Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen

2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt om functiewaarden f x rond punt a te benaderen een goed beeld van functie f rond punt a te geven. De eerste stap is de linerisatie L x = f a + f 1 a x - a. Dit is in het algemeen een eerstegraads polynoom in x. Voor de linearisatie geldt: (1) f x = f a + f 1 a x - a L x =p 1 x voor zekere s tussen a en x. + f 2 s 2 x - a 2, E 1 x

4.10 Idee 1 Basiswiskunde_College_5.nb 3 Als x heel dicht bij a ligt, dan lijkt s op a. Op grond van formule (1) ligt het voor de hand dat p 2 x = f a + f a x - a + 1 2 f a x - a 2 beter werkt. Dit illustreren we aan de hand van een voorbeeld. Beschouw f x = 1 + x en a = 0. Dan is p 1 x = 1 + 1 x en p 2 x = 1 + 1 x - 1 2 2 8 x2.

4 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grafieken van p 1 x en p 2 x Y 1.5 p 2 x p 1 x 1.0 f x 0.5-1.0-0.5 0.5 1.0 X -0.5 De grafieken van f, p 1 en p 2 vallen rond a = 0 samen. In totaal lijkt p 2 beter bij f te passen dan p 1.

4.10 Grafieken van verschillen Basiswiskunde_College_5.nb 5 Y 0.01-0.4-0.2 0.2 0.4-0.01-0.02-0.03 f x - p 1 x X Y 0.010 0.005-0.4-0.2 0.2 0.4-0.005 f x - p 2 x X -0.04-0.010-0.05-0.015 De verschilgrafieken zijn op het interval -0.5, 0.5 getekend. Het is duidelijk dat ook rond x = 0 p 2 een betere benadering is dan p 1. Merk op dat f x - p 1 x rond x = 0 lijkt op - 1 8 x2 en f x - p 2 x rond x = 0 lijkt op een derde macht dx 3 met d een positief getal.

6 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Idee 2 Rond het punt a lijken f x en de lineaire benadering p 1 x = f a + f a x - a op elkaar. Y f x f x p 1 x f a a x X Het groeigedrag van f verandert, terwijl dat van p 1 constant blijft. We zoeken een benadering p 2 waarvan het groeigedrag meer op dat van f lijkt. De afgeleiden f en p 1 beschrijven het groeigedrag van f en p 1. Een plaatje van beide afgeleiden brengt ons op het juiste idee.

4.10 Uitgangspunt p 2 x Basiswiskunde_College_5.nb 7 Voor p 2 x nemen we de linearisatie van f rond a. Y f x f x f a p 2 x p 1 x a x X Gezocht p 2 x met p 2 a = f a en p 2 x = f a + f a x - a. Dan is p 2 x = f a + f a x - a + 1 f a x - a 2. 2 Controleer maar door differentiëren.

8 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grafiek van p 2 x Y f x f a f x p 1 x p 2 x a x X Inderdaad past het groeigedrag van p 2 beter bij dat van f.

4.10 Taylorpolynomen Basiswiskunde_College_5.nb 9 Gegeven getal n met n = 0, 1, 2, en een functie f waarvan f n bestaat in een omgeving van een punt a. Het Taylorpolynoom van orde n van f rond het punt a is het polynoom p n x = f a + f a x - a + f 2 a 2! x - a 2 + + f n a n! x - a n. é Alle termen in een Taylorpolynoom hebben dezelfde structuur: p n x = f 0 a 0! x - a 0 + f 1 a 1! x - a 1 + f 2 a 2! x - a 2 + + f n a n! x - a n é Het Taylorpolynoom p n x rond a is een polynoom in x van de graad hoogstens n. Als f n a 0, dan is het van de graad n. é Een Taylorpolynoom bevat de Taylorpolynomen van lagere orde. p n x = p n-1 x + f n a n! x - a n é Het berekenen Taylorpolynomen van hogere orde is veel werk. Als u een Taylorpolynoom nodig heeft, kijk dan van welke orde het moet zijn. In de praktijk worden meestal Taylorpolynomen van de orde 2 en/of 3 gebruikt. é Laat de haakjes van x - a staan!

