Rekenregels voor het differentiëren Wisnet-HBO update febr. 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets om de rekenregels mee te oefenen (zie bij Maplet openen). In deze les leer je alle rekenregels die er zijn voor het differentiëren. Voor eventuele voorkennis van standaardfuncties wordt verwezen naar het onderwerp Standaardfuncties in Wisnet. 2 Notatie-afspraken Voor de afgeleide van een functie f noteren we wel vaak als f ' (f-accent). We bedoelen dan dat we de functie f naar x differentiëren. Een paar manieren om de afgeleide naar x te noteren. f ' Dit zijn allemaal notaties om de afgeleide functie aan te geven. 2.1 voorbeeld De afgeleide van de functie weergegeven: naar x gedifferentiëerd wordt als volgt
In de praktijk komt het differentiëren naar de tijd t ook vaak voor. We spreken dan niet van f-accent maar van fluxie-f of ook wel f-stip. Het accent achter de f wordt dan vervangen door een stip boven de functie f. Zijn er meer letters in het spel, dan is het belangrijk om te vermelden waarnaar gedifferentiëerd wordt. Als je bijvoorbeeld naar x differentiëert, dan worden eventuele andere letters in de functie als constante verondersteld. Men gebruikt dan niet een rechte d om te differentiëren maar de notatie is dan als volgt met een zogenoemde "kromme d" betekent dat gedifferentiëerd moet worden naar x waarbij c constant verondersteld wordt. 2.2 voorbeeld Soms kan een functie opgevat worden als een functie van meer variabelen.de afgeleide van de functie naar x wordt als volgt genoteerd: De kromme d staat hier omdat er meer letters in de formule voorkomen. Bij differentiëren naar x worden de andere grootheden (L, en q) constant verondersteld. Zo kun je de functie van meer variabelen ook naar q of eventueel naar L differentiëren als die als variabele worden opgevat. 3 Rekenregels voor differentiëren In de volgende paragrafen worden de rekenregels voor differentiëren van functies van één variabele aannemelijk gemaakt. Deze rekenregels zie je ook terug bij het Maplet voor de training (zie bij Maplet openen). Eerst een kort overzicht:
SpreadSheet001 3.1 Constante functie (Constant) Een constante functie heeft als grafiek een horizontale rechte lijn. De afgeleide van een constante functie is dan ook altijd gelijk aan 0. Immers de raaklijn is dan ook altijd horizontaal en heeft richtingscoëfficiënt gelijk aan 0. of ook wel geschreven als c' = 0. 3.2 De afgeleide van de functie (Identity) De rechte lijn heeft steeds als richtingscoëfficiënt 1 (identiteit).
Deze richtingscoëfficiënt verandert niet voor deze lijn, dus de afgeleide van de functie is altijd 1. Het is ook wel logisch als variabele en functie dezelfde zijn. De verhouding is natuurlijk altijd 1. x' = 1 3.3 Vermenigvuldigen met een constante (Constant Multiple) Als je de functie met een constante (noem deze c) vermenigvuldigt, wordt de grafiek van deze functie ten opzichte van de x-as opgerekt. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn (in ieder punt) ondergaat dan dezelfde oprekking. Met andere woorden, de constante mag ervoor. Met de onderstaande animatie wordt dit aannemelijk gemaakt. Klik op de grafiek en zet de animatie in werking. Als de grafiek ten opzichte van de x-as wordt opgerekt met factor c, (de functiewaarde wordt met c vermenigvuldigd) dan wordt de raaklijn mee opgerekt en dan wordt de richtingscoëfficiënt ook met diezelfde factor c vermenigvuldigd. Script van de figuur Je kunt de functie een beetje veranderen en het startpunt ook, de rest gaat dan
vanzelf mee. Je ziet dat de grafiek van de functie en de raaklijn (en daarmee ook de richtingscoëfficiënt) gelijk opgerekt worden. 3.3.1 Voorbeeld => => 3.4 Somregel en verschilregel (Sum/Difference) Wil je de afgeleide van de som van twee of meer functies bepalen, dan bepaal je van iedere functie apart de afgeleide en tel ze daarna op. of ook wel geschreven als: (f + g) ' = f ' + g ' voor het verschil geldt eigenlijk dezelfde regel. (f - g) ' = f ' - g ' Het heeft te maken met de toename van f en de toename van g. Als de functies worden opgeteld, dan worden de toenamen van de functies ook opgeteld. In de figuur hieronder worden de groene en de blauwe grafiek opgeteld. Het resultaat is de rode grafiek. De bijbehorende raaklijnen (het startpunt is ) worden ook opgeteld en dat geeft het resultaat van de som van de richtingscoëfficiënten. script van de figuur Je kunt de functies iets veranderen en het startpunt ook. De rest gaat dan vanzelf mee. 3.5 Machtregel (Power) Heb je een machtsfunctie, dan is de volgende regel handig om te onthouden. Deze regel geldt voor élke waarde van p. Nu volgen voorbeelden met uitleg:
