Kegelsneden. 1 Kegelsnede. John Val. 26th March 2014

Transcriptie

1 Kegelsneden John Val 6th March 04 Kegelsnede Een kegelsnede is de doorsnede van een kegel en een vlak. In deze tekst zal worden aangetoond dat de doorsnede een punt, een lijn, een lijnenpaar, een cirkel, een parabool, een ellips of een hyperbool kan zijn. Een kegel is een driedimensionaal object dat we overal in een driedimensionale ruimte kunnen plaatsen. Het object kan als volgt gevormd worden: Kies een lijn (de as en een punt O op die lijn. Een tweede lijn snijdt de as in het punt O, Deze lijn wordt vervolgens geroteerd om de as. Om eenvoudig wiskundig inzicht in een kegel te krijgen kiezen we een coördinaten systeem zodanig dat de oorsprong O het midden van de kegel is en kiezen we de richting van de z-as gelijk aan de as van de kegel. De tweede lijn maakt een hoek α met de as. Figuur : fig:kegelsneden Een kegelsnede kan vervolgens worden weergegeven als een vergelijking in een twee dimensionaal coördinaten stelsel van het snijvlak (een twee dimensionale ruimte van de vorm: k : ax + hxy + by + gx + fy + c 0 (

2 h ab en er geldt niet ( g f Tabel : Criteria vorm kegelsnede a b fg hc: De vergelijking is een parabool h < ab: De vergelijking is een ellips h > ab: De vergelijking is een hyperbool a b en h 0 en c f +g a 0: De vergelijking is een cirkel a + b 0: De vergelijking is een rechthoekige hyperbool b f 0: De kegelsnede is ontaard in twee snijdende rechten Vergelijking ( is een kwadratische vergelijking in twee variabelen x en y. De parameters in de vergelijking bepalen de vorm van de kegelsnede. In tabel is weergegeven welke combinatie een bepaalde kegelsnede levert. In het vervolg van deze tekst worden deze criteria afgeleid. Vervolgens kijken we naar doorsneden van kegelsneden met lijnen en bepalen we raaklijnen aan kegelsneden. Als laatste staan we stil bij de bewijzen dat de doorsneden van een kegel met een vlak ook werkelijk ellipsen, hyperbolen en parabolen zijn.. Cirkel In deze sectie concentreren we ons op de cirkel. Een cirkel C: is gedefiniëerd als de verzameling punten X (x, y die een gelijke afstand (r hebben tot een middelpunt M (x M, y M. Deze afstand r wordt de straal van de cirkel genoemd. C : d(x, M r ( Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van M naar X C : XM r (3 ofwel C :< X M, X M > r. (4 Het uitwerken van dit inproduct levert C : (x x M + (y y M r (5 Herleiden geeft C : x + y x x M y y M + x M + y M r 0 (6

3 Deze vergelijking kunnen we zonder de cirkel te veranderen met een constante vermenigvuldigen b.v. u. Dit levert: c : ux + uy ux x M uy y M + ux M + uy M ur 0 (7 Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (. Dan is a b u, h 0, g ux M, f uy M en c ux M + uy M ur. Merk op dat altijd geldt: a b. Dit is dus het criterium voor de cirkel in de lijst van criteria ( aangevuld met de conditie c f +g 0. a Opdracht: Verklaar deze conditie. Voorbeeld: Opdracht: Bepaal algebraïsch het middelpunt en de straal van de cirkel c : x + y 8x + 4y 0 :Oplossing: Deel vergelijking door : c : x + y 4x + y 0 Splits kwadraten af: c : (x + (y Herschrijf: c : (x + (y + 6 Dus: r 4 en M (, Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren.. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M (3, 4 en straal r.. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M (, 4 die door het punt A (3, 3 gaat. 3. Bepaal algebraïsch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaal indien mogelijk algebraïsch het middelpunt en de straal. (a P : 3x + 3y 4x + 6y (b Q : x + 4y 3x 6y 3 0 (c R : x + y 3x 4y 0 (d S : 3x + 3y x + y Voor welke waarde(n van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal? C : x + y 4x + fy Voor welke waarde(n van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat? C : ax + y 4x + 8y + c 0 6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 3

4 . Parabool Een parabool P is gedefiniëerd als de verzameling punten X (x, y die een gelijke afstand hebben tot een lijn l :< X, n l > w genaamd de richtlijn en een punt F (s, t die we het brandpunt of de ( focus noemen. ( constructie parabool De lijn is hier gegeven in inproduct notatie waarin x u X en n y l de normaalvector van de lijn l zijn. De definitie leidt tot de volgende v vergelijking: P : d(x, F d(x, l (8 Deze vergelijking is te schrijven als de lengte van de vector van F naar X en de afstand van een punt tot een lijn. P : XF < X, n l > w n l (9 ofwel P : (x s + (y t (ux + vy w u + v (0 Opgaven: 7. Herleid deze vergelijking tot P : v x uvxy + u y + (uw s(u + v x + (vw t(u + v y + (s + t (u + v w 0 Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking (. Dan is a v b u h uv g uw s(u + v (4 f vw t(u + v (5 c (s + t (u + v w (s + t (a + b w (6 Merk op dat h (uv ab een van de criteria voor een parabool in de lijst van criteria (. Dit is echter niet een voldoende voorwaarde zoals we later zullen zien. ( ( (3 Opgaven: 8. Opdracht: Leg uit waarom deze vergelijking geen cirkel kan zijn en waarom een cirkel geen parabool kan zijn? 4

5 ( 9. Gegeven is het brandpunt M 0 van de bijbehorende parabool. en de richtlijn l : x + y. Stel een vergelijking op 0. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x + y 4 en focus F (3, 3. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x p en focus F ( p, 0. De vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool.. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen. (a Laat zien dat w su + tv als F op l ligt. (b Gebruik w su + tv om formule (0 te herschrijven tot P : (x s + (y t (c Herschrijf vergelijking (7 tot (u(x s + v(y t u + v (7 P : v (x s + u (y t uv(x s(y t 0 (8 (d Vergelijking (8 is gelijk aan P : (v(x s u(y t 0 (9 Laat dit zien. (e Los vergelijking (9 op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector van deze lijn loodrecht op die van l staat. ( g f (f Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (8 en laat zien dat er dan geldt fg hc. a b (g Opdracht: Onderzoek met behulp van de applet Open kegelsnede de kegelsnede v x ( uvxy + u y g vkx + uky + c 0 de waarde van c en laat zien dat f a teken b fg is teken h een voldoende voorwaarde is om geen parabool te zijn. Het terugvinden van de richtlijn en de focus van een parabool bij een gegeven formule is een stuk lastiger dan het terugvinden van de straal en ( het middelpunt ( bij de cirkel. Een( makkelijke ( start is u b u het terugvinden van de normaal vector n l b als h < 0 of n v a l v a als h > 0. Dit volgt uit de formules, en 3. Zijn a en b kleiner dan 0 vermenigvuldig dan eerste de vergelijking met -. Opgaven: 3. (a Leid met behulp van formule 4 af dat: s wu g a + b en met behulp van formule 5 af dat: t wv f a + b (0 ( 5

