38 NAW 5/4 r. 1 maart 2003 Aastekelijkheid gevage i ee getal Odo Diekma Odo Diekma Mathematisch Istituut Uiversiteit Utrecht Postbus 80010 3508 TA Utrecht O.Diekma@math.uu.l Vakatiecursus 2002 Aastekelijkheid gevage i ee getal Jaarlijks orgaiseert het Cetrum voor Wiskude e Iformatica CWI oder auspicië va de Nederladse Vereigig va Wiskudelerare ee vakatiecursus voor wiskudelerare e adere belagstellede. Bij deze gelegeheid verschijt steeds ee syllabus met tekste bij de voordrachte. Het NAW heeft ee serie gestart waari geselecteerde tekste uit recete syllabi worde geplaatst. Het derde artikel is afkomstig uit de syllabus Wiskude e Gezodheid bij de Vakatiecursus 2002. Het oderwerp is het modellere va besmettelijke ziekte. Odo Diekma is hoogleraar aalyse aa de Uiversiteit va Utrecht. Hij geldt als ee va de pioiers op het gebied va de mathematische biologie i Nederlad. Stel ee vrouw krijgt, gemiddeld geome, R 0 dochters. Da groeit, uitgaade va ee costate ma-vrouw verhoudig, de populatie i geeraties met ee factor R 0 als R 0 > 1 e eemt met deze factor af als R 0 < 1. R 0 wordt reproduktiegetal geoemd e heeft drempelwaarde 1 i de zi dat het groter of kleier zij da de drempelwaarde beslissed is voor het oderscheid tusse expoetiële groei eerzijds e expoetiële uitstervig aderzijds ook waeer we de populatie iet op geeratiebasis maar i de reële tijd beschouwe. Het begrip R 0 is zivol voor mes, dier e plat. Stel ee besmettelijke ziekte, veroorzaakt door ee bacterie of virus, doet haar itrede i ee populatie va gasthere. Naar aalogie va het bovestaade kue we spreke over ee geboorte als ee gastheer besmet raakt e over akomelige als ee gastheer de besmettig overdraagt aa adere gasthere. De vergelijkig gaat i zoverre mak dat het moeilijker wordt om akomelige te krijge aarmate er al meer geboortes zij geweest we gaa er hierbij va uit dat besmettig uiteidelijk resulteert i immuiteit, zoals bij kiderziektes als mazele e rode hod, e dat de tijdschaal va demografische doorstroom de vervagig va immue oude va dage door vatbare baby s lag is te opzichte va de tijdschaal waarop overdracht va besmettig plaats vidt. Maar, zoals bij ee oplaaied vuur het overmijdelijke oprake va de bradstof i eerste istatie buite beschouwig gelate ka worde, zo kue we ook hier de reductie va het vatbare deel va de gastheerpopulatie bewust egere als we vooral geïteresseerd zij i de vraag of os ee epidemische vloedgolf, ee uitbraak, te wachte staat of slechts ee paar icidetele gevalle. Wiskudig gezie komt dit eer op het liearisere va ee i essetie iet-lieair verbad. Daarom is R 0 ook als het over de verspreidig va besmettelijke ziekte gaat ee kemerkede grootheid. Om ee besmettelijke ziekte kwijt te rake moet je zorge dat, i het gedachte-experimet waarbij je als het ware de ziekteverwekker opieuw itroduceert i ee volledig vatbare populatie, R 0 < 1 is. Het ka da overiges, zoals i het geval va BSE, og best lag dure voor de ziekte ook daadwerkelijk va het toeel verdwee is. Vadaar dat het effect va tegemaatregele zoals vacciatie vaak afgemete wordt aa de igeschatte ivloed op R 0. Vadaar dat R 0 zo belagrijke grootheid is. Vadaar dat we graag wille wete hoe R 0 opgebouwd is uit verschillede factore. Sexueel overdraagbare aadoeige Late we, om de gedachte te bepale, ee seksueel overdraagbare aadoeig SOA beschouwe, bijvoorbeeld goorroe. Om het os gemakkelijk te make beperke we os tot het strikt homoseksuele maelijke deel va de populatie. Oder adere verwaarloze we dus de ivloed via biseksuele idividue va e op de heteroseksuele buitewereld. E u we toch bezig zij de waarheid geweld aa te doe, gooie we er ee schepje bove op: we eme aa dat cotacte voortdured wissele. Met adere woorde: we verwaarloze het effect va paarvormig. Zij p de kas op overdracht bij ee cotact tusse ee vatbaar
