3 - Babylonische Wiskunde (C-1)

Transcriptie

1 3 - Babylonische Wiskunde (C-1) De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: C1 - Maak uit de hoofdstukken 0 t/m 6 van het Zebra-boekje Babylonische Wiskunde 15 van de 62 opgaven. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 15 verspreid over de 62. C2 - Maak een praktische opdracht voor bijvoorbeeld een 3H/V klas over Babylonische Wiskunde. De praktische opdracht moeten ze in twee klokuren kunnen maken. Maak er ook een beoordelingsin een model bij, zodat de uitvoering van de opdracht door de leerlingen uitmondt cijfer. Algemene info vooraf: Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een sexagesimaal getallenstelsel. Dit kunnen wij in onze getalsnotatie herkennen. Denk aan het schrijven van uren: één uur heeft 60 minuten, één minuut 60 seconden, dus één uur heeft 60 a-rá (= maal/keer) 60 seconden is 3600 seconden. Met dit sexagesimaal getallenstelsel drukten zij hun getallen uit in een zestigtalligg positiestelsel.dat houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het symbool. Hoe het spijkerschrift eruit ziet zien we in bijgevoegde foto en scan. Aan de hand van deze foto/scan gaan we een aantal opdrachten uitvoeren. Geschiedenis van de Wiskunde 27

2 Schrijfwijze van getallen Voor een goede uitvoering is het van belang dat we weten dat de Babyloniërs maar twee symbolen kenden, namelijk het symbool voor 1 (een spijker) en het symbool voor 10 (een wig ). Het symbool voor 1 wordt ook gebruikt voor 60, 60 2, 60 3, enzovoort. Ook wordt dit symbool gebruikt voor getallen als 1/60 1/60 2, 1/60 3, etc. Het symbool voor 10 stelt 10 keer het symbool voor 1 voor. De Babyloniërs maken geen gebruik van een komma en van het getal 0. Uit de context moet duidelijk worden welk getal bedoeld wordt. 3.1 Opgaven Opdracht 2 a) Gebruik de tablet. Vertaal de getallen die achteraan in de eerste kolom staan. Welke regelmaat vertonen die? Dit zijn de getallen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55. Ofwel de tafel van 5, waarbij de sprongen een regelmaat van 5 vertonen. b) Welk getal zou je op grond van de regelmaat in de eerste elf regels van de kleitablet, achteraan de twaalfde regel (dus bovenaan de tweede kolom van de tekening) verwachten? Het getal 60, want = 60. c) Hoe zit het met de volgende regels? Wat kun je op grond hiervan zeggen over de Babylonische wijze van noteren van getallen? Als je doortelt krijg je de volgende getallen: , 200, 250. In de Babylonische getalsnotatie staat de spijker waarschijnlijk voor zowel het getal één als het getal 60. Dit is denk ik ook de reden dat het Babylonische getalstelsel ook wel een sexagesimaal stelsel genoemd Opdracht 6 Schrijf (in transcriptie) de drieëntwintig uitkomsten van de Babylonische tafel van :03 1:10 1:17 1:24 1:31 1:38 1:45 1:52 1:59 2:06 2:13 2:20 3:30 4:40 5:50 Geschiedenis van de Wiskunde 28

3 3.1.3 Opdracht 8 Schrijf de volgende decimaal genoteerde getallen in sexagesimale vorm: 1651 : 27 x = 27: : 21 X 60² + 4 X = 21:04: : 3 X 60³ + 30 X 60² + 44 X = 3:30:44: Opdracht 13 De regelmaat in de toename van de kwadraten heb je vermoedelijk al eens eerder gezien. Onderstaand wordt het algebraïsch bewijs gegeven dat dit altijd zo blijft doorgaan. ² ² ² ² Geschiedenis van de Wiskunde 29

4 3.1.5 Opdracht 16 Verklaar de rekenwijze van de Babyloniërs aan de hand van de bijgevoegde figuur: Voor het oplossen van een vermenigvuldiging van twee ongelijke getallen werd door de Babyloniërs een kwadratentabel gebruikt. Aan de hand van zowel het vierkant hiernaast als de kwadratentabel hieronder wordt dit verduidelijkt. n n 2 n n 2 n n : : : : : : : : : : : : : :09 8 1: : :04 9 1: : : : :40 Als je bijvoorbeeld 18 x 23 wilt uitrekenen, zoek je de kwadraten van 18, 23 en hun som 41 op in de tabel. Vervolgens trek je de kleinste twee kwadraten af van de grootste en neemt de helft van de uitkomst. Dit is gelijk aan het product van 18 en 23. Geschiedenis van de Wiskunde 30