6 (b Gebruik formules 6,0 en om c uit te drukken in w: (c Herleid tot gu + fv c w + f + g a + b a + b w (f + g c(a + b gu + fv (d Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen. ( (3 4. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen: (a P : x xy + y x y (b Q : x 4xy + 4y 4x y (c R : y x (d S : x + xy + y 4x + y Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen..3 Ellips Figuur : Ellips met assen D B M F A F C r A Open opgavebewijsellips.ggb Een ellips e: is gedefiniëerd als de verzameling punten X (x, y die een gelijke afstand hebben tot een cirkel c met middelpunt F (u, v en straal r en een punt F (s, t binnen de cirkel. (Zie figuur en constructie ellips e : d(x, F d(x, c (4 De punten F en F noemt men de brandpunten van de ellips. De afstand van X tot een punt A op de cirkel c is de kortste weg tot de cirkel en X ligt daarom op de straal F A. De afstand d(x, c is dan gelijk aan: d(x, c d(a, X d(a, F d(f, X r d(f, X. (5 6

7 Substitutie van (5 in (4 geeft: e : d(x, F r d(f, X (6 Herleiden geeft: e : d(x, F + d(f, X r (7 ofwel e : (x u + (y v + (x s + (y t r (8 Definieer A (x u + (y v x ux + u + y vy + v (9 en B (x s + (y t x sx + s + y ty + t (30 dan kunnen we schrijven: e : A + B r (3 Kwadrateren levert: Nogmaals kwadrateren levert: e : A + A B + B r e : A B r (A + B 4A B r 4 (A + Br + A + A B + B (3 e : 0 r 4 (A + Br + A A B + B e : 0 r 4 (A + Br + (A B e : 0 r 4 (x + y (u + sx (v + ty + u + s + v + t r +((s ux + (t vy + u s + v t (33 e : 0 4((s u r x +8(s u(t vxy +4((t v r y +4((u + sr + (s u(u s + v t x +4((v + tr + (t v(u s + v t y +r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t (34 7

8 Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking ( dan is: a 4((s u r (35 b 4((t v r (36 h 4(s u(t v (37 g ((u + sr + (s u(u s + v t (38 f ((v + tr + (t v(u s + v t (39 c r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t (40 Opgaven: 6. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h < ab waar is. 7. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F (0, 0 en het punt F (3, 0 binnen de cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F wordt vastgelegd. 8. Zie figuur Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F en straal r en het punt F binnen de cirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van de ellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F F de korte as. Noemen we de snijpunten van de lange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat ( ( ( d(a, B (d(f, C d(f, F d(c, D + (4 9. Zie figuur 3. Gegeven zijn F ( γ, 0 en het punt F (γ, 0 en de cirkel c met middelpunt F en straal r > γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die door F en F wordt vastgelegd, is te schrijven als: e : x α + y β (4 waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as. Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α β + γ ofwel γ α β tussen α, β en γ. 0. Vergelijking 4 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voor de ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (, gaat.. De ellips e : x 6 + y 9 wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en plaatsen in negatieve richting langs de y-as. (translatie t(3,-. Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaal de brandpunten van deze nieuwe ellips. 8

9 . Onderzoek het verschil tussen de ellipsen en e : x 6 + y 9 e : x 9 + y 6 Kun je een uitspraak doen over de coördinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de ellips. 3. De ellips e : (x p p + y 9 gaat door het punt (, 3 3. Bepaal exact de waarde(n van p. 4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. Figuur 3: applets a 0.5 A(-α,0 α γ F (-γ,0 D(0,β β F (γ,0 B(α,0 A( α, 0 B(α, 0 M F ( γ, 0 F (γ, 0 α β P C(0,-β Open ellipsrondo.ggb Open hyperboolrondo.ggb.4 Hyperbool Een hyperbool h: is gedefiniëerd als de verzameling punten X (x, y die een gelijke afstand hebben tot een cirkel c met middelpunt F (u, v en straal r en een punt F (s, t buiten de cirkel. ( constructie hyperbool h : d(x, F d(x, c (43 De punten F en F noemt men de brandpunten van de hyperbool. De lijn door F en F is een symmetrieas van de hyperbool evenals de middelloodlijn van lijnstuk F F. De snijpunten A en B van de symmetrie as door F en F met de hyperbool noemt men de toppen van de hyperbool. Het snijpunt van de symmetrieassen ofwel midden van lijnstuk F F noemt men het middelpunt van de hyperbool. 9

10 Figuur 4: hyperbool met assen as c B M A F as F r A Open hyperboolmetassen.ggb We leiden weer een vergelijking af. De afstand van X tot een punt A op de cirkel c is de kortste weg tot de cirkel en X ligt daarom op de lijn F A. De afstand d(x, c is dan gelijk aan: d(x, c d(a, X d(f, X d(a, F d(f, X r. (44 Substitutie van (44 in (43 geeft: h : d(x, F d(f, X r (45 Herleiden geeft: h : d(x, F d(f, X r (46 ofwel h : (x u + (y v (x s + (y t r (47 Definieer weer A (x u + (y v x ux + u + y vy + v (48 en B (x s + (y t x sx + s + y ty + t (49 dan kunnen we schrijven: h : A B r (50 0

11 Kwadrateren levert: Nogmaals kwadrateren levert: h : A A B + B r h : A B (A + B r h : 4A B r 4 (A + Br + A + A B + B Deze vergelijking is precies dezelfde als vergelijking (3 gevonden bij de ellips zodat h : 0 4((s u r x +8(s u(t vxy +4((t v r y +4((u + sr + (s u(u s + v t x +4((v + tr + (t v(u s + v t y +r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t (5 Vergelijken we deze laatste vorm met de algemene kwadratische vergelijking ( dan is: a 4((s u r (5 b 4((t v r (53 h 4(s u(t v (54 g ((u + sr + (s u(u s + v t (55 f ((v + tr + (t v(u s + v t (56 c r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t (57 Opgaven: 5. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h > ab waar is. 6. Zie figuur 3. Gegeven zijn F ( γ, 0 en het punt F (γ, 0 en de cirkel c met middelpunt F en straal r < γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, die door F en F wordt vastgelegd, is te schrijven als: h : x α y β (58 waarin α de afstand van M tot A in figuur (4 of wel kortste afstand tussen de twee takken van de hyperbool. Verder is γ α + β. 7. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h : x 9 y 8 Deze hyperbool ondergaat de translatie t(, 3. Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de coördinaten van de toppen en de brandpunten.

