Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Solid Mechanics Vakcode: 4MB00 Datum: 5 juni 015 Begintijd: 18:00 Eindtijd: 1:00 Aantal pagina s: 7 (excl. dit blad en formuleblad) Aantal vragen: 3 opgaven (met in totaal 18 deelvragen) Aantal te behalen punten is maximaal 100. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld, rechts naast het kader Wijze van vaststellen eindcijfer: aantaal behaalde punten/10 Wijze van beantwoording vragen: het tentamen bestaat uit open vragen. De volledige uitwerkingen en antwoorden moeten worden gegeven in de omlijnde kaders op de opgavebladen. Deze worden allemaal, voorzien van naam en identiteitsnummer bovenaan dit blad en onderaan elke bladzijde, ingeleverd. Kladpapier wordt niet nagekeken en hoeft dus niet te worden ingeleverd. Inzage: op afspraak Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen: Formuleblad (aangehecht aan dit tentamen) Het gebruik van boeken, laptop, gsm, rekenmachine, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan. Wel toegestaan is het aangehechte formuleblad.. Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e
Opgave 1 Tijdens het zogeheten spinning proces wordt een vlakke ronde schijf (de blank) door een roller tegen een ronddraaiende mandrel geduwd. De roller beweegt axiaal langs de mandrel en na deformatie resulteert een cone. In onderstaande figuur is het proces geschetst en tevens is een materieel volumeelement getekend in een willekeurig punt van de blank, dus voor deformatie. d 0 h 0 e e 3 e 1 l 0 Voor de positievector x van een willekeurig materieel punt in de vervormde toestand geldt : x = x 0 ( l e 1 e 1 + s e e 1 + h e e + d ) e 3 e 3 l 0 h 0 h 0 d 0 waarbij x 0 de positievector is in de onvervormde toestand en { e 1, e, e 3 } drie orthonormale basisvectoren zijn. De afmetingen l 0, h 0, d 0 zijn in de figuur aangegeven. a. Is de deformatie homogeen of inhomogeen? Licht uw antwoord toe. b. Schets het blokje materiaal na deformatie en geef in de figuur de afmetingen aan.
c. Bepaal de deformatietensor F die de vervorming beschrijft van het blokje materiaal. d. Bepaal de volumeveranderingsfactor J voor deze deformatie. e. Bepaal de verplaatsingsvector u en druk deze uit in x 0.
f. Bepaal de lineaire rektensor ε. g. Bepaal de lineaire rek van het lijnelement met de richting m = l 0 e 1 + h 0 e in de onvervormde toestand.
Opgave Een massieve stalen cilinder heeft een cirkelvormige dwarsdoorsnede met diameter D. Om de cilinder is een stalen band geklemd. Deze band is zeer dun (dikte t) en heeft een onvervormde lengte L. Cilinder en band zijn gefabriceerd van hetzelfde materiaal met elasticiteitsmodulus E en dwarscontractiecoëfficiënt ν. Na het aanbrengen heeft de band de lengte l, terwijl verondersteld kan worden dat alle andere afmetingen onveranderd zijn. r r z We beschouwen nu eerst de band. Deze kan in de vervormde, gemonteerde toestand worden opgevat als een dunwandige cilinder waarvoor geldt : σ rr = σ zz = 0. a. Hoe groot is de tangentiale rek ε tt in de band na montage? Hoe groot is de tangentiale spanning σ tt na montage? b. Hoe groot is de druk p, die de band uitoefent op de cilinder? Druk p uit in σ tt en de gegeven afmetingen. (NB.: Gebruik het radiale evenwicht!)
Voor de cilinder gelden de volgende algemene oplossingen voor de radiale verplaatsing u r en de radiale en tangentiale spanningen σ rr en σ tt : u r = c 1 r + c r σ rr = E [ 1 ν (1 + ν)c 1 (1 ν) c ] r ; σ tt = E 1 ν [ (1 + ν)c 1 + (1 ν) c r ] c. Hoe luidt de randvoorwaarde waaruit volgt c = 0? d. Hoe luidt de randvoorwaarde waaruit vervolgens c 1 kan worden bepaald? Wanneer gegeven is dat geldt c 1 = αp, bepaal met deze ranvoorwaarde dan de parameter α en druk deze uit in de gegeven materiaalparameters E en ν. (7) e. Bereken de radiale en tangentiale rek, ε rr en ε tt, in de cilinder. Druk deze rekken uit in α en p. f. De cilinder wordt vervolgens belast door een axiale kracht F. Bepaal de radiale en tangentiale rek, ε rr en ε tt, in de cilinder, ten gevolge van de gelijktijdig aangebrachte druk p en axiale kracht F. (4)
Opgave 3 Een composietmateriaal bestaat uit twee platen, waartussen zich een rubber laag bevindt, die zeer harde bolletjes bevat. De bolletjes kunnen ondeformeerbaar worden verondersteld, waardoor de afstand tussen de platen steeds hetzelfde blijft. De hechting tussen alle materialen wordt verondersteld perfect te zijn. De composietplaat wordt in zijn vlak biaxiaal gedeformeerd. In een punt van het rubbermateriaal zijn de hoofdspanningen in het vlak van de plaat σ 1 en σ en in de richting loodrecht daarop σ 3. De bijbehorende hoofdverlengingsfactoren zijn λ 1, λ en λ 3. Het rubber is incompressibel en het gedrag wordt beschreven door de Neo-Hookean energiefunctie, met materiaalconstante C : W = C ( λ 1 + λ + λ 3 3 ) a. Wanneer we noteren λ 1 = λ, hoe groot zijn dan de andere twee hoofdverlengingsfactoren λ en λ 3? b. Hoe luidt de elastische energiefunctie uitgedrukt in λ?
