Sterrenkunde en wiskunde van : interacties.

Transcriptie

1 Sterrenkunde en wiskunde van : interacties.

2 De hemelsfeer 1 Al in de oudheid werden de bewegingen van zon, maan, planeten en sterren beschreven tegen de achtergrond van de hemelsfeer. Dit is een denkbeeldige sfeer, zo groot dat de aarde een punt in het midden is.

3 De hemelsfeer 2 In de oudheid en middeleeuwen is een theorie ontwikkeld van rekenen aan de hemelsfeer. Deze theorie werkt voor bogen van grootcirkels: waarvan het middelpunt samenvalt met het middelpunt van de sfeer. Voorbeelden: de hemelequator (in hetzelfde vlak als de aardequator), en de ecliptica (schijnbare baan van de zon in een jaar).

4 Rechthoekige boldriehoek (Islamitische wiskunde) De zon (B) is een hoekpunt van een rechthoekige boldriehoek met bogen BA op de ecliptica en CA op de equator. A is het lentepunt. In een rechthoekige boldriehoek gelden formules: enz. enz. sin A = sin a sin c cos A = tan b tan c tan A = tan a sin b cos c = cos a cos b

5 Tycho Brahe ( ): beroemde Deense astronoom Hij mat zeer nauwkeurig de hoogte h van de zon in de meridiaan en berekende daaruit λ, de plaats van de zon in de ecliptica.

6 λ gerelateerd aan δ, declinatie λ = 0 bij het begin van de lente (snijpunt met hemelequator). λ λ λ δ lente 0 Ram 30 Stier 60 Tweeling 0 ɛ zomer 90 Kreeft 120 Leeuw 150 Maagd ɛ 0 herfst 180 Weegsch 210 Schorpioen 240 Bgschut 0 ɛ winter 270 Steenbok 300 Waterman 330 Vissen ɛ 0

7 (Ellende van) dit soort berekeningen Gemeten of bekend: h, de hoogte van de zon in de meridiaan (bijv 48 ) φ, geografische breedte van de plaats (bijv Utrecht, 52 NB) ɛ 23 30, de hoek tussen hemelequator en ecliptica. Te berekenen: λ, positie van zon in de ecliptica.

8 (Ellende van) dit soort berekeningen Gemeten of bekend: h, de hoogte van de zon in de meridiaan (bijv 48 ) φ, geografische breedte van de plaats (bijv Utrecht, 52 NB) ɛ 23 30, de hoek tussen hemelequator en ecliptica. Te berekenen: λ, positie van zon in de ecliptica. Berekening: 1. Vind de declinatie δ van de zon: δ = h (90 o φ) = 48 o 38 o = 10 o 2. Bereken λ uit sin λ = sin δ sin ɛ

9 Omdat dit zo vaak gedaan moest woren werden wiskundige hulpmiddelen ontwikkeld, die we nu gaan onderzoeken. Als voorbeeld van astronomisch rekenwerk gaan we een tabel opstellen van λ als functie van δ, op drie manieren. (Er was nog veel meer rekenwerk, en dikwijls veel moeilijker, met berekeningen die honderden keren gedaan moesten worden!) 1. Door gewoon uitrekenen met een sinustabel 2. Door prosthaphairese (methode tussen 1550 en 1650 veel gebruikt) 3. Met logaritmen (ca ontwikkeld) In deze workshop doen we het werk parallel, iedereen met zijn eigen unieke waarde van δ.

10 Uitrekenen met sinustabel 1. Zoek in de sinustabel sin δ en sin ɛ, voor je eigen δ en voor ɛ = Bereken sin λ = sin δ sin ɛ. 3. Zoek de bijbehorende λ in de sinustabel. 4. Indien workshop voor meer dan 23 personen: seizoenscorrectie!

11 Uitrekenen met prostaphairese Principe: vermenigvuldigen omzeilen mbv gonio: sin p sin q = 1 2( sin(90 p + q) sin(90 p q) ).

12 Uitrekenen met prostaphairese Principe: vermenigvuldigen omzeilen mbv gonio: sin p sin q = 1 2( sin(90 p + q) sin(90 p q) ). Echter, wij moeten delen door sin ɛ 0.4. Dat is vermenigvuldigen met 1 sin ɛ 2.5.

13 Uitrekenen met prostaphairese Principe: vermenigvuldigen omzeilen mbv gonio: sin p sin q = 1 2( sin(90 p + q) sin(90 p q) ). Echter, wij moeten delen door sin ɛ 0.4. Dat is vermenigvuldigen met 1 sin ɛ 2.5. Daarom nemen we p zo dat sin p = 1 10 sin ɛ en verder q = δ, zodat: sin λ = 5 ( sin(90 p + δ) sin(90 p δ) ).

14 Uitrekenen met prostaphairese Principe: vermenigvuldigen omzeilen mbv gonio: sin p sin q = 1 2( sin(90 p + q) sin(90 p q) ). Echter, wij moeten delen door sin ɛ 0.4. Dat is vermenigvuldigen met 1 sin ɛ 2.5. Daarom nemen we p zo dat sin p = 1 10 sin ɛ Dus todo: en verder q = δ, zodat: sin λ = 5 ( sin(90 p + δ) sin(90 p δ) ). 1. Eerst gezamenlijk en voor eens en altijd 90 p vinden. 2. Daarna ieder met zijn eigen δ de berekening voor λ uitvoeren.

15 Uitrekenen met logaritmetabel Spreekt voor zich, maar let op: in de tabel staat 10 + log sin x, om het werken met negatieve getallen te voorkomen. 1. Bereken met de tabel (10 + log sin λ) = 10 + (10 + log sin δ) (10 + log sin ɛ), of, vergetende dat er iets met men en cijfers voor de komma is: log sin λ = 10 + log sin δ log sin ɛ. 2. Zoek de bijbehorende λ terug in de tabel.