5 We rekenen dit op de Babylonische manier na: 6:54 = 6x60+54= =414/18 =23. Gevraagd: Oplossing: = = 28: = 5: = 8:49 5: :49 = 14:13 28: 01-14:13 = 13:48 de helft van 13:48 = 6:54 dit is de uitkomst van Laten we dit zien dmv een vierkant met daarin rechthoeken, komen we, als we voor de getallen 18 en 23 de onbekenden a en b nemen, uit op het product ax b (een grijze rechthoek) wat gelijk is aan de helft van het grote vierkant (a + b)² min de beide kleine vierkanten (a 2 en b 2 ). Dit levert de algebraïsche vergelijking op: a ( a + b) 2 a 2 b 2 a b= b 2 a b Ook kunnen we dit als volgt uitrekenen: De grijze rechthoek keer twee = het grote vierkant min de twee witte vierkanten. Of, anders gezegd: 2ab =. Willen we het product ab krijgen dienen we de uitkomst nog door 2 te delen(=halveren). En ook hieruit volgt: ab =. Hiermee zien we dus dat de Babyloniërs gebruik maakten van meetkundige termen: een kwadraat was een vierkant (a x a = a²), een (willekeurig) product een rechthoek (a x b = ab). Hierdoor kunnen we dus de meetkunde gebruiken om de bijzondere regels (denk aan de zogenaamde merkwaardige producten uit de algebra) aanschouwelijk maken. Geschiedenis van de Wiskunde 31

6 3.1.6 Opdracht 17 Op deze wijze berekenen we 33 x 26; Opdracht 23 Welke repeterende decimale breuk hoort bij Dat is: Opdracht 27 a. Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde 30 in vier decimalen nauwkeurig. b. Laat zien dat het onderste getal dat bij de diagonaal is gegrift, omgerekend in decimalen, dezelfde benadering in 4 decimalen heeft. a. De lengte van de diagonaal is gelijk aan: b. In de onderste regel op de tablet staan in spijkerschrift: vier tientallen, gevolgd door twee eenheden, (=42), daarnaa 2 tientallen gevolgd door 5 eenheden (=25) en sluit af met 3 tientallen en 5 eenhedenn (=35). Omgezet naar nu is dat = 42,4264. Geschiedenis van de Wiskunde 32

7 3.1.9 Opdracht 30 Bestudeer het algoritme en voer stap 3 uit voor het geval 2. Als je dat correct hebt gedaan, vindt je dat (a3)² slechts 2. De derde stap van het algoritme voor het geval 2 gaat als volgt: Deel a2 op A; 2 ligt tussen a2 en A/a Neem het gemiddelde van a2 en. A3 = 1 1 Deze benadering is wat te groot 1 (a3)² = 2 Q.E.D.. In de laatste regel van de tabel zien we dat a3 slechts (=0, ) verschilt van 2. Geschiedenis van de Wiskunde 33

8 Opdracht 35 Stel dat 2 wel gelijk is aan de verhouding van twee gehele getallen. Dus 2 = waarbij de teller t en de noemer n gehele getallen zijn. Veronderstel nu ook dat die breuk niet verder te vereenvoudigen is, dus t en n zijn de kleinste gehele getallen waarvoor de gelijkheid geldt. Bekijk nu het onderstaande vierkant met zijde n; de diagonaal zou volgens de veronderstelling de lengte t hebben. a) Er volgt nu dat ² en dus ook t een even getal moet zijn. Leg uit waarom dit zo is. b) Uit de bewering is a volgt dat de halve diagonaal (=s) ook een geheel getal is. Er volgt echter Uitwerking: ook: 2 =. Waarom is dat zo en waarom is dat in tegenspraak met de veronderstelling die aan het begin is gemaakt? a) ² ² ². Dus t² is even. Omdat een even getal maal een even getal altijd weer even is, is dus ook t even. Immers een even getal maal een even getal levert nooit een oneven getal o, maar altijd een even., 2., 2. Dan geldt dus : Dus is er een getal z, namelijk (a+b) zodat x + y =2z. Dus x + y is even. Ook geldt dat een oneven getal maal een oneven getal een oneven getal oplevert. b) Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, geldt dat ² ² ². En dit is n = s 2. Delen we beide zijden door s, dan levert dit op: 2 =. Dit is echter in tegenspraak met de eerste veronderstelling dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is. Bij een breuk van de waarde n/s is dit wel zo, en hebben we dus een tegenspraak met onze veronderstelling dat de eerste breuk niet verder te vereenvoudigen is. Geschiedenis van de Wiskunde 34

