Oplossingen van de oefeningen

Oplossingen van de oefeningen Module ) Gegeven x[n] =,7 n. Als de bemonseringsfrequenie gelijk is aan khz, welke analoge ijdsconsane kom dan overeen me deze discree exponeniële? x[n] =,7 n = e n,7 = e = ln,7 = -,35667 f S = khz T S = s = T S /- = 8,367 s

Module 3 ) x[n] y[n] h[n] h[n] 5 x[n] 4 y[n] 3 3 y[3] =? n n n 3 4 3 4 3 Bereken de responsie y[3] door convoluie. x[3-n].h[n] x[3-n] y[n] 3 6 y[3] = n n n 3 4 3 4 3 y[3]= + 6 + = ) x() y() h() x() h() y() y(4) =? 3 4 3 4 3 4 Bereken puur grafisch de responsie y(4) door convoluie. x(4-) x(4-).h() y() y(4) =,5 3 4 3 4 3 4 y(4) is he oppervlak van x(4-).h(): x/ =,5

3 3) x() h() y() 3 x() h() y() y(3) =? 3 3 3 Bereken, puur grafisch, de responsie y(3) door convoluie. Geef een beeje uileg over de mehode die ge gebruik. 3 x(3-) 3 x(3-).h() 4 3 y() y(3) = 3,5 3 y(3) is he oppervlak van x(3-).h(): x/ + x + x/ = 3,5 Uileg: convoluie omva achereenvolgens de volgende vier bewerkingen: omklappen, verschuiven, vermenigvuldigen en inegreren.

4 Module 5 ) T/4 T -T/8 T/8 T Bereken voor beide signalen de coëfficiën C van de exponeniële fourierreeks door gebruik e maken van de inegraalformule. Welke is de invloed van de ijdsverschuiving op modulus en faze van C? Voor de golfvorm links: T/4 C T jω jω e d e T jω - jω T/4 - j π/ Uiwerken: C (e ) (e ) (-j) ( j) T - jω - jπ - jπ π π - j π/ π π Ter herinnering: ω en e cos jsin - j T - De modulus en fase zijn: C en φ bg g 45 π T/4 Voor de golfvorm rechs: Uiwerken: T T/8 C T -T/8 jω e d T jω jω e T/8 T/8 - jω T/8 jω T/8 - j π/4 j π/4 (e e ) (e e ) - jω - jπ C π Ter herinnering: - e j π/4 cos π 4 π jsin 4 - j en j π/4 e Merk op: C m is hier reeel, omda de golfvorm rechs een even funcie is. De modulus en fase zijn: C en φ π Beslui: door de ijdsverschuiving is de modulus ongewijzigd gebleven. De faze is wel veranderd. De golfvorm links is gelijk aan de golfvorm rechs, maar verraagd me een ijd T/8. De eerse harmonische moe dan ook me diezelfde ijd worden verraagd: een fasenaijling van 45 kom inderdaad overeen me een verraging van een achse van de periode (36 /8). j

5 Module 6 ) De impulsreponsie van di syseem is gelijk aan h() δ() e / C u(). C v IN () Fouriergeransformeerde van h(): H(ω ) H(ω ) H(ω ) δ() C jω δ()e d C C jω e /C u() e d C (/C jω) e (/C jω) Me complexe impedanies H(ω) /jω C jω C jω C e + v UIT () _ /C jω d jω C jω C jω C Bereken de fouriergeransformeerde H() van deze impulsresponsie. Toon aan da H() eenvoudiger kan worden berekend door gebruik e maken van complexe impedanies.

6 Module 7 ) v() Bepaal de Laplace-geransformeerde V(s) van v() A Als v() een spanning is, welke dimensie heef V(s)? Leg ui. T Sel: b = A/T. Dan kan v() worden opgesplis in signalen: v() = v () + v () me v () = b en v () = als T en v () = -b (-T) als T (zie ook Fig. op p96) b b Laplaceransformaie: V ( s) en V ( ) - e T s s s s b b T zoda V( s) e s s s V(s) heef de dimensie van [V.s]. Di is zo omda de laplaceransformaie is afgeleid van de fourierransformaie, en de fourierransformaie is afgeleid van de fourierreeks. Bij de fourierreeks van v() hebben de coëfficiënen C m ook de dimensie van vol. Ui de definiie van de fourierransformaie V( ω ) lim CmT volg da dan V() de dimensie heef van vol.seconde, omda T de dimensie heef van seconde. Hier in di voorbeeld heef b de dimensie van V/s. De laplace-variabele s is een complexe frequenie, en heef de dimensie van Hz of /s. Dus de dimensie van b/s is gelijk aan [V/s]/[/s ] = [V.s] T

