1 Uitgebreide uitwerkingen deeltentamen A; 4Q134 dd 99-10-04 N.B.Het werken in symbolen is noodzakelijk voor het beoordelen van (tussen-)resultaten. Na het bereiken van een antwoord in symbolen is het nuttig om de orde van grootte te kennen, door numerieke waarden in te vullen. Evenwichtsvraagstukken Oplosprocedure: -Isoleer een of meer deelsystemen -Voer onbekenden in (steunpuntsreacties en scharnier-of gewrichtskrachten) -Controleer het aantal onbekenden en vergelijk dat met het aantal vergelijkingen dat opgesteld kan worden. Pas zonodig het rekenmodel aan. -Stel de evenwichtsvergelijkingen op; kies een zogunstig mogelijk coördinatensysteem. -Los de vergelijkingen op. -Controleer de (eind-)antwoorden. Opgave 1 Isoleren: De brancard wordt geisoleerd; losgemaakt van de ondersteuning bij B en van de broeder bij A. Onbekenden invoeren: Bij B werkt een kracht loodrecht op het schuine vlak. De richting van die kracht op de brancard is ook nog wel te schatten: zou je je hand onder de rol houden, dan zal je zeker een drukkracht voelen. De kracht van het vlak op de brancard werkt waarschijnlijk schuin omhoog. Bij A kan de broeder zowel een kracht omhoog als een kracht in horizontale richting leveren, of een kracht evenwijdig aan en een loodrecht op de richting AB. Foutieve redeneringen: Bij B is de reactie verticaal; dan is er dus een component evenwijdig aan het vlak, maar die component kan niet geleverd worden doordat het contact glad is. Bij A kan de kracht niet in de richting AB lopen. Die kracht en het gewicht hebben werklijnen die elkaar in het midden van de brancard snijden; neem het momentenevenwicht tov dit punt dan zou de reactie bij B nul moeten zijn! Uiterst onwaarschijnlijk! Bovendien zijn er bij deze modellering maar twee onbekenden ingevoerd, terwijl er drie vergelijkingen kunnen worden opgesteld.
2 Controle aantal onbekenden//aantal vergelijkingen Het evenwicht wordt opgesteld voor een systeem: drie onafhankelijke vergelijkingen. In B is een onbekende (de richting ligt vast), in A is de grootte en de richting onbekend. In dit geval is er een oplossing. Voer je bij A en bij B twee onbekenden in, dan zijn er teveel onbekenden (4) tegen 3 vergelijkingen. Je moet je modellering aanpassen. Voer je bij A 1 onbekende in ( een kracht in de richting AB of een verticale kracht ) dan zijn er teveel vergelijkingen. Je moet je modellering aanpassen. Evenwichtsvergelijkingen Voor de hand liggende coördinaatsystemen: horizontaal/verticaal of evenwijdig en loodrecht AB. Ga in het kort (op het kladpapier) na wat de voor- en nadelen zijn van de keuzes. Ontbind alle krachten (bekenden en onbekenden) in het gekozen assenstelsel. Voer geen nieuwe onbekenden in; schrijf de componenten van een kracht in termen van de (on- )bekende en een goniometrische betrekking (sinus/cosinus). Schrijf in een momentenvergelijking alle componenten van alle (on-)bekenden op. Pas als duidelijk is dat de werklijn van een component door het momentenpunt gaat en die component dus geen bijdrage aan het moment levert, dan pas mag je die component schrappen. Σ F 1 = 0 A 1 G sin 15 N sin 15 = 0 A x N.sin 30 = 0 Σ F 2 = 0 A 2 G cos15 + N cos15 = 0 A y G + N.cos 30 = 0 Σ M M =0 A 2.l - N.cos15.l = 0 G.lcos15 Nsin30.2lsin15 Ncos30.2lcos15 =0 NB Voor de rechterfiguur is A als momentenpunt gekozen
3 Oplossen Markeer zonodig met een kleur de onbekenden in de vergelijkingen; die onbekenden moeten worden uitgedrukt in de bekende grootheden ( in dit geval G, l en hoeken van 15 en 30 ). De onbekenden zijn A 1, A 2 en N resp A x, A y en N. In beide gevallen zijn er dus drie vergelijkingen met drie onbekenden. Maak een oplosplan: geef aan wat je uit welke vergelijking(en) kunt afleiden. Uit de momentenvergelijking volgt N, daarmee zijn de componenten van N ook bekend, vervolgens kunnen de twee andere onbekenden bepaald worden. N= 0,5 G; A 1 = 0,388 G; A 2 = 0,483 G ; of N = 0,5 G, A x = 0,25 G; A y =0,567 G Controle In alle gevallen klopt de dimensie van de antwoorden. Voor een controle op de numerieke waarden kan een ander momentenpunt gekozen worden. In die vergelijking worden de berekende waarden van de onbekenden ingevuld. Het resultaat moet nul opleveren.
