Snelheid en riching
Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven me di merkeken hoor een werkblad. Inhoudsopgave Beweging Cirkelbewegingen 7 3 Samengeselde bewegingen 7 4 Symmerie 4 5 Samenvaing 3 6 Exra opgaven 34 7 Anwoorden 44 Uigave januari 0 Colofon 0 ctwo Aueurs Leon van den Broek, Dolf van den Hombergh, Me medewerking van Theo van den Bogaar, Josephine Buskes, Ger Dankers, Aad Goddijn, Dick Klingens Illusraies Op di werk zijn de bepalingen van Creaive Commons van oepassing. Iedere gebruiker is vrij he maerialen voor eigen, nie-commerciële doeleinden aan e passen. De rechen blijven aan ctwo.
Beweging Snelheid De baan van een kanonskogel, lig vas op he momen da die de loop verlaa. (We verwaarlozen de luchwrijving en er saa geen wind.) Ook lig de riching en de grooe van de snelheid op elk momen vas. Hoe je deze kun berekenen is onderwerp van de volgende opgave. O * Een kogel word afschoen, we verondersellen vanaf de grond. De baan van de kogel lig in een vericaal vlak. We brengen daarin een assenselsel aan: de horizonaal over de grond en de vericaal door he uieinde van de loop. De snelheidsvecor waarmee de kogel de loop verlaa is e onbinden in zijn componenen langs de x- en. Neem aan da de horizonale componen grooe 0 m/s en de vericale componen grooe 40 m/s heef. Na seconden is de kogel in (0,40 5 ); hierbij is de valversnelling afgerond op 0 m/s. Hieronder saa de baan. 50 O 50 00 50 a. Op welk momen kom de kogel op de grond? Beweging
75 55 35 We gaan de snelheid van de kogel op ijdsip bepalen. Op ijdsip is de kogel in (0,35) en op ijdsip 3 in (60,75) 40 De verplaasing ussen deze ijdsippen is (in meers). Dus (in m/s) is de gemiddelde ver- 40 40 0 3 40 0 plaasing per seconde. Deze vecor zie je hiernaas. 0 40 50 b. Wa is de gemiddelde verplaasing per seconde ussen de ijdsippen en? En ussen en,5? En ussen en,0? c. Teken de gemiddelde verplaasingen per seconde ui vraag b op he werkblad, alle me beginpun (0,35). Deze verplaasingen benaderen de snelheidvecor op ijdsip. d. Wa is, denk je, de snelheidsvecor op ijdsip? e. Bepaal op soorgelijke manier de snelheidvecor op ijdsip. P (f(3),g(3)) (f(),g()) Algemeen Een pun P beschrijf een baan: x=f(), y=g(). Hoe bepaal je de snelheidsvecor op ijdsip 3 in (f(3),g(3))? De gemiddelde verplaasing per seconde ussen 3 en is f f 3 f f 3 3. 3 g g 3 g g 3 3 Door o 3 e laen naderen, krijgen we de snelheidsvecor op ijdsip 3. Da is f 3 g3. f (3) is de horizonale componen van de snelheidsvecor. g (3) is de vericale componen van de snelheidsvecor. De snelheidsvecor geef de riching van de baan in (f(3),g(3)). De lijn door (f(3),g(3)) me richingsvecor f 3 g3 is raaklijn aan de baan. f 3 g 3 De snelheid op ijdsip 3 is grooe van de snelheidsvecor. ; da is de 6 Snelheid en riching
Een bewegend pun P bevind zich op ijdsip in (f(),g()). f De snelheidsvecor van P op ijdsip is: g. g De snelheid van P op ijdsip is: f. De lijn door (f(),g()) me de snelheidsvecor als richingsvecor is raaklijn aan de baan. De procedure hierboven om de snelheidsvecor van een bewegend pun op een ijdsip e vinden is hezelfde als de procedure om de helling van een gewone grafiek van een funcie e vinden. Die procedure lever bij een gewone grafiek de richingscoëfficiën van de raaklijn. Bij een kromme krijg je een richingsvecor van de raaklijn. 0 (Behalve als de snelheidsvecor is; daarui is de 0 riching van de raaklijn nie direc e vinden.) He is fysisch duidelijk da de snelheidsvecor wijs in de riching van de baan: anders vlieg he pun ui de baan. In he plaaje hiernaas wijs de snelheidsvecor nie in de riching van de baan, maar heef hij een componen loodrech op de baan. Die zou veroorzaken da he pun nie zijn baan vervolg. 0 mm O 40 mm v We gaan verder me opgave a. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. b. Teken enkele snelheidsvecoren van he kogelje; laa ze alle in hezelfde pun beginnen en kies voor afsand 0 een lenge van 0 mm. Als voorbeeld is de snelheidsvecor op ijdsip 0 hiernaas geekend. Als je alle snelheidsvecoren zou ekenen, me seeds hezelfde beginpun, zou een driehoek helemaal opgevuld worden. c. Teken die driehoek. Opmerking Algemeen geef een snelheidsvecor v wee dingen aan: in welke riching de beweging plaasvind en hoe snel de beweging plaasvind. In de nauurkunde spreek men van snelheid waar wij snelheidsvecor gebruiken. In he Engels is velociy de snelheidsvecor en speed de grooe van de snelheidsvecor. Beweging 3
3 Een pun P beweeg in een assenselsel. P bevind zich op ijdsip in he pun (x,y)=(+3, 4 ). We schrijven ook wel: x 3 de bewegingsvergelijkingen van P zijn:. y 4 a. Leg ui da P over een halve lijn beweeg. Teken die halve lijn. b. Beschrijf de halve lijn me een vergelijking en een ongelijkheid (zie 5.3, opgave 3). c. Bereken de snelheidsvecor van P op ijdsip. d. In welk pun heef P snelheid 0? 4 De bewegingsvergelijkingen van een pun P zijn: x. y 4 a. Teken de lijn waarover P beweeg. b. Laa me een berekening zien da de gemiddelde verplaasing van P per seconde ussen de ijdsippen en nie van en afhang. c. Bereken de hoek die de snelheidsvecor me de maak. 5 De bewegingsvergelijkingen van een pun P zijn: x. 3 y 4 3 Hieronder saa de baan van P. T 3 0 3 6-3 4 6 Snelheid en riching
a. In welke riching gaa P door de oorsprong? b. Bereken de coördinaen van de snijpunen me de x- en. c. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. d. In welke punen is de snelheidsvecor horizonaal (evenwijdig me de ) en in welke punen vericaal? Schrijf je berekening op. e. Wa is de snelheid op ijdsip? (Hiermee word de grooe van de snelheidsvecor bedoeld; da is dus een geal, geen vecor.) Snelheid en raken 6 We gaan verder me opgave 5. He pun (9,6) van de baan noemen we T. a. Bereken de snelheidsvecor in T. b. Bereken de hoek van die snelheidsvecor in T me de posiieve maak. c. Geef een vergelijking van de raaklijn in T aan de baan. d. Bereken exac de ijdsippen waarop he bewegende pun op de plekken is waar de raaklijn een hoek van 45 me de maak. Je kun eenzelfde baan me verschillende snelheden doorlopen. In de volgende opgave vergelijken we de snelheidsvecoren. 3 x 7 Bekijk de beweging:. 3 y 3 4 a. Laa langs algebraïsche weg zien da de baan hezelfde is als die van opgave 5. b. Bereken de snelheidsvecor in T(9,6). Ga na da deze een veelvoud is van de snelheidsvecor in T van opgave 6. De grooe van de snelheidsvecor in T is in opgave 7 anders dan in opgave 6. De richingen van de snelheidsvecoren in T zijn in de opgaven hezelfde. Da spreek eigenlijk vanzelf, wan beide wijzen in de riching van de baan. De kromme ui opgave 5 besaa ui wee delen die beide grafiek van een gewone funcie zijn. Bekijk he deel waarop T lig. Als je de funcie waarvan da deel de grafiek is differenieer, kun je ook een vergelijking van de raaklijn vinden. We gaan in opgave 8 na of je zodoende hezelfde resulaa vind. Beweging 5