12 8. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h : x 4 y 9 Deze hyperbool ondergaat een rotatie ( over een hoek θ radialen tegen de richting van de klok. Een willekeurige vector X x wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R ( y cos(θ sin(θ zodat sin(θ cos(θ X R X ( x cos(θ y sin(θ x sin(θ + y cos(θ en X R X ( x cos(θ + y sin(θ x sin(θ + y cos(θ (a Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool en waarom? (Tip:Vergelijk met het proces met het proces van translatie. Onderzoek je antwoord met geogebra Open rotatiekegelsnede.ggb (b Neem θ π Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor 3 de assen van de hyperbool en bepaal de coördinaten van de toppen en de brandpunten. (c Na een rotatie over een hoek van θ π volgt nog een translatie (-,. Geef de nieuwe 4 vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de coördinaten van de toppen en de brandpunten. 9. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen en h : x 6 y 9 h : x 9 y 6 h : x 9 + y 6 Kun je een uitspraak doen over de coördinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de hyperbool. 30. De hyperbool h : x p y p gaat door het punt ( 3, Bepaal de waarde(n van p.

13 3. De conditie voor een hyperbool in vergelijking ( is h > ab, die voor een ellips h < ab en voor een parabool h ab. Als F op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool? (a Laat zien dat, als geldt als d(f, F r, de parameters a, b, g en f (5,53,55 en 56 gelijk zijn aan a 4(t v b 4(s u g ((u + s((s u + (t v + (s u(u s + v t f ((v + t((s u + (t v + (t v(u s + v t (b Laat zien dat a b ( g f. (c Wat is de kegelsnede als F op de cirkel ligt? (d Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34 eruit als F F. Is de kegelsnede dan een cirkel? 3. De hyperbool h : 6 x 9 y x 3 y + 0 is een translatie t(p, q van een standaard hyperbool. Bepaal p en q. 33. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen..5 Inverse probleem hyperbool en ellips Bij algemene formule voor de cirkel en parabool zijn er methoden gepresenteerd om het middelpunt en de straal en de richtlijn en het brandpunt terug te vinden. In deze sectie worden methoden gepresenteerd voor de hyperbool en de ellips. Hoewel de parameterdefinities in (35-40 en (5-57 in principe omgekeerd kunnen worden om de brandpunten en de straal terug te vinden, zijn de startpunten van de zoektocht de standaard vergelijkingen: h : x y met γ β + α voor de hyperbool en α β e : x + y met α β + γ voor de ellips. De brandpunten voor de hyperbool en de ellips zijn α β F ( γ, 0 en F (γ, 0. Bovendien is r gelijk aan α. In opgave (8 heb je aangetoond dat, als een punt wordt geroteerd over een hoek θ tegen de richting van de klok en daarna de translatie t(p, q ondergaat, de term x en y in de standaard vorm moeten worden vervangen door respectievelijk en (x p cos(θ + (y q sin(θ (59 (x p sin(θ + (y q cos(θ (60 3

14 Op basis van deze substituties worden de parameters a, h, b, g, f en c uitgedrukt in α, β, p, q en θ. Vervolgens wordt de terugweg afgeleid als de kegelsnede wordt gegeven in de algemene vorm (. Substitutie van (59 en (60 in de standaard vorm voor de hyperbool geeft: h : ((x p cos(θ + (y q sin(θ α ( (x p sin(θ + (y q cos(θ β h : β ((x p cos(θ + (y q sin(θ α ( (x p sin(θ + (y q cos(θ α β h : β ((x p cos (θ + (x p(y q cos(θ sin(θ + (y q sin (θ α ((x p sin (θ (x p(y q cos(θ sin(θ + (y q cos (θ α β In bovenstaande vergelijking sorteren we nu de termen met x, xy, y, x, y en de constante. h : (β cos (θ α sin (θx +(β + α cos(θ sin(θxy +(β sin (θ α cos (θy +( pβ cos (θ qβ cos(θ sin(θ + pα sin (θ qα cos(θ sin(θx +( qβ sin (θ pβ cos(θ sin(θ + qα cos (θ pα cos(θ sin(θy +(β cos (θ α sin (θp +(β + α cos(θ sin(θpq +(β sin (θ α cos (θq α β (6 Waar uit volgt: a β cos (θ α sin (θ (6 h (β + α cos(θ sin(θ γ cos(θ sin(θ (63 b β sin (θ α cos (θ (64 g ( pβ cos (θ qβ cos(θ sin(θ + pα sin (θ qα cos(θ sin(θ (65 f ( qβ sin (θ pβ cos(θ sin(θ + qα cos (θ pα cos(θ sin(θy (66 c (β cos (θ α sin (θp +(β + α cos(θ sin(θpq +(β sin (θ α cos (θq α β (67 Nu de weg terug: Vergelijkingen ( 6,63 en 64 zijn bij gegeven a, h en b drie vergelijkingen met drie onbekenden. Bekijk eerst het stelsel { a β cos (θ α sin (θ b β sin (θ α cos (θ 4

15 Ofwel in matrix notatie ( ( a cos (θ sin (θ b sin (θ cos (θ ( β α ( β α ( cos (θ sin ( (θ a sin (θ cos ( (θ b ( cos (θ sin (θ a cos 4 (θ+sin 4 (θ ( sin (θ cos (θ ( b cos (θ sin (θ a sin (θ cos (θ b cos (θ sin (θ ( β α ( a cos (θ b sin (θ cos (θ sin (θ a sin (θ b cos (θ cos (θ sin (θ (68 Merk op dat de inverse alleen bestaat als cos (θ sin (θ 0. Is dit wel het geval dan volgt uit (6 en (64 dat a b. We komen later op deze situatie terug. Invullen van de waarden voor β en α in (63 levert: h ( a cos (θ b sin (θ + a sin (θ b cos (θ cos(θ sin(θ cos (θ sin (θ cos (θ sin (θ ( (a b(cos (θ+sin (θ cos(θ sin(θ ( cos (θ sin (θ (a b cos (θ sin (θ (a b sin(θ cos(θ cos(θ sin(θ (a b tan(θ θ tan h a b (69 Nu α, β en θ bekend zijn, blijft over het vinden van p en q uit (65 en 66. g ( pβ cos (θ qβ cos(θ sin(θ + pα sin (θ qα cos(θ sin(θ f ( qβ sin (θ pβ cos(θ sin(θ + qα cos (θ pα cos(θ sin(θ Ofwel in matrix notatie ( ( g ( β cos (θ + α sin (θ f ( ( β cos(θ sin(θ ( α cos(θ sin(θ a h p ( ( h b ( q g a h p f h b q ( ( ( p a h g q h b f ( ( b h g ab h h a f 5 ( β cos(θ sin(θ α cos(θ sin(θ (α cos (θ β sin (θ ( p q

