Babylonische kleitabletten

1

2 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Hoofdstuk 1 Babylonische kleitabletten 1.1 Vermenigvuldigen en delen

1.1. VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 3 Bestudeer deze afbeeldingen van Babylonische kleitabletten op de voorgaande bladzij, en je leert het getallensysteem van de Babyloniërs lezen. Het volgende tablet heeft te maken met deling. De rechter helft is eenvoudiger te begrijpen dan de linker helft. Begin dus met lezen bij Col. I.

4 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Hier volgen nog enkele voorbeelden van kleitabletten. Bron: H.V. Hilprecht: Mathematical, metrological and chronological tablets from the Temple library of Nippur, Philadelphia 1906, afb. 15, 20, 24, 26, 28.

1.2. PYTHAGOREÏSCHE DRIETALLEN 5 1.2 Pythagoreïsche drietallen Dit tablet is gemaakt in Babylon, ca. 2000 v. Chr. Het wordt tegenwoordig bewaard in New York, Columbia University Library, catalogusnummer Plimpton 322. De bovenste twee regels tekst zijn onleesbaar...... 15 1 59 2 49 ki-1...... 58 14 50 6 15 56 7 3 12 1 ki-2...... 1 15 33 45 1 16 41 1 50 49 ki-3...... 29 32 52 16 3 31 49 5 9 1 ki-4 48 54 1 40 1 5 1 37 ki-... 47 6 41 40 5 19 8 1... 43 11 56 28 26 40 38 11 59 1 ki-7 41 33 59 3 45 13 19 20 49 ki-8 38 33 36 36 9 1 12 49 ki-9 35 10 2 28 27 24 26 40 1 22 41 2 16 1 ki-10 33 45 45 1 15 ki-11 29 21 54 2 15 27 59 48 49 ki-12 27 (0) 3 45 7 12 1 4 49 ki-13 25 48 51 35 6 40 29 31 53 49 ki-14 23 13 46 40 56 53 ki-... Een bespreking van dit tablet kun je vinden in: O. Neugebauer, A. Sachs: Mathematical Cuneiform Texts (MCT), pp. 37 41 (problem texts, Plimpton 322). De hier getoonde afbeelding is plaat 25 in dat werk.

6 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN 1.3 Diagonaal van een vierkant Dit tablet dateert van ca. 1700 v. Chr. Bron: O. Neugebauer, A. Sachs: Mathematical Cuneiform Texts, p. 42. 1.4 Kwadratische vergelijkingen Hieronder staan afbeeldingen en vertalingen van de vier rechthoekszijden van een rechthoekig blok no. AO 8862 uit het Louvre in Parijs. De tekeningen zijn ontleend aan O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte, Berlin: Springer, 1935, deel 2, Tafels 35 38, en de vertalingen zijn gebaseerd op Neugebauer s Duitse vertalingen op pp. 113 117 van deel 1 van het genoemde werk. Het blok is aan vier kanten beschreven tussen 2000 en 1500 v. Chr. Het is 16,8 cm hoog en 7,3 cm breed. De kleine cijfertjes aan het begin van de regels zijn regelnummers in de tekening. Woorden tussen haakjes zijn toegevoegd, evenals enkele getallen in gepunte haken < >. De getallen kun je zelf in de tekening herkennen, waarbij het je zal opvallen dat de tablet op veel plaatsen een beetje beschadigd is. De oud-babylonische sexagesimale schrijfwijze is gehandhaafd, dus bijv. 3 3 zou kunnen betekenen 3 60+3, of ook 3+ 3 60 of 3 60+0+ 3 60. Hoe het gehele deel van het breukdeel zou kunnen worden gescheiden is niet aangegeven (misschien zijn verschillende interpretaties mogelijk; de lege stukken tussen de sexagesimalen zouden misschien iets kunnen zeggen.)