7 ) Teken di newerk in he Laplace-domein en sel de formule op voor V UIT (s) [NIET v UIT ()] = = 3 C =,5 F V + 5 sin 4 = v UIT () _ /Cs v c ()/s + 5 4 s + 6 v UIT () _ De beginvoorwaarde v c () = V. De spanning V UIT (s) word dan berekend als: 4 Cs 4 UIT (s) 5 of VUIT (s) 5 /Cs s 6 s ( )Cs s 6 s V Na he invullen van de componenwaarden word di,s (s) 5,5 s s VUIT 4 6 s

8 Module 8 ),5F v() Op he ijdsip = word er = omgeschakeld. 5 V +,5H Teken he Laplace newerk. + V Bereken he spanningsverloop v(). In he Laplace-domein zie di newerk erui als volg: /s v C ()/s /sc sl V(s) Ne voor he omschakelen saa er 5V over de condensaor, de spoel is sroomloos. De spanning V(s) word dan berekend als: sl V(s) (/s v sl /Cs Invullen van de gealwaarden: C ()/s) s,5 V(s) (/s 5/s) s,5 /,5s of s 8 V(s) ( 3/s) s 8 6/s s 8 Uiwerken: V(s) 3 s 8s 6 De noemer moe worden herschreven: V(s) s 8 3 (s 4) 4 3 s 4 (s 4) Inverse laplaceransformaie geef dan de volgende ransiënresponsie: v () 3e 4 4

9 ) v() Op he ijdsip = word er omgeschakeld. = Op de capaciei is er dan een spanning aanwezig A + H van V. _ mf Bereken he spanningsverloop v(). 8 In he Laplace-domein zie di newerk erui als volg: I(s) V(s) De sroom I(s) word dan berekend als: /sc v C ()/s Li() = sl vc()/s L i() /s s I(s) sl /Cs s 8 /s s 8s De spanning kan worden geschreven als: V(s) I(s)[sL ] L i () I(s)[s 8] ( s)(s 8) of V(s) s 8s s s 6 8s s 8s s 6 Uiwerken: V(s) s 8s s 8s s 6 De noemer moe worden herschreven: V(s) (s 4) 84 We moeen di nog opsplisen om er de gedempe cosinus- en sinusfunkie ui e halen: s 4 8 84 V(s) (s 4) 84 84 (s 4) 84 Inverse laplaceransformaie geef dan de volgende ransiënresponsie: v () 8 e 4 cos 84 sin 84 84

= 3) v() Op he ijdsip = word de schakelaar gesloen. 3 A +,H _,5F Bereken he spanningsverloop v(). Ne voor he sluien van de schakelaar vloei de sroom van 3 ampère door de weersand van. Over deze weersand saa er dus een spanning van 3V, en deze spanning saa ook over de condensaor. Dus is v C () = 3V. De spoel is sroomloos. In he Laplace-domein zie di newerk erui als volg: V(s) De spanning V(s) word berekend als: /sc v C ()/s sl V(s) sl. sl v C () s CL v sl. /sc s s CL sl sl C () s Invullen van de gealwaarden: s,5 3 3s V(s) s,5 s, s s 4s 4 of 3s s 6 V(s) 3 (s ) 36 (s ) 36 (s ) 36 Inverse laplaceransformaie geef dan de volgende ransiënresponsie: v () e 3cos 6 sin6

4) x() s s 9 s45 y() Gegeven: x() is een eenheidssap van, of x() = u(). Gevraagd: bereken de responsie y() via de inverse Laplaceransformaie. s 9 A Y( s ) s s 45 s s s s 9 A( s A + B = A + C = 45A = 9 s 45) Bs A = B = - C = -4 ( s ) s s Y s 7 s 45 Bs C s 45 Cs s 7 s 6 3 ( s ) s ( s 6) 9 s ( s 6) 9 3 ( s 6) Y y ( ) u() e 6 cos3 sin3 3 9

5) Op he ijdsip = word de schakelaar gesloen. Bereken he spanningsverloop v(). = v() Hulpmiddel: formule voor de parallelschakeling : 3A,5F,H ZZZ3 Z // Z // Z3 ZZ +ZZ 3+ZZ3 Gebruik he Noron model om de beginwaarde van de condensaor in rekening e brengen. Di is dezelfde schakeling als opgave 3). We gebruiken he Noron model. In he Laplace-domein zie di newerk er dan ui als volg: V(s) De spanning V(s) word nu berekend als: /sc Cv C () sl V(s) sl sc sl.. sc sl. sc Cv C () slc of V(s) v () C s LC sl Invullen van de gealwaarden: s,5 3s V(s) 3 s,5 s, s 4s 4 of 3s s 6 V(s) 3 (s ) 36 (s ) 36 (s ) 36 Inverse laplaceransformaie geef dan de volgende ransiënresponsie: v () e 3cos 6 sin6