8 Gegeven de funcie f me f( x) x x 4 x 3. a. Laa langs algebraïsche weg zien da de grafiek van f een deel van de baan van he bewegend pun P ui opgave 5 is. He pun T lig op de grafiek van f. b. Geef een vergelijking van de raaklijn in T aan de grafiek van f me behulp van f '. x 9 Een pun A beweeg volgens: y Hiernaas saa de baan. a. Bereken de snelheid van A op ijdsip. b. Waarom kun je de riching van de baan op =0 nie bepalen, me behulp van de snelheidsvecor? De baan besaa ui wee 'akken'. Elk van de akken is grafiek van een funcie. c. Geef van beide funcies een formule: y=. d. Wa is de riching van de baan in O(0,0)? Lich je anwoord oe. 3. v w Herhaling Als de hoek ussen wee vecoren v en w (beide nie 0 ) is, dan geld: v w = v w cos. v w is he inproduc van v en w. 0 De baan in opgave 5 snijd zichzelf in (6,0). Bereken de exac de cosinus van de hoek waaronder di gebeur. (Da is de hoek van de raaklijnen aan de wee sukken baan in (6,0).) 6 6 Snelheid en riching
Cirkelbewegingen Eenparige cirkelbeweging Een pun beweeg volgens de sandaardcirkelbeweging: x cos. y sin Da is de beweging over de eenheidscirkel in egenwijzerriching me sarpun (,0). We nemen de ijd in seconden en de afsanden in cm. De grooe van de snelheid is dan cm/s. In deze paragraaf variëren we op de sandaardcirkelbeweging. x R cos P beweeg volgens, me R>0. y R sin a. Beschrijf de beweging van P zoals hierboven voor de eenheidscirkel gedaan is. Kun je de snelheid bepalen zonder e differeniëren? Lich je anwoord oe. b. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. c. Bereken de snelheid. Is je anwoord hezelfde als in vraag a? d. Gebruik he inproduc om e laen zien da de snelheidsvecor loodrech saa op de sraal. A B * Hiernaas zie je een schijf me middelpun. Er is een pun A op de rand van de schijf aangegeven en nog een pun B. De schijf draai me consane snelheid om he middelpun. De snelheidsvecor van he pun B is geekend. Teken op he werkblad de snelheidsvecor van he pun A. Tip. Gebruik gelijkvormigheid. x 7cos 3 We bekijken de cirkelbeweging. y 7sin me a willekeurig, ongelijk 0. a. Neem = en beschrijf de beweging. Hoe lang duur een rondje? Hoe groo is de snelheid (nie differenieren)? Lich je anwoord oe. b. Neem =-. Wa is he verschil me de beweging in he geval =? c. Druk de snelheidsvecor op ijdsip in ui. d. Bereken de snelheid. Klop da me je anwoord in vraag a en b? Cirkelbewegingen 7
4 Beschrijf de beweging x 4cos(-) y 4sin(-) 3 precies. A is he pun (a,b). x R cos( ) a Pun P beweeg volgens, y R sin( ) b me R>0 en 0. De baan is een cirkel me middelpun A. De beweging gaa in egenwijzerriching als >0, anders in wijzerriching. De ijd voor één rondgang is:. Omda de snelheid van P consan R is, spreken we van een eenparige cirkelbeweging. Andere bewegingen over de cirkel 5 De bewegingsvergelijkingen van P zijn: x R cos( ), me R posiief. y R sin( ) a. Leg ui da P over een cirkel beweeg, maar nie seeds dezelfde snelheid heef. b. Hoe vaak word he pun (0,R) gepasseerd op he ijdsinerval [0,0]? c. Welke afsand leg P af in he ijdsinerval [0,]? Bepaal hoe groo de snelheid van P op ijdsip is, zonder de snelheidsvecor e bepalen. Lich je anwoord oe. d. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip me differenieren. e. Wa is de snelheid op ijdsip volgens vraag d? Klop die me je anwoord op vraag c? 6 In een eerder hoofdsuk hebben we ook andere bewegingen over de eenheidscirkel bekeken, bijvoorbeeld de beweging: x. y 8 6 Snelheid en riching
a. Ga langs algebraïsche weg na da de beweging over de eenheidscirkel gaa. b. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. c. Toon me he inproduc aan da de snelheidsvecor loodrech saa op de sraal. Buien de cirkel T R S In he plaaje hierboven word rechhoek R horizonaal vermenigvuldigd me facor. Da wil zeggen: de afsand van elk pun van de rechhoek o de word verdubbeld (en de afsand o de blijf gelijk). He beeld is rechhoek S. Als je rechhoek R horizonaal me facor - vermenigvuldig, krijg je rechhoek T. 7 a. Wa zijn de coördinaen van he pun da je krijg door he pun (a,b) horizonaal me facor -3 e vermenigvuldigen? En als je he me facor p vermenigvuldig? b. Wa is he beeld van (a,b) bij vericale vermenigvuldiging me facor p? c. Wa is he beeld van (a,b) bij vermenigvuldiging me facor p en opziche van de oorsprong O(0,0)? Horizonaal vermenigvuldigen me p: (x,y) (px,y). Vericaal vermenigvuldigen me p: (x,y) (x,py). Vermenigvuldigen en opziche van O(0,0) me p: (x,y) (px,py). Cirkelbewegingen 9
P x cos * 8 P maak de sandaardcirkelbeweging:. y sin Q is he pun da je krijg door P horizonaal me e Q vermenigvuldigen. - Me P beweeg ook Q. a. Geef de bewegingsvergelijkingen van Q. b. Bereken de snelheidsvecor van Q op ijdsip. Q - In he plaaje zie je de baan van Q, me Q in een bepaalde posiie. c. Consrueer de snelheidsvecor van Q op da momen me behulp van de eenheidscirkel. (Geef zoals gebruikelijk een snelheidsvecor me grooe aan me lenge.) In welke punen van de baan is de snelheid van Q he groos? Lich je anwoord oe. d. Ga me differeniëren na da de snelheid van Q op ijdsip gelijk is aan 3sin. e. Ga me de formule in he vorige onderdeel na in welke punen Q he snels beweeg. Lich je anwoord oe. Geef je anwoord exac, zonder 3sin e differeniëren. De baan van Q noemen we een ellips. Door de eenheidscirkel horizonaal en/of vericaal e vermenigvuldigen krijg je een ellips. Een ellips heef wee symmerieassen (enzij de vermenigvuldigingsfacor - of is). De sukken hiervan die binnen de ellips liggen heen kore en lange as. 9 We gaan een vergelijking van de ellips van opgave 8 opsellen. He pun Q(x,y) op de ellips krijg je door he pun P horizonaal me e vermenigvuldigen. De eerse coördinaa van P noemen we x oud en de weede y oud. 0 6 Snelheid en riching