1.4. KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 7 Kant I 1 Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo 2 de oppervlakte gemaakt. 3 Wat de lengte over de breedte 4 uitsteekt 5 heb ik bij de oppervlakte opgeteld en 6 (er komt) 3 3. Verder, lengte en breedte 7 opgeteld (is) 27. Wat zijn de lengte en de breedte? 27 3 3 de sommen 15 lengte 3 oppervlakte 12 breedte 8 Jij bij je methode 9 27, de som van lengte en breedte 10 optellen, er komt 11 3 30. Nu 2 bij 27 optellen, 12 (er komt) 29. De helft van 29 afbreken 13 14 30 maal 14 30 (is) 3 30 15 14 Van 3 30 15 15 3 30 aftrekken 16 15 is het verschil. 15 heeft 30 als kwadraat (wortel) 17 Nu 30 bij de eerste 14 30 18 optellen, er komt 15 als lengte 19 30 van de tweede 14 30 20 aftrekken, er komt 14 als breedte 21 2 die je bij 27 opgeteld hebt 22 van 14, de breedte, aftrekken 23 12 is de uiteindelijke breedte. 24 15, de lengte en 12, de breedte heb ik vermenigvuldigd 25 15 maal 12 is 3 de oppervlakte 26 15 lengte over 12 breedte 27 wat steekt het uit? 28 3 steekt het uit; deze 3 bij 3 de oppervlakte optellen 29 3 3 is het resultaat. 30 Lengte, breedte. Lengte en breedte 31 heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt. 32 Daarna de helft van de lengte 33 en een derde van de breedte 34 bij mijn oppervlakte 35 opgeteld en (er komt) 15 36 Verder, lengte en breedte 37 opgeteld (is) 7

8 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Kant II 1 Wat zijn de lengte en de breedte? 2 Jij bij je methode 3... omgekeerde van de helft 4... 3 omgekeerde 5... deel keer je om. 6 De 2-de deel daarvan, 30, breek je af 7 30 maal 7 (is) 3 30 voor 7 8 de som van lengte en breedte 9 breng ik, en 10 3 30 van 15, mijn som 11 aftrekken 12 11 30 is het verschil 13 Het gaat niet verder. 2 en 3 heb ik vermenigvuldigd 14 3 maal 2 (is) 6 15 Het 6-de deel levert 10 aan je 16 10 van... je som 17 van lengte en breedte aftrekken 18 6 50 is het verschil 19 de helft daarvan... breek je af 20 3 25 geeft dit je als resultaat 21 3 25 tot zijn tweede 22 verhef je; 3 25 maal 3 25 23 is 11 40 < 2 >5. Daarvan 24 11 30 aftrekken 25 10 25 is het verschil 26 bij de eerste 3 25 27 25 optellen: (er komt) 3 50 28 en wat ik van de som 29 van lengte en breedte afgetrokken heb 30 tel je bij 3 <50> op 31 4 is de lengte. Van de tweede 3 25 32 25 aftrekken: 3 (is) de breedte 7 de sommen 4 lengte 12 oppervlakte 3 breedte 33 Lengte, breedte. Lengte en breedte 34 heb ik vermenigvuldigd en zo 35 de oppervlakte gemaakt

1.4. KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 9 Kant III 8 Jij bij je methode 9 1 40, de som van lengte en breedte 10 1 40 maal 1 40 (is) 2 46 40 11 Van 2 46 40 1 13 20 de oppervlakte 12 aftrekken: (er komt) 1 33 20 13 Het gaat niet verder. De helft, van 1 40, 14 breek je af. 50 maal 50 (is) 15 41 40 bij 1 33 20 optellen. 16 2 15 heeft 1 30 als kwadraatwortel 17 1 40 hoeveel steekt dit boven 1 30 uit? 18 10 steekt het uit. 10 bij 50 optellen: 19 1 is de lengte. 10 van 50 aftrekken: 20 40 is de breedte 21 Lengte, breedte. Lengte en breedte 22 heb ik vermenigvuldigd, en zo de oppervlakte gemaakt 23 Verder, de lengte en de breedte heb ik opgeteld en 24 (het is) aan de oppervlakte gelijk. 25 Lengte, breedte en oppervlakte heb ik opgeteld, (er komt) 26 9. Wat zijn de lengte, breedte en oppervlakte? 1 Verder, wat de lengte over de breedte 2 uitsteekt heb ik met de som 3 van de lengte en mijn (breedte) vermenigvuldigd 4 daarbij heb ik mijn oppervlakte 5 opgeteld: (er komt) 6 1 13 20. Verder heb ik lengte en breedte 7 opget... (er komt) 1 40 1 40 1 13 20 de sommen 1 lengte 40 oppervlakte 40 breedte 27 Van 30 ashlu a 28 afstand heeft één 29 man 9 hopen b tegels 30 hier naartoe gebracht; 31 2 ban c koren heb ik hem (als totaal loon) gegeven. 32 Nu heeft de bouwmeester 33 mij opgedragen dit te organiseren 34 5 mensen heb ik erbij geroepen 35 de ene heeft een (bepaalde) hoeveelheid 36 de tweede twee maal zoveel 37 de derde drie maal zoveel 38 de vierde vier maal zoveel 39 de vijfde vijf maal zoveel 40 hier naartoe gebracht. liter a 1 ashlu is ongeveer 58 meter b 1 hoop tegels is altijd 60 tegels c Een ban is een inhoudsmaat, ca. 8.5