16 ( p q ( hf bg ab h hg af ab h (70 Als cos (θ sin (θ 0 dan is θ π 4 +kπ met k een geheel getal. Uit (63 volgt dan dat γ h. Als h < 0 dan is θ 3π 4 en als h > 0 dan is θ π 4. Opdracht: Toon nu zelf met (6 aan dat α h a en β h + a.5. Effect c De bovenstaande methode werkt alleen als de waarde van c in de gegeven vergelijking gelijk is aan de waarde van c na herberekening van (67 (noem deze waarde van c c met de gevonden waarden voor p, q, α, β en θ. Is er een verschil dan moeten de gevonden waarden voor α en β worden vermenigvuldigd met c c α β, zodat: α α ( c c α β (7 β β ( c c α β (7 Deze correctie treedt op als de oorspronkelijke vergelijking van de hyperbool of ellips, voor rotatie en verplaatsing, van de vorm is geweest. β x ± α x α β x + verschil Mochten de nieuwe waarden α en β door de berekening negatief worden, dan verandert de teruggevonden hyperbool van as. Opgaven: 34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind h γ cos(θ sin(θ (73 h γ cos(θ sin(θ ( β α ( a cos (θ b sin (θ cos (θ sin (θ b cos (θ a sin (θ cos (θ sin (θ (74 θ tan ( p q h a b ( hf bg ab h hg af ab h (75 (76 6

17 35. Gebruik het feit dat γ > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welke kwadranten θ moet liggen. 36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x xy+3y +0x 4y+ 0 definiëren. 37. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x 8xy + 7y + 38x 6y definiëren. 38. Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen en straal van de cirkel die de volgende kegelsneden definiëren: (a k : x 6x + y + y + 0 (b k : 3x + 6xy 5y x 0y (c k 3 : 4x + xy + 9y 8x + 88y (d k 4 : 4x + 4xy + y 0x 0y Meer opgaven zijn te vinden op Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. Raaklijn In dit hoofdstuk leer je vergelijkingen op te stellen van raaklijnen aan kegelsneden door een punt op de kegelsnede. We geven eerst een oplossing die voor iedere kegelsnede toepasbaar is. Daarna zal er in deelparagrafen worden gekeken naar snellere methoden of specifieke eigenschappen voor bepaalde kegelsneden.. De algemene aanpak Het probleem is het volgende: Gegeven is een punt A(x A, y A op de kegelsnede. Opdracht: Stel de vergelijking op van de raaklijn aan dit punt. Oplossing: De algemene vergelijking voor een raaklijn l is l : y ax + b. De richtingscoëfficient a is gelijk aan de afgeleide dy dx (x A, y A van de kegelsnede in het punt A. De afgeleide krijgen we door de vergelijking van k te differentiëren naar x. Herschrijven levert: dk dx : dy dy ax + hy + hxdy + by + g + f dx dx dx 0 dk dx : dy (hx + by + f (ax + hy + g dx dk dx : dy dx ax + hy + g hx + by + f 7 (77

18 Dus l : y ax A + hy A + g hx A + by A + f x + b (78 Omdat A ook op deze lijn ligt kunnen we b als volgt bepalen: y A ax A + hy A + g hx A + by A + f x A + b b y A + ax A + hy A + g hx A + by A + f x A (79 De vergelijking voor de raaklijn wordt dan: l : y ax A + hy A + g hx A + by A + f x + y A + ax A + hy A + g hx A + by A + f x A (80 Omdat de noemer in dy nul is bij verticale raaklijnen is een vergelijking van de raaklijn waarin noemer dx is nul niet meer voorkomt aantrekkelijker. Vermenigvuldig daartoe de vergelijking van de raaklijn met (hx A + by A + f. Je krijgt dan: l : (hx A + by A + fy (ax A + hy A + gx + (hx A + by A + fy A + (ax A + hy A + gx A (hx A + by A + fy + (ax A + hy A + gx ax A + hx A y A + by A + gx A + fy A (8 De rechterkant van vergelijking 8 kunnen we versimpelen door gebruik te maken van de definitie van de kegelsnede in : k : ax + hxy + by + gx + fy + c 0 k : ax + hxy + by + gx + fy gx fx c De uiteindelijke vergelijking voor de raaklijn wordt dan: (ax A + hy A + gx + (hx A + by A + fy gx A fy A c (8 voorbeelden. Gegeven is de parabool y 4x 0. Geef de raaklijn in het punt A(4, 4. We bieden twee oplossingen. De eerste is het naspelen van de boven geschetste afleiding: Differentiëren levert: y dy dx 4 0 8

19 dy dx 4 y dy dx (x A, y A y x + b 4 8 b 4 4 y x + De tweede oplossing is het invullen van de bewezen vergelijking (8. Gegeven is de ellips 4y x 8 (x 4 + (y 3 9 Geef de raaklijn in het punt A(, Differentieëren levert: Ofwel x 4 dy dx + y 3 9 dy dx 0. 9(x 4(y 3. Invullen van A(, geeft dy dx (, b b 3 3 y 3 3x Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren.. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt A ( 3, 3 3 aan de hyperbool h : 4x 6 9 y 9 0. Gegeven is de hyperbool h : 5x 0xy + y 40x + 6y Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen in de punten A en B op de hyperbool waarvoor de x-coördinaat gelijk is aan. 9

20 3. Gegeven is de parabool p : x + xy + y 8x 4y (a Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de parabool door het punt A waarvoor x A. (b Bepaal exact de minimale waarde voor x en de maximale waarde voor y. (c Een raaklijn y ax + b heeft richtingscoeëfficient a. Bepaal het raakpunt. 4. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.. Raaklijn cirkel Gegeven is de cirkel c, die we weergeven in inproduct notatie: c :< X M, X M > r (83 Daarnaast is er de vector A die naar een punt A op de cirkel wijst. Voor de raaklijn l door A aan de cirkel geldt dat de richtingsvector loodrecht op de vector AM A M staat. Laat X een vector zijn naar een punt op de lijn ongelijk aan A, dan staat ook de vector A X loodrecht op A M. Het inproduct moet dan gelijk zijn aan nul ofwel: < A X, A M > 0 (84 Omdat A en M bekend zijn is dit al gelijk een vergelijking voor de raaklijn. Het kan echter nog eenvoudiger. Daartoe herleiden we vergelijking 84 als volgt: < A X, A M > 0 < A M + M X, A M > 0 < A M, A M > + < M X, A M > 0 (vergelijking 83 r + < M X, A M > 0 < X M, A M > r (85 Vergelijk je de vergelijking van de cirkel (83 met de vergelijking (85 dan krijg je dus een vergelijking voor de raaklijn door simpelweg een van de X-en in de vergelijking te vervangen door A. Opgaven: Maak gebruik van geogebra om je antwoorden te controleren. 5. Bepaal algebraïsch de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c met middelpunt M (, 9 en straal r door het punt A (, 0 6. Bepaal algebraïsch de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M (3, 4 en straal r 3 door de punten A en B waarvan de y-coördinaten gelijk zijn aan 5 0