Er geld: x oud +y oud = a. Druk de coördinaen van Q ui in x oud en y oud. Me behulp van a kun je de vergelijking x oud +y oud = herschrijven o een verband ussen x en y. b. Welke vergelijking vind je zo? x y 3 Gegeven de figuur me vergelijking c. Bereken langs algebraïsche weg de coördinaen van de snijpunen van de figuur me de coördinaaassen. d. Teken de figuur in GeoGebra. De figuur onsaa door de eenheidscirkel horizonaal en vericaal me bepaalde facoren e vermenigvuldigen. e. Welke? a b x y De figuur me vergelijking, me a, a b b>0 is een ellips. Als ab, is de ellips geen cirkel en kunnen we spreken van de assen van de ellips. Die liggen op de coordinaaassen en hebben lenge a en b. De assen van de ellips liggen op de coördinaaassen en hebben lenge a en b. M O 0 In opgave 9 heb je een manier gevonden om een vergelijking van de beeldfiguur (ellips) e vinden me de vergelijking van de originele figuur (eenheidscirkel). Die manier kun je algemener gebruiken. - We verschuiven de eenheidscirkel over de vecor. 3 Een pun (x,y) op de beeldfiguur onsaa ui een pun (x oud,y oud ) op de eenheidscirkel. a. Druk x en y ui in x oud en y oud. De vergelijking x oud +y oud = kun je herschrijven o een vergelijking in x en y. b. Doe da. Cirkelbewegingen
x cos * Een pun P beweeg volgens:, me 0. y sin De baan is een zogenaamde spiraal van Archimedes. a. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. De beweging kun je opvaen als de beweging over een uidijende cirkel me sraal en me omloopijd. b. Schrijf de snelheidsvecor v op ijdsip in de vorm: v v ( ) v an( ) rad angenieel radieel v is dus de som van wee componenen v ( ) en v ( ). an rad c. Ga na da de eerse componen v rad( ) radieel gerich is, da wil zeggen in de riching van de sraal. Ga na da de weede componen v an( ) angenieel gerich is, da wil zeggen in de raakriching van de cirkel me sraal. d. Hoe groo zijn beide componenen? Hoe groo is dus de snelheid? Hieronder en op he werkblad is een suk van de baan geekend. 0-4 - 0 - e. Teken de radiële en angeniële componen van de snelheidsvecor in he aangegeven pun. Geef een snelheidsvecor van grooe lenge. 6 Snelheid en riching
Versnelling Bij een eenparig rechlijnige beweging is de versnelling 0. Omgekeerd: als de versnelling bij een beweging 0 is, dan is de beweging eenparig rechlijnig. Verander de snelheidsvecor bij een beweging in riching of in grooe, dan is er sprake van een versnelling. De versnelling word gedefinieerd als de verandering van de snelheidsvecor. P beweeg volgens x y De versnellingsvecor a van P is dan: a. x y. Als je een voorwerp aan een ouw rond slinger, is er een krach nodig in de riching van he middelpun van de cirkel, de zogenaamde cenripeale krach F. Er geld (weede we van Newon) F m a. We noemen a de cenripeale versnellingsvecor. a. Bekijk de sandaardcirkelbeweging en ga na da de versnellingsvecor in de riching van he middelpun wijs. b. Bereken de grooe van de versnellingsvecor van de x R cos beweging:. y R sin x R cos Bekijk de beweging. y R sin c. Wa is de grooe van de versnellingsvecor? d. Laa zien da de versnelling gelijk is aan R v, waarbij v de snelheid is. 3 Bereken de versnellingsvecor van de beweging van de kanonskogel van paragraaf, opgave. Wa sel deze versnelling voor? x f 4 Sel da P= een beweging over de cirkel me y g middelpun O en sraal r beschrijf. Cirkelbewegingen 3
a. Waarom geld: (f()) +(g()) =r? b. Laa zien da differeniëren van de uidrukking in a geef: f()f'() + g()g'()=0. f c. Leg ui hoe ui b volg da de vecoren g en f' g' loodrech op elkaar saan. De res van de paragraaf is gewijd aan een onderzoek van Lissajousfiguren. Lissajousfiguren We bekijken de beweging van een pun me bewegingsvergelijkingen:, voor alle mogelijke gehele x sin p y cosq waarden van p en q. 5 a. Teken enkele banen me GeoGebra. Maak schuiven voor p en q, me p en q (me sapgrooe ). Je kun ook de GeoGebra-apple Lissajous_par6. gebruiken. Hieronder zie je drie voorbeelden. Neem als voorbeeld: x=sin, y=cos. Dan krijg je de linker Lissajousfiguur. b. De lijn y=0,7 snijd de figuur in wee punen. Bereken de coördinaen van die punen. De lijn x=0,7 snijd de figuur in vier punen. Bereken de coördinaen van die punen. 4 6 Snelheid en riching
Als je een vericale lijn x = a of horizonale lijn y = a, me - < a <, bij een Lissajousfiguur rek, kom je meesal meerdere snijpunen egen. c. Waarom is da zo? Door de linker Lissajousfiguur vericaal me een geschike posiieve facor e vermenigvuldigen, krijg je een hoek van 90 he midden. d. Bereken die facor langs algebraïsche weg. Neem p=3 en varieer q. Voor diverse waarden van q doorsnijd de figuur zichzelf op de negaieve. e. Bereken onder welke hoek da gebeur in he geval q=. In de genoemde apple zie je hoe he pun A beweeg als de animaie 'aan' saa. Kies bij eigenschappen van de Schuifknop voor bij Herhaal voor Toenemen. He ijdsinerval is (noodzakelijkerwijs) begrensd. In de apple loop van 0 o. 6 a. Laa me een berekening zien da de snelheidsvecor op ijdsip =0 (en dus ook op ijdsip =) horizonaal gerich is. Wa is de grooe van de snelheid op da momen? Als je p=3 en q=4 kies, zie je he bewegende pun op bepaalde ijdsippen silsaan. b. Bereken die ijdsippen langs algebraïsche weg. c. Laa me een algebraïsche berekening zien da he bewegende pun op geen enkel momen silsaa als p= en q=3. De combinaies van p en q waarbij de figuur geen vloeiende gesloen kromme is, blijken precies de gevallen e zijn waarbij snelheid 0 voorkom. d. Heb je daar een verklaring voor? 7 Gegeven is voor elke gehele waarde van q de kromme x cos. y cosq a. Voer deze krommen in in GeoGebra of gebruik de GeoGebra apple Lissajous_par6. b. Voor welke waarde(n) van q gaan de krommen door O? Laa langs algebraïsche weg zien da je anwoord juis is. Cirkelbewegingen 5
De krommen zien er ui als gewone grafieken! Vericale lijnen snijden de kromme maar één keer. c. Toon aan da aan. Tip: Bij een gegeven waarde van cos, bijvoorbeeld cos=, vind je wee waarden voor. Waarom hoor daar ook maar één waarde van cosq bij? d. Bereken voor de waarden die je in b gevonden heb, de helling van de grafieken in he pun O. Alle krommen gaan door he pun (,). e. Bepaal voor elke kromme de helling van de raaklijn in (,). Voor q= is de figuur een deel van de grafiek van een kwadraische funcie. f. Geef een formule van die funcie. 6 6 Snelheid en riching