10 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeelden van Taylorpolynomen Voorbeeld 1: Beschouw f x = x 1+x en a = 1. Dan p 2 x = 1 2-1 16 x - 1 2. Controleer dit. Voorbeeld 2: Beschouw f x = e x en a = 0. Dan p 3 x = 1 + x + x2 2 Voorbeeld 3: Beschouw f x = tan x en a = p 4. Bereken p 2 x. + x3 6. Controleer dit. Voorbeeld 1: Dan f x = 1 2 x-1 2 1 + x -1 - x 1 2 1 + x -2 en f 2 x =- 1 4 x-3 2 1 + x -1 - x -1 2 1 + x -2 + 2 x 1 2 1 + x -3. Dus f 1 = 1, f 1 = 0 en f ^ 2 1 =- 1. Gevolg p 2 x = 1-1 x - 2 8 2 16 1 2. Voorbeeld 2: Nu is f k x = e x en f k 0 = 1 voor k = 0, 1, 2, 3. Gevolg p 3 x = 1 + x + x2 + x3. 2 6 Voorbeeld 3: Merk op dat f x = sin x cos -1 x. Dus f x = cos -2 x en f 2 x = 2 sin x cos -3 x. Er geldt f p = 1, f p = 2 en f 2 p = 4. 4 4 4 Gevolg p 2 x = 1 + 2 x - p + 2 x - p 4 4 2.

4.10 Voorbeeld bij cosinus Basiswiskunde_College_5.nb 11 Beschouw f x = cos x en a = 0. Dan p 4 x = 1-1 2 x2 + 1 24 x4. Y 2.0 1.5 1.0 0.5 p 4 x -6-4 -2 2 4 6-0.5 cos x X -1.0 Rond x = 0 is p 4 x een goede benadering van cos x.

12 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Stelling van Taylor Stelling 12 Gegeven getal n in N, functie f, interval I in domein D f met getallen a en x in I, x a, en f n+1 bestaat op het interval I. Dan geldt dat f x = f a + f a x - a + + 1 n! f n a x - a n p n x voor een zekere s tussen a en x. Opmerkingen + 1 n+1! f n+1 s x - a n+1 é Als n = 0, dan f x = f a + f c x - a, de middelwaardestelling, zie sectie 2.8 Als n = 1, dan f x = f a + f a x - a + 1 f 2 c x - a n+1, zie sectie 4.9 2 E n x é Als x Ø a, dan is x - a n+1 klein t.o.v. x - a n. é Rond het punt a is het Taylorpolynoom p n x een goede benadering van f x. Het Taylorpolynoom van orde n wordt ook de benadering van orde n genoemd. Als f x benaderd wordt door p n x, dan heet E n x de fout van de benadering p n x.

4.10 Benadering met Taylorpolynoom Basiswiskunde_College_5.nb 13 Als u een voorbeeld door heeft, dan kunt u alle voorbeelden van dit type aan. Geef een benadering voor -0.2 met een Taylorpolynoom van orde 2. Geef een geschikt interval waarbinnen -0.2 ligt. Laat f x = -x en a = 0; We benaderen -0.2 = f 0.2 met p 2 0.2. Nu is p 2 x = f 0 + f 1 0 x + f 2 0 x 2 ofwel p 2 x = 1 - x + 1 2 2 x2. Dus -0.2 º p 2 0.2 = 1-0.2 + 1 ÿ 2 0.2 2 = 0.82. Een geschikt interval waarbinnen -0.2 ligt: Er geldt dat f x = p 2 x + E 2 x met x = 0.2. Nu is E 2 x =- -s ÿ 6 x3 ; Omdat - 1 6 <- -s < 0, geldt dat - 1 6 6 0.2 3 < E 2 0.2 < 0. Dus -0.0013 < E 2 0.2 < 0 Het erbij tellen van p 2 0.2 = 0.82 levert 0.8187 < -0.2 < 0.82 Dus -0.2 ligt in interval 0.8187, 0.82.