21 7. Bepaal algebraïsch het snijpunt (de snijpunten van de raaklijnen aan de cirkel c met middelpunt M (, 5 en straal r r door ( de punten A en B die worden verkregen door de cirkel te snijden met de lijn l : p s + λ die een afstand r tot het middelpunt heeft. Hint: Maak eerst een plaatje en gebruik je goniometrische kennis. Kies s als het snijpunt van l en de loodlijn op l door M. 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen..3 Raaklijn hyperbool Behalve de twee symmetrieassen heeft een hyperbool nog een paar bijzondere lijnen de zogenaamde asymptoten. Het kenmerk van deze asymptoten is dat de hyperbool de lijnen benadert maar nooit x kan overschrijden. De standaardvorm van de hyperbool h : y wordt gebruikt om de α β asymptoten te vinden. 9. Opdracht: Toon aan dat x y 0. Opdracht: Beredeneer dat x lim y y lim x y y ±α β α + α β y. Opdracht: Toon aan dat dy β x dx α y. Opdracht: Beredeneer dat dy lim y dx lim dy y dx ±β α 3. Opdracht: Concludeer dat de asymptoten voor de standaard hyperbool gelijk zijn aan: βx + αy 0 βx αy 0 (86 4. Gegeven is de hyperbool h : x y. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de 3 brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten. 5. De hyperbool h : 5x 3y 0x 6y 8 0 is ontstaan door een translatie t(p, q van een standaard hyperbool. Bepaal voor deze hyperbool exact de toppen, de brandpunten en de vergelijkingen voor de asymptoten. 6. Beschouw nogmaals de hyperbool uit opgave 37 van het vorige hoofdstuk. Bepaal ook de vergelijkingen voor de asymptoten 7. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen.

22 3 Poollijn Gegeven is een punt P (x p, y p buiten de kegelsnede en de raaklijnen door dit punt die raken in de punten A en B op de kegelsnede. (Zie voorbeelden in figuur 5. De lijn door A en B noemt men de poollijn van het punt ten opzichte van de kegelsnede. We gaan nu een algemene vergelijking voor de poollijn afleiden. Vergelijking 8 gaf ons een vergelijking van een raaklijn door een punt op de kegelsnede. Voor de punten A en B levert dit: (ax A + hy A + gx + (hx A + by A + fy gx A fy A c (ax B + hy B + gx + (hx B + by B + fy gx B fy B c Omdat P op beide raaklijnen ligt geldt: (ax A + hy A + gx P + (hx A + by A + fy P gx A fy A c (ax B + hy B + gx P + (hx B + by B + fy P gx B fy B c De punten A en B liggen op de poollijn. Ieder ander punt X(x, y op de poollijn kan nu verkregen woorden door in plaats van x A en y A respectievelijk x en y in te vullen. Dit geeft dan de volgende vergelijking voor de poollijn: (ax + hy + gx P + (hx + by + fy P gx fy c We gaan deze vergelijking nog herschrijven op zo n manier dat er slechts één term x en één term y voorkomt: (ax + hy + gx P + (hx + by + fy P gx fy c axx P + hyx P + gx P + hxy P + byy P + fy P gx fy c (ax P + hy P + gx + (hx P + by P + fy gx P fy P c De poollijn van een kegelsnede ten opzichte van een punt P buiten de kegelsnede wordt dus gegeven door de vergelijking: (ax P + hy P + gx + (hx P + by P + fy gx P fy P c (87 Opgaven:. Gegeven is de parabool ( p : x 4xy + 4y 5x 4y + 0. Bepaal de poollijn ten opzichte van het punt A. 4. Gegeven is de ellips e : x 4 + y 0 en het punt P (3, 3. (a Bepaal algebraïsch de poollijn ten opzichte van het punt P.

23 (b Bepaal algebraïsch de vergelijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. 3. Gegeven is de hyperbool h : x + y en het punt P (,. Bepaal algebraïsch de verglijkingen van de raaklijnen door P aan de ellips. 4. Maak in geogebra een parabool en laat de raaklijnen vanuit een punt A aan de parabool tekenen. Laat ook de hoek tussen deze twee raaklijnen door geogebra bepalen. Beweeg het punt over de richtlijn. Wat observeer je? Bewijs dat bij een parabool p de raaklijnen aan p vanuit een punt A op de richtlijn loodrecht op elkaar staan. 5. Gegeven zijn de cirkels c : x + y 0 en c x + y 6x 0y De poollijnen t.o.v. het punt P (x P, y P snijden elkaar in het punt S(,. Bepaal algebraïsch de coördinaten van P. Open opgcirccircpool.ggb 6. Gegeven zijn de hyperbool h : 7x 8xy + 7y + 6x + 6y 0 en de ellips e : 3x xy + 3y 6x 6y 9 0. Open opgelhyppool.ggb (a Toon algebraïsch aan dat de beide kegelsneden gelijke brandpunten hebben. (b Bereken algebraïsch de snijpunten van de kegelsneden. (c Stel vergelijkingen op voor de raaklijnen aan e in de snijpunten met de x-as. (d Bepaal de hoek tussen de poollijnen van e en h ten opzichte van het het snijpunt van de raaklijnen uit de vorige deelopgave. 7. Gegeven zijn de hyperbool h : 3x y 6x+6y 9 0 en de parabool p : x y 6x+6y 0. Open opgparhyppool.ggb (a Bepaal de brandpunten van de kegelsneden. (b Bepaal de vergelijkingen voor de asymptoten van h. (c De x-as snijdt de parabool in de punten K en L. De raaklijnen aan de parabool door K en L snijden elkaar in S. Slechts één van de punten K en L bepaalt een poollijn voor h. Noem dit punt K. De poollijn snijdt de hyperbool in de punten P en Q. Bepaal de oppervlakte van de vierhoek KSP Q. 8. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 4 Bollen van Dandelin In het eerste hoofdstuk van deze tekst hebben we een bewering gedaan over de vorm van de doorsnede van een kegel en een vlak. Er is echter geen bewijs geleverd dat een dergelijke doorsnede werkelijk een ellips, een parabool of een hyperbool is. Op de website Bollen van Dandelin van Dick Klingens worden bewijzen gegeven. Opdracht: Bestudeer de bewijzen op de website en bereid een presentatie voor. 3