3 Samengeselde bewegingen In deze paragraaf bekijken we de baan en de snelheid van een pun da aan wee bewegingen egelijkerijd deelneem. In paragraaf van hoofdsuk 4 hebben we gezien da de snelheidsvecor van de resulerende beweging de som van de snelheidsvecoren van de wee samensellende delen is. Hier vergelijken we die manier me he bepalen van de snelheidsvecor door differenieren. De cycloïde Een cirkel me sraal cm rol zonder slippen over de x- as (de grondlijn). He middelpun M van de cirkel is op ijdsip in (,). We bekijken nog eens de beweging van he vas gekozen pun P op de cirkelrand da op =0 in O(0,0) is. De baan van P is een cycloïde. P M O R a. Bepaal de ijdsippen waarop P op de grondlijn kom en ook de ijdsippen waarop P maximale hooge heef. b. Kun jij zonder differeniëren zeggen wa de snelheidsvecor van P is op he momen da he op de grondlijn kom? Lich je anwoord oe. c. Wa is de snelheidsvecor van P in de oppen (zonder differeniëren)? We gaan verder me opgave. Zoals eerder opgemerk, neem P deel aan wee bewegingen. () P beweeg over de cirkel me middelpun M in wijzerriching en is op ijdsip =0 in he laagse pun van de cirkel. a. Bepaal de snelheidsvecor op ijdsip bij deze beweging zonder differeniëren. Lich je anwoord oe. () M beweeg over de lijn y=. b. Bepaal de snelheidsvecor op ijdsip bij deze beweging. 3 Samengeselde bewegingen 7
De snelheidsvecor van P op ijdsip is de som van de vecoren ui a en b. c. Welke snelheidsvecor op ijdsip vind je? De bewegingsvergelijkingen van P zijn: (x,y)=( sin, cos). Zie opgave van 4.4. d. Ga na da je hezelfde anwoord als in c vind door de snelheidsvecor bij deze beweging me differeniëren e bepalen. Da de snelheidsvecor van de resulerende beweging de som van de snelheidsvecoren van de wee samensellende delen is, volg ui de somregel voor differeniëren. * 3 In opgave 7 van 4. heb je de snelheidsvecor in een pun P van de cycloïde geconsrueerd. a. Voer die consrucie nog eens ui op he werkblad. P M In paragraaf hebben we gezien da de lijn door P me de snelheidsvecor als richingsvecor in P raak aan de baan. In he vervolg van deze opgave gaan we een mooie eigenschap van de snelheisvecor ondekken. Daarmee kunnen we dan handiger de raaklijn in P aan de cycloïde vinden. Uigangspun is weer da de oale snelheidsvecor in he pun P de som is van wee snelheidsvecoren () en (): snelheidsvecor () P snelheidsvecor () () en () zijn even groo. Dus maak hun som gelijke hoeken me () en (). 8 6 Snelheid en riching
De ekening hieronder saa ook op he werkblad. S Q opraaklijn P A k cycloïde grondlijn Bekijk de raaklijnen in he pun P en in de op Q aan de rolcirkel; die snijden elkaar in S. k is de lijn door P evenwijdig me de grondlijn. We gaan bewijzen de lijn PQ bissecrice is van de hoek ussen de lijnen SP en k. b. Toon aan da de driehoeken SPA en SQA congruen zijn. c. Hoe volg ui a da SQP=SPQ? d. Waarom is lijn PQ bissecrice van de lijnen SP en k? e. Hoe volg ui c da lijn PQ raaklijn is aan de cycloïde? Conclusie De raaklijn in een pun van de cycloïde gaa door de op van de rolcirkel. De ekening hierboven oon de plaas van P op een bepaald momen. f. Welk pun van de rolcirkel saa op da momen sil? Er is nog een andere manier om in e zien da elke raaklijn aan de cycloïde door de op van de rolcirkel gaa. He pun ui onderdeel e noemen we X. Op da momen draai lijnsuk PX dus om X. Omda de raaklijn in een pun aan de cirkel loodrech op de sraal saa, volg hierui da de raaklijn in P aan de cycloïde door de op van de rolcirkel gaa. g. Leg di laase ui 3 Samengeselde bewegingen 9
P grondlijn * 4 De ekening hiernaas saa ook op he werkblad. P is een pun van een cycloïde. De gerokken lijn is de grondlijn. He middelpun van de rolcirkel heef de sippellijn als baan. a. Teken de raaklijn in P aan de cycloïde als P op een opgaand suk van de cycloïde lig. Lich je anwoord oe. b. Teken de raaklijn in P aan de cycloïde als P op een neergaand suk van de cycloïde lig. Lich je anwoord oe. De limaçon In hoofdsuk 4 hebben we de limaçon bekeken. M P Een cirkel (in he plaaje wi, de rolcirkel genoemd) op de omrek waarvan een pun P is gemarkeerd, word zonder slippen om een andere, even groe, cirkel (in he plaaje grijs) gedraaid. De baan die he pun P beschrijf is de limaçon. P Neem aan: de cirkels hebben sraal cm. We brengen een assenselsel aan zó da he conacpun van de cirkels de sandaardcirkelbeweging maak, da wil zeggen da P op =0 in (,0) is, me snelheid cm/s linksom over de eenheidscirkel beweeg. (Zeg da de ijd is, die we rekenen in seconden.) De baan van P is in GeoGebra geekend. He middelpun van de wie cirkel beweeg over de gesippelde cirkel. 0 6 Snelheid en riching
P neem deel aan wee bewegingen: P lig op de rolcirkel, die in egenwijzerriching om O draai, P draai in egenwijzerriching om he middelpun van de rolcirkel. 5 We gaan verder me de beweging van de vorige opgave. In opgave 3 van 4.4 hebben we een pv van de beweging van P gegeven: x cos cos y sin sin a. Bepaal de snelheidsvecor van de beweging me differeniëren. b. Wa is de snelheidsvecor op =0? In opgave 0 van 4. hebben we ijdsippen bepaald waarop P horizonaal beweeg door plaajes van de snelheidsvecoren van de samensellende bewegingen e combineren. c. Bereken nu exac de ijdsippen waarop P horizonaal beweeg, me behulp van de snelheidsvecor ui a. d. Bereken ook exac de ijdsippen waarop P vericaal beweeg, me behulp van de snelheidsvecor ui a. De calypso O P M In opgave 5 van 4.4 hebben we de calypso bekeken. P is een pun op een draaiende schijf. Die schijf zi op haar beur me he middelpun M vas op een groere ronddraaiende schijf. Hiernaas saa een bovenaanzich. In een geschik assenselsel word de beweging van M gegeven door: x cos y sin en die van P en opziche van M door: x cos. y -sin * 6 a. Beschrijf de beweging van M en opziche van O in woorden. Doe da ook voor de beweging van P en opziche van M. De beweging van P en opziche van O word gegeven x cos cos door:. y sin sin 3 Samengeselde bewegingen
In GeoGebra heb je de baan geekend. Die zie er zo ui. Er is een ijdsip ussen 0 en waarop de eerse coördinaa van P gelijk is aan. b. Bereken di ijdsip exac. c. Teken op he werkblad de kleine schijf op di ijdsip. d. Consrueer de snelheidsvecor waarmee P op da momen beweeg als som van de snelheidsvecoren van de wee afzonderlijke bewegingen. e. Bepaal de snelheidsvecor op ijdsip me differenieren. f. Conroleer je anwoord op d me de snelheidsvecor die je in e gevonden heb. 7 De calypsokromme heef drie punen waar de snelheidsvecor 0 is. a. Welke punen van de kromme zijn da, denk je. b. Ga via een consrucie na da de snelheidsvecor in (3,0) gelijk aan 0 is. c. Bereken de coördinaen van de punen waar de snelheidsvecor 0 is, me behulp van de snelheidsvecor ui 6e. 6 Snelheid en riching
