Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen. Het eerste deel behandelt het uitwerken van haakjes en het buiten haken brengen van factoren. Hier wordt ook ontbinden in factoren in het algemeen besproken. In het tweede deel wordt het rekenen met breuken herhaald. In het laatste deel tenslotte worden de rekenregels voor machten met reële exponenten terug ingeoefend. Dit pakket biedt eenvoudige oefeningen aan waarin heel duidelijk bepaalde rekenregels dienen toegepast te worden. Het is natuurlijk de bedoeling dat deze rekenregels ook in een andere context niet vergeten worden! Deze module is bedoeld als zelfstudie en kan ook gebruikt worden als leidraad bij het studeren tijdens het academiejaar. 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren In dit deel herhalen we eerst de belangrijkste rekenregels voor het uitwerken van haakjes en het ontbinden in factoren. De daarop volgende voorbeeldoefeningen geven de kans om deze rekenregels nog eens in te oefenen.
Algebraïsch rekenen Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: uitwerken van haakjes (1) c(a + b) (a + b)c ac + bc () (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd () (a + b) a b (4) (a b) a + b (5) ( a + b) a b distributiviteit van t.o.v. + minteken voor de haken binnenbrengen (6) (a + b) a + ab + b kwadraat van een tweeterm (7) (a + b) a + a b + ab + b derdemacht van een tweeterm (8) n ( ) n (a + b) n a n k b k k Binomium Van Newton 1 k0 ontbinden in factoren (9) ab + ac a(b + c) (b + c)a (10) a b (a + b)(a b) (11) a + b (a + b)(a ab + b ) (1) a b (a b)(a + ab + b ) (1) (14) a n b n (a b)(a n 1 + ba n + b a n + + b n a + b n 1 ) a n + b n (a + b)(a n 1 ba n + b a n b n a + b n 1 ) afzonderen van een gemeenschappelijke factor merkwaardig product: verschil van twee kwadraten merkwaardig product: som van twee derdemachten merkwaardig product: verschil van twee derdemachten merkwaardig product: verschil van twee n e machten merkwaardig product: som van twee n e machten 1 Zie pakket Sommatieteken en faculteit. Rekenregels (6),(7) en (8) zijn, wanneer men ze in de omgekeerde richting toepast, tevens rekenregels voor het ontbinden in factoren.
1. Rekenen met haakjes Voorbeeldoefeningen 1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig. (x, y, p, q R) (a) 1 (x y 1) 1 x + y + 1 x + y + (b) 1 (p q) + p 1 p + q + p q + 1 (c) p (p + q) + q p p q + q q. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haakjes. (a, b, c, d, x, y, p, q, r R) (a) 18x + 4y + 0p 6 x + 6 4y + 6 5p 6 (x + 4y + 5p) (b) 0ab + 0bc + 5b c d 5b 4ab + 5b 6c + 5b 5bc d 5b (c) 9x y xy xy x xy 1 xy (x + 1) (d) p q 8 p q pq + pq pq 4 pq p + pq pq ( ) pq 4 p + p q of 8 p q pq + pq pq 8 pq p ( pq + pq 1 pq 8 p ) + 1. Vul aan door de voorgestelde factor buiten haken te brengen. (p,r,s R) ( 4ab + 6c + 5bc ) d (a) ( ) ( ) p + 1 p + 1 + (p + 1) (...) Oplossing: ( ) p + 1 + (p + 1) ( ) ( ) p + 1 p + 1 (p + 1) 1 + ( ) ) p + 1 (p + 1) (1 + ( p+1 ) ( ) ) p + 1 4(p + 1) (1 + (p + 1) ( ) p + 1 (1 + 4(p + 1)) ( ) p + 1 (1 + 4p + 4) ( ) p + 1 (4p + 5). ( p+1 ) (b) (p + ) 4r 4r(p 1) 4r (...)