Odo Diekma Aastekelijkheid gevage i ee getal NAW 5/4 r. 1 maart 2003 39 e ee ifectieus idividu. Zij T de legte va de ifectieuze periode. Zij c het aatal cotacte per eeheid va tijd per idividu. Da stelle we R 0 = pct. De redeerig hierachter is dat ee besmet idividu gedurede de ifectieuze periode ct cotacte zal hebbe die, i de situatie dat er slechts heel weiig besmette idividue rodlope, allemaal met vatbare zij. E va die ct cotacte zal ee fractie p dus tot besmettig leide. Hoewel vele details va de afleidig aavechtbaar zij we kome hier zo op terug geeft het resultaat izicht. Als we via voorlichtig bereike dat symptome seller oderked worde waara me aar de dokter ka gaa voor behadelig, hetgee voor goorroe eevoudig is, zal T dale. Het feit dat R 0 recht everedig is met T toot aa dat je daar wat mee opschiet. Codoomgebruik heeft ivloed op p e ee soortgelijke coclusie volgt. De meest voor de had liggede coclusie is uiteraard dat R 0 recht everedig daalt als de graadmeter c voor de mate va seksuele activiteit aar beede gaat. I het bovestaade zij p, c e T gemiddelde groothede die trouwes iet zo gemakkelijk te bepale zij uit experimetele e veldgegeves. Bijvoorbeeld, bij sommige idividue verloopt goorroe asymptomatisch e is bijgevolg de ifectieuze periode extreem lag. E uiteraard is er ee grote mate va variabiliteit i de mate va seksuele activiteit va idividue. Ook R 0 is ee gemiddelde. Om het gemiddelde va ee produkt gelijk te kue stelle aa het produkt va de gemiddelde hebbe we oafhakelijkheid odig. I de praktijk beteket dit: er mag gee aaleidig zij om afhakelijkheid te veroderstelle. E iderdaad, als we het hebbe over asymptomatisch verloop e mate va seksuele activiteit, da is die aaleidig er iet. Tot op zekere hoogte is dat middele dus oschuldig, met ame als het gaat om idividuele verschille i ifectiviteit. Het wordt echter igewikkeld als het gaat om idividuele verschille die zowel ivloed hebbe op vatbaarheid als op ifectiviteit. E de mate va seksuele activiteit is hierva ee duidelijk voorbeeld: hoe meer cotacte je hebt, des te meer kas loop je om de aadoeig op te lope, terwijl je eveees des te meer ieuwe gevalle zult veroorzake zodra je zelf ifectieus bet. Het is dit dubbelop effect dat i 1 otbreekt. E het doel va deze bijdrage aa de vakatiecursus is te late zie hoe met behulp va ee extra beetje wiskude ee systematische methode otwikkeld ka worde om het effect i rekeig te brege. Heterogeiteit: de kust va het middele Stel de populatie ka, op grod va het type va idividue, opgesplitst worde i twee deelpopulaties ter grootte va, respectievelijk, N 1 = 10 5 e N 2 = 10 7 idividue. Type 1 heeft c 1 = 100 cotacte per jaar e type 2 heeft c 2 = 10 cotacte per jaar. Da is de verhoudig waari de twee type voorkome 1 : 100 e het gemiddeld aatal cotacte per jaar is gelijk aa c = c 1N 1 + c 2 N 2 N 1 + N 2 = 1 101 c 1 + 100 101 c 2 11. 