3 6) He ingangssignaal van deze schakeling is een diracimpuls me een oppervlake van Vs. De condensaor is volledig onladen. v IN () i() k µf C + v UIT () _ Bereken via de inverse Laplaceransformaie de responsies v UIT () en i(). Teken deze responsies en inerpreeer. Poeniomerische deling me complexe impedanies geef meeen de ransferfuncie: V UIT /sc (s) V /sc IN /τ (s) V s /τ Als v IN () = (), dan is V IN (s) = Vs (of V/Hz). Ui de abellen volg dadelijk: (s) V UIT en dus /τ s /τ v UIT () IN (s) Vs e /τ V e /τ τ me τ C ms V v UIT ms We kunnen ook de impulsresponsie van de sroom berekenen : Me V IN (s) = Vs word di : C s I(s) /sc C s C s C s C s I(s) V /sc /τ s /τ IN (s) We kunnen nu de abellen gebruiken om i() e bepalen : i () δ() e /τ u() C i mc of Vs Vs i () δ() e /τ u() s dus i () mc δ(),a e /τ u() -,A He verloop is hiernaas geekend. Eers word een lading van mc ogenblikkelijk geransferreerd naar de condensaor, waardoor deze word opgeladen o V volgens de formule V = Q/C = mc/,mf. Daarna word de condensaor onladen via de weersand : de sroom keer om van riching (is dus negaief) en is aanvankelijk gelijk aan,a volgens de we van Ohm i = v/ = V/.

4 Module 9 ) Sches de Bode plo (modulus) van de ransferfuncie H(s) = Bereken de fase bij = rad/s. (,5 s ) s (,s ) Deze ransferfuncie heef polen: één in de oorsprong en één op /, = rad/s en ook één nulpun op /,5 = 4 rad/s. 5 ( s 4) We kunnen de ransferfuncie herschrijven als H(s) = s (s ) Vermis de ransferfuncie een inegraor beva, begin de Bode plo me een asympoo me een helling van - db/dec. De vergelijking van deze asympoo is /. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = rad/s. Voor 4 < < rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log 5 = 4 db. Voor > rad/s is de vergelijking van de asympoo 5/. Deze asympoo snijd de db-lijn bij = 5 rad/s. [db] log H(j) 4 3 - [rad/s] - -3-4 De fase bij = rad/s word berekend me de formule φ() bgg,5 9 bgg, 68, 9 5,7 7,5

5 ) Sches de Bode plo (modulus) van de ransferfuncie H(s) = Bereken de fase bij = rad/s. (s 4) s (s ) Deze ransferfuncie heef 3 polen: wee in de oorsprong en één op rad/s en ook één nulpun op 4 rad/s. 8 (,5s ) We kunnen de ransferfuncie herschrijven als H(s) = s (,s ) Vermis de ransferfuncie inegraoren beva, begin de Bode plo me een asympoo me een helling van -4 db/dec. De vergelijking van deze asympoo is 8/. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = 8 = 8,94 rad/s. Voor 4 < < rad/s is de vergelijking van de asympoo /. Voor > rad/s is vergelijking van de asympoo /. Deze asympoo snijd de db-lijn bij = = 4, rad/s. [db] log H(j) 4 3 - [rad/s] - -3-4 De fase bij = rad/s word berekend me de formule φ() bgg,5 8 bgg 68, 8 45 56,8

6 3) Sches de Bode plo (modulus) van de ransferfunkie H(s) = Bereken de faze bij = rad/s 8 s (s ) (s ) Deze ransferfuncie heef polen: één op rad/s en één op rad/s en ook nulpunen in de oorsprong. s We kunnen de ransferfuncie herschrijven als H(s) = (,s,8 ) (,s ) Vermis de ransferfuncie een dubbele differeniaor beva, begin de Bode plo me een asympoo me een helling van +4 db/dec. De vergelijking van deze asympoo is,8. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = Voor < < rad/s is de vergelijking van de asympoo,8. Voor > rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log 8 = 38 db. = 3,5 rad/s.,8 [db] log H(j) 4 3 - [rad/s] - -3-4 De fase bij = rad/s word berekend me de formule φ() 8 bgg bgg, 8 63,4,3 5,3