10 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Kant IV 1 Die eenmaal (de hoeveelheid) hier naartoe gebracht heeft 2 zoveel tegels hij afgeleverd heeft 3 zoveel koren heb ik hem gegeven 30 36 1 20 9 1 1 12 2 40 2 1 48 4 3 2 24 5 20 4 3 6 40 5 20 ko(ren) 4 Over 30 ashlu 5 heeft één man 9 zestigtallen tegels 6 hier naartoe gebracht. 2 ban koren gaf ik hem. 7 Nu heeft de bouwmeester 8 mij opgedragen dit te organiseren 9 4 mensen heb ik erbij geroepen 10 De eerste heeft zevenmaal een bepaalde hoeveelheid 11 de tweede elf maal (die hoeveelheid) 12 de derde dertien maal (die hoeveelheid) 13 de vierde veertien maal (die hoeveelheid) 14 hier naartoe gebracht. Zoveel tegels 15 hij afgeleverd heeft, zoveel koren 16 heb ik hem gegeven 30 9 7 1 24 3 6 40 11 2 12... 53 20 13 2 36 5 46 40... 4 2 48 6... 3 20... 30 20 koren Hierna volgt een opgave over tegels die door een aantal mensen gedurende een aantal dagen getransporteerd moeten worden. De tekst is zo beschadigd dat de opgave niet meer te reconstrueren is. Commentaar: Het tablet is bijzonder niet alleen omdat er een aantal problemen opstaan die equivalent zijn met een kwadratische vergelijking, maar ook omdat er daarna een oplosmethode gegeven wordt. Op veel andere tabletten staan opgaven met alleen oplossingen zonder methode. Kant I, regels 1 29. Het probleem kan in moderne termen geschreven worden als xy + (x y) = 183 = 3 60 + 3, x + y = 27. Men probeerde zulke problemen door een geschikte substitutie (dit is natuurlijk een anachronisme, bedoeld om de tekst in eerste instantie wiskundig te interpreteren, en niet om de denkwijze van de auteurs te begrijpen) te herleiden tot x + y = p, x y = q, die dan werden opgelost met een standaardrecept: x en y zijn p 2 ± ( p 2 )2 q. In dit geval is de substitutie x = x, y = y + 2 met p = 29, q = 183 + 27 = 210. De achtergrond van deze redeneringen was waarschijnlijk meetkundig, met vierkanten en rechthoeken; zo moet ook het standaardrecept zijn ontdekt.