4 Opgave 2 Een verdeelde belasting q geeft de kracht per lengte aan, op soortgelijke wijze als het soortelijk gewicht de kracht per volume aangeeft. Als van een staaf de lengte bekend is en het gewicht per lengte, dan volgt daaruit het gewicht van de staaf G = q.l. In sommige gevallen is het gewicht/lengte afhankelijk van de plaats; bij voorbeeld als de breedte of de dikte van de staaf niet op elke plaats dezelfde is. Dan is q een functie van x. Isoleren Het te isoleren systeem is de balk, die los gemaakt moet worden van de ondersteuningen in A en in B. Onbekenden invoeren In B zit een roloplegging, die een verticale kracht kan leveren.waarschijnlijk is de kracht omhoog gericht. Het scharnier in A kan een kracht in een willekeurige richting leveren, die gesplitst kan worden in een horizontale en verticale component. Foutieve redenering In C werkt ook nog een verticale kracht. Nee, de uitwendige belasting op een stukje van 2 mm in de buurt van C is q.2 (als [q] =[ N/mm]). Hoe dichter je bij C komt des te kleiner wordt die uitwendige belasting. De omgeving van de balk oefent in C geen kracht uit. Controleren In B is een onbekende, in A zijn twee grootheden onbekend. Er kunnen drie onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen worden opgesteld. Het probleem is statisch bepaald: er is een oplossing mogelijk. Evenwichtsvergelijkingen opstellen Voor het in rekening brengen van de verdeelde belasting wordt eerst de formele weg gevolgd, daarna wordt op basis van de resultaten een kortsluiting gegeven. De verdeelde belasting wordt gezien als een (oneindig) grote verzameling deelkrachtjes df; een deelkrachtje df op de plaats x heeft een grootte q.dx. Let op de dimensies: [q] =[N/m]; [q.dx] =[N] dus een kracht.
5 De som van alle deelkrachtjes R = Σ df = df = q.dx met 0<x<6l. De resultante R = 6ql. Merk op dat q.dx ook het oppervlak onder de q-kromme voorstelt en dat de resultante hier snel bepaald kon worden. Evenzo kan de plaats van de resultante op twee manieren bepaald worden. Formeel: kies een punt, en eis dat tov dat punt de momentensom van alle deelkrachtjes gelijk is aan het moment van de resultante. Sneller: De werklijn van de resultante gaat door het zwaartepunt van het oppervlak dat begrensd wordt door de q-kromme en de horizontale as. De momentensom van alle deelkrachtjes tov punt A is: x.df = x.df = x.q.dx =1/2 q (6l) 2 met dimensie [Nm] De momentensom van de resultante tov hetzelfde punt A is: R.r = 6ql.r als r de afstand is van A tot de werklijn van R. Dan volgt r = 3l. Inderdaad door het eerder genoemde zwaartepunt. ΣF x = 0 A x = 0 ΣF y = 0 A y + B y - q.dx = 0 met 0<x<6l ΣM A = 0 B y.4l - x.q.dx = 0 met 0<x<6l N.B. De onbekenden zijn A x, A y en B y. N.B2 Het is toegestaan, maar meer werk, om de uitwendige belasting te splitsen in een deel werkend op AB en een deel werkend op BC; er ontstaat dan voor elk deel een resultante waarvan de grootte en de plaats moet worden bepaald. Oplossen Er zijn inderdaad 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. Uit de eerste vergelijking volgt direct A x. Uit de derde vergelijking volgt B y, waardoor uit de tweede vergelijking A y op te lossen is. Het blijkt dat A x = 0; A y = 1,5 ql en B y = 4,5 ql. Voordat verder wordt gegaan eerst een korte controle. - De steunpuntsreacties hebben de dimensie van een kracht. - De steunpuntsreacties zijn geen functie van x. - Door de momentensom te nemen tov B of tov C zijn de numerieke waarden te controleren. -De resultante van q grijpt dichter bij B aan dan bij A. B y is dus groter dan A y.
