat zoals bij = sin( π ), de grafiek langs de -as verschoven wordt. De periode blijft weer gelijk. Oefeningen 7 Teken de grafiek van de volgende functies en los de bijbehorende vergelijkingen op. a sin( + π) = 0, 8 6

44 Grafieken van goniometrische verbanden b cos( 0, 5) = 0, c cos( π) = 0, 4 6 d sin( + ) = 0, 75 e tan( π) = 6 f tan( + ) = 6 π,5 g sin( π) =, 5 h cos( + π) = 6 i tan( π) =

Grafieken van goniometrische verbanden 45 Vb. Teken de grafiek van f( ) = + sin op het interval 0; π. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 6 π =, 6 π =, 4 0 0,5 0,866 0, 866 0, 5 0 6 π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, 4 5 6 π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 4. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 4 Door een getal bij de functie op te tellen, zoals bij f( ) = + sin, zien we een verschuiving van de grafiek langs de -as.

46 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen 8 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0; π. a f( ) = cos b f( ) = + tan c f( ) = + sin

Grafieken van goniometrische verbanden 47 d f( ) = + cos

48 Grafieken van goniometrische verbanden Antwoorden a =, 05rad + k π of =, 09rad + k π b = 0, 0 rad + k π of =, 94 rad + k π c =, 57rad + k π d = 0,5 rad + k π en =, 66rad + k π e = 0 rad + k π f = 0,0 rad + k π en =, 44 rad + k π g = 0,7 rad + k π en =, 85rad + k π a = 0, 9rad + k π en = 5, 5rad + k π b =, 7rad + k π en = 5, 0rad + k π c =, 57rad + k π en = 4, 7 rad + k π d =, 4 rad + k π e =, 6rad + k π en =, 66rad + k π f =, rad + k π en = 4, 07rad + k π g =, 8rad + k π en = 4, 46rad + k π a = 0, 9rad + k π b =, 7rad + k π c = 0, 79rad + k π d = 0, 79rad + k π e = 0, 7rad + k π f =,0rad + k π g = 0, 0 rad + k π 4a Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 5

Grafieken van goniometrische verbanden 49 b Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 6 c Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 7 d Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 8

50 Grafieken van goniometrische verbanden e Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 9 f Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 0 g Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur

Grafieken van goniometrische verbanden 5 h Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur i Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur j Zie figuur. 4 5 6 - - Figuur 4

5 Grafieken van goniometrische verbanden 5a = 0, rad + k 0, 67π en =, 78 + k 0, 67π b =, 58 + k π c =, 5rad + k 6π en = 6, 7 + k 6π d = 0, 84 rad + k 0, 8π en =, 68 + k 0, 8π e = 0, 5rad + k 0, 67π en =, 9 + k 0, 67π f =, 0 + k 0, 5π g =, 4 rad + k 4π h =, 56rad + k 8π 6a = 0, 7rad + k π en =, 4rad + k π b = 0, 7rad + k π en = 5, 56rad + k π c =, rad + k π 7a = 0, 4rad + k π en =, 69rad + k π b =, 7rad + k π en = 5, 0rad + k π c =, 68 rad + k π en = 5, 64 rad + k π d =, 85rad + k π en =, 99rad + k π e =, 6rad + k π f = 0, 98 rad + k π g =, 90 rad + k π en =, 4 rad + k π h = 0, rad + k π en = 4, 9rad + k π i =, 0rad + k π 8a Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 5

Grafieken van goniometrische verbanden 5 b Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 6 c Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 7 d Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - -4-5 Figuur 8

Formules opstellen bij goniometrische grafieken Formules opstellen van goniometrische functies Een goniometrische functie kunnen we weergeven met een van de volgende formules: π f( ) = d + c sin ( ± a) b of π f( ) = d + c cos ( ± a) b of π f( ) = d + c tan ( ± a) b Hierbij is: a de verschuiving op de -as; b de periode; c de amplitude of maimale uitwijking bij een sinus- en cosinusvorm; bij een tangensvorm is c een vermenigvuldigingsfactor die meestal moeilijk af te lezen is; d de verschuiving op de -as. Bij het opstellen van de formule of functievoorschrift van een goniometrische grafiek doorlopen we de volgende stappen: Stap Bepaal of de grafiek te herleiden is tot een sinus-, cosinus- of tangensvorm. Stap Bepaal de amplitude of maimale uitwijking. Stap Bepaal de verschuiving op de -as: verschuiving van a naar links: ( + a) verschuiving van a naar rechts: ( a) Stap 4 Bepaal de verschuiving op de -as.