1 Stel u dat er gee prefereties zij voor het type va ee parter. Da zal ieder idividu cotacte hebbe met de twee type i de verhoudig va hu aadeel i het totaal aatal cotacte, oftewel i de verhoudig c 1 N 1 : c 2 N 2 = 1 : 10. Bijgevolg zulle de twee type i deze verhoudig voorkome oder de ieuwe gevalle va besmettig. E dus zal het gemiddeld aatal cotacte va besmette idividue gelijk zij aa c = 1/11c 1 + 10/11c 2 18. Met de verkeerde maier va rekee vide we dus R 0 11pT e met de goede maier R 0 18pT, ee aazielijk verschil. De defiitie va R 0 : de wiskude va het middele I het voorafgaade ame we aa dat het type va ee idividu iet veradert i de loop va de tijd hetgee wel het geval is bij ee kemerk als leeftijd e dat cotacte symmetrisch zij zulks i tegestellig tot de asymmetrie va, bijvoorbeeld, bloedtrasfusie. Dat eme we ook u weer aa. Maar we late u prefereties toe door te stelle dat ee fractie q 11 va de cotacte va type 1 idividue met type 1 idividue is e ee fractie q 22 va de cotacte va ee type 2 idividu met type 2 idividue. Er is da ee cosistetie voorwaarde: 1 q 11 c 1 N 1 = 1 q 22 c 2 N 2. Immers, ee fractie 1 q 11 va de totale hoeveelheid c 1 N 1 cotacte per tijdseeheid va type 1 idividue is met type 2 idividue e ee fractie 1 q 22 va de totale hoeveelheid c 2 N 2 cotacte per tijdseeheid va type 2 idividue is met type 1 idividue e deze hoeveelhede betreffe dus allebei de cotacte per tijdseeheid waarbij va beide type ee idividu betrokke is, dus moete ze aa elkaar gelijk zij. I de vorige sectie was q 11 = c 1 N 1 /c 1 N 1 + c 2 N 2 e q 22 = c 2 N 2 /c 1 N 1 + c 2 N 2 e is dus iderdaad aa deze voorwaarde voldaa. Oze taak is R 0 te bepale i afhakelijkheid va N 1, N 2, c 1, c 2, q 11, q 22, p e T. Het is u hadig de itesiteit e het patroo va de cotacte te ragschikke i ee matrix q 11 c 1 1 q 22 c 2 1 q 11 c 1 q 22 c 2 Op plaats i j staat hier het aatal cotacte per tijdseeheid dat ee type j idividu heeft met type i idividue ee terzijde voor alle duidelijkheid: ee cotact tusse ee type 1 idividu e ee type 2 idividu wordt zowel geteld oder de idex 12 als oder de idex 21 e ook oder de idices 11 e 22 worde cotacte dubbel geteld omdat we oze boekhoudig basere op idividue e iet op pare va idividue. Na vermeigvuldigig met de factor pt is dit de volgede-geeratie-matrix. ptq M = 11 c 1 pt1 q 22 c 2 pt1 q11c 1 ptq 22 c 2 i de zi dat m i j gelijk is aa het gemiddelde aatal type i akomelige va ee besmet idividu va type j. We hebbe u dus vier R 0 achtige getalle geragschikt i ee matrix e moete daar door op de goede maier te middele éé getal va zie te make dat de aam R 0 verdiet. Als itermezzo stelle we de vraag: hoe groot is ee matrix?
40 NAW 5/4 r. 1 maart 2003 Aastekelijkheid gevage i ee getal Odo Diekma Ee 2 2 matrix geeft ee rekerecept om ee put i het vlak ee vector af te beelde op ee ader put. Zo beeldt de matrix 0 10 K = 1 1000 0 de eeheidsvector 0 1 af op de vector 10 0 met legte 10, dus, i zekere zi, is het vergroted effect ee factor 10. E iderdaad, de stadaard maier om de orm va K te defiiere is K = max x =1 Kx e voor dit voorbeeld volgt da K = 10. Echter, als we K ogmaals toepasse wordt 10 0 afgebeeld op 0 1. 