FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening en statistiek 7
Algebra Absolute waarde a = { a als a 0 a als a 0 Eigenschappen van machtswortels n ab = n a n b n a n a = b n b n a m = ( n a) m n m a = mn a np a mp = n a m n a n = a Eigenschappen van machten a m n = (a m ) n = (a n ) m Eigenschappen van logaritmen log a (xy) = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x = log a x log a (x r ) = r log a x log b x = log a x log a b Merkwaardige producten (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a b)(a + b) = a 2 b 2 (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3
Sommatie identiteiten n i= i = n(n+) 2 Som van natuurlijke getallen n i= i 2 = n(n+)(2n+) 6 Som van kwadraten n i= x i = x x n+ x (x ) Meetkundige som n i= (a i+ a i ) = a n+ a Telescopische som Wortels van een kwadratische vergelijking met discriminant x = b D 2a x 2 = b + D 2a D = b 2 4ac
2 Lineaire algebra Optellen van matrices a a 2 a n a 2 a 22 a 2n + b b 2 b n b 2 b 22 b 2n a m a m2 a mn b m b m2 b mn Vermenigvuldigen van matrices a a n c c j c p b b j b p a i a in = c i c ij c ip b n b nj b np a m a mn c m c mj c mp Determinant van een 2x2-matrix ( ) a a 2 det = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22
3 Vlakke meetkunde Vectorvergelijking van een rechte x = a + µ v (µ R) door gegeven punt a en met gegeven richtingsvector v, door gegeven punten a en b x = a + µ( b a) (µ R) Stelsel parametervergelijkingen van een rechte { x = a + λv y = a 2 + λv 2 (λ R) door gegeven punt (a, a 2 ) en met gegeven richtingsvector (v, v 2 ), { x = a + λ(b a ) (λ R) y = a 2 + λ(b 2 a 2 ) door gegeven punten (a, a 2 ) en (b, b 2 ) Cartesische vergelijking van een rechte αx + βy + γ = 0 met α, β en γ reële getallen en α en β niet tegelijk nul Vereenvoudigde vorm van cartesische vergelijking van een rechte y = mx + q met m de richtingscoëciënt van de rechte en q het afgesneden stuk op de y -as Norm van vectoren en afstand tussen vectoren u = u 2 + u2 2 d( u, v) = (v u ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 voor vectoren u = (u, u 2 ) en v = (v, v 2 ) Inproduct van vectoren u w = u w cos( u o w)
voor vectoren u en w u w = u w + u 2 w 2 voor vectoren u = (u, u 2 ) en w = (w, w 2 ) Vergelijking van een cirkel (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 cirkel met middelpunt (x 0, y 0 ) en straal r > 0 Vergelijking van een ellips (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = ellips met middelpunt (x 0, y 0 ), halve assen a > 0 en b > 0 Vergelijking van een parabool parabool met top (x 0, y 0 ) Vergelijking van een hyperbool hyperbool met middelpunt (x 0, y 0 ) y = a (x x 0 ) 2 + y 0 (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 =