Formules opstellen bij goniometrische grafieken 55 Stap 5 Bepaal de periode (dit is de afstand op de -as waarin één volledige beweging wordt uitgevoerd). Vb. Geef het functievoorschrift van de volgende goniometrische grafiek. Zie figuur. 4 - - - - -4 Figuur Oplossing 4 5 6 7 Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, 5 dus c =, 5. Stap Verschuiving 0, 5 naar rechts, dus ( 0, 5 ). Stap 4 Er is geen verschuiving op de -as dus d = 0. Stap 5 De periode is π, dus b = π. Met de bovenstaande gegevens kunnen we het volgende functievoorschrift opstellen: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ), sin ( b = 0 + 5 π π 0, 5) f( ) =, 5 sin( 0, 5)

56 Formules opstellen bij goniometrische grafieken Oefeningen Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur b Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur

Formules opstellen bij goniometrische grafieken 57 c Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 4 d Zie figuur. 4-4 5 6 7 - - - -4 Figuur 5

58 Formules opstellen bij goniometrische grafieken e Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur 6 f Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur 7 g Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur 8

Formules opstellen bij goniometrische grafieken 59 h Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - -4-5 Figuur 9 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur. - - - - Figuur 0 4 5 6 7

60 Formules opstellen bij goniometrische grafieken b Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur c Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur d Zie figuur. - 4 5 6 7 - - - Figuur

Formules opstellen bij goniometrische grafieken 6 De hiervoor behandelde goniometrische vormen zijn voorbeelden van periodieke functies. Dat zijn functies die zich met een vaste periode herhalen. De meeste willekeurige periodieke functies, zoals een blokgolf of een zaagtandspanning, kunnen we wiskundig opvatten als een som van verschillende sinus- en/of cosinus vormen. We spreken dan van een Fourierreeks (spreek uit foerjee-reeks). De coëfficiënten kunnen we bepalen met een wiskundige techniek die we Fourieranalse noemen.

6 Formules opstellen bij goniometrische grafieken Antwoorden a f( ) = sin( + 0, 5) b f( ) = + sin c f( ) = 0, 5 + cos d f( ) = cos( ) e f( ) = + tan f f( ) = +, tan( 0, 5) g f( ) = + 0, 5 sin h f( ) = + cos( + 0, 5) a f( ) = sin 0, 5( 0, 5) b f( ) = + cos ( + ) c f( ) = + sin 4( ) d f( ) = cos ( + 0, 5)

4 Sinusregel en cosinusregel Sinusregel De sinusregel kunnen we toepassen om zijden en hoeken te berekenen in een wille keurige driehoek. Deze driehoek hoeft dus niet rechthoekig te zijn. Zie figuur. C b γ a A Figuur α c β B De volledige sinusregel luidt: a b c = = sin α sin β sin γ In een driehoek kunnen we de niet gegeven zijde(n) en hoek(en) berekenen met de sinusregel als gegeven zijn: twee zijden en de hoek tegenover een van deze zijden; of twee hoeken en de zijde tegenover een van deze hoeken.

64 Sinusregel en cosinusregel Vb. Gegeven C b a A Figuur α c B In figuur is een driehoek getekend waarvan a =, 8cm, b = 4, 4 cm en α = 49. Gevraagd Bereken de overige hoeken en zijde c. Oplossing a b sin α = sin β, 8 cm 4, 4 cm = Na kruislings vermenigvuldigen volgt: sin 49 sin β 4, 4 sin 49, 8 sin β = 4, 4 sin 49 sin β = = 0, 874, 8 β = 60, 9 γ = 80 49 60, 9 = 70, a c sin α = sin γ, 8 cm c = sin 49 sin 70,, 8 sin 70, c = = 4, 7cm sin 49

Sinusregel en cosinusregel 65 Oefeningen In ABC is a = 0 cm, b = 6 cm en β = 0. a Maak een tekening. b Bereken de ontbrekende hoeken en zijde. In ABC is a = 0 cm, α = 50 en β = 70. a Maak een tekening. b Bereken de ontbrekende hoek en zijden.