6 Snedegrootheden Voor het bepalen van de snedegrootheden in een doorsnede volg je in het algemeen de volgende strategie: - Uit het globaal evenwicht worden de steunpuntsreacties bepaald. - Je kiest een doorsnede waarin de snedegrootheden gevraagd zijn. - Je deelt het systeem in twee delen (fictief) en je voert op het scheidingsvlak de snedegrootheden in.(let op Actie=Reactie) - Voor elk deel afzonderlijk kun je weer evenwicht eisen, in de evenwichtsvergelijkingen komen de (3) snedegrootheden als onbekenden voor. Aangezien niet op voorhand bekend is waar zich de doorsnede bevindt met D=0 neem je een afstand x 0 als onbekende en je eist dat D(x 0 ) = 0. Uit het verticaal evenwicht volgt: (Eis D=0) A y - df = A y q.x 0 = 0 zodat x 0 = 1,5 q.l Uit het momentenevenwicht tov een punt in het snedevlak volgt: M b A y.x 0 + (q.x 0 ).1/2x 0 = 0 zodat M b = 1,125 q.l 2. N.B. Het gebied waarop de verdeelde belasting werkt heeft nu een lengte x 0. De resultante en de plaats van de resultante kunnen op analoge manier als voor de hele balk bepaald worden. Controle Het moment heeft de dimensie van q.l 2 dwz. [N/m.m 2 ] = [N.m]
7 Opgave 3 In dit probleem kunnen 3 deelproblemen worden ondersccheiden: - het gewicht - het onderbeen - het bovenbeen Voor elk van die deelproblemen moet het evenwicht worden opgesteld; via Actie=Reactie kunnen de krachten en momenten van het ene op het andere systeem worden overgedragen. Het gewicht Isoleren en onbekende krachten invoeren. Voer je alleen de kracht Fv in evenwijdig aan het vlak, dan zijn er slechts 2 krachten, met ongelijke werklijnen, die op het gewicht werken. Die kunnen nooit van zijn leven met elkaar in evenwicht zijn. Isoleren wil in dit geval zeggen: Losmaken van de voet en invoeren van F v en losmaken van de helling en invoeren van een kracht N loodrecht op de helling. (Loodrecht omdat er een rolcontact is zonder wrijving tussen gewicht en helling). Er zijn dan 2 onbekenden en 2 evenwichtsvergelijkingen. Omdat alle werklijnen door een punt gaan, is zonder meer voldaan aan de momentenvergelijking. Evenwichtsvergelijkingen Een coördinatensysteem evenwijdig en loodrecht de helling is gunstig; dan volgt: N G sin 45 = 0 F v G cos 45 =0 met als oplossing: N = F v = 0,707 G = 0,707.250 = 176,7 [N]
8 Controle Voordat je verder gaat met andere deelsystemen is het nodig dat je je overtuigt van de juistheid van de resultaten. Anders stapel je fout op fout. F v is positief! Om het gewicht op zijn plaats te houden moet je er van onderen tegen drukken! F v is kleiner dan het gewicht, correct? Ja, stel je maar voor dat de hellingshoek veel kleiner is dan 45, dan is er bijna geen kracht nodig en als de helling bijna verticaal is dan heb je maximaal het gewicht te drukken. Het onderbeen Isoleren en onbekenden invoeren De kracht op een onderbeen is de helft van de kracht die in het vorige deel bepaald is als F v. Op de enkel werkt de kracht schuin naar beneden (Actie-Reactie). Zou er in het kniegewricht geen moment geleverd kunnen worden dan zou het onderbeen terecht naar beneden bewegen (nog meer buiging van het gewricht). De knie wordt losgedacht van het bovenbeen. Dit gewricht kan een kracht, willekeurig van grootte en richting, en een moment, via spierwerking, leveren. In totaal zijn er weer 3 onbekenden, alle drie in de knie. Het evenwicht Gezien de eenvoud van de belasting kun je direct (?) zien dat het krachtenevenwicht leidt tot een kracht in de knie die gelijk, maar tegengesteld is aan de kracht op de enkel. Zie je dat niet, dan voer je onbekenden K x en K y in; ontbind je de enkelkracht en je zult hetzelfde resultaat vinden. Het moment M K dat door spieren over het gewricht geleverd moet worden, wordt bepaald uit de momentensom tov de knie: dus ΣM tov knie = 0 M K (1/2F v ).(l.cos 45) = 0 M K = 3125 [Ncm]
9 Als je na wilt gaan waar een spier moet liggen die dit moment kan leveren dan moet je twee figuren maken, waarbij de spier of aan de bovenzijde of aan de onderzijde van het bot ligt. Verder moet je bedenken dat als je een spier fictief doorsnijdt een spierkracht altijd positief is. Het moment geleverd door de spier moet gelijkwaardig zijn aan het moment dat op grond van het evenwicht bepaald is. De spier moet dus wel aan de bovenzijde liggen. Het bovenbeen Opnieuw moet een analoog proces doorlopen worden als bij het onderbeen. Isoleren en onbekenden invoeren. Via Actie =Reactie kunnen de krachten en moment(en) die in de knie op het onderbeen werken, overgezet worden op de knie als deel van het bovenbeen. In de heup moeten dan 3 onbekenden worden ingevoerd: eem willekeurige kracht en een moment, Bekijk je echter boven- en onderbeen als een subsysteem, dan is snel in te zien dat er in de heup geen moment nodig is voor het evenwicht. De werklijn van de kracht op de enkel gaat bij deze geometrie immers door de heup. Evenwicht Uit het evenwicht volgt dat de kracht in de heup gelijk maar tegengesteld is aan de kracht op de enkel.