P De calypsokromme van opgave 6 kun je ook als volg krijgen. Neem een pun P op een cirkel me sraal. Rol die cirkel aan de binnenkan over een cirkel me sraal 3. Als je de cirkel me sraal 3 me middelpun O neem en P door (3,0) laa gaan, krijg je precies de figuur van opgave 6. De baan van P volg saa bekend als de Deloïde van Seiner. Zie de GeoGebra apple Deloïde. Je kun hem ook bij Wikipedia vinden: hp://i.wikipedia.org/wiki/deloide_(curva) In opgave 6 hebben we de draaisnelheid van de kleine schijf wee keer zo groo genomen als die van de groe schijf. Als je hem drie keer zo groo neem, krijg je ondersaande figuur links en als je hem vier keer zo groo neem, ondersaande figuur rechs. De Deloïde is een speciaal geval van de calypso's. Jakob Seiner (796-863) Zwisers wiskundige 3 Samengeselde bewegingen 3
4 Symmerie Sommige krommen die we bekeken hebben veronen symmerie. De vraag is: hoe kun je aan de bewegingsvergelijkingen of de vergelijking van de kromme zien welke symmerie hij heef. a. Wa zijn de spiegelbeelden in de van de punen (,3), (,-3) en (-,-3) en (a,b)? b. Wa is he spiegelbeeld van (a,b) in de? En in de lijn y=x? En in de lijn y=-x? En in de oorsprong O(0,0)? Spiegelen in de : Spiegelen in de : Spiegelen in de lijn y=x: Spiegelen in de lijn y=-x: Spiegelen in O(0,0): (x,y) (x,-y) (x,y) (-x,y) (x,y) (y,x) (x,y) (-y,-x) (x,y) (-x,-y) He folium van Descares Een pun P beweeg y volgens: De baan saa hieronder. x y 3 3 3 3. - - De figuur hee folium (=blad) van Descares. 4 6 Snelheid en riching
He folium is symmerisch in de lijn y=x. Hoe je da kun bewijzen, zien we in deze opgave. Je zie eenvoudig da voor P geld: x=y. a. Ga da na. b. Op ijdsip = is P in he pun (,). Op welk ijdsip is P in he pun (,)? c. Op ijdsip is P in zeg (x,y). Laa me een berekening zien da P op ijdsip in (y,x) is. Ui c volg: als (a,b) op de figuur lig, dan lig ook (b,a) op de figuur. d. Wa beeken di voor de figuur? 3 We gaan verder me opgave. Voor punen van de baan y van P geld dus:. x 3 a. Subsiueer da in x = en laa zien da de uidrukking e herleiden is o x 3 +y 3 3 =3xy. x 3 +y 3 =3xy is een vergelijking van de baan. b. Hoe zie je aan de vergelijking x 3 +y 3 =3xy da de lijn y=x symmerieas van de baan is? weede figuur eerse figuur Vergelijkingen aanpassen In he volgende bekijken we hoe je de vergelijking van een figuur moe aanpassen bij verschuiven, spiegelen en vermenigvuldigen. Hier hebben we in paragraaf (opgave 8 en 9) ook al naar gekeken. Me GeoGebra kun je een en ander conroleren. 4 Hiernaas saa de figuur me vergelijking y =x 3. Er saa ook een weede figuur; die krijg je door de figuur van y =x 3-3 e verschuiven over de vecor. a. Een rooserpun van de weede figuur is (97,00). Hoe kun je da conroleren me de vergelijking van de eerse figuur? Om een vergelijking van de weede figuur e vinden, gaan we zo e werk als in opgave 8 en 9 van paragraaf. 4 Symmerie 5
b. Een pun (x,y) op de weede figuur kom af van een pun (x oud,y oud ) op de eerse figuur. Geef een verband ussen x en x oud en ussen y en y oud. c. Er geld: y oud = x oud 3. Me behulp van b kun je nu een vergelijking van de weede firguur opschrijven. Doe da. Conclusie Voor een pun (x,y) op de weede figuur geld: (y ) =(x+3) 3. Di is dus een vergelijking voor de weede figuur. d. Conroleer de vergelijking me GeoGebra. e. Geef een vergelijking voor de figuur die je krijg door die bij y =x 3 3 e verschuiven over en conroleer je - vergelijking me GeoGebra. Gegeven is een vergelijking in x en y van een of andere figuur. Je verschuif de figuur over de vecor a. b De vergelijking van de beeldfiguur krijg je door in de oorspronkelijke formule x e vervangen door x a en y door y b. 5 a. De cirkel me middelpun O en sraal r word verschoven over. Ga na da bovensaande in overeen- a b semming is me wa je eerder over vergelijkingen van cirkels gezien heb. b. Doe hezelfde voor de parabool me vergelijking y=x. 6 De lijn k me vergelijking x+3y=9 gaa door he pun (3,) en m is de lijn door (-,5) evenwijdig me k. a. Geef een vergelijking van m. -4 Je krijg m door k e verschuiven over de vecor. 4 b. Waarom? c. Geef een vergelijking van m door bovensaande oe e passen. Klop he me je anwoord van a? 6 6 Snelheid en riching
7 We bekijken de baan van he bewegend pun P ui opgave 5 van paragraaf. De bewegingsvergelijkingen van P zijn: x. 3 y 4 3 Hiernaas saa de baan van P. a. Vergelijk x(-) me x() en y(-) me y(). Ui a volg: als (a,b) op de baan lig, dan ook (a,-b). b. Ga da na. Wa volg hierui voor de symmerie van de baan? Een vergelijking van de baan is:y = 4 3 9 3 x 5 x 6x. c. Laa da zien. Tip. Kwadraeer y(). d. Hoe zie je aan de vergelijking da de baan symmerisch is in de? e. In he weede plaaje is de baan van P gespiegeld. In welke lijn? Geef een vergelijking van de beeldfiguur. In he derde plaaje is de baan van P horizonaal me de facor vermenigvuldigd. f. Geef een vergelijking van de beeldfiguur. Selling Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking ken. Om een vergelijking van de beeldfiguur e krijgen vervang je in de vergelijking van he origineel: x door x a en y door y b als je figuur verschuif a over de vecor. b y door y p als je figuur vericaal vermenigvuldig me p. y door -x en x door -y als je de figuur spiegel in de lijn y=-x. 8 De figuur hiernaas heef vergelijking x xy+y +3x+3y=4. a. Welke symmerie volg ui de vergelijking en waarom? b. De figuur word over de lijn y=x verschoven, zó da de in (3,0) gesneden word. Bereken exac hoe (wee mogelijkheden). 4 Symmerie 7
