Examen Wiskunde I Eerste zittijd 24-25 professor C. Thas e bachelor biochemie en biotechnologie, biologie, geografie en geomatica, geologie N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Gelieve vraag op een afzonderlijk blad te maken, en op elk los blad duidelijk je naam en studierichting te vermelden. Oefening. Geef aan of volgende antwoorden juist of fout zijn. Verklaar je antwoord. Geef voor foute antwoorden ook het correcte antwoord. a. Als {v, v 2, v 3 } een basis is voor de vectorruimte R 3, dan is ook { v +v 2 +v 3, v v 2 + v 3, v + v 2 v 3 } een basis van R 3. b. lim x cos(x) ln(cos(x)) =. c. De eerste drie termen (verschillend van nul) van de Taylorreeks rond x = van f(x) = + (sin(x)) 2 zijn: + x 2 x4 3 +... d. De deelruimte V van de vectorruimte R 3 wordt bepaald door de twee vergelijkingen { x + 2x 3 =. Dan is V =,. x 2 = 2 e. Voor de volgende matrix A is r(a) = 3 en dim(ker(a)) = : 3 2 3
Oplossing. a. Juist. Beschouw een lineaire combinatie van de gedaante a( v + v 2 + v 3 ) + b(v v 2 + v 3 ) + c(v + v 2 v 3 ) = ( a + b + c)v + (a b + c)v 2 + (a + b c)v 3 =. Omdat {v, v 2, v 3 } een basis is, zijn v, v 2, v 3 lineair onafhankelijk. Hieruit volgt a + b + c = a b + c = a + b c = a = b = c = Hieruit volgt dat de vectoren v + v 2 + v 3, v v 2 + v 3, v + v 2 v 3 lineair onafhankelijk zijn, en dus een basis vormen voor R 3. b. Fout. cos() = en ln(cos()) =. De regel van de l Hôpital geeft cos(x) lim x ln(cos(x)) = lim x sin(x) sin(x) cos(x) = lim x (cos(x)) = c. Juist. f(x) = f() + f () + f () x2 2 + f () x3 3! + f iv () x4 4! + f(x) = + sin 2 (x) f() = f (x) = 2 sin(x) cos(x) f () = f (x) = 2 cos 2 (x) 2 sin 2 (x) f () = 2 f (x) = 4 cos(x( sin(x))) 4 sin(x) cos(x) = 8 sin(x) cos(x) f () = f iv (x) = 8 cos 2 (x) + 8 sin 2 (x) f iv () = 8 We vinden dat + sin 2 (x) = + 2x2 2 8x4 4! = + x 2 x4 3 d. Juist. V is een ééndimensionale vectorruimte in R 3, opgespannen door de vector 2. Dan is V het orthogonale vectorvlak en, staan beide 2 loodrecht op V en zijn lineair onafhankelijk. e. Fout. R(A) =< 3, 2,, 3 > Aangezien de eerste vector en de laatste vector elkaars tegengestelde zijn en de eerste twee vectoren lineair onafhankelijk zijn, vinden we dat de rang van A gelijk is aan 2. Omdat R(A) + dim(ker(a)) = 4, is dim(ker(a)) = 2. 2
Oefening 2. (Vergeet niet een ander blad te nemen.) Een winkelketen is de eigenaar van drie computerwinkels C, C 2 en C 3 in Gent. In elke winkel worden verschillende producten verkocht waaronder de producten P, P 2, P 3 en P 4. In volgende tabel vind je de gegevens in verband met de verkochte producten in de afgelopen maand: P P 2 P 3 P 4 C 2 5 35 C 2 6 9 C 3 25 7 2 3 In januari wordt er door de solden meer verkocht dan in december. De eigenaar neemt als vuistregel dat er in de maand januari in iedere computerwinkel anderhalve keer zoveel producten P 2 en P 3 verkocht worden en twee keer zoveel producten P en P 4. a. Geef de 3 4 matrix A met daarin de te verwachten verkoopcijfers per winkel in de maand januari. Om de verwachte winst bij de verschillende soldenprijzen te berekenen, wil de eigenaar voor elk van de winkels de winst berekenen indien de winst bij verkoop van de vier producten respectievelijk 3,, 5,, 2 is, maar ook indien de winstmarge respectievelijk,, 5, 2, 3 zou bedragen. b. Stel de winstmarges schematisch voor in een 4 2-matrix B. c. Bepaal de matrix C = A B. Wat betekent het element c 22? Kan de eigenaar aan de hand van deze berekening een gunstige keuze voor zijn winst maken? Een bedrijf maakt de vier producten P, P 2, P 3 en P 4. Het bedrijf heeft daarvoor drie machines M, M 2 en M 3 nodig. Om één eenheid van product P te maken heeft men machine M gedurende 3 uur nodig, machine M 2 ook gedurende 3 uur en machine M 3 gedurende 2 uur. Om één eenheid van product P 2 te maken, heeft men de machines respectievelijk 2 uur, uur en uur nodig. Om één eenheid van het product P 3 te maken heeft men de machines respectievelijk 8 uur, 7 uur en 5 uur nodig. Om één eenheid van het product P 4 te maken heeft men de machines respectievelijk 6 uur, 3 uur en 3 uur nodig. Machine M is 48 uur per maand beschikbaar, machine M 2 is 42 uur per maand beschikbaar en machine M 3 kan 3 uur per maand gebruikt worden. d. Hoeveel eenheden van elk product moet het bedrijf maandelijks maken om optimaal gebruik te maken van alle machines? Geef alle tussenstappen bij het oplossen van het stelsel. e. Hoe kan de productie worden geoptimaliseerd als men 6 eenheden van product P moet maken en 5 eenheden van product P 2? 3