100 I twee stappe is de vector dus gekrompe met ee factor 1/100. E omdat K 2 0 10 0 10 = 1 1 = 1000 0 1000 0 1 100 0 1 0 100 geldt dat laatste zelfs voor elke keuze va ee startvector. Ee factor 1/100 per twee stappe is ee factor 1/10 per stap. Te bewijze valt dat lim K 1 bestaat e gelijk is aa 1/10. De door K beschreve afbeeldig heeft dus de eigeschap dat bij alsmaar herhaald toepasse de pute gemiddeld per stap ee factor 1/10 dichter bij de oorsprog kome te ligge. Als we geïteresseerd zij i het vergroted of, zoals i dit geval, verkleied effect bij herhaald toepasse da is het juiste atwoord 1/10 e iet 10. Het uitrekee va K 1 is hier eevoudig, maar i het algemee erg bewerkelijk. De vraag rijst of er ee sellere maier is om die factor 1/10 op het spoor te kome? Eide itermezzo, terug aar SOA. Als we de coordiate x 1 e x 2 iterpretere als de aatalle besmette idividue va het met de idex overeekomede type i ee bepaalde geeratie, da vide we deze aatalle i de volgede geeratie door de matrix M los te late op de vector x. De matrix is dus weer op te vatte als ee rekerecept om, gegeve ee put i het vlak, ee ieuw put te vide. Het herhale va deze afbeeldig wordt beschreve door het iteratieschema x + 1 = Mx waarbij het gehele getal de geeraties ummert. Stel dat de twee type va geeratie op geeratie i ee vaste verhoudig x 1 : x 2 zoude voorkome, da zoude we weer ee gemiddelde c kue uitrekee volges c = x 1c 1 + x 2 c 2 x 1 + x 2 2 e vervolges R 0 = pt c kue eme. De verhoudig correspodeert met ee lij door de oorsprog e dus met ee richtig i het x 1, x 2 vlak. De door M beschreve afbeeldig beeldt lije door de oorsprog op lije door de oorsprog af. We zij op zoek aar de uitzoderlijke lij die op zichzelf wordt afgebeeld omdat da, zoals hierbove uitgelegd, de verhoudige dezelfde blijve, hetgee het middele recht toe recht aa maakt. Dit beteket dat we op zoek zij aar vectore x waarvoor Mx ee veelvoud va x is, oftewel Mx = λx met λ og ader te bepale. Dergelijke x hete eigevectore va M behorede bij de zogehete eigewaarde λ merk op dat als x ee eigevector is dat da hetzelfde geldt voor elk veelvoud va x; belagrijk is slechts de door x bepaalde richtig, iet de grootte va x. Hoewel coceptueel eigevectore e eigewaarde gelijktijdig op het toeel verschije, is het reketechisch mogelijk eerst de eigewaarde te bepale e pas daara, desgewest, de eigevectore. Zoder veel moeite bewijst me dat λ ee eigewaarde va de 2 2 matrix M is da e slechts da als λ voldoet aa de kwadratische karakteristieke vergelijkig λ 2 Sλ + D = 0. Hierbij is S het spoor e D de determiat va M expliciet gegeve door S = m 11 + m 22 e D = m 11 m 22 m 12 m 21. Er zij dus, uitzoderige daargelate, precies twee eigewaarde. Welke va de twee moete we u hebbe? Er zij verschillede maiere om het oderscheid tusse de twee eigewaarde ader uit te werke e zodoede tot ee atwoord te kome. Gelukkig levere die verschillede maiere hetzelfde atwoord op! De diagoaal matrix λ1 0 0 λ 2 heeft als prettige eigeschap dat de ivariate lije precies overee kome met de coördiaatasse. Op de x 1 -as worde afstade met ee factor λ 1 vergroot als λ 1 > 1 e op de x 2 -as met ee factor λ 2. Als λ 2 > λ 1 > 1 e we begie i ee willekeurig put va het x 1, x 2 vlak e passe vervolges alsmaar deze afbeeldig toe, da geldt x 1 = λ 1 x 10, x 2 = λ 2 x 20 zodat x 1 x 2 = λ1 λ 2 x1 0 x 2 0 De groei va x 1 i de loop der geeraties is, relatief te opzichte va de groei va x 2, te verwaarloze e de lij door de oorsprog waarop het -de put zich bevidt kruipt, aarmate groter wordt, steeds dichter tege de x 2 -as aa. Asymptotisch voor geldt, mits x 2 0 = 0, dat x 1 /x 2 0 e dat de legte va x i iedere