4 Goniometrie cos 2 α + sin 2 α = Goniometrische getallen tan α = sin α cos α cot α = cos α sin α sec α = cos α csc α = sin α Stelling van Pythagoras A 2 = B 2 + C 2 in een rechthoekige driehoek met lengten van de rechthoekszijden B en C en lengte van de schuine zijde A Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek sin γ = overstaande rechthoekszijde schuine zijde aanliggende rechthoekszijde cos γ = schuine zijde overstaande rechthoekszijde tan γ = aanliggende rechthoekszijde voor een niet rechte hoek γ in een rechthoekige driehoek De cosinusregel A 2 = B 2 + C 2 2BC cos α in een willeurige driehoek met zijden A, B en C en hoek α de overstaande hoek aan A De sinusregel A sin α = B sin β = C sin γ in een willeurige driehoek met zijden A, B en C en respectievelijk overstaande hoeken α, β en γ
Andere vormen voor de grondformule + tan 2 α = sec 2 α + cot 2 α = csc 2 α Som- en verschilformules cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β tan(α β) = tan(α + β) = tan α tan β + tan α tan β tan α + tan β tan α tan β Verdubbelingsformules cos(2α) = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α = 2 sin 2 α sin(2α) = 2 sin α cos α tan(2α) = 2 tan α tan 2 α De t-formules cos α = t2 + t 2 sin α = 2t + t 2 tan α = 2t t 2 met t = tan α 2 De formules van Simpson cos α + cos β = 2 cos α + β cos α β 2 2
cos α cos β = 2 sin α + β sin α β 2 2 sin α + sin β = 2 sin α + β cos α β 2 2 sin α sin β = 2 sin α β cos α + β 2 2 De omgekeerde formules van Simpson 2 sin α cos β = sin (α β) + sin (α + β) 2 cos α cos β = cos (α β) + cos (α + β) 2 cos α sin β = sin (α + β) + sin (α β) 2 sin α sin β = cos (α β) + cos (α + β) Modulus van een complex getal z = voor een complex getal z = a + bi a 2 + b 2 Goniometrische vorm van een complex getal De formule van De Moivre z = z (cos θ + i sin θ) z n = z n (cos(nθ) + i sin(nθ)) voor een complex getal z met argument θ
5 Ruimtemeetkunde Vectorvergelijking van een rechte x = a + µ v (µ R) door gegeven punt a en met gegeven richtingsvector v, door gegeven punten a en b x = a + µ( b a) (µ R) Stelsel parametervergelijkingen van een rechte x = a + λv y = a 2 + λv 2 (λ R) z = a 3 + λv 3 door gegeven punt (a, a 2, a 3 ) en met gegeven richtingsvector (v, v 2, v 3 ), x = a + λ(b a ) y = a 2 + λ(b 2 a 2 ) (λ R) z = a 3 + λ(b 3 a 3 ) door gegeven punten (a, a 2, a 3 ) en (b, b 2, b 3 ) Stelsel Cartesische vergelijkingen van een rechte x a v = y a 2 v 2 = z a 3 v 3 door gegeven punt (a, a 2, a 3 ) en met gegeven richtingsvector (v, v 2, v 3 ), x a b a = y a 2 b 2 a 2 = z a 3 b 3 a 3 door gegeven punten (a, a 2, a 3 ) en (b, b 2, b 3 ) Vectorvergelijking van een vlak x = a + µ v + λ w (µ, λ R) door gegeven punt a en met gegeven richtingsvectoren v en w, door gegeven punten a, b en c x = a + µ( b a) + λ( c a) (µ, λ R)
Stelsel parametervergelijkingen van een vlak x = a + λv + µw y = a 2 + λv 2 + µw 2 (λ, µ R) z = a 3 + λv 3 + µw 3 door gegeven punt (a, a 2, a 3 ) en met gegeven richtingsvectoren (v, v 2, v 3 ) en (w, w 2, w 3 ), x = a + λ(b a ) + µ(c a ) y = a 2 + λ(b 2 a 2 ) + µ(c 2 a 2 ) z = a 3 + λ(b 3 a 3 ) + µ(c 3 a 3 ) door gegeven punten (a, a 2, a 3 ), (b, b 2, b 3 ) en (c, c 2, c 3 ) Cartesische vergelijking van een vlak ax + by + cz + d = 0 (λ, µ R) met a, b, c en d reële getallen en a, b en c niet alle drie nul Norm van vectoren en afstand tussen vectoren u = u 2 + u2 2 + u2 3 d( u, v) = (v u ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2 voor vectoren u = (u, u 2, u 3 ) en v = (v, v 2, v 3 ) Inproduct van vectoren voor vectoren u en w u w = u w cos( u o w) u w = u w + u 2 w 2 + u 3 w 3 voor vectoren u = (u, u 2, u 3 ) en w = (w, w 2, w 3 ) Vectorieel product van vectoren v w = e e 2 e 3 v v 2 v 3 w w 2 w 3 voor vectoren v = (v, v 2, v 3 ) en w = (w, w 2, w 3 )