1.4. KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 11 Het is duidelijk dat het om de methode gaat; de oplossing x = 15, y = 12 kan eenvoudig met trial en error gevonden worden. Het leuke aan dit probleem is dat er ook een andere oplossing x = 14, y = 13 is (die ongetwijfeld aan de opstellers bekend geweest is). Kant I, regel 30 t/m kant II, regel 32. Zie Opgave hieronder. Kant II, regel 33 t/m kant III, regel 20. Zie Opgave hieronder. Kant III, regels 21 26. Hier staat alleen een probleem zonder oplossing, te interpreteren als xy = x + y, xy + (x + y) = 9 met oplossingen x = 1 1 2, y = 3 of omgekeerd. Kant III, regels 27 e.v. De rest van het blok staan verdelingsproblemen. In het eerste probleem moet a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 worden uitgerekend en dan n a 2 voor a n 5. In de kolommen staan de gegevens: de afstand 30, het aantal delen voor elke arbeider, de hoeveelheid tegels, en de hoeveelheden koren (in de tweede en derde kolom een plaats te hoog aangegeven). De hoeveelheid koren wordt aangegeven in qa. Hierbij moet je weten dat 1 ban = 10 qa. Kant IV, regel 4 e.v. Nog zo n opgave, met ingewikkeldere gegevens. Opgave N.B. Bij het beoordelen van de opgaven wordt gelet op de volgende punten: 1. de wiskunde is duidelijk uitgelegd (houd bij het schrijven een medestudent die het vak niet volgt in gedachten); 2. de uitwerking is nauwkeurig geformuleerd in correct en duidelijk Nederlands; 3. eigen denk- en speurwerk wordt zeer op prijs gesteld. Bestudeer en bespreek een gedeelte van de tekst op bovenstaand kleitablet, volgens de aanwijzingen hieronder. a. Je sterrenbeeld bepaalt welk deel van de tekst je bespreekt. Ben je een ram, stier, tweeling, kreeft, weegschaal, of maagd, dan neem je kant I, regel 30 t/m kant II, regel 32. In alle andere gevallen neem je kant II, regel 33 t/m kant III, regel 20. b. Geef de berekening die in de tekst staat, in moderne notatie weer. Schrijf ook het algoritme van de uitwerking in moderne wiskunde op; gebruik daarbij variabelen in plaats van de getallenvoorbeelden op het tablet. c. Welk principe schuilt achter de oplosmethode? Bewijs dat het algoritme een juist antwoord geeft. Zoek de grenzen van het algoritme op door te onderzoeken wat er in verschillende omstandigheden gebeurt (denk bijv. aan kwadratische vergelijkingen met 0, 1, of 2 oplossingen). d. Wat voor functie hadden dit soort teksten in de Babylonische cultuur? Bron: de afbeeldingen van het tablet zijn overgenomen uit O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte deel 2, Berlijn 1935, Tafels 35 38. De vertaling is gebaseerd op de (Duitse) vertaling van Neugebauer.

12 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN 1.5 Sterrenkunde: maansverduisteringen Bovenstaande figuur is een tekening van een kleitablet, dat in de negentiende eeuw is opgegraven in Babylon, in de buurt van het moderne Bagdad. Het kleitablet is omstreeks 175 voor Christus door een anonieme Babylonische sterrenkundige geschreven. De regels 22 26 van het tablet zijn hieronder in moderne woorden en symbolen weergegeven. De groepjes in spijkerschrift zijn vervangen door getallen in het tientallig positiestelsel. De andere spijkerschrift-symbolen woorden voor positief, negatief, stijgend en dalend, namen van sterrenbeelden in de dierenriem, en namen van de maanden van het jaar zijn door moderne equivalenten vervangen. Bij de maanden van het jaar kan dat niet precies, omdat de maanden in de Babylonische kalender echt van de maanstand afhingen. Een maand begon in principe op de eerste avond wanneer de wassende maansikkel op de Westelijke horizon zichtbaar was, net zo als in de tegenwoordige Joodse en Islamitische kalenders. Een Babylonisch jaar bestond uit 12 of 13 maanden; men voegde dertiende maanden op zodanige manier in dat het jaar altijd dichtbij het begin van de lente begon. Omdat de lente in de huidige Gregoriaanse kalender op 20, 21 of 22 maart begint, is de eerste maand van het Babylonische jaar vertaald als april, enzovoort. 1 De aanduidingen boven de kolommen zijn door mij toegevoegd. De twee groepjes 2 27 en 2 28 aan de linker zijkant zijn de jaartallen 147 en 148 in de Seleucidische jaartelling. Jaar 1 van deze jaartelling begon in het voorjaar van 311 voor Christus en de jaren zijn (ongeveer) zonnejaren. Het jaar 147 in regel 22 loopt van het voorjaar van 165 voor Christus tot het voorjaar van 164 voor Christus. (jaar mnd hulpgetal positie volle maan daglicht afstand tot eclips maans lengte van lengte ecliptica magnitude snelheid maand) 2 27 apr 2 13 44 26 40 0 52 30 schorp 3 13 55 54 14 48 8 21 32 14 58 5 14 39 34 4 26 40 okt 2 3 49 37 46 40 22 4 ram 2 51 57 20 49 34 24 + 9 8 16 12 44 37 9 37 46 40... 2 28 apr 2 8 21 51 6 40 20 30 weegsch 3 7 13 2 19 34 20 13 36 2 15 56 49 15 33... okt 2 9 12 13 20 11 ram 2 59 20 12 10 14 + 19 25 44 14 6 5 10 0 2 45 46... mar 2 2 2 59 15 33 20 10 07 30weegsch 3 0 5 1 20 18 48 30 47 8 12 14 2 0 23 4 35...... Op het tablet staan berekeningen van maansverduisteringen voor een periode van ongeveer 25 jaar, tussen 175 en 150 voor Christus. Om astrologische redenen was het belangrijk 1 De maart met index 2 is een dertiende maand in het Babylonische jaar.