geeratie-stap ee factor λ 2 groter wordt. Het atwoord is dus: we moete de grootste va de twee eigewaarde hebbe. Wat we precies met de grootste bedoele is duidelijk als ze allebei positief zij. I het algemee kue eigewaarde zeer wel egatief of zelfs complex zij. De algemee karakteriserig is daarom: de grootste i absolute waarde. Uiteraard is het mogelijk dat eigewaarde dezelfde absolute waarde hebbe dat doet zich bijvoorbeeld voor bij de hierbove geïtroduceerde matrix K. Bovedie moete we os realisere dat de iterpretatie vereist dat de eigevector x positief is, i de zi dat de compoete x 1 e x 2 iet-egatief zij. Met adere woorde, de ivariate lij die we zoeke moet door het eerste e derde kwadrat lope e de bijbehorede eigewaarde moet positief zij. Welke garatie is er dat er ee welgedefiieerde grootste eigewaarde is e dat deze deze eigeschappe heeft? Die garatie is er, e wel i de vorm va ee stellig va Perro e Frobeius: Stellig. Zij M ee matrix. Veroderstel dat M positief is, i de zi dat alle elemete groter of gelijk aa ul zij. Veroderstel bovedie dat M primitief is, hetgee wil zegge dat voor ee zekere macht k alle elemete va de matrix M k strikt positief zij. Da is er precies éé eigewaarde met ee bijbehorede eigevector die positief is e alle adere eigewaarde zij strikt kleier i absolute waarde.
Odo Diekma Aastekelijkheid gevage i ee getal NAW 5/4 r. 1 maart 2003 41 Me spreekt va de domiate eigewaarde. De bijbehorede eigevector is zelfs strikt positief oder de geoemde voorwaarde. De hier geformuleerde versie is iet de meest algemee. Ee positieve matrix heet irreducibel als voor elk paar i j met 1 i, j er ee macht k te vide is die best va de beschouwde i, j mag afhage zo dat het i j-de elemet va M k strikt positief is. Ook voor ee irreducibele matrix geldt dat er precies éé eigewaarde is met ee positieve eigevector. Maar, tezij de matrix i feite primitief is, zij er adere eigewaarde met dezelfde absolute waarde. Ee 2 2-matrix als 0 + K = + 0 treedt op bij ee SOA model waarbij de populatie wordt oderverdeeld i mae e vrouwe e waarbij me allee strikt heteroseksuele cotacte beschouwt. E, evezo, bij malaria, waar de parasiet va mes aar mug e va mug aar mes overgaat. Dergelijke matrices zij irreducibel maar iet primitief. De tweede eigewaarde is egatief, maar heeft dezelfde absolute waarde als de eerste. Uit de iterpretatie volgt dat alle elemete va de volgedegeeratie-matrix M iet-egatief zij. Het al da iet primitief zij va M heeft te make met kieskeurigheid. Waeer voor ee willekeurige keuze va ee tweetal, iet oodzakelijk verschillede, type de overeekomstige deelpopulaties cotacte met elkaar oderhoude, da zij alle elemete va M strikt positief e is M dus zeker primitief. Deze hele paragraaf was tot u toe ee lage ileidig tot, e motivatie va, de volgede uitspraak: R 0 is, per defiitie, de domiate eigewaarde va de volgede-geeratie-matrix M. Tijdes de motivatie gebruikte we formule 2 met x de bij R 0 horede eigevector, als ee stap i de berekeig va R 0. Echter, achteraf bezie is dat veel te omslachtig aagezie we eerst R 0 berekee uit de karakteristieke vergelijkig e pas daara, evetueel, de eigevector. De formule is dus meer ee hulpmiddel bij het begrijpe va de verbade, het hoe e waarom, da ee rekemethode. Nogmaals het SOA voorbeeld Gewaped met ee algemee defiitie va R 0 die teves ee costructief rekerecept levert, zulle we u