7 5(s s 64) 4) Teken he Bode diagramma van de ransferfuncie: T(s) = (s )(s )(s 6) Bereken de pulsaie waarbij de asympoo de db-lijn snijd. Deze ransferfuncie heef 3 polen: rad/s, rad/s en 6 rad/s en ook complex oegevoegde nulpunen, vermis de vierkansvergelijking s +s+64 complexe worels heef. De nauurlijke frequenie en de relaieve demping volgen ui de vergelijkingen n = 64 en n =. Hierui volg n = 8 rad/s en = /6 =,65. 5 x 64 De DC-verserking is gelijk aan T() =, 8 of log,8 = -,94 db. x x 6 Voor < < 8 rad/s is de vergelijking van de asympoo,6/. Voor 8 < < rad/s is de vergelijking van de asympoo,5. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij =,5 = 4 rad/s. Voor < < 6 rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log,5 = 7,96 db. Voor > 6 rad/s is de vergelijking van de asympoo 5/. [db] log T(j) 5 5-5 [rad/s] - -5 -

8 5) Teken de asympoische Bode plo van de ransferfuncie T(s) = Bereken de pulsaie waarbij de asympoo de db-lijn snijd. Maak eveneens een sches van de werkelijke Bode plo. (s,5)(s 6 6s 9) Deze ransferfuncie heef 3 polen: één reële pool op,5 rad/s en complex oegevoegde polen, vermis de vierkansvergelijking s +6s+9 complexe worels heef. De nauurlijke frequenie en de relaieve demping volgen ui de vergelijkingen n = 9 en n = 6. Hierui volg n = 3 rad/s en = 6/6 =,. De DC-verserking is gelijk aan T() = 6 35, 55 of log 35,55 = 3 db.,5 x9 Voor,5 < < 3 rad/s is de vergelijking van de asympoo 7,77/. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = 7,77 rad/s. Voor > 3 rad/s is de vergelijking van de asympoo 6/. [db] log T(j) 4 3 - [rad/s] - -3-4, Vermis =, verwachen we in de buur van n een opslingering van ongeveer / = 5 of log 5 = 4 db.

9 6) Teken he Bode diagramma van de volgende ransferfuncie: T(s) = Bereken de pulsaie waarbij de asympoo de db-lijn snijd. 3( s)( 8s/9) ( 8s)( s/3) (,5 s)(,5 s) We kunnen de ransferfuncie herschrijven als T(s) = (,5 s)(,5 s) Deze ransferfuncie heef polen:,5 rad/s en,5 rad/s en nulpunen:,5 rad/s en,5 rad/s. De DC-verserking is gelijk aan T() = 3 of log 3 = 9,54 db. Voor,5 < <,5 rad/s is de vergelijking van de asympoo,375/. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij =,375 rad/s. Voor,5 < <,5 rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log,75 = -,5 db. Voor,5 < <,5 rad/s is de vergelijking van de asympoo,666. Voor >,5 rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log = db. [db] log T(j) 5 [rad/s] -5 -,,

3(s 5)(s ) 7) Teken he Bode diagramma van de volgende ransferfuncie: T(s) = (s 5s 9)(s 6) Doe di, zo nauwkeurig mogelijk, op ondersaand semilogarimisch papier. Deze ransferfuncie is ongeveer dezelfde als in he boek op p: he enige verschil is da er hier 3 saa, erwijl in he boek 3. Wa is he gevolg op de Bode plo? De vorm is dezelfde gebleven, vermis polen en nulpunen dezelfde zijn. Alleen word de ganse plo ies naar boven geschoven, omda de DC-verserking ies groer is. We rekenen even ui. 3x 5 x De DC-verserking is gelijk aan T() = 57, 4 of log 57,4 = 35,8 db. 9 x 6 De vergelijking van de weede asympoo is hier gelijk aan 56,65/. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = 56, 65 =,73 rad/s. [db] log H(j) 4 3 35,8 db - -,73 rad/s -3,69 db -5,73 db [rad/s] -3-3,7 db -4 3 5 6

8) Teken he Bode diagramma van de ransferfuncie: T(s) = s (, s ) (,5 s )(,s ),6 s ( s 5) We kunnen de ransferfuncie herschrijven als T(s) = (s 4) (s ) Deze ransferfuncie heef polen: 4 rad/s en rad/s en nulpunen: één in de oorsprong en één op 5 rad/s. Vermis de ransferfuncie een differeniaor beva, begin de Bode plo me een asympoo me een helling van + db/dec. De vergelijking van deze asympoo is. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn lig bij =,5 rad/s. Di pun lig buien he kader van ondersaande ekening. Daarom berekenen we de waarde bij = 4 rad/s: dan is log = log 8 = 8 db. To deze frequenie ekenen we de eerse asympoo. Voor 4 < < rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log 8 = 8 db. Voor < < 5 rad/s is de vergelijking van de asympoo 8/. He snijpun van deze asympoo me de db-lijn is bijgevolg bij = 8 rad/s. Voor > 5 rad/s is de asympoo vlak en gelijk aan log,6 = -5,9 db. [db] log T(j) 5 5-5 [rad/s] - -5 -