voorbeeld 1 Bepaal de afgeleide naar x. voorbeeld 2 Bepaal de afgeleide naar x. voorbeeld 3 met negatieve macht Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de machtregel en schrijf de functie eerst op een andere manier met behulp van de rekenregels voor machten. Betekent: dus de afgeleide van =>. andere schrijfwijze kun je ook schrijven als De afgeleide herleid is f ' = = voorbeeld 4 met gebroken macht Bepaal de afgeleide naar x.
andere schrijfwijze kun je ook schrijven als aanwijzing De functie anders geschreven kan nu gemakkelijk met de rekenregel voor machten van het differentiëren gedaan worden. De afgeleide kan nog weer anders geschreven worden met behulp van de rekenregels voor machten. Maak gebruik van de machtregel dus de afgeleide van is f ' = Maak verder gebruik van de rekenregels voor machten f ' = = = voorbeeld 5 vermenigvuldigen met een constante Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met 5. Dus f ' = ) =. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog
voorbeeld 6 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en een losse constante Bepaal de afgeleide naar x. toelichting In dit voorbeeld worden al een paar regels samengevoegd. De somregel: alle afzonderlijke termen kunnen allemaal apart gedifferentiëerd worden. De machtregel: bij de eerste twee termen: en kan zonder meer de machtregel gebruikt worden. Vermenigvuldigen met een constante en machtregel samen: => => => Vermenigvuldigen met een constante en identiteit samen: => => Constante functie => voorbeeld 7 met een constante andere letter Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met a. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog
Dus f ' = a ) =. voorbeeld 8 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en negatieve machten Differentiëer naar x. Aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel en de vermenigvuldiging met een constante en natuurlijk de somregel. 3.6 Oefeningen Met de regels tot nu toe kun je oefeningen doen. Bepaal de afgeleide van de volgende functies. Neem pen en papier en doe de volgende oefeningen. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. Onder de knop is steeds het te vinden. (Ga weer op de rode invoer staan en druk op Enter.) Je kunt zelf eventueel iets aan de functie veranderen. Het wordt dan vanzelf aangepast als je op Enter drukt. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. oefening 1 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. oefening 2 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x (alle andere letters zijn dan constant).
aanwijzing De afgeleide van is gelijk aan a. Immers de afgeleide van is gelijk aan 3. oefening 3 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x. aanwijzing => f ' = => f ' = verdere toelichting De afgeleide van Beter genoteerd: is met de machtregel De afgeleide van is met de machtregel en de regel van de vermenigvuldiging met een constante gelijk aan c =. Beter genoteerd als: = TIP Het valt misschien op dat er een "kromme d" gebruikt wordt. Dit houdt in dat als je naar x differentiëert dat dan de letter c constant gehouden moet worden! oefening 4 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x.
aanwijzing => f ' = => f ' = verdere aanwijzingen Als c een constante is, dan is ook 4 c een constante. De afgeleide van is dan de afgeleide van maal 4 c. Als a een constante is, dan is ook een constante. De afgeleide van is dus =. oefening 5 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Als a een constante is, dan is ook een constante. aanwijzing 2 De functie is ook te schrijven als Hierin kun je opvatten als een constante en verder is ook een constante en is ook een constante. aanwijzing 3 Let op dat er ook een losse a in de functie staat. De afgeleide van een losstaande constante functie is gelijk aan 0.