24 5 Literatuur. Bollen van Dandelin op pandd. Kegelsneden Herman Hofstede 4

25 6 Antwoorden 6. Antwoorden hoofdstuk :. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M (3, 4 en straal r. (x 3 + (y 4 4 x + y 6x 8y + 0. Stel een vergelijking op voor de cirkel met middelpunt M (, 4 die door het punt A (3, 3 gaat. (x + + (y 4 r Invullen A geeft: (5 + ( 6 r Vergelijking is dus x + y + 4x 8y Bepaal algebraïsch van de onderstaande vergelijkingen of het een cirkelvergelijking is en bepaal indien mogelijk algebraïsch het middelpunt en de straal. (a P : 3x + 3y 4x + 6y x + y 8x + y (x 4 + (y (x 4 + (y + 9 M (4, en r 3 (b Q : x + 4y 3x 6y dus geen cirkel (c R : x + y 3x 4y 0 (x 3 + (y (x 3 + (y 5 4 M ( 3, en r (d S : 3x + 3y x + y + 0 x + y x + y (x 3 + (y (x (y Wortel van negatief getal kan hier niet dus geen cirkel Voor welke waarde(n van f is de volgende kegelsnede een cirkel met straal? C : x + y 4x + fy + 0 C : x + y 4x + fy + 0 (x + (y + f 4 f + 0 (x + (y + f 4 + f f 9 f 3 f 3 5. Voor welke waarde(n van a en c is de volgende kegelsnede een punt en welk punt is dat? C : ax + y 4x + 8y + c 0 a x + y x + 4y + c 0 (x + (y c 0 c 0 5

26 6. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 7. (x s + (y t (ux+vy w u +v x sx + s + y ty + t u x +v y +w +uvxy uwx uvx u +v (u + v x s(u + v x + (u + v y t(u + v y + (s + t (u + v u x + v y + w + uvxy uwx uvx 8. v x uvxy + u y + (vw s(u + v x + (uw t(u + v y + (s + t w 0 P : v x uvxy + u y + (uw s(u + v x + (vw t(u + v y + (s + t (u + v w 0 Als a b moet gelden is u v dan is echter h uv 0 en kan het geen cirkel zijn. Als h 0 moet gelden is u 0 v 0 dan is echter a b en kan het geen cirkel zijn. ( 9. Gegeven is het brandpunt M en de richtlijn l : x + y. Stel een vergelijking op 0 van de bijbehorende parabool. Invullen in vergelijking (0 geeft (x + y (x+y+ + 5(x + 5y 4x + y + 4xy + 8x + 4y + 4 x 4xy + 4y 8x 4y Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x + y 4 en focus F (3, 3 Invullen in vergelijking (-6 geeft 4x 4xy + y + (uw s(u + v x + (vw t(u + v y + (s + t (u + v w 0. Geef de vergelijking voor de parabool met richtlijn l : x p en focus F ( p, 0. De vergelijking die je hier vindt noemen we de standaard vorm voor een parabool. y + ( p p( ( 4 p ( p y px 0. Als F op l ligt dan is kegelsnede een lijn door F loodrecht op l. Je zult dit nu aantonen. (a Als F op l moeten de coöordinaten van F voldoen aan de vergelijking van de lijn. De conditie hiervoor is dus w su + tv (b Gebruik w su + tv om formule (0 te herschrijven tot P : (x s + (y t (u(x s + v(y t u + v Substitutie van w geeft P : (x s + (y t (ux+vy (su+tv u +v P : (x s + (y t (u(x s+v(y t u +v (c Herschrijf vergelijking (7 tot P : ((x s + (y t (u + v (u(x s + v(y t P : ((x s + (y t (u + v u (x s + uv(x s(y t + v (y t P : ((x s +(y t u +((x s +(y t v u (x s uv(x s(y t v (y t P : v (x s + u (y t uv(x s(y t 0 6

27 (d Vergelijking (8 is gelijk aan P : (v(x s u(y t 0 Laat dit zien. Het kwadraat (a b a ab + b is hier van toepassing dus: P : v (x s + u (y t uv(x s(y t (v(x s u(y t 0 (e Los vergelijking (d op en laat zien dat F op deze lijn ligt en dat de normaalvector van deze lijn loodrecht op die van l staat. (v(x s u(y t 0 vx uy vs ut 0 Dit is een vergelijking voor een lijn die door het punt F (s, t gaat. De normaalvector ( v u van deze lijn staat loodrecht op die van l want < ( v u, ( u v > 0. ( g (f Opdracht: Werk de haakjes weg in vergelijking (c en laat zien dat er dan geldt f a fg hc. b v x v sx + v s + u y u ty + u t uv(xy xt ys + ts v x uvxy + u y (v s uvtx (u t uvsy + v s + u t uvts 0 v x uvxy + u y v(vs utx u(ut vsy + v s + u t uvts 0 { ab v ( u ( v(vs ut f g (g geen antwoord u(ut vs ( v v u u ( f g 3. (a Leid met behulp van formule 4 af dat: s wu g a + b g uw s(u + v g uw s(u + v s uw g (a+b af dat: t wv f a + b Doe het zelfde als hier boven voor s. (b Gebruik formules 6,0 en om c uit te drukken in w: gu + fw c w + f + g a + b a + b ( ( c wu g ( a+b + wv f (a + b w a+b c (wu g +(wv f w (a+b c (wu uwg+g +(wv vwf+f w (a+b c uwg+g vwf+f + w u +v (a+b (a+b w c w ug+fv + f +g (a+b (a+b en met behulp van formule 5 (c Herleid tot w (f + g c(a + b gu + fv 7

28 c w ug+fv + f +g (a+b (a+b w ug+fv f +g c (a+b (a+b w (f +g c(a+b ug+fv (d Overtuig jezelf dat je nu de richtlijn en de focus kan bepalen. Geen antwoord 4. Vind de richtlijn en de focus voor de volgende parabolen: (a P : x xy + y x y a v, uv, b u, g f, c 3 Richtlijn: u v u v We gaan hier verder met u v. Overtuig jezelf dat u v tot dezelfde lijn leidt. w (f +g c(a+b (( +( 3(+ 4 gu+fv + De richtlijn is dus x + y. Focus: s wu g a+b + t wv f a+b + Het brandpunt is dus het punt F (, (b Q : x 4xy + 4y 4x y a v, uv, b u 4, g 7, f, c 4 Richtlijn: u v u v We gaan hier verder met u v. w (f +g c(a+b (( +( 7 4(+4 30 gu+fv De richtlijn is dus x + y. Focus: s wu g 7 a+b +4 t wv f 0 a+b +4 Het brandpunt is dus het punt F (, 0 (c R : y x a v 0, uv 0, b u, g, f 0, c 3 Richtlijn: u u v 0 We gaan hier verder met u. w (f +g c(a+b 3( gu+fv De richtlijn is dus x. Focus: s wu g a+b t wv f a+b 0 0 Het brandpunt is dus het punt F (, 0 (d S : x + xy + y 4x + y 6 0 a v, uv, b v, g, f, c 6 Richtlijn: u v u v We gaan hier verder met u v. w (f +g c(a+b +4 6( 7 7 gu+fv De richtlijn is dus x y 7. 6 Focus: 8