Cirkels en parabolen vermenigvuldigen 9 De cirkel me middelpun O(0,0) en sraal 5 word vericaal me vermenigvuldigd. a. Geef een vergelijking voor de beeldfiguur. b. Conroleer je vergelijking door de coördinaen van de snijpunen van de beeldfiguur me de en de e berekenen. 0 Gegeven is de parabool me vergelijking y =4x 4. a. Teken de parabool. b. De parabool krijg je door de parabool me vergelijking y =4x e verschuiven. Hoe? y = 4x heef brandpun (,0) en richlijn x = -. c. Geef he brandpun van de parabool y =4x 4 en de richlijn. Een vergelijking van de raaklijn aan de parabool y =4x in he pun (9,6) is 3y=x+9. d. Geef me behulp hiervan een vergelijking van de raaklijn in (0,6) aan de parabool me vergelijking y =4x 4. In hoofdsuk 4 heb je he volgende gezien. Gegeven een pun P van een parabool me brandpun F. He voepun van P op de richlijn noemen we V. Dan is de middelloodlijn van VF de raaklijn in P aan de parabool. e. Geef een vergelijking van de raaklijn in (0,6) aan de parabool y =4x 4 door bovensaande e gebruiken. Gegeven is parabool me vergelijking x =4cy. Deze a word verschoven over de vecor. De beeldparabool b heef vergelijking (x a) =4c(y b). We gaan een vergelijking geven van de raaklijn in (x P,y P ) van de beeldparabool. a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de parabool x =4cy in he pun (x P a,y P b). b. Hoe volg ui a da (x a)(x P a)=c(y b)+c(y P b) een vergelijking van de raaklijn in (x P,y P ) van de beeldparabool is? 8 6 Snelheid en riching
k is de lijn me vergelijking x+y=; m is de lijn die je krijg door k vericaal me facor - e vermenigvuldigen, n is de lijn die je krijg door k horizonaal me de facor e vermenigvuldigen. a. Teken k, m en n in een rooser. b. Geef de vergelijkingen van m en n die je krijg door bovensaande selling oe e passen. Conroleer je vergelijkingen me bijvoorbeeld de snijpunen me de en de. Ne als bij de cirkel en parabool definiëren we een raaklijn aan een ellips als volg. Een raaklijn aan een ellips heef één pun me de ellips gemeen. De andere punen van de raaklijn liggen buien de ellips. c. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in (,4) van opgave 9. d. Hoe kun je me behulp van c een vergelijking van de raaklijn in (,) aan de ellips vinden? B P O A 3 De glijdende ladder hebben we ook in paragraaf 3 van hoofdsuk 4 bekeken. A en B zijn de eindpunen van de ladder. A beweeg over de en B over de. We bekijken de baan van pun P van de ladder; zie plaaje. De ladder heef lenge 3 en AP= en BP =. a. Druk de coördinaen van P ui in = OAB. b. Leg ui da de baan van P volgens de definiie hierboven een ellips is. c. Geef een vergelijking van de baan van P. 4 Gegeven is de cirkel me vergelijking (x 4) +(y+3) =9. a. Teken de cirkel in een assenselsel. We veranderen de vergelijking in: (x 4) +(3y+3) =9. Je krijg een ellips. b. Hoe vind je deze ellips ui de cirkel? Teken de ellips. c. Hoe kun je me de vergelijking de symmerieassen van de ellips vinden? d. Bereken de lenge van de lange en de kore as van de ellips me behulp van de vergelijking. 4 Symmerie 9
5 Geef een vergelijking voor de ellips me symmerieassen x=3 en y=5, waarvan de lange as lenge 0 heef en de kore as lenge 4 (wee mogelijkheden). 6 Een 'scheve' parabool We bekijken de parabool me brandpun F(,) en richlijn x+y+=0. a. Welk pun is de op van de parabool? Geef een vergelijking van de symmerieas. P is he pun (a,b) op de parabool. b. Laa zien da (a b,-a+b ) he voepun van P op de richlijn is. c. Druk de afsand van P o de richlijn in a en b ui. d. Laa zien da (a+b+) =(a ) +(b ). Er vergelijking van de parabool is dus (x+y+) =(x ) +(y ). e. Ga na da deze vergelijking equivalen is me (x y) =8(x+y). f. Teken de parabool me GeoGebra. g. Hoe zie je aan de vergelijking ui d da de lijn y=x symmerieas van de parabool is? h. Bereken de coördinaen van he pun op de parabool waar de raaklijn horizonaal is. Tip. Noem da pun A en zijn voepun op de richlijn V, dan maak VF een hoek van 45 me de raaklijn. * 7 Hieronder saan drie parabolen me hun brandpunen en richlijnen. De plaajes zijn zeker nie gelijkvormig. 30 6 Snelheid en riching
a. Teken op he werkblad in elk van de drie plaajes een rechhoek zoals hiernaas: de onderkan lig op de richlijn, he brandpun is he midden van de bovenkan en wee hoekpunen liggen op de parabool. b. Wa is de verhouding van de zijden van de rechhoeken? Waarom? De sukjes parabool binnen de rechhoeken zien er wel gelijkvormig ui! De parabolen hebben alledrie een vergelijking van de vorm x =4cy, voor verschillende waarden van c. Door punvermenigvuldiging en opziche van O(0,0) kun je ze ui elkaar laen onsaan. En dus zijn ze gelijkvormig. Da laen we hieronder zien. We vermenigvuldigen de parabool x = y me facor en opziche van O(0,0). c. Laa zien da de formule voor de beeldparabool e vereenvoudigen is o x =y. d. Door welke vermenigvuldiging onsaa de parabool x =4cy ui de parabool x =y? Eigenlijk is he simpel: een pun en een lijn kunnen maar op één manier en opziche van elkaar liggen, afgezien van een schaalfacor! Alle parabolen zijn gelijkvormig. 4 Symmerie 3
5 Samenvaing Een bewegend pun P bevind zich op ijdsip in (f(),g()). Op ijdsip is: f g de snelheidsvecor, f g de versnellingsvecor, f g de grooe van de snelheid. De raaklijn in P aan de baan heef richingsvecor f g. Cirkelbeweging x R cos Pun P beweeg volgens, y R sin me R>0 en 0. De baan is een cirkel me middelpun R. De beweging gaa in egenwijzerriching als >0, anders in wijzerriching. De ijd voor één rondgang is:. Transformaies a Verschuiven over de vecor : b Spiegelen in de : Spiegelen in de : Spiegelen in de lijn y=x: Spiegelen in de lijn y=-x: Punspiegelen in O: Vermenigvuldigen en opziche van de me p: Vermenigvuldigen en opziche van de me p: Punvermenigvuldigen en opziche van O me facor p: (x,y) (x+a,y+b) (x,y) (x,-y) (x,y) (-x,y) (x,y) (y,x) (x,y) (-y,-x) (x,y) (-x,-y) (x,y) (x,py). (x,y) (px,y) (x,y) (px,py) 3 6 Snelheid en riching
Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking ken. Om een vergelijking van de beeldfiguur e krijgen vervang je in de vergelijking van he origineel: x door x a en y door y b als je figuur verschuif over a de vecor. b y door y p als je figuur vericaal vermenigvuldig me p. y door -x en x door -y als je de figuur spiegel in de lijn y=-x. Een ellips krijg je door een cirkel horizonaal of vericaal e vermenigvuldigen. Een ellips heef (behalve als he een cirkel is) wee symmerieassen. De sukken hiervan die binnen de ellips liggen heen kore en lange as. Door de parabool x = y me een geschike facor en opziche van O(0,0) e vermenigvuldigen, kun je elke parabool x =4cy krijgen. Door die vervolgens e verschuiven of e draaien kun je elke parabool krijgen. Dus zijn alle parabolen gelijkvormig. Hieronder saa de figuur me vergelijking x y x y. Ken je nu ook de figuren me vergelijking: x y x y x y x y x y 3 x y 5? 5 Samenvaing 33