Oplossing. a. b. c. A = 4 5 225 7 2 9 35 5 5 8 6 B = C = 3, 5, 5 2 2 3 56 925 24 425 52, 5 747, 5 d. 3x 2x 2 8x 3 6x 4 = 48 3x x 2 7x 3 3x 4 = 42 2x x 2 5x 3 3x 4 = 3 x = 2 2a x 2 = 6 a 3b x 3 = a x 4 = b e. x = 6 x 2 = 5 x 3 = 3 x 4 = 5 4
Oefening 3. In 959 werden de eerste konijnen door Europese kolonisten ingevoerd in Australië. Het eerste schip bracht er 3 mee. Doordat konijnen in Australië geen natuurlijke vijanden hebben, konden ze zich zeer snel voortplanten. In deze omstandigheden bedraagt het aantal geboorten jaarlijks 5 keer de populatie, terwijl elk jaar 5 van de populatie sterft. Rond in deze oefening de aantallen af op 4 beduidende cijfers en tijdseenheden op gehelen. a. Toon aan dat dit leidt tot een iteratief proces K n+ = 79 5 K n, waarbij K n het aantal konijnen na n jaar voorstelt. b. Hoeveel konijnen zouden er na jaar zijn? Na hoeveel jaar telt men voor het eerst meer dan konijnen? c. Omdat konijnen na ongeveer 2 maand vruchtbaar zijn, is het logischer te werken met een tijdseenheid van 2 maanden. Noem D n het aantal konijnen na 2n maanden. Toon aan dat D n+ =, 584D n. d. Wanneer de populatie is aangegroeid tot dieren, besluit de bevolking na elke 2 maand 5 dieren te doden. Stel D gelijk aan en geef de algemene formule van D n in functie van D. Hoeveel konijnen zijn er 7 jaar na deze beslising? Na hoeveel maanden verdrievoudigt het aantal konijnen? e. Het vangen van 5 konijnen zorgt ervoor dat de populatie nog steeds te sterk groeit. Hoeveel konijnen zou de bevolking na elke 2 maand moeten vangen (vanaf het moment dat er dieren zijn) om de populatie in evenwicht te houden? Oplossing. b. Na jaar zouden er, 26 3 konijnen zijn. Na 3 jaar zijn er meer dan konijnen. d. D n = (, 584) n D 5,584n,584. Na 2 maand is het konijnenaantal verdrievoudigd. Na 7 jaar: 3, 528 konijnen. e. 584. 5
Oefening 4. Eén van de natuurlijke vijanden van groene planten zijn bladluizen. Chrysanten worden veel geplaagd door een bladluis met de naam Macrosiphoniella. In een experiment wordt nagegaan hoe goed het insecticide Rotenone deze bladluizen doodt. Zij r de concentratie (in µg per g insecticide) actieve bestanddelen in het insecticide. Men vindt de volgende meetgegevens voor t = log(r) enerzijds en de fractie g van de gedode bladluizen in een testmonster anderzijds. t = log(r), 96, 33, 63 2, 4 2, 32 g, 2, 33, 52, 86, 88 Uit eerdere experimenten weet men dat het verband tussen g en t sigmoïdaal is: g(t) = a + ce akt () a. Deze sigmoïde heeft een horizontale asymptoot die gegeven wordt door g(t) = a. Wat is hier de waarde van a? b. Kan je aan de hand van de gegevens bepalen wat het teken is van k? Leg uit. c. Bepaal het verband () tussen g en t door lineaire regressie Y = α + βx toe te passen. Hoe moet je X en Y kiezen? Vermeld zeker de volgende zaken in je antwoord: de gebruikte vectoren en inproducten, de normaalvergelijkingen, de waarden van α en β, de waarden van c en k en het expliciete verband (). Rond je resultaten af op 4 cijfers na de komma. d. Geef nu het verband tussen g en r. Vereenvoudig dit zover mogelijk. e. Een insecticide is commercieel interessant zodra het minstens 75% van de bladluizen doodt. Vanaf welke concentratie is de rotenone commercieel interessant? Oplossing. a. a =. b. k > c. X = t, Y = log( g(t) g(t) ) g(t) = + 29, 7777e 3,88t d. g(r) = + 29, 7777r.3384 e. r = 86, 76 6