1.5. STERRENKUNDE: MAANSVERDUISTERINGEN 13 van te voren te weten wanneer maansverduisteringen zouden plaatsvinden. Een maansverduistering komt hoogstens eens in de vijf of zes maanden voor, wanneer het volle maan is, en de aarde precies tussen de zon en de maan in staat, zodat (modern gezegd) de maan in de schaduwkegel van de aarde terecht komt. Als er een maansverduistering is, dan moet die in het midden van de maand plaatsvinden, omdat elke maand kort na nieuwe maan begint. De Babylonische sterrenkundige heeft op het tablet alleen die maanden aangegeven waarin eventueel een maansverduistering zou kunnen plaatsvinden. Voor elke maand is er één regel met acht getallen, keurig gerangschikt in kolommen. In de derde kolom bijvoorbeeld staat een eerste benadering van de positie van volle maan: het punt in de ecliptica precies tegenover de zonnestand in het midden van de maand (de ecliptica is de cirkelvormige baan die de zon gedurende het jaar aflegt tegen de achtergrond van de vaste sterren). De Babyloniers verdeelden de ecliptica in twaalf even grote sterrenbeelden van elk 30 graden lang, samen dus 360 graden. De graden werden volgens het zestigtallig stelsel in minuten en seconden verdeeld, en de wiskundige sterrenbeelden werden genoemd naar echte sterrenbeelden die in de buurt stonden. In regel 22 van de derde kolom staat 0 52 30 Schorpioen, dat betekent 0 graden, 52 minuten en 30 seconden vanaf het begin van het achtste sterrenbeeld van de ecliptica, dat bij de Babyloniërs ook al Schorpioen heette. Uiteraard was zo n nauwkeurig getal niet het resultaat van een meting maar van een berekening; op dit tablet staan berekeningen, geen waarnemingen. Merk op dat het symbool 0 de transcriptie is van twee kleine haakjes schuin boven elkaar die in de figuur te zien zijn. Dit is de oudst bekende vorm van de nul. Bronnen: de tekening van het kleitablet is overgenomen uit Late Babylonian Astronomical and Related Texts, copied by T.G. Pinches and J.N. Strassmaier, prepared for publication by A. Sachs, Providence: Brown University Press, 1955, p. [11] no. 50, Obverse. De tekst is een bewerking van Jan P. Hogendijk, Geschenken uit het Oosten, inaugurele reden, Leiden 2006 (zie www.math.uu.nl/people/hogend. Voor een recent overzicht van de Babylonische sterrenkunde zie Hermann Hunger, David Pingree, Astral Sciences in Mesopotamia, Leiden: Brill, 1999. Gemakkelijker leesbaar is B.L. Van der Waerden, Science Awakening Part II, Groningen: Noordhoff, 1968.