4 Algebraïsch rekenen Oplossing: (p + ) 4r 4r 4r 4r(p 1) (p + ) 4r 4r (p + ) 4r(p 1) 4r 4r(p 1) 4r 4r (p + (p 1) ) 4r (p + p + ) 4r 5. (c) xs 8 + xs 4 + x s xs 8 (...) Oplossing: xs 8 + xs 4 + x s xs 8 1 + xs 8 (1 + 8xs Maak nu Oefening 1 van Paragraaf 4. xs 8 4. Ontbind volgende uitdrukkingen in factoren. xs 4 xs 8 + xs 8 4xs + 4x s xs xs 8 (1 + s + 4x s ). (a) 81x y 5 (9xy) 5 (9xy + 5)(9xy 5) kwadraten) (b) 9r 4r + 16 (r) ( r 4) + 4 (r 4) x s xs 8 ) (verschil van twee (kwadraat van een verschil) Opmerking: als je hiermee vlot kan rekenen hoef je niet telkens alle tussenstappen op te schrijven. Maak nu Oefening van Paragraaf 4. 1. De Euclidische deling Het quotiënt van de klassieke deling van 19 door is gelijk aan 19/ 6,... Bij de Euclidische deling of deling met rest van 19 door is het quotiënt 6 en de rest
1. Rekenen met haakjes 5 19 6 1. Het resultaat van de Euclidische deling van 19 door wordt geschreven als 19 6 + 1. Hierbij is 19 het deeltal, de deler, 6 het quotiënt en 1 de rest. Dit was een eenvoudige Euclidische deling in N. Hoe berekenen we nu het quotiënt en de rest bij een Euclidische deling van veeltermen? Als je bijvoorbeeld de veelterm x + x 5x + (deeltal) wil delen door de veelterm x (deler), ga je als volgt te werk: 1. Deel x door x. Dit geeft x.. Vermenigvuldig x met de deler en trek dit product af van het deeltal. Er blijft 7x 5x + over.. Deel 7x door x. Dit geeft 7x. 4. Vermenigvuldig 7x met de deler en trek dit product af van 7x 5x +. Er blijft 16x + over. 5. Deel 16x door x. Dit geeft 16. 6. Vermenigvuldig 16 met de deler en trek dit product af van 16x +. Dit geeft de uiteindelijke rest 50. x + x 5x + x x 6x x + 7x + 16 7x 5x + 7x 1x We besluiten: 16x + 16x 48 50 x +x 5x+ (x +7x+16)(x )+50.
6 Algebraïsch rekenen In het algemeen kunnen we schrijven: Na een Euclidische deling is D(x) Q(x) d(x) + R(x) waarbij D(x) het deeltal is, d(x) 0 de deler, Q(x) het quotiënt en R(x) de rest van de Euclidische deling. Hierbij is gr(r(x))< gr(d(x)). Als R(x) 0 zegt met dat de deling opgaat en dat d(x) een deler is van D(x). Om deze deling stap voor stap uit te voeren, gebruiken we het volgende algoritme: 1. Rangschik deeltal D(x) en deler d(x) naar dalende machten van x en vul de ontbrekende machten in het deeltal aan met coefficiënten nul. Plaats deeltal en deler in een deelschema.. Deel de term met de hoogste macht van het deeltal door de term met de hoogste macht van de deler. Zo bekom je de eerste term van het quotiënt Q(x).. Vermenigvuldig deze eerste term van Q(x) met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo bekom je de gedeelde rest. 4. Deel de term van de hoogste macht van de gedeelde rest door de hoogste term van de deler. Dit geeft de tweede term van Q(x). 5. Herhaal deze werkwijze tot de graad van de gedeelde rest kleiner is dan de graad van de deler. Voorbeeldoefeningen Bereken het quotiënt en de rest door het uitvoeren van een Euclidische deling. 1. Deel x 8 door x +.. Deel x + 9x + door x + 4.. Deel 4x 4 + x + x + 1 door x + 1.
1. Rekenen met haakjes 7 Oplossingen: 1) x + 0x + 0x 8 x + x + 4x x 5x + 8 4x + 0x 8 4x 8x ) x + 0x + 9x + x + 4 x 4x x + 4x 7 4x + 9x + 4x + 16x 8x 8 8x + 16 7x + 7x 8 4 0 We besluiten: x 8 (x 5x + 8)(x + ) 4. We besluiten: x + 9x + ( x + 4x 7)(x + 4) + 0. ) 4x 4 + x + 0x + x + 1 x + 1 4x 4 + x x + 1 x 1 x x + x + 1 x + 1 x x + x + 1 x 1 x + Maak nu Oefening van Paragraaf 4. We besluiten: 4x 4 + x + x + 1 (x + 1 ) ( ) x 1 (x + 1) + x +. 1. Deling door x a Indien de deler d(x) van de vorm x a is (met a R), dan kunnen we in plaats van een deelschema ook het rekenschema van Horner gebruiken om de Euclidische deling uit te voeren. Alvorens we dit rekenschema bespreken, onderzoeken we eerst welke voorwaarden noodzakelijk zijn opdat x a een deler is van een bepaalde veelterm A(x).