29 s wu g a+b t wv f 7 6 a+b Het brandpunt is dus het punt F ( 5, 5. Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. Geen antwoord 6. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een ellips: h < ab waar is. <? ab h (4(s u(t v? < (4((s u r (4((t v r 6(s u (t v? < 6((s u r ((t v r (s u (t v? < (s u (t v ((s u + (t v r + r 4 Omdat F zich binnen de cirkel bevindt is d(f F < r en dus ((s u +(t v < r. Daarom is ((s u + (t v r < r 4 en ((s u + (t v r + r 4 > 0 Het beweerde is dus waar. 7. Gegeven zijn de cirkel C met straal 4 en middelpunt F (0, 0 en het punt F (3, 0 binnen de cirkel. Bepaal de vergelijking van de ellips die door c en F wordt vastgelegd. a 4((s u r 4(( b 4((t v r 4(( h 4(s u(t v 4(3 0(0 0 0 g ((u + sr + (s u(u s + v t ( ( f ((v + tr + (t v(u s + v t ( c r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t (9 49 De ellips is 8x 64y + 84x Zie figuur Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt F en straal r en het punt F binnen de cirkel die de ellips e vastleggen. De lijn door de brandpunten noemt men de lange as van de ellips e en de middelloodlijn van lijnstuk F F de korte as. Noemen we de snijpunten van de lange as met ellips A en B en de snijpunten van de korte as met ellips C en D bewijs dan dat ( ( ( d(a, B d(f, C d(f, F d(c, D + Bewijs: Eerst bewijzen we dat de lengte van de lange as AB gelijk is aan r. Een punt op de ellips wordt verkregen als het snijpunt van de straal naar een punt A op de cirkel en de middelloodlijn van F A. Als het punt A in het verlengde van F F het dichtst bij F ligt dan staat de middelloodlijn van F A loodrecht op die lijn en is B op F F het snijpunt. Nu geldt BF F A. Ligt A in het verlengde van F F het dichtst bij F dan is F A r BF. Ook nu staat de staat de middelloodlijn van F A loodrecht op F F en is AF r BF. De lengte van AB is nu gelijk aan AB AF + BF r BF + BF r. Verder is ook nog AF r AF BF Vervolgens bewijzen we dat F C r. Voor de raaklijn aan de ellips in C geldt dat de raaklijn evenwijdig moet zijn aan de lange as, ofwel de middelloodlijn van F A moet evenwijdig zijn aan de lange as. Het is dan eenvoudig te bewijzen dat F F A gelijkvormig (hh is met CC A, waarin C het midden is van F A en is dus F C F A r. 9

30 Nu moeten we laten zien dat CM loodrecht staat op AB. Omdat de middelloodlijn van F A evenwijdig is met AB staat F A loodrecht op AB. De lijn door C evenwijdig aan F A is de middenparallel van driehoek F F A die dus ook AB loodrecht snijdt en wel in het midden van F F en ook van AB. Zo is F MC een rechthoekige driehoek en geldt dus de stelling van Pythagoras. Als laatste moeten we laten zien dat M het midden is van CD. Als we de bovenstaande redenatie hadden gedaan met de raaklijn in D dan hadden we ook gevonden dat F A loodrecht op AB staat en dat DM evenwijdig is aan F A en dus loodrecht op AB staat en dat F D r. Nu zijn volgens ZZR de driehoeken F MD en F MC congruent is CM DM. Klaar. 9. Zie figuur 3. Gegeven zijn F ( γ, 0 en het punt F (γ, 0 en de cirkel c met middelpunt F en straal r > γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de ellips e, die door F en F wordt vastgelegd, is te schrijven als: e : x α + y β waarin α de halve lengte van de lange as is en β de halve lengte van de korte as. Hint: gebruik de vorige opgave voor het vinden van de relatie α β + γ tussen α, β en γ. a 4((γ γ r 4(4γ r 4(r 4γ b 4((0 0 r 4r h 4(γ γ(0 0 0 g (( γ + γr + (γ γ(( γ γ (γ 0 0 f ((0 + 0r + (0 0(( γ γ c r 4 r (( γ + γ (( γ γ r 4 4r γ De vergelijking voor de ellips is nu: 4(r 4γ x 4r y + r 4 4r γ 0 6( r γ r x 4r y 4r ( r γ 6β x 4r y 4r β 4 x + y r β x r + y β x α + y β 0. Vergelijking 4 noemen we de standaard vorm voor een ellips. Bepaal de standaard vorm voor de ellips waarvan de korte as de lengte 3 heeft en die door het punt (, gaat. x + y α β x + y α 9 Invullen punt geeft: α α α 9 α De vergelijking voor de ellips is nu: e : x + y gα β. De ellips e : x 6 + y 9 30

31 wordt 3 plaatsen in positieve richting langs de x-as verschoven en plaatsen in negatieve richting langs de y-as. (translatie t(3,-. Geef de vergelijking van de nieuwe ellips en bepaal de brandpunten van deze nieuwe ellips. De vergelijking is: e : (x 3 + (y+ 6 9 Ook de brandpunten ondergaan dezelfde translatie. Voor de oorspronkelijke brandpunten F ( γ, 0 en F (γ, 0 vinden we γ uit α β + γ : γ γ 7. De nieuwe brandpunten zijn dus: F (3 7, en F (3 + 7,. Onderzoek het verschil tussen de ellipsen en e : x 6 + y 9 e : x 9 + y 6 Kun je een uitspraak doen over de coördinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de ellips. De assen wisselen van plaats. Lange as verticaal korte as horizontaal. Uitspraak: Als α > β dan zijn de brandpunten F ( γ, 0 en F (γ, 0. Als α < β dan zijn de brandpunten F (0, γ en F (0, γ 3. De ellips e : (x p p Invullen punt geeft: ( p + 3 ( p p 4 p + y 9 gaat door het punt (, 3 3. Bepaal exact de waarde(n van p. 4 ( p p 4 p + p p 4 3p + 8p 4 0 p, 8± Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 5. Toon met een berekening aan dat het criterium voor een hyperbool: h > ab waar is. ab 6((s u r ((t v r 6((s u (t v r ((s u + (t v + r 4 h 6(s u(t v Nu is d(f, F (s u + (t v > r. Dus is: r ((s u + (t v > r 4 r ((s u + (t v + r 4 < 0 ab < h. 6. Zie figuur 3. Gegeven zijn F ( γ, 0 en het punt F (γ, 0 en de cirkel c met middelpunt F en straal r < γ. laat met een afleiding zien dat de vergelijking voor de hyperbool h, die door F en F wordt vastgelegd, is te schrijven als: h : x α y β 3