14 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Taylorpolynomen bij e-macht Beschouw f x = x. Geef Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. Dan f k 0 = 1 voor alle k = 0, 1, 2, Dus geldt dat p n x = 1 + x + 1 2 x2 + + 1 n! xn

4.10 Taylorpolynomen bij (co)sinus Basiswiskunde_College_5.nb 15 Beschouw f x = sin x. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f k 0 0 1 0-1 0 1 0-1 0 1 p 2 n+1 x = x - 1 6 x3 + 1 120 x5 + + -1 n 2 n+1! x2 n+1 Merk op p 2 n+1 x = p 2 n+2 x voor n = 0, 1, 2, Beschouw f x = cos x. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f k 0 1 0-1 0 1 0-1 0 1 0 p 2 n x = 1-1 2 x2 + 1 24 x4 + + -1 n 2 n! x2 n Merk op p 2 n+1 x = p 2 n x voor n = 0, 1, 2,

16 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Taylorpolynomen bij f x = 1 1-x Laat f x = 1 1-x = 1 - x -1. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. Nu is f k x = k! 1 - x -k-1. Dus f k 0 k! Gevolg p n x = 1 + x + x 2 + + x n = 1.

4.10 Opzoeken Basiswiskunde_College_5.nb 17 Klik op Tentamentabel van Taylorpolynomen Opzoeken 1 Taylorpolynoom p 4 x van f x = ln 1 + x rond a = 0. Dit is een polynoom van de graad hoogstens 4. Dus p 4 x = x - 1 2 x2 + 1 3 x3-1 4 x4. Merk op dat n = 3 in de tabel. Opzoeken 2 Taylorpolynoom p 2 x van f x = 1 + x 1 3 rond a = 0; In de tabel staat de functie f x = 1 + x a. Dus a= 1. 3 Dan p 2 x = 1 + 1 3 1 x + 1 3 1 2 x2 ofwel p 2 x = 1 + 1 x + 3-2 3 3 2 Dus p 2 x = 1 + 1 x - 1 3 9 x2. Opzoeken 3 Taylorpolynoom p 4 x van f x = sin x rond a = 0; Het gevraagde polynoom is van de graad hoogstens 4. Dus p 4 x = x - 1 6 x3. x 2.

18 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grote O-notatie Omdat E n x = f n+1 s x - a n+1 en s naar a schuift als x Ø a, bestaat er constante K n+1! zodanig dat E n x K x - a n+1 als x Ø a. Om niet iedere keer over s en K te hoeven beginnen is de grote O-notatie ingevoerd E n x = O x - a n+1, x Ø a Hier staat dat E n x kleiner dan een constante keer x - a n+1 is tenminste als x Ø a. De notatie met de grote O gebruikt u als een pleister die u plakt over iets dat kleiner is dan een constante keer de absolute waarde van de uitdrukking tussen haken achter de O als x Ø a.

4.10 Voorbeelden met grote O-notatie Basiswiskunde_College_5.nb 19 f x = p n x + O x - a n+1, x Ø a. p 4 x = p 3 x + O x - a 4, x Ø a O x 3 x = O x 2, x Ø 0 sin x = x - 1 6 x3 + O x 4, x Ø 0 x - 1 O x - 1 2 = O x - 1 3, x Ø 1

20 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Benadering van orde n. Stelling 13 (Eenduidigheid benadering van orde n) Gegeven een natuurlijk getal n, een functie f, een punt a in domein D f en Taylorpolynoom p n x van orde n rond a dus f x = p n x + O x - a n+1, x Ø a. Gegeven is een polynoom q x = A 0 + A 1 x - a + + A n x - a n zodanig dat f x = q x + O x - a n+1, x Ø a. Dan geldt dat A 0 = f a, A 1 = f 1 a 1!,, A n = f n a. n! Opmerking: laat in een Taylorpolynoom de haakjes staan!