oefening 6 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en afgeleide van een constante en afgeleide van x) Differentiëer naar a. LET OP, dus niet naar x differentiëren maar naar a!!!!! aanwijzing 1 Als je naar a differentieert, veronderstel dan x als constante. aanwijzing 2 Misschien is het handiger om de functie als volgt op te schrijven: Bij de eerste term is een constante en vervolgens bij de tweede term is een constante en ten slotte is de laatste x een constante. noot Je kunt nu niet meer het accent gebruiken voor f ' want het accent is gereserveerd voor het differentiëren naar x. oefening 7 (som/verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en negatieve macht) Differentiëer naar x. aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel. oefening 8 (machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Beschouw als constante en gebruik de rekenregel van vermenigvuldigen met een constante en de machtregel. Schrijf bijvoorbeeld de functie als.
aanwijzing 2 De afgeleide van is => Hierin kan vereenvoudigd worden door de 2 weg te strepen. = oefening 9 (verschilregel en vermenigvuldigen met een constante) differentiëer naar x. aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg tot en eventueel nog twee breuken ervan maken: Dus de functie kan geschreven worden als: f = x aanwijzing 2 Vat als constante op en is natuurlijk ook een constante. De afgeleide van de losse constante is gelijk aan 0. De afgeleide van x is gelijk aan. oefening 10 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante)
aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg en bekijk wat de constanten zijn. aanwijzing 2 Je kunt de functie ook schrijven als ( ) met als constante. Vervolgens de afgeleide van. is eenvoudig te bepalen namelijk: 3.7 Productregel (Product) We repeteren nog even de productregel. Korter geschreven: (f g) ' = f g' + g f ' Je kunt deze rekenregel gemakkelijk controleren met de volgende opdrachten. Voorbeeld 1 Differentieer de volgende functie naar x. eerst met de productregel Stel de functie is opgebouwd uit een vermenigvuldiging van twee functies: h = Stel en. aanwijzing f ' = en g ' =. productregel toepassen
aanwijzing in kleur De productregel is toegepast; (f g) ' = f g' + g f ' ( ) = + Herleiden: eerst herleiden Dus = Direct met de rekenregel voor machten is het gemakkelijk te bedenken. Dus Voorbeeld 2 Differentieer de volgende functie op twee manieren. eerst met de productregel Stel en aanwijzing f ' = 1 en g ' = De afgeleide van wordt dan: (f g) ' = f g' + g f ' Productregel toepassen: aanwijzing in kleur (f g) ' = f g' + g f '
( ( ) ( ) ) = ( ) ( ) + ( ) 1 = Herleiden met haakjes wegwerken: tussenstap = = Dit is dus de afgeleide van de functie naar x gedifferentiëerd. eerst haakjeswegwerken Differentieer naar x waarbij a en b constanten zijn. 3.8 Quotientregel (Quotient) Voor deze regel moet je met breuken kunnen werken! We repeteren nog even de quotientregel Korter geschreven ( )' =
Om gemakkelijk te onthouden Gemakkelijk te onthouden is: De afgeleide van een breuk is gelijk aan in het kwadraat.) Je kunt deze rekenregel gemakkelijk controleren met de volgende opdracht Voorbeeld 1 Bepaal de afgeleide van de functie met de quotientregel Stel en f ' = en g ' = rekenregel toepassen Herleiden = De afgeleide is dus 1. eerst herleiden Met de rekenregels voor machten weten we dat = x. De afgeleide van x is dus 1. Voorbeeld 2 Differentiëer de volgende functie naar x.