9 Opdracht 37 Van twee getallen is de som 58 en het product is 741. Bereken die getallen met de Babylonische methode. Voor de oplossing gaan we eerst een vierhoek maximaliseren, dit wordt het een vierkant met zijden 29. (want de som van = 58). Daarnaast moet gelden dat het product van de vermenigvuldiging van de zijden 741 is. Uit deze twee gegevens gaan we nu de vergelijking volgens de Babylonische manier oplossen. We stellen daarbij: 29 29, (met d>0). Het product 741. Hieruit volgt dan: 29² - d² = d²= 741 d² = d² = 100 en d= Het grootste getal is nu dus: = 39 en het kleinste getal is = Opdracht 43 Los op zijn Babylonisch op uit: a) : 12. b) Uitwerking: a) Hieruit volgt: g² - 36 = 925 g² = g² = 961 g = 31 (immers 31² = 961). En dus: 31 6, 25. b) : : , ² , ² ² Nu volgt nog: 34 10, 24. Geschiedenis van de Wiskunde 35

10 Opdracht 52 Vat ² op als een vergelijking met onbekende. De constanten a,b en c stellen positieve getallen voor. a) Druk de oplossing van deze vergelijking uit in a,b en c. Gebruik hierbij dezelfde Babylonische methode als in de vorige twee opgaven. b) Vergelijk het resultaat met de bekende a,b,c-formule voor de algemene oplossing van de tweede-graadsvergelijking. Waarin verschilt het resultaat van vraag a met die formule? Hoe verklaar je dat? Uitwerking: a) Als we beide kanten vermenigvuldigen krijgen we: (ax)² +b(ax) =ac. We stellen nu:. De vergelijking wordt dan:.. Neem vervolgens voor,, : ² ² ². : y = = ², (middels invullen in:. Beide zijden delen door a geeft: ². Indien we vervolgens de teller en noemer nog vermenigvuldigen met 2 en onder de wordtel met 4, dan krijgen we:. b) Bij de Babylonische oplossing krijgen we een oplossing omdat de negatieve getallen ontbreken. In de door ons gebruikte abc-formule wordt onder het wortelteken gerekend met: b² - 4ac. Dit moet ook wel, want de abc-formule geeft de oplossing van de tweedegraadsvergelijking waarvan de algemene formule luidt: ax² + bx + c = 0. In ons voorbeeld wordt de vergelijking: ax² + bx c = 0 opgelost!. Het verschil met de Babylonische formule is daarom het teken. Geschiedenis van de Wiskunde 36

11 Opdracht 53 Los dit bovenstaande Oud-Babylonische vraagstuk op. Als de hoogte met 6 afneemt,en de lengte van de balk blijft gelijk, dan is deze balk over een afstand van verschoven. We krijgen dan dus de vergelijking: Geschiedenis van de Wiskunde 37

12 Opdracht 56 De bovenstaande tekst behandelt de berekening van de oppervlakte van een (gelijkbenig) trapezium. Ga nauwkeurig de (meetkundige) betekenis na van elke stap en controleer de berekening. Hoe zou jij deze oplossing opgeschreven hebben? Stappencontrole: 30 maal 30 = 900 ( =10 * * *60= 15:00) Verschil evenwijdige zijden is : =30, verdeeld over twee driehoeken is per driehoek maal 18 =324 ( 5*60= = 324 (dus 5:24 klopt). 15:00 5:24 = 9:36. (9*60 = = = 64 (= 1:04) 64/2 = 32. Dit vermenigvuldigen met de hoogte (24) geeft een oppervlakte van 768. (= 12*60+48=12:48) Het trapezium wordt verdeeld in een rechthoek, waarvan de breedte 14 is en twee congruente rechthoekige driehoeken. De horizontale zijden van de driehoeken zijn samen = 36. Per driehoek dus een zijde van 18. Toepassing van Pythagoras geeft de hoogte van het trapezium: De oppervlakte van het trapezium berekenen we als volgt: helft van de hoogte maal de som van de evenwijdige zijden. Dat is: Geschiedenis van de Wiskunde 38

13 Mijn oplossing zou zijn geweest: = 36/2 = 18.Vervolgens de linkerdriehoek onder de rechterdriehoek plaatsen, waardoor de lengte van de evenwijdige boven en onderkant worden: = = 32. Voor de oorspronkelijke driehoek zou ik nog met Pythagoras de derde zijde uitgerekend hebben: a² + b² = c², met de gegevens: 18² + b² = 30² b² = b² = 576 b = Oppervlakte van de rechthoek is dan 24 x 32 = Opdracht 59 Voor een gelijkbenig trapezium met evenwijdige zijden a en b en met basishoeken van 45 is de Babylonische stelling vrij eenvoudig te bewijzen. Denk je in dat je zo n trapezium maakt door een rechthoekige plank aan twee kanten verstek te zagen. Van vier congruente planken die op die manier gezaagd zijn kun je dan een lijst maken voor een vierkant schilderij. Maak een tekening van zo n lijst en teken daarin ook de vier lijnen die de trapeziumvormige onderdelen eerlijk verdelen. Er zijn dan drie vierkanten in je tekening te zien. Gebruik deze vierkanten om te bewijzen dat: ². Uitwerking: 2 ² ² ² ² 1 2 Geschiedenis van de Wiskunde 39