8 Algebraïsch rekenen Bij de Euclidische deling van een veelterm door x a (met a R) is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x a. Bewijs: Uit de definitie van Euclidische deling volgt dat A(x) Q(x)(x a) + R met Q(x) het quotiënt en R R de rest. Hieruit volgt dat A(a) Q(a)(a a) + R R. De veelterm A(x) is deelbaar door x a (met a R) als en slechts als de getalwaarde voor x a gelijk is aan nul. D.i. x a A(x) A(a) 0. Bewijs: Uit de definitie van deelbaarheid volgt dat x a A(x) als en slechts als er een reële veelterm Q(x) bestaat zodat A(x) Q(x)(x a). Hieruit volgt dat A(a) Q(a)(a a) 0. Hoe bepalen nu we de delers van de vorm x a? Voorbeeld Bepaal de delers van de vorm x a van de veelterm A(x) x 4 10x + 9. Volgens het criterium van deelbaarheid geldt Hieruit volgt dat (x 1) A(x) omdat A( 1) 0 (x + 1) A(x) omdat A( 1) 0 (x ) A(x) omdat A( ) 0 (x + ) A(x) omdat A( ) 0 (x 9) A(x) omdat A( 9) 0 (x + 9) A(x) omdat A( 9) 0. x a A(x) A(a) 0. Hierbij valt op dat 1, 1, en delers zijn van 9. Dit is niet toevallig, zoals blijkt uit volgend resultaat: Als x a een deler is van een veelterm A(x) dan is a een deler van de constante term van deze veelterm A(x). Gaan we terug naar voorgaand voorbeeld, dan zien we dat x + een deler is van de veelterm A(x) x 4 10x + 9. We kunnen het quotiënt van deze deling bepalen met behulp van de Euclidische deling, zoals uitgelegd in Paragraaf 1.. Een alternatieve en snellere manier om het quotiënt te bepalen, maakt gebruik van het rekenschema van Horner. Omdat we de deling door x a bespreken is a in dit geval gelijk aan.
1. Rekenen met haakjes 9 1 0-10 0 9 Coëfficiënten van het deeltal a - - 1.(-) -.(-) 9-1.(-).(-) -9 0 + Coëfficiënten van het quotiënt en de rest rest Figuur 1: Het rekenschema van Horner Het quotiënt is dus x x x + en de rest is 0. Hernemen we het voorbeeld uit Paragraaf 1., nl. de deling van x + x 5x + door x. Daar hebben we deze deling uitgevoerd m.b.v. een deelschema. We maken nu deze deling opnieuw d.m.v. het rekenschema van Horner. 1-5 6. 7. 1 16. 48 50 + Figuur : Het rekenschema van Horner Merk op dat de rest 50 ook de getalwaarde van het deeltal voorstelt voor x, d.i. + 5 + 50.
10 Algebraïsch rekenen Besluit Om de eventuele delers van de vorm x a (a R) van een veelterm te vinden en het bijhorende quotiënt te zoeken, ga je als volgt te werk: Bepaal de delers van de constante term van de veelterm. Bepaal de getalwaarde van de veelterm voor deze delers. Als deze getalwaarde 0 is, dan heeft de deling door x a (met a deler van de constante term) rest 0. Bepaal dan het quotiënt van de deling door een Euclidische deling uit te voeren of door het rekenschema van Horner toe te passen. Maak nu Oefening 4 van Paragraaf 4. Rekenen met breuken In dit deel geven we heel bondig de rekenregels voor het werken met breuken. Deze zijn heel eenvoudig, de bedoeling is echter dat je deze rekenregels kan toepassen in moeilijkere berekeningen zoals de daaropvolgende voorbeeldoefeningen.