4.10 Voorbeeld 1 Extrema Basiswiskunde_College_5.nb 21 Gegeven is een willekeurig vaak differentieerbare functie f, een punt a en f a = 0. Het Taylorpolynoom van f van orde 2 rond a is p 2 x = f a + 1 f 2 a x - a 2. 2 Wat kunt u zeggen van extrema van f in punt a? Er geldt f x = f a + 1 2 f 2 a x - a 2 + O x - a 3, x Ø a. Als f 2 a > 0 dan is 1 2 f 2 a x - a 2 positief en als x dicht bij a ligt, dan is O x - a 3 veel kleiner dan 1 2 f 2 a x - a 2. Dus f heeft een minimum in a. Evenzo heeft f een maximum in a als f 2 a < 0. > 0, dan minimum in a Als f a = 0 en f 2 a = 0, dan verder kijken < 0, dan maximum in a

22 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 2 Grafiek Beschouw een functie f met Taylorpolynoom p 2 x = 2 + 1 x - 1-2 x - 3 2 1 2 rond het punt 1. Hoe ziet de grafiek van f er rond x = 1 uit? De vergelijking van de raaklijn in het punt 1, 2 aan de grafiek is y = 2 + 1 3 3 2 Voor x dicht bij 1 ligt de grafiek van de functie f onder de raaklijn. x - 1. 0.80 0.75 0.70 0.65 f x 0.60 0.55 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

4.10 Voorbeeld 3 Grote O Basiswiskunde_College_5.nb 23 Beschouw de functies f en g met f x =a 0 +a 1 x - a +a 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a g x =b 0 +b 1 x - a +b 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a. Druk f x g x uit met behulp van O x - a 3, x Ø a Dan geldt f x g x =a 0 b 0 + a 1 b 0 +a 0 b 1 x - a + + a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a

24 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 4 Substitutie In de tabel staat e x = 1 + x + 1 2 x2 + + 1 n! xn + O x n+1, x Ø 0. Voorbeeld 1 Geef Taylorpolynoom van orde 2 van f x = e 2 x rond a = 0. Als x Ø 0, dan gaat 2 x Ø 0. Dan e 2 x = 1 + 2 x + 1 2 ÿ 2 x 2 + O 2 x 3, x Ø 0. Dus e 2 x = 1 + 2 x + 2 x 2 + O x 3, x Ø 0. Het gevraagde Taylorpolynoom is p 2 x = 1 + 2 x + 2 x 2. Voorbeeld 2 Geef Taylorpolynoom van orde 4 van f x = e x3 rond a = 0. Als x Ø 0, dan gaat x 3 Ø 0. Dan e x3 = 1 + x 3 + 1 2 x3 2 + O x 3 3, x Ø 0. Dus e x3 = 1 + x 3 + 1 2 x6 + O x 9, x Ø 0. Het Taylorpolynoom van orde 4 van f x = e x3 rond 0 is p 4 x = 1 + x 3.

4.10 Voorbeeld 5 Hogere afgeleiden Basiswiskunde_College_5.nb 25 Beschouw de functie f met Taylorpolynoom p 3 x = 2 + 7 x - 5 2 + x - 5 3 van orde 3 rond a = 5. Bepaal de waarden van f k 5 met k = 0, 1, 2, 3. Vergelijking van het gegeven polynoom en de algemene vorm p 3 x = 2 + 0 + 7 x - 5 2 + x - 5 3 p 3 x = f 5 + f 1 5 1 x - 5 + f 2 5 2 x - 5 2 + f 3 5 6 x - 5 3 laat zien dat f 5 = 2, f 1 5 = 0, f 2 5 = 14 en f 3 5 = 6. Het gegeven polynoom zegt niets over de waarden in een ander punt.