voor ee algemee versie va het SOA voorbeeld wat coclusies afleide. Stel we hebbe iet twee maar verschillede type idividue, gekarakteriseerd door het aatal cotacte c j, j = 1,...,, per eeheid va tijd. Stel ee fractie q i j va deze cotacte is met type i idividue, waarbij voldaa is aa de ormaliserig e de cosistetie codities q i j = 1 i=1 3 q i j c j N j = q ji c i N i 4 q i j = c i N i / l c l N l voor de had. De matrix elemete zij da va de vorm m i j = b i c j met b i = pt/ l c l N l c i N i hetgee beteket dat M alle lije door de oorsprog afbeeldt op de ee lij waarop b ligt. Immers Mxi = b i c j x j Mx = I het bijzoder volgt uit Mb = c j b j b dat R 0 = c j x j c j b j = pt c2 j N j l=1 c l N l Alle overige eigewaarde zij ul i dit geval e de meetkudige iterpretatie werkt veel seller da de algebraïsche rekepartij via de karakteristieke vergelijkig. Herschrijve va deze uitdrukkig levert extra izicht op R 0 = pt c + c/c waarbij c = gemiddelde c = k=1 c kn k l=1 N, l c = variatie va c = k=1 c k c 2 N k l=1 N l b = k=1 c2 k N k c 2 l=1 N. l Deze uitdrukkig laat expliciet zie hoe de fout die we make door R 0 gelijk te stelle aa pt c afhagt va de verdelig va c, met ame va de variatie. Merk ook op dat de echte R 0 altijd groter is da de schattig op basis va ee gemiddelde c. Dit bregt os op het idee dat het verwaarloze va heterogeiteit wel ees heel algemee tot ee oderschattig va R 0 zou kue leide e ooit tot ee overschattig. De volgede stellig toot aa dat dit vermoede juist is. Stellig. Zij R 0 de domiate eigewaarde va de matrix M met elemete m i j = ptq i j c j waarbij q i j voldoet aa 3 e 4: da geldt: R 0 pt c Bewijs. Defiieer T : R R door Tx i = x i / N i da geldt dat de elemete va de matrix TMT 1 gegeve worde door ptq i j c j N j / N i zodat op grod va de cosistetie coditie 4, de elemete met de idices i j e ji aa elkaar gelijk zij. Oftewel, TMT 1 is ee symmetrische matrix. Voor ee symmetrische matrix S geldt dat alle eigewaarde reëel zij e dat de grootste gelijk is aa max w =1 w, Sw waarbij v, w = i=1 v iw i e w = w, w. De vector met de compoete Ni v i = voldoet aa v = 1 e verder geldt, mede op grod va 3 dat v, TMT 1 Ni N j N j = pt q i j c j i=1 Ni waarbij N j de grootte va de deelpopulatie va type j idividue is. Da heeft de matrix M elemete m i j = ptq i j c j. I het speciale geval dat er gee ekele voorkeur i het spel is ligt de keuze = pt c jn j = pt c
42 NAW 5/4 r. 1 maart 2003 Aastekelijkheid gevage i ee getal Odo Diekma Het belag va ee wiskudige formulerig Op zich is R 0 ee grootheid die bie ee populatie-dyamische da wel epidemiologische cotext zivol geïtroduceerd ka worde. Als oderdeel va de defiitie komt da het woordje gemiddeld voor e daari ka ee zekere subtiliteit schuil gaa. Met ame is dat het geval waeer de verdelig waarover gemiddeld moet worde iet a priori vast staat, maar juist mede bepaald wordt door de geeratie-op-geeratie dyamica die we wille modellere. Op dat momet levert de wiskudige ivalshoek ee systematische methode: de obekede verdelig wordt gekarakteriseerd als de domiate eigevector va ee positieve matrix e R 0 is de bijbehorede eigewaarde zodat we desgewest R 0 kue uitrekee op basis va de matrixelemete zoder ook daadwerkelijk de verdelig uit te rekee. Door specifieke eigeschappe va de matrix te beutte kue we va alles e og wat aa de weet kome over de maier waarop R 0 bepaald wordt door