10 Opgave 4 Zie opgave 2 voor de formele afhandeling van een verdeelde belasting. Om de functie q = q(x) te bepalen kun je de volgende weg bewandelen: q(x) is een lineaire functie van het soort: q(x) = a.x + b met a en b nader te bepalen constanten Je weet in twee punten de waarde van q(x) n.l.: q(x=0) = 0 q(x=3l) = q max Daarmee kun je a en b bepalen en er volgt: q(x) = q m. x/3l Als je op een ander manier q(x) bepaald hebt, controleer dan of die functie voldoet in de punten x=0 en x=3l. Dimensie controle [q(x)] = [N/m. m/m] = [N/m] Isoleren en onbekenden invoeren In B kan alleen een verticale kracht geleverd worden en in C een kracht in willekeurige richting. Er zijn dus in totaal 3 onbekenden, In A werkt geen kracht van de omgeving op de balk. Evenwicht Op grond van de belasting en de geometrie is vrij snel in te zien dat het horizontaal evenwicht leidt tot de eis dat C x = 0. Het verticaal evenwicht luidt: R B + R C - df = R B + R C - q(x).dx = 0 met 0<x<3l. ofwel R B + R C 1,5 q max.l = 0 Het momentenevenwicht tov punt A levert een vergelijking met 2 onbekenden, en is niet direct de eerste keuze, Als je het momentenevenwicht om C wilt nemen, moet je goed opletten welke variabele je gebruikt om de plaats van de deelkrachtjes aan te geven.
11 De variabele x loopt vanaf punt A naar rechts, de functie q en ook een deelkrachtje df zijn uitgedrukt in x. De afstand van punt C tot aan de werklijn van het deelkrachtje df is gelijk aan (3l x). Het momentenevenwicht wordt dan tov C: R B.l - (3l x).(q max.x/3l. dx) = 0 met 0<x<3l Als je een variabele y vanuit C naar links laat lopen en het momentenevenwicht tov. C wilt schrijven als: R B.l - y. df = 0 met 0<y<3l dan moet ook df als functie van y bepaald worden en dus q als functie van y. df(y) = q(y).dy = q max (1-y/3l).dy Uiteindelijk heb je twee vergelijkingen met twee onbekenden, R B en R C. Oplossen De resultante van de verdeelde belasting heeft een werklijn die door B gaat. Dus is R B = 1,5 q max.l. en R C = 0 Het steunpunt in C hoeft in dit geval geen kracht over te dragen; bij afwezigheid van C zou het systeem in labiel evenwicht verkeren, kleine verstoring van de belasting geven dan een beweging. Snedegrootheden Om de dwarskracht(en) bij B te bepalen, is het handig om het deel links van B te beschouwen. Op dat deel werkt alleen de verdeelde belasting q(x) over een lengte 2l. Op basis van het voorafgaande kan de grootte en de plaats van de resultante op het deel AB bepaaldworden op twee manieren. Bedenk dat q B = 2/3 q max. Uit het verticaal evenwicht van het afgesneden deel volgt: D L = R AB = ½.(2/3q max ).2l = 2/3 q max.l Uit het momentenevenwicht volgt: M b = (2/3q max.l).(2/3 l) = 4/9 q max.l 2
12 Bekijk je een stukje balk in de buurt van het oplegpunt B, dan werken daar drie krachten D L, D R en R B en twee momenten die aan elkaar gelijk zijn omdat de lengte van het stukje balk zeer klein is. Uit het verticaal evenwicht volgt: D L + R B D R = 0 dus D R = -5/6 q max.l Controle De dimensies van de dwarskracht en van het buigend monent komen overeen met die van een kracht resp. een moment.