26 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 6 Gedrag rond punt Beschouw de functie f gegeven door f x = Beschrijf het gedrag van f rond x = 0. De functie f is continu in 0, want sin x x, x 0 1, x = 0 sin x x+o x 2 lim xø0 f x = lim xø0 = lim xø0 = lim xø0 1 + O x = 1 = f 0. x x De functie f heeft een maximum in x = 0, want rond x = 0 geldt dat f x = x- 1 6 x3 +O x 4 x = 1-1 6 x2 + O x 3, dus f x < 1 = f 0. 0 als xø0 De grafiek van f lijkt rond x = 0 op een parabool. Y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 sin x -4-2 2 4 X -0.2 x

4.10 Voorbeeld 7 Gedrag rond punt Basiswiskunde_College_5.nb 27 e x -1 x, x 0 Laat de functie f gegeven zijn door f x = 1, x = 0 Beschrijf het gedrag van de functie f rond x = 0. Omdat f x = 1+x+ x 2 2 +O x3-1 lim xø0 x = 1 + x 2 + O x2, zien we twee dingen: f x = 1 = f 0 en dus is f continu in het punt 0. De grafiek van f heeft in 0, 1 een raaklijn met vergelijking y = 1 + 1 2 x. Y 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 x - 1 x -0.4-0.2 0.2 0.4 X

28 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 8 Limiet ln x +1-x Bepaal de limiet lim. xø1 x-1 2 Zowel de teller als de noemer lijken op 0 als x Ø 1. Berekening van het Taylorpolynoom van de teller t x van orde 2 rond 1: Laat t x = ln x + 1 - x. Dan p 2 x = t 1 + t 1 1 x - 1 + t 2 1 x - 1 2. Nu is t 1 x = 1 x - 1, t 2 x =- 1 Gevolg: ln x +1-x lim xø1 x-1 2-1 2 = lim x-1 2 +O x-1 3 xø1 x-1 2 2 x 2, t 1 = 0, t 1 1 = 0 en t 2 1 =-1. Gevolg p 2 x =- 1 2 x - 1 2. = lim - 1 + O x - 1 xø1 2 =-1. 2

4.10 Voorbeeld 9 Limiet Basiswiskunde_College_5.nb 29 Bepaal de limiet lim x -1-1. xø0 x 2 x Het uitrekenen van lim x -1 xø0 x 2 1 - lim xø0 x levert niets op. Waarom? x 2 2 +O x3 Dus lim x -1-1 = lim x -1-x 1 = lim = lim + O x = 1. xø0 x 2 x xø0 x 2 xø0 x 2 xø0 2 2 Bij de berekening is gebruik gemaakt van de tabel.

30 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 10 Limiet tan x -x Bepaal de limiet lim. xø0 x 3 Zowel de teller als de noemer lijken op 0 als x Ø 0. Het Taylorpolynoom van de teller van orde 3 rond 0 is p 3 x =+ 1 3 x3. Reken dit na. Dus tan x -x lim xø0 x 3 = lim xø0 1 3 x3 +O x 4 x 3 1 = lim + O x = 1. xø0 3 3

4.10 Extra Basiswiskunde_College_5.nb 31 Stelling Laat f een willekeurig vaak differentieerbare functie rond het punt a zijn en laat p x = A 0 + A 1 x - a + + A n x - a n het Taylorpolynoom van f van orde n rond a zijn. Dan is het Taylorpolynoom van f van orde n - 1 rond het punt a: A 1 + 2 A 2 x - a + + na n x - a n-1 en het Taylorpolynoom van een primitieve F van f van orde n + 1 rond a: F a + A 0 x - a + A 1 2 x - a 2 + + A n n+1 x - a n+1.

32 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 1 Extra Het Taylorpolynoom van orde n van f x = 1 1+x rond a = 0 is 1 - x + x 2 + + -1 n x n. Het Taylorpolynoom van orde n - 1 van f x =- 1 rond a = 0 is 2 1+x -1 + 2 x + + n -1 n x n-1 Het Taylorpolynoom van orde n + 1 van F x = log 1 + x rond a = 0 is x - x2 + x3 + + -1 n x n+1. 2 3 n+1

4.10 Voorbeeld 2 Extra * Basiswiskunde_College_5.nb 33 Het Taylorpolynoom van orde 2 n van f x = cos x rond a = 0 is 1-1 2 x2 + 1 24 x4 + + -1 n 2 n! x2 n. Het Taylorpolynoom van orde 2 n + 1 van F x = sin x rond a = 0 is x - 1 6 x3 + 1 120 x5 - + -1 n 2 n+1! x2 n+1