de igrediëte va het model. Daaraast is er de praktijk. Recetelijk had Nederlad te kampe met uitbrake va varkespest e mod-e-klauwzeer. Op itesive care eehede va ziekehuize zij resistete bacterië i opmars. Geslachtsziekte, die sterk teruggedroge werde toe het besef va de verschrikkige va AIDS het codoomgebruik omhoog stuwde, eme weer toe, hetgee te deke e te vreze geeft. Wereldwijd zij tuberculose e malaria i sel tempo het verlore terrei aa het herovere. Wiskudige modellerig is éé va de vele oderdele va de strijd tege besmettelijke ziekte. Het aspect va coceptuele verhelderig stod cetraal i dit artikel. Ook i braistormsessies met veteriaire deskudige e medici is dikwijls de belagrijkste bijdrage gelege i het feit dat ee wiskudige formulerig dwigt tot helderheid over wat voorodersteld wordt met betrekkig tot de aard va de variabele e hu oderlige verbade. De volgede voorbeelde, va werk waar de auteur va dit hoofdstuk i de loop va vele jare bij betrokke was, illustrere dit algemee patroo. De selheid waarmee ee ladbouwpest zich verspreidt over verschillede ruimteschale ee veld, ee gebied, ee lad, ee cotiet hagt af va de productie, i de loop der tijd, va kieme e de verplaatsig va deze kieme door het luchtruim; met wiskudige hulpmiddele ka me het verbad i kaart brege. Zeehode houde als ze uit het water kome om te ruste mi of meer ee costate afstad va elkaar; daardoor veradert de populatiedichtheid iet als ee epidemie va Phocie Distemper Virus slachtoffers maakt zoals i 1988 e u weer; via ee wiskudig model valt a te gaa wat dat voor gevolge heeft voor het percetage dat besmet wordt. Naar aaleidig va de varkespest epidemie is software i otwikkelig om, op basis va beschikbaar komede gegeves, i te schatte hoeveel bedrijve al wel besmet maar og iet gedetecteerd zij. I toeemede mate kome data beschikbaar over ziekehuis bacterië als MRSA e VRE die resistet zij voor allerlei atibiotica; de kust is via data-aalyse izicht te verkrijge e coclusies te trekke; daarbij zij wiskudige modelle ootbeerlijk. Kwalitatief izicht i ketes va oorzaak e gevolg is de basis voor zowel de educated guess va de expert als het betekeis toekee aa kwatitatief rekewerk i het kader va wiskudige modelle. Het feit dat kwatitatief accurate voorspellige ee wesdroom blijve, doet hier iets aa af. Refereties 1 H. Adersso, T. Britto, Stochastic Epidemic Models ad Their Statistical Aalysis, Spriger Lecture Notes i Statistics 151 Spriger, New York, 2000. 2 R.M. Aderso, R.M. May, Ifectious Diseases of Humas: Dyamics ad Cotrol, Oxford Uiversity Press, Oxford, 1991. 3 N.J.T. Bailey, The Mathematical Theory of Ifectious Diseases ad its Applicatios Griffi, Lodo, 1975. 4 N.G. Becker, Aalysis of Ifectious Disease Data Chapma & Hall, Lodo, 1989 5 A.D. Cliff, P. Haggett, Atlas of Disease Distributios: Aalytical Approaches to Epidemiological Data, Blackwell, Lodo, 1988. 6 D.J. Daley, J. Gai, Epidemic Modellig: a Itroductio, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, 1999. 7 O. Diekma, J.A.P. Heesterbeek, Mathematical Epidemiology of Ifectious Diseases: Model Buildig, Aalysis ad Iterpretatio, Wiley, Chichester, 2000. 8 D. Molliso ed., Epidemic Models: Their Structure ad Relatio to Data, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, 1995 9 N. Shigesada, K. Kawasaki, Biological Ivasios: Theory ad Practice, Oxford Uiversity Press, Oxford, 1997.