. Rekenen met breuken 11.1 Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: a + b c a b + c d a c + b c ad + cb bd ab ac b c a b c a bc ac b a b c a b c d ad bc indien c 0 indien b, d 0 indien a, c 0 indien b,c 0 indien b,c 0 indien b,c,d 0 breuken splitsen breuken optellen breuken vereenvoudigen rekenregels voor meerdere breukstrepen. Voorbeeldoefeningen 1. Numerieke voorbeelden Breuk splitsen: Breuken optellen: 10 + 74 Breuk vereenvoudigen: 10 + 74 1 8 + 5 6 1 6 + 5 8 48 15 50 5 5 5 5 Rekenen met meerdere breukstrepen:. Symbolisch rekenen (x,y,p,q R) 60 + 7 97 46 48 80 10 80 10 80 0 4 Rekenen met meerdere breukstrepen: Stel x,y 0, dan is x + y (x + y)y x x y Rekenen met meerdere breukstrepen: x+y x Stel x,y 0, dan is y x + y xy Breuk vereenvoudigen verschil van twee kwadraten: Stel p q 0, dan is p q (p + q)(p q) p + q p q p q
1 Algebraïsch rekenen Breuk vereenvoudigen, rekenen met meerdere breukstrepen factor afzonderen: p(1+q) pq Stel p,q 0, dan is (1 + q)q 1 + q q p qp p+qp pq p q Breuken splitsen, rekenen met meerdere breukstrepen: 1 1 Stel x 0, dan is 1 x+1 x 1 ( 1 ) 1 + 1 1 1 1 x x Los nu Oefening 5 van Paragraaf 4 op. p q 1+q q p q 1 1 x 1x 1 x De machtsverheffing: definitie en rekenregels.1 Machtsverheffing met een reëel grondtal en een gehele exponent Definitie.1 (Machtsverheffing met reëel grondtal en gehele exponent) Zij a R en n N. De macht a n (spreek uit: a tot de macht n of a tot de n-de) met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def 1 als n 0 als n N 0. a a a } {{ } n factoren Zij a R 0 en n N. De macht a n met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def 1 a n. Bijzondere gevallen. a 0 1 voor alle a R, i.h.b. geldt (per afspraak) dat 0 0 1. a 1 a voor alle a R a 1 1 a voor alle a R 0 0 n 0 voor alle n N 0, nochtans hebben we dat 0 0 1.
. De machtsverheffing: definitie en rekenregels 1 0 z is niet gedefinieerd voor z Z 0. 1 z 1 voor alle z Z. Rekenregels. Zij x,y R en m,n N. Er geldt: x m x n x m+n x m x n xm n als x n 0 (xy) n x n y n ( ) n x xn als y 0 y y n (x m ) n x mn Zij x,y R 0 en m,n Z. Er geldt: x m x n x m+n x m x n xm n (xy) n x n y n ( ) n x xn y y n (x m ) n x mn
14 Algebraïsch rekenen. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent Definitie.4 (Machtsverheffing met grondtal in R + 0 en exponent in Q) Zij a R + 0 en n N 0. De macht a 1 1 n met grondtal a en exponent n wordt gedefinieerd als het uniek strikt positief reëel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a: { 1 a n ( > 0 en n a n) 1 a. De macht a 1 n wordt ook wel genoteerd met n a. Zij a R + 0, m Z en n N 0. De macht a m n als volgt gedefinieerd: a m n def m met grondtal a en exponent n wordt ( m a n) 1. Bijzondere gevallen.5 a 1 n n a voor alle a R + 0 en alle n N 0, i.h.b. hebben we a 1 a voor alle a R + 0. a 1 n 1 n a n 1 a voor alle a R+ 0 en alle n N 0 a m n ( n a ) m n a m voor alle a R + 0, alle m Z en alle n N 0 1 q 1 voor alle q Q. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent We wensen tenslotte ook a r te definiëren met a R + 0 en r R. Dit is niet evident en we zullen de definitie hier ook niet in detail geven. Hiervoor verwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar waar dit zeker nog aan bod komt. Wel schets ik hier kort één mogelijke manier om zin te geven aan de uitdrukking a r met a R + 0 en r R. Neem dus a R + 0 en r R. We weten reeds dat a q goed gedefinieerd is voor elk rationaal getal q. Ook weet je wellicht nog dat je elke reëel getal r oneindig goed kan benaderen d.m.v. rationale getallen. Concreet wil dit zeggen dat gegeven een reëel getal r er een oneindige rij q 1,q,q,... bestaat van rationale getallen die r met steeds hogere