6 Exra Opgaven In deze paragraaf vind je oefenopgaven. Er zijn ook wa exraajes (voorzien van ). De rochoïde We bekijken een wiel van een rijdende rein. Om ervoor e zorgen da de rein nie ui de rails loop, heef de binnenkan van een wiel een groere diameer. De buienkan van he wiel loop over de rails. De baan die een pun P op de omrek van de binnenkan maak, hee een rochoïde. De snelheid van de rein is me een pijl weergegeven. P rail as rail rail P * Op he werkblad is een reinwiel op de rail weergegeven me de snelheidsvecor van de rein. Als P op he laagse pun van zijn baan is gekomen, beweeg P acherui. a. Vind de snelheidsvecor van P op die plek ui die van de rein. b. He plaaje hiernaas saa ook op he werkblad. Teken in P de snelheidsvecor waarmee P beweeg. c. Geef nauwkeurig aan in welke punen de snelheidsvecor vericaal (loodrech op de rail) gerich is. De rolcirkel (de buienkan) op de volgende bladzijde heef middelpun M en sraal, P is een vasgekozen pun op de binnenkan, PM=. De baan van P is in een assenselsel geekend. Hierbij is de rail de. De gaa door een laagse pun van de baan van P. In da pun is P op =0. M is op ijdsip in (,). a. Geef de bewegingsvergelijkingen van P. b. Bereken de snelheidsvecor van P op ijdsip. c. Hoe volg algebraïsch da de baan van P de loodrech snijd? 34 6 Snelheid en riching
* 3 He plaaje bij de vorige opgave saa ook op he werkblad. a. Teken de snelheidsvecor van P in de aangegeven posiie als resulane van de snelheidsvecor van de rein en de roaie van he wiel. Teken ook de raaklijn in de aangegeven posiie van P aan de rochoïde. b. De snelheid van he pun da in de geekende siuaie onderaan he kleine wiel is (aangegeven me Q), is nul. Hierui volg da de raaklijn in P aan de rochoïde loodrech op lijnsuk PQ saa. Klop di in jouw ekening? 4 Gegeven is de beweging (x(),y())=(, +). Hieronder saa de baan. Die is symmerisch in de lijn y=x. a. Hoe kun je di aan de bewegingsvergelijkingen zien? In he pun A is de raaklijn horizonaal. b. Bereken de coördinaen van A. 6 Exra opgaven 35
De baan is een parabool. Da nemen we nu even aan; verderop krijgen we hier zekerheid over. De raaklijn in A aan de parabool maak een hoek van 45 me richlijn. De raaklijn is middelloodlijn van FV, waarbij F he brandpun en V he voepun van P op de richlijn is (zie de eks van opgave ussen d en e op bladzijde 8). c. Laa zien da hierui volg da he brandpun de loodreche projecie van A op de lijn y=x is. Geef ook een vergelijking van de richlijn. Als je he goed gedaan heb, heb je voor he brandpun F(,) gevonden en voor de richlijn de lijn r me vergelijking x+y+=0. d. Ga me een berekening na da (, +) even ver van F als van r lig voor elke waarde van. Dus de baan is inderdaad een parabool! Tip. Voor he voepun op de richlijn van he pun (, +), zie opgave 8 van paragraaf 4. In opgave 6 van paragraaf 4 heb je laen zien da de parabool me da brandpun en die richlijn vergelijking (x y) =8(x+y) heef. 5 He pun P beweeg volgens x= 4, y=. a. Ga na: x(-)=x() en y(-)=-y(), voor alle. Wa beeken di voor de baan? b. Ga na da de afsand van P o O gelijk is aan: 4 4 6. Er zijn wee punen van de baan die minimale afsand o O hebben. c. Bereken de coördinaen van die punen. He pun ui c da boven de lig, noemen we A. d. Laa zien da de snelheidsvecor in A loodrech op lijn OA saa. 6 De bewegingsvergelijkingen van P en Q zijn: x 3 x 3 P: en Q: y 6 y 9 a. Teken de baan van P en van Q. b. Bereken de coördinaen van de snijpunen van de wee banen. Tip. Geef van één van de banen een vergelijking. c. Bereken de minimale afsand van de punen P en Q. 36 6 Snelheid en riching
d. Geef bewegingsvergelijkingen van een pun R da dezelfde baan als P doorloop, waarbij de minimale afsand van Q en R nul is. 7 Hieronder is me GeoGebra een deel van de baan geekend die he pun P afleg me bewegingsvergelijkingen x=, cos, y=, sin, me 0. a. He pun van de baan da he dichs bij O(0,0) lig is (,0). Welke waarde van hoor hierbij? X Op de aangegeven plaas X op de spiraal maak de lijn OX een hoek van 30 me de. b. Op welk ijdsip word die plaas bereik? c. Bereken de snelheidsvecor op ijdsip. P We onbinden de snelheidsvecor in elk pun Q van de spiraal in een componen langs lijn OQ en een componen daar loodrech op. d. Toon aan da de verhouding van de lenges van die wee componenen nie van Q afhang. Q Hierui volg da de raaklijn in elk pun Q van de spiraal dezelfde hoek maak me lijn OQ. O * 8 De draad word van een klosje gehaald. Hierbij word deze seeds srak gehouden. We vragen ons af welke baan he eindpun van de draad beschrijf. 6 Exra opgaven 37
Je kun die experimeneel bepalen. In plaas van een klosje garen kun je ook een conservenblik nemen. Wikkel daar een ouw om, maak aan he eind een lus en seek daar een polood in. Wikkel dan de draad van he blik af; zorg ervoor da de draad seeds srak gespannen blijf. a. Wa voor soor kromme eken he polood? In de GeoGebra-apple klosje_afwikkelen zie je een animaie. He klosje is cirkelvormig, me sraal. He afgewikkelde suk draad is PQ, me P he eindpun en Q op he klosje. De lenge van PQ noemen we. Als = 0 is P = (,0). b. Leg ui da de coördinaen van P gegeven worden door: x cos sin. y sin cos c. Teken de baan van P in GeoGebra. d. Bepaal de snelheidsvecor me differeniëren. e. Toon aan da de snelheid van P op ijdsip gelijk is aan. In he plaaje hieronder is he pun P op ijdsip 5 geekend. f. Consrueer op he werkblad de snelheidsvecor van P op ijdsip 5; gebruik d. 9 Op de volgende bladzijde zie je in een zijaanzich hoe een garagedeur geopend word. De deuropening is he lijnsuk ON; de deur is he lijnsuk DE. Als de deur dich is, vallen ON en DE samen. De bovenkan D van de deur loop over een horizonale rail. He midden M van de deur is me een saaf in O bevesigd; in O en M zi die saaf vas me scharnieren. 38 6 Snelheid en riching
rail D O rail D O D rail O M M M E vloer E N vloer N E vloer N Omda OM seeds dezelfde lenge heef, loop de onderkan E van de deur over lijnsuk ON. a. Waarom is da zo? In he volgende bekijken we een ander geval. (Voor he gemak hebben we de ekening een halve slag gedraaid.) E P r O D DE is een saaf van lenge 3, me daarop pun P op afsand van D. Pun D beweeg over een rail r. P zi via een saaf van lenge vas aan een pun O op de rail; in O en P zien scharnieren. Boven hebben we gezien: als OP=DP = EP=, dan loop E over de lijn door O loodrech op r. b. Teken de baan van E in GeoGebra. Tip. P lig op de middelloodlijn van OD. Hieronder zie je he resulaa. 6 Exra opgaven 39