tip Werk goed met haakjes en werk daarna pas de haakjes weg. Als je dat niet doet heb je meer kans op fouten en vergissingen vooral met het oog op het minteken. In de teller de haakjes wegwerken LET OP!!: tip Vergis je hier niet want =. Teller verder herleiden: Meestal werk je de haakjes in de noemer niet weg! Daar wordt het vaak niet mooier op. met de computer Voorbeeld 3 Bij het volgende voorbeeld hoef je de quotiëntregel NIET te gebruiken immers de noemer is helemaal niet een functie van x namelijk de noemer is gewoon een constante. tip De functie kun je ook schrijven als f = ( ) waarbij een constante is. Je kunt dan de regel vermenigvuldigen met een constante gebruiken. 3.9 Kettingregel (Chain Rule) De kettingregel is een heel belangrijke regel. Je kunt dan samengestelde functies eenvoudig differentiëren met de
bovengenoemde rekenregels. Stel Dan kun je de functie schrijven als De afgeleide van f naar P is De afgeleide van u naar x is 2. immers: => We willen echter de afgeleide van f naar x dus. Het is dus belangrijk dat je goed begrijpt waarnaar je wilt differentiëren met andere woorden wat is de variabele? dit is de kettingregel (Er wordt als in feite een ketting gevormd via dp.) (In gedachten kun je dp weer wegstrepen.) Invullen: Met ingevuld nu =... Voorbeeld 1 Stel dat het volume V is een functie van de straal en dat zelf is weer een functie is van de tijd. (Schrijf dan als je dus bedoelt dat r een functie is van de tijd t.) Dus als je het vulume V differentieert naar de tijd, kun je eerst naar de straal differentiëren en daarna de straal weer verder differentiëren naar de tijd. of anders ook wel schematisch geschreven als een ketting:
Dit noemt men ook wel de kettingregel en is handig in dit soort situaties. Als je met breuken hebt leren werken kun je in gedachten dr boven en onder wegstrepen. Volume is een bol Als het volume bolvormig is, dan kun je het volume schrijven als afgeleide van V naar r Dan is de afgeleide van V naar r De verandering van Volume per tijdseenheid is dan: tip De verandering van Volume V per tijdseenheid is: Hierin is. Volume is een cilinder Als het volume cilindervormig is met vaste hoogte h en met straal van het grondvlak r waarbij deze straal bijvoorbeeld afhankelijk is van de tijd, dan is de formule voor het Volume : De verandering van Volume per tijdseenheid: tip Met de kettingregel geldt: Hierin is
Deze formule voor V differentiëren naar r: 3.10 Oefeningen Neem pen en papier en doe de volgende oefeningen. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. Onder de knop is steeds het te vinden. Je kunt zelf iets aan de functie veranderen. Het wordt dan vanzelf aangepast als je op Enter drukt. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert, waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. In de volgende oefeningen staan aanwijzingen stap voor stap. oefening 10 (machtregel en kettingregel) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Stel De afgeleide. aanwijzing 2 De afgeleide van naar P is. oefening 11 (machtregel en kettingregel) Differentiëer naar x. aanwijzing Stel De afgeleide van P is. Dus
= oefening 12 (machtregel, kettingregel en constante vermenigvuldiging) Differentiëer naar x aanwijzing Stel De afgeleide. Zie ook oefening 11. oefening 13 (somregel, productregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x aanwijzing De afgeleide van kan eerst afgelhandeld worden. Pas vervolgens de productregel toe op het product. oefening 14 (quotiëntregel) Differentiëer naar x.
tussenstappen Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP!!! bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 15 (quotiëntregel) Differentiëer naar x. tussenstappen Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 16 (quotiëntregel) Differentiëer naar x.
tussenstap LET OP! Werk secuur met de haakjes! Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 17 (quotiëntregel) Differentiëer naar x. oefening 18 (productregel ) Differentiëer naar x. oefening 19 (kettingregel en machtregel) Differentiëer de volgende functie naar x. aanwijzing 1 Stel. De afgeleide aanwijzing Schrijf de functie als
= en gebruik verder de machtregel en de kettingregel. 4 Gebruik van het Maplet Grafiek en Afgeleide Gebruik bij het nagaan van de standaard-afgeleiden het Maplet Grafiek en Afgeleide bij Wisnet in de cursus Differentiëren onder "Wat is Differentiëren" om het een en ander na te gaan. Je krijgt dan een maplet waarbij je bijvoorbeeld een standaardfunctie kunt intikken en je kunt bekijken wat de afgeleide is met de grafieken erbij. 5 Maplet openen voor training met hulp Een Maplet met ingebouwde instructie om te oefenen met differentiëren. Op wisnet staat dit Maplet ook en daarbij een filmpje om uit te leggen hoe het maplet werkt.