. De machtsverheffing: definitie en rekenregels 15 nauwkeurigheid benaderen, zodat uiteindelijk elke gewenste nauwkeurigheid vanaf een bepaald getal in de rij bereikt wordt. Men zegt in dit geval dat de rij q 1,q,q,... naar r convergeert en men noteert dit met q n r als n of met lim n q n r. Stel nu dat q 1,q,q,... zo n rij is die naar r convergeert. We kunnen dan voor elke q n in die rij de macht a qn beschouwen. Op die manier bekomen we een nieuwe rij a q 1,a q,a q,... Nu blijkt dat ook deze rij steeds zal convergeren naar een zeker reëel getal s en dat deze limiet niet afhangt van de keuze van de rij q 1,q,q,... die we gebruikt hebben om r te benaderen. Dit laat ons dan toe om de macht a r te definiëren als dat getal s dat je op die manier bekomt en dat enkel afhangt van a en r. Zelfs voor machten met reële exponenten (en dus i.h.b. voor machten met rationale exponenten) blijven de gebruikelijke rekenregels (zoals we die reeds zagen voor machten met gehele exponenten) gelden. We sommen ze hieronder nog eens op, (natuurlijk) zonder bewijs. Rekenregels.6 Zij x,y R + 0 en r,s R. Er geldt: x r x s x r+s x r x s xr s (xy) r x r y r ( ) r x xr y y r (x r ) s x rs. Voorbeeldoefeningen 1. Numerieke voorbeelden ( (1 ) ) ( 1 ) 1 4 8 8 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 6 1 6 64 1 4 1 9 ( ) 1 1 4 9 9 4 1 8 64 8 1 8 8 1 8 8 1 +1 8 4 8 4
16 Algebraïsch rekenen. Stel x,y R 0 dan geldt: 4 x x x 4 1 x 1 4 1 4 x ( x 4 x ) x6 ( 4 x ) x6 ( x y y xy ( ) x 1 4 x6 x 4 x 6+ 1 1 x x 1 ) 4 y (x y) 4 x 4 y 4 y x4 y x 4 y 4 y 1 y 1 48x 9 y 4 (16 )(x 8 x)y 4 16 (x 4 ) x (y ) 4x 4 y x 4x 4 y x Los nu oefening 6 van paragraaf 4 op. 4 Oefeningen 1. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u,s,t R 4st + 1t 60ut st 8 + s t 1 + s t s + ( 5s 8. Ontbind in factoren. x 1 + (s + ) s + ) (u 1) 5s(u + 1) 5x y 4 64 4x + 4xy + 6y [...] ( ) 5s [...] 8. Zoek het quotiënt en de rest van volgende delingen met behulp van een Euclidische deling. x 4 1 door x 1. 4x + 4x 5x door x x 1. 5x + 15 door x + 5. x + 8x x + 1 door x +.
4. Oefeningen 17 4. Bepaal voor onderstaande veeltermen een deler van de vorm x a en bereken het quotiënt met behulp van het rekenschema van Horner. x 4 x + 1 x 9x 5x + 6 x 4 1 5. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a,b,c R 0. a b c a b b 1 a b 1 a+b b a b a b c 6. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x,y R en a,b R 0. a a 5 ( x 6 y 8) 1/ ( ) a 4 a b b 4 ab 7. Vul aan. 4x 5 (p + 1) + x 4x [...] (p + 1) + (p + 1) 6 (p + 1) (m + n) m (m + n) m... (m + n) + 8 + 18 + 50... 4 q 8 + q q... q 8 x + 4 x 1 + (x 1)... x(x 1) [...]
18 Algebraïsch rekenen 8. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk. ( ) x6 y (x + y)4 y y 64x 5 ( ) y 4 y 6 y y 4 9p 16 9(p + 4) 1 p m+ 1 ( ) m 1 m+1