We kiezen een assenselsel: r is de en de gaa door O. Noem de eerse coördinaa van D:. c. Laa zien da een pv van de baan van E is: x 4, me -4 4. y 4 4 He lijk erop da de baan een ellips is me halfassen en 3. d. Geef een vergelijking van de ellips me middelpun O en halfassen en 3. e. Laa zien da de punen van de baan inderdaad aan deze vergelijking voldoen. Q O 3 P 0 Van cirkelbeweging naar lineaire beweging Zie he plaaje hiernaas. PQ is een sang van lenge 3. Q beweeg eenparig over de eenheidscirkel: x cos y sin He pun P beweeg mee en wel over de. We willen ween hoe P over de beweeg. a. Wa zijn de maximale en de minimale waarde van de eerse coördinaa van P? b. Toon aan da de eerse coördinaa van P op ijdsip gelijk is aan: cos 9 sin. c. Conroleer je beweringen ui a me de formule ui b. d. Teken de grafiek van de eerse coördinaa van P in GeoGebra. 40 6 Snelheid en riching
Bij een soomlocomoief gebeur he omgekeerde van wa er in opgave 0 gebeur: een lineaire beweging word omgeze in een cirkelbeweging. In d kun je zien welke beweging de zuigersang maak als de locomoief me consane snelheid rijd. B M Lijnsuk AB heef lenge. A beweeg over de en B beweeg mee over de. Neem aan da A op ijdsip in (,0) is. a. Sel bewegingsvergelijkingen op van he zwaarepun Z van driehoek OAB. b. Teken de baan van Z in GeoGebra. Z A Zo e zien doorloop Z een deel van een cirkel. c. Geef een vergelijking van die cirkel. d. Laa zien da de coördinaen van Z aan de vergelijking voldoen. Naar: Alders, Analyische Meekunde In he plaaje hieronder is A(-,0), B(,0). P C Q A O B AB is middellijn van de cirkel me middelpun O. Geekend zijn de raaklijnen x=- en x= in de punen A en B. C loop over de bovenkan van de cirkel. De raaklijn in C snijd x=- en x= in P en Q. De coördinaen van C zijn: (cosa, sina). a. Ga na da xcosa+ysina= een vergelijking van lijn PQ is. cosa b. Ga na da y P. sin a c. Druk ook y Q in a ui en ga na da y P y Q =. d. Wa volg hierui voor hoek POQ? e. Kun je een meekundig bewijs geven voor he fei da de lijnen OP en OQ loodrech op elkaar saan? Tip. De driehoeken APO en CPO zijn congruen evenals de driehoeken BOQ en COQ. 6 Exra opgaven 4
A P 3 A is he pun (0,5). He pun T beweeg over de en is op ijdsip in (,0). De vericale lijn door T beweeg mee. P is he pun van die vericale lijn zo da hoek PAT rech is. a. Teken enkele punen P door me een geodriehoek e schuiven. b. Teken de baan van P in GeoGebra. O T In he hoofdsuk Meekunde en algebra heb je he volgende gezien. In een rechhoekige driehoek verdeel he hoogelijnsuk van lenge h de schuine zijde in sukken van lenge p en q, zó da h =pq. c. Geef me behulp hiervan een vergelijking van de baan van P. Je krijg dus een parabool. d. Bepaal de coördinaen van de op van de parabool. C O S P A B *4 De Quadrarix van Hippias Gegeven is een vierkan OABC me zijde 0, waarin de cirkelboog AC geekend is me middelpun O. We laen de horizonale lijn OA me consane snelheid naar boven bewegen. Tegelijkerijd laen we een pun P over de cirkelboog van A naar C bewegen, me consane snelheid. We bekijken he snijpun S van de horizonale lijn en de sraal OP. In de figuur is de siuaie geekend op ijdsip 3. a. Leg ui da de horizonale lijn en pun P egelijk in C arriveren. b. Teken op he werkblad de punen S op de ijdsippen,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Teken een vloeiende kromme door de punen S. c. Hoe groo is AOP op ijdsip in radialen? d. Druk de coördinaen van S ui in. De vloeiende kromme is de zogenaamde Quadrarix van Hippias, genoemd naar de Griek Hippias (ca 450 ca 400 v. Chr.) Waarom is deze kromme ineressan? Je kun hiermee de risecie van een hoek uivoeren. Daarover gaa he volgende. e. Kun je een hoek me passer en liniaal (de liniaal zonder schaalverdeling) in wee gelijke delen verdelen? He is onmogelijk een willekeurige hoek me passer en liniaal in drie gelijke delen e verdelen. Da wisen de oude Grieken nie; zij hebben een consrucie me passer en liniaal proberen e verzinnen. Me een geodriehoek is 4 6 Snelheid en riching
he nauurlijk eenvoudig de risecie van een willekeurige hoek ui e voeren: je mee de hoek maar op, deel he aanal graden door 3 en eken de hoek me da aanal graden. De Griek Hippias zou de kromme ui vraag b verzonnen hebben om de risecie ui e voeren. f. Bedenk hoe de kromme gebruik kan worden om de risecie van een scherpe hoek ui e voeren. g. Kun je me de Quadrarix ook een scherpe hoek in bijvoorbeeld vijf gelijke delen verdelen? 5 De deloïde heef bewegingsvergelijkingen: x cos cos. y sin sin a. Waarom geld: x(-) = x() voor alle waarden van? b. Wa is he verband ussen y(-) en y()? c. Welke symmerie volg hierui? 6 Exra opgaven 43
7 Anwoorden Paragraaf Beweging a. Dan y=0 =0 of =8, dus op =8. 40 0 0 30 0 0 b., 60 35 5 5, 48, 75 35 7, 5 0, 0 0 0, 35, 995 35 9, 95 c. 45 35 5 0 30 40 0 d. 30 80 70 60 e. De gemiddelde snelheidsvecor ussen de ijdsippen en,0 is: 40, 40 0, 0 60, 995 60 9, 95 40 50 60 De snelheidsvecor op ijdsip is (ongeveer) 0. 0 0 a. 40 0 44 6 Snelheid en riching
b,c =0 = = = =3 =4 3 a. P beweeg over de lijn 4x+3y=0. De eerse coördinaa van P neem alle waarden aan en de weede alle waarden. 3 5 b. 4x+3y=0 en x (of: 4x+3y=0 en y ). 6 c. - 8 d. De snelheid is 36 64 0 ; dus op = en =-. Dan is P in (4,-). 4 a. 3 5-4 ( ) b. 4 ( 4) 4 4-4 c. an=, dus 63 7 Anwoorden 45
5 a. Naar beneden b. Me de : y=0 ( 6)=0=0, 6 of - 6, di geef de punen (0,0) en (6,0). Me de : x=0 =0. Di geef he pun (0,0). c. 4 d. Horizonaal als 4=0 of -. Di geef de punen (, ) en (, 3 ) - 3 Vericaal als =0 =0, dus in (0,0). 4 e. 4 6 6 a. Op =3 is he pun in (9,6), de snelheidsvecor is dan 6. 4 b. Noem die hoek, dan an= 4 =, dus 67. 6 c. y=x 5 d. Dan zijn de componenen van de snelheidsvecor even lang, dus 4= of 4=-, dus =0 of + =0, dus =,, -,-. 7 a. Als je in de bewegingsvergelijkingen van opgave 5, vervang door 3, krijg je de bewegingsvergelijkingen van opgave 7. Verder kan 3 alle waarden aannemen. 3 3 b. De snelheidsvecor op ijdsip is:. Op 4 3 3 3 =7 is he bewegend pun in (9,6), de snelheidsvecor is dan: 9. Als je deze me 7 vermenigvuldig, krijg je 4 7 6. 4 3 3 3 3 8 a. Als x, dan =x en 4 x 4 x 9 a. 3 x x 4 x b. f' x x, dus f' 9 x raaklijn als in 6c. 3 b. Omda die 0 is., je krijg dus dezelfde 46 6 Snelheid en riching