14 3.2 Praktische opdracht Praktische opdracht : 3H/V: BABYLONISCHE WISKUNDE De komende twee klokuren gaan jullie in groepjes van drie aan de slag met een opdracht over de Babylonische wiskunde. Je krijgt hiervoor ook een cijfer. Beschikbare middelen: Boeken uit de mediatheek; Je i-pad, waarmee je dingen op internet kunt opzoeken; Algemene info vooraf: Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een ander getallenstelsel dan die wij kennen. Toch is er een link met een specifieke getalsnotatie die wij ook gebruiken. Met het door de Babyloniërs gehanteerde getallenstelsel drukten zij hun getallen uit in positiestelsel.dat houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het symbool. Hoe het spijkerschrift eruit ziet gaan jullie zelf uitzoeken. Ook gaan jullie een aantal opdrachten uitvoeren, die je met behulp van dit spijkerschrift gaat maken. Resultaat: Van deze opdracht maak een je verslag (in Word), waaraan de volgende eisen worden gesteld: Het verslag heeft een inleiding, waarin je een relatie legt tussen de Babylonische wiskunde en de hedendaagse wiskunde. Ook geef je een uitwerking van de volgende (deel)opdrachten: Opdracht 1: Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift. 2 a. Geef mbt foto s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de eerste 59 getallen; 2 b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: en ook in de transcriptie (als sexagesimaal getal). 4 c. Bereken de volgende sexagesimale getallen: 1:35 2:38 10:34 10:34 1:03+ 1:22+ 5:59+ 5:59- Geschiedenis van de Wiskunde 40

15 Opdracht 2:6 Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld, waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse wiskundetaal. Opdracht 3: De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse filosoof/wiskundige werd genoemd. 1 a. Wie was deze Griekse wiskundige; 5 b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand. Bronvermelding; Hier vermeldt je welke bronnen je hebt gebruikt. Let op: alleen volstaat niet. Kopieer de volledige url. Beoordeling: Deze opdracht wordt beoordeeld op: Onderzoeksvaardigheden tijdens de les; Vakinhoudelijke vaardigheden (vaardigheid om wiskundige berekeningen uit te voeren); Verzorging van de verslaglegging; samenwerking; uitvoering van de opdrachten; Bronvermelding en gebruik. We wensen jullie veel succes en plezier met deze praktische opdracht! Mevrouw B. van der Dussen, en de heren P.A. Oosterhuis en H.J. Polman, Docenten Wiskunde van het G-10 College G-10 College Zernikeplein AS GRONINGEN Geschiedenis van de Wiskunde 41

16 G-10 College G-10 College Zernikeplein AS GRONINGEN Beoordelingsmodel wiskunde: praktische opdracht Babylonische Opdracht 1: Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift. 3 a. Geef mbt foto s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de eerste 59 getallen: eerste 59 getallen; b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: en ook in de transcriptie (als sexagesimaal getal (zie c 1)) +. = (2) 1:35 + 1:03 = 2:38 (1) Geschiedenis van de Wiskunde 42

17 4 c. Bereken de volgende sexagesimale getallen: 1:35 2:38 10:34 10:34 1:03+ 1:22+ 5:59+ 5:59-2:38 (1) 4:00(1 ) 16:33 (1) 4:35 (1) Opdracht 2:6 Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld, waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse wiskundetaal. Bijvoorbeeld: (2) of of waarbij de berekening (algebraïsch) wordt weergegeven.(4) (zie de uitwerkingen van de opdrachten 16, 27 & 59 van C1). Opdracht 3: De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse filosoof/wiskundige werd genoemd. 1 a. Wie was deze Griekse wiskundige; Antw: Pythagoras (van Samos) 3 b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand. 2 Stel de lengte van het riet op. : 3 9² ² : Verduidelijking met tekening. Geschiedenis van de Wiskunde 43

18 Cijfermatige beoordeling van deze praktische opdracht: Uitvoering van de opdrachten; 20 punten: 13 OB 7 IT Berekening (deelcijfer): Aantal punten/20 x Verslaglegging en samenwerking: (O = 4; V=6; G=8) O / V/ G: Onderzoeksvaardigheden tijdens de les; O / V/ G: Verzorging van de verslaglegging; O / V/ G: samenwerking; O/ V/ G: Bronvermelding en gebruik. Berekening deelcijfer: (O + V+G+V)/4 deelcijfer verslag Bijvoorbeeld: = 24/4 = 6 Berekening eindcijfer: (deelcijfer Uitvoering opdrachten + deelcijfer Verslaglegging)/2 = Eindcijfer Geschiedenis van de Wiskunde 44