c. Geef nu eerst de algemene uitdrukking voor de verandering dw van de elastische energiefunctie uitgedrukt in de hoofdspanningen σ 1, σ en σ 3 en de verandering van de logaritmische hoofdrekken dε ln1, dε ln en dε ln3. Motiveer vervolgens dat voor het beschreven composietmateriaal altijd zal moeten gelden dw = (σ 1 σ )dε ln met ε ln = ln λ d. De plaat wordt zodanig belast dat geldt σ 1 = σ en σ = σ. Druk dw uit in σ en dε ln. Bepaal de spanning σ als functie van λ. e. De plaat wordt vervolgens zodanig belast dat geldt σ 1 = σ = σ. Bepaal nu weer dw. Wat kunt u nu concluderen aangaande de vervorming van de plaat?
Formuleblad Solid Mechanics (4MB00) Vectoren en tensoren gradiëntoperator in Cartesische basis = e 1 + e + e 3 x 1 x x 3 gradiëntoperator in cilindrische basis = e r r + 1 r e θ θ + e z z eerste invariant J 1 (A) = tr(a) tweede invariant ( J (A) = 1 tr (A) tr(a A) ) derde invariant J 3 (A) = det(a) deviatorische deel A d = A 1 3 tr(a)i eigenwaarden en -vectoren A n i = λ i n i spectrale representatie (symm. tensor) A = λ 1 n 1 n 1 + λ n n + λ 3 n 3 n 3 Kinematica deformatietensor F = ( 0 x ) T d x = F d X 0 ( Green-Lagrange rektensor E = 1 FT F I ) ( Lineaire (infinitesimale) rektensor ε = 1 u + ( u) T) ( infinitesimale rotatietensor ω = 1 u ( u) T) volumetrische rek e = tr(ε) normaalrek ε nn = n ε n afschuifrek ε ns = ε n ε nn n hoofdrekken ε N i = ɛ i N i Spanningen en evenwicht spanningsvector normaalspanning afschuifspanning hydrostatische druk hoofdspanningen octahedrale normaalpanning p = σ n σ nn = n σ n σ ns = σ n σ nn n p = 1 3 tr(σ) σ M i = σ i M i σ oct = 1 3 tr(σ) octahedrale afschuifspanning τ oct = 3 1 (σ1 σ ) + (σ σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) maximale afschuifspanning τ max = 1 (σ 1 σ 3 ) richtingen maximale afschuifspanning n τmax = ± cos 45 o M i ± sin 45 o M j with i = j translatie-evenwicht σ T + ρ q = 0 rotatie-evenwicht σ = σ T 1
Lineaire elasticiteit gegeneraliseerde wet van Hooke σ = 4 C : ε ε = 4 S : σ isotrope lineaire elasticiteit σ = λ tr(ε)i + µε, ε = 1 9K tr(σ)i + 1 G σ d Lamé constanten λ = Eν (1+ν)(1 ν), µ = E (1+ν) glijdingsmodulus & compressiemodulus G = µ = E (1+ν), K = E 3(1 ν) Young s modulus & Poisson-factor matrixnotatie vlakke rek vlakspanning Limietcriteria E = (G+3λ)G λ+g, ν = λ (λ+g) = ε ε 11 = ε 33 1 ν ν ν 0 0 0 σ 11 ν 1 ν ν 0 0 0 ε 11 σ ν ν 1 ν 0 0 0 ε σ 33 E = 0 0 0 1 ν 0 0 ε τ 1 (1 + ν)(1 ν) 33 τ 3 0 0 0 0 1 ν ε 0 1 ε 3 τ 31 0 0 0 0 0 1 ν ε 31 σ 11 1 ν ν 0 E σ = ν 1 ν 0 ε 11 ε σ (1 + ν)(1 ν) 1 0 0 1 (1 ν) ε 1 σ 11 1 ν 0 E σ = σ 1 ν ν 1 0 0 0 1 ε 11 1 (1 ν) ε ε 1 Rankine σ R = max σ i σ y i Tresca σ T = σ 1 σ 3 σ y 3 Von Mises σ V M = σ d : σ d σ y Mohr-Coulomb Drucker-Prager 1 (σ 1 σ 3 ) + sin φ 1 (σ 1 + σ 3 ) cos φ c 3 σ d : σ d + 6 sin φ 3 sin φ p 6 cos φ 3 sin φ c Hill orthotroop F(σ σ 33 ) + G(σ 33 σ 11 ) + H(σ 11 σ ) +Lσ 3 + Mσ 31 + Nσ 1 σ y ε 11 1D grote rekken Rekken ε l = λ 1, ε ln = ln(λ),ε gl = 1 (λ 1) Volumeverandering J = V V 0 = Al A 0 l 0 = λµ Spanningen σ = F A, σ n = F A 0 Hyper-elastische materiaal modellen Specifieke energie W = W(λ 1,λ,λ 3 ), dw = σ 1 ε ln1 + σ ε ln + σ 3 ε ln3 Neo-Hookean W = C(λ 1 + λ + λ 3 3) Elasto-plastische materiaal modellen Yield criterion f = (σ q) σ y 0 Versteviging modellen σ y = σ(σ y0, ε p ), q = q(ε p ) Lineair versteviging σ y = σ y0 + H ε p, q = Kε p f < 0, σ = E ε f = 0, σ = E(H+K) E+H+K ε