6 Reële functies Eigenschappen van logaritme en exponentiaal ln (xy) = ln x + ln y ln (x r ) = r ln x ln x = ln y log y x exp (x + y) = exp x exp y exp ( x) = (exp x) exp (xy) = (exp x) y
7 Analyse Lijst van basisieten x k = + (k N 0 ) x + { x k + als k even = x als k oneven (k N 0) x + x k = x x k = 0 (k N 0) x 0 > x k = + (k N 0) { + als k even x 0 < x k = als k oneven x + ax = x ax = x 0 ( + ax) b x + als a > als a = 0 als 0 < a < 0 als a > als a = + als 0 < a < ln x = + x + ln x = x 0 > = e ab sin x x 0 x = (a, b R 0 ) (k N 0 ) (a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n ) = a nx n x + x + (a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n ) = a nx n x x x + x n = 0 (n N, a > ) ax Schuine asymptoot met a = y = ax + b x ± f (x) x
en b = (f (x) ax) x ± Afgeleide van een functie in een punt f (a) = x a f (x) f (a) x a Afgeleide van een product (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) Afgeleide van een quotiënt ( ) f (a) = f (a)g(a) f (a)g (a) g g 2 (a) Kettingregel (g f ) (a) = g (f (a))f (a) Lijst met basisafgeleiden f (x) f (x) f (x) f (x) x x a (a R 0 ) ax a e x e x a x a x ln a ln x log x a x x ln a sin x cos x Bgsin x x 2 cos x sin x Bgcos x x 2 tan x sec 2 x Bgtanx + x 2 cot x csc 2 x Bgcotx + x 2
Vergelijking van de raaklijn aan een graek y = f (a)(x a) + f (a) Lijst met basisintegralen x a dx = x a+ a + + c (a ) a x dx = ax + c (a ) ln a sin x dx = cos x + c sec 2 x dx = tan x + c dx = Bgtanx + c + x 2 dx = ln x + c x e x dx = e x + c cos x dx = sin x + c csc 2 x dx = cot x + c dx = Bgsin x + c x 2 Lineariteit van de integraal af (x) + bg(x) dx = a f (x)dx + b g(x)dx Substitutie in integralen f (t) dt = f (g(x))g (x) dx met t = g(x) Partiële integratie f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx Hoofdstelling van de integraalrekening b a f (x) dx = F (b) F (a) met F (x) een primitieve functie van f (x)
8 Logica en verzamelingen Bewerkingen met verzamelingen X Y = {x; x X en x Y } X Y = {x; x X of x Y } X \ Y = {x; x X en x / Y }
9 Kansrekening en statistiek Voorwaardelijke kans P (A B) = P (A B) P (B) Wet van de totale kans P (B) = l P (A i )P (B A i ) i= Regel van Bayes P (A k B) = P (A k)p (B A k ) l i= P (A i)p (B A i ) Productregel P (A A 2 A l ) = P (A A 2 A l )P (A 2 A l ) = P (A A 2 A l )P (A 2 A 2 A l )P (A 2 A l ) = P (A A 2 A l )P (A 2 A 2 A l ) P (A l A l )P (A l ) Uniforme kans: de formule van Laplace P (A) = #(A) n Faculteit van een natuurlijk getal n! = n(n )(n 2)32 Bimomiaalcoëciënten ( ) n = p n! p!(n p)!
Driehoek van Pascal ( ) n = p ( n p ) + ( ) n p Gemiddelde x = N N n x i = ω j f j i= j= Variantie N N (x i x) 2 = i= n ω j x f j j= Standaardafwijking N N n (x i x) 2 = (ω j x) 2 f j i= j= Kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling 2πσ e 2 ( x µ σ )2