66 Sinusregel en cosinusregel De kerktoren in stadje A is 50 m verwijderd van de televisietoren in dorp B. Joop loopt vanaf de televisietoren 60 m langs de rivier. Als hij in punt C is aangekomen, ziet hij beide torens onder een hoek van 55. Zie figuur. Bereken de afstand tussen Joop en de kerktoren in stadje A. A C Figuur 55 o B 4 Van ABC is gegeven: a = 4 cm, b = 5cm en A = 50. a Maak een tekening. b Bereken B en zijde c.

Sinusregel en cosinusregel 67 Cosinusregel Bij de voorgaande opgaven hebben we gebruik gemaakt van de sinusregel. Het ging hierbij om driehoeken waar de volgende zaken bekend waren: twee zijden + de hoek tegenover een van deze zijden; of twee hoeken + de zijde tegenover een van deze hoeken. Dit is niet altijd het geval. Soms kennen we: drie zijden; of één hoek + twee zijden die niet tegenover de gegeven hoek liggen. In deze gevallen kunnen we de sinusregel niet gebruiken en moeten we gebruik maken van de cosinusregel. De volgorde in de cosinusregel is afhankelijk van de bekende zijden en hun ingesloten hoek. Zie figuur 4. C b α A c Figuur 4a C a B b a A Figuur 4b C c β B b γ a A Figuur 4c c B Figuur 4a: b, c en α bekend a = b + c b c cosα Figuur 4b: a, c en β bekend b = a + c a c cosβ Figuur 4c: a, b en γ bekend c = a + b a b cos γ Als er drie zijden gegeven zijn, berekenen we één hoek met de cosinusregel en de tweede hoek met de sinusregel. Die tweede hoek kunnen we ook met de cosinusregel berekenen, maar de sinusregel werkt eenvoudiger. De derde hoek volgt ten slotte door beide berekende hoeken van 80 af te trekken.

68 Sinusregel en cosinusregel Vb. Gegeven In een stomphoekige ABC geldt AB = 6, cm, AC = 4, 6cm en BC = 9, cm. Zie figuur 5. C γ A α β B Figuur 8 Gevraagd Bereken de drie hoeken. Oplossing a = b + c b c cosα ( 9, cm) = ( 4, 6 cm) + ( 6, cm) 4, 6 cm 6, cm cosα 86, 49 =, 6 + 8, 44 57, 04 cosα 6, 89 = 57, 04 cos α 6, 89 cos α = = 0, 47 57, 04 α = 8 De tweede hoek gaan we met de sinusregel berekenen: a b sin α = sin β 9, cm 4, 6 cm = sin8 sin β 4, 6 sin8 sin β = = 0, 47 9, β = 5, 9, γ = 80 8 5, 9 = 6, Oefeningen 5 Van ABC is gegeven: a = 4 cm, b = 5cm en c = 7cm. Bereken de hoeken α, β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig).

Sinusregel en cosinusregel 69 6 Van ABC is gegeven: a = 5cm, b = 6cm en c = 0cm. Bereken de hoeken α, β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig). 7 Van ABC is gegeven: b = 9cm, c = 6cm en α =. Bereken de lengte van a en de hoeken β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig). 8 Van ABC is gegeven: a = 8cm, b = 9cm en γ = 40. Bereken de lengte van c en de hoeken α en β van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig).

70 Sinusregel en cosinusregel Antwoorden b α = 56, 4, γ = 9, 6, c =, 0cm b γ = 60, b = 4, 5cm, c =, 6cm AC = 95m 4b B = 7,, c = 4, 4 cm 5 α = 4, β = 44,, γ = 0, 7 6 α =,, β = 4,, γ = 05, 5 7 a = 4, 0cm, β = 5, 7, γ = 05, 8 c = 6, 0cm, α = 8, 7, β =,