32 waarin α de afstand van M tot A in figuur (4 of wel kortste afstand tussen de twee takken van de hyperbool. Verder is β γ α. a 4((γ γ r 4(4γ r b 4((0 0 r 4r h 4(γ γ(0 0 0 g (( γ + γr + (γ γ(γ γ f ((0 + 0r + (0 0(u s + v t 0 c r 4 r (γ + γ (γ γ r 4 4r γ De vergelijking voor de hyperbool wordt dan: 4(4γ r x 4r y + r 4 4r γ 0 6(γ r x 4r y 4r ( r r γ x r + y r γ r x α y β r γ 7. Bovenstaande vorm noemen we de standaard vorm voor een hyperbool. Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h : x 9 y 8 Deze hyperbool ondergaat de translatie t(, 3. Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. Geef ook vergelijkingen voor de assen van de hyperbool en bepaal de coördinaten van de toppen en de brandpunten. De translatie geeft h : (x 9 (y De toppen van de originele hyperbool hebben de coördinaten A ( 9, 0 en B ( 9, 0. Na translatie worden dit de punten A (, 3 en B (5, 3. Voor de brandpunten bepalen we γ uit de relatie β γ α: 8 γ 9 γ 7. Dit geeft de brandpunten voor de originele hyperbool F ( 7, 0 en F ( 7, 0. Na translatie worden dit de punten F ( 7, 3 en F ( + 7, 3. De assen hebben de vergelijking x en y Gegeven is de hyperbool in standaard vorm. h : x 4 y 9 Deze hyperbool ondergaat een rotatie ( over een hoek θ radialen tegen de richting van de klok. Een willekeurige vector X x wordt dus vermenigvuldigt met de matrix R ( y cos(θ sin(θ zodat sin(θ cos(θ ( X RX x cos(θ y sin(θ x sin(θ + y cos(θ 3

33 en X R X ( x cos(θ + y sin(θ x sin(θ + y cos(θ (a Welke van de twee vormen moet worden ingevuld in de vergelijking van de hyperbool en waarom? x en y moeten vervangen worden door respectievelijk x cos(θ + y sin(θ en x sin(θ + y cos(θ. Net als bij de translatie moet nieuwe waarden van x en y worden teruggezet naar de oorspronkelijke x en y waarden. (b Neem θ π 3 Geef de nieuwe vergelijking van de hyperbool. h : (x cos( π + y sin( π 3 3 ( x sin( π + y cos( π h : ( x + y 3 ( x 3 + y 4 9 De toppen van de ( oorspronkelijke hyperbool zijn (, 0 en (, 0. Na rotatie zijn dit ( ( ( de coördinaten 3 ( 3 3 en ( 3 De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool ( zijn ( sqrt(9 + 4, 0 en (sqrt(9 + ( ( 4, 0. Na rotatie zijn dit de coördinaten en 0 39 ( ( ( De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h as : y 0 en v as : x 0. Na rotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven: h as : x 3 + y 0 en v as : x + y 3 0 (c Na een rotatie over een hoek van θ π volgt nog een translatie (-,. 4 Na rotatie h : (x cos( π + y sin( π 4 4 ( x sin( π + y cos( π h : ( x + y ( x + y 4 9 h : ( x + y ( x + y 9 Nu translatie (,. Vervang x door x + en y door y : h 3 : ( x+ + y x+ ( + y 9 De toppen van de oorspronkelijke hyperbool zijn (, 0 en (, 0. Na rotatie zijn dit de coördinaten: 33

34 ( ( 0 ( ( ( en ( 0 Na de translatie zijn dat de punten ( + + en ( De brandpunten van de oorspronkelijke hyperbool zijn ( sqrt(3, 0 en (sqrt(3, 0. Na ( ( ( rotatie zijn dit de coördinaten 3 ( 6 en 0 6 ( 6 6 Na de translatie zijn dat de punten ( + 6, + 6 en ( 6, 6 De assen van de oorspronkelijke hyperbool zijn h as : y 0 en v as : x 0. Na rotatie worden dat de lijnen (vervang x en y net als boven: h as : x + y 0 en v as : x + y 0 Na de translatie zijn dat de lijnen: h as 3 : x+ + y 0 en v as : x+ + y 0 ( 9. Onderzoek het verschil tussen de hyperbolen en h : x 6 y 9 h : x 9 y 6 h : x 9 + y 6 Kun je een uitspraak doen over de coördinaten van de brandpunten op basis van de waarden α en β in de standaard vorm van de hyperbool. Het maakt niet uit of α > β dan wel α < β wat betreft de ligging van de toppen. Alleen als het teken voor x en y wordt gewisseld verhuizen de toppen naar de y-as. 30. De hyperbool h : x p y p gaat door het punt ( 3, Bepaal de waarde(n van p. Invullen punt: ( 3 3p 7 p 6 p ( p p 3p 7 6 p p 3p p, 3 ± De conditie voor een hyperbool in vergelijking ( is h > ab, die voor een ellips h < ab en voor een parabool h ab. Als F op de cirkel komt te liggen is er dan sprake van een parabool? 34

35 (a Laat zien dat de parameters (5,53,55 en 56 als d(f, F r gelijk zijn aan a 4(t v b 4(s u g ((u + s((s u + (t v + (s u(u s + v t f ((v + t((s u + (t v + (t v(u s + v t ( u Omdat d(f, F r geldt d( v ( s, t r. Hieruit volgt (s u + (t v r. Deze relatie invullen in (5,53,55 en 56 geeft het gewenste resultaat. (b Laat zien dat a b ( g f. a b g f a b ( (t v t v (s u s u (u + s((s u + (t v + (s u(u s + v t (v + t((s u + (t v + (t v(u s + v t (u + s((s u + (t v + (s u((u + s(u s + (v + t(v t (v + t((s u + (t v + (t v((u + s(u s + (v + t(v t (u + s(s u + (u + s(t v (u + s(s u + (s u(v + t(v t (v + t(s u + (v + t(t v + (t v(u + s(u s (v + t(v t (u + s(t v + (s u(v + t(v t (v + t(s u + (t v(u + s(u s (u + s(t v (s u(v + t(t v (v + t(s u (t v(u + s(s u (t v (u + s(t v (s u(v + t (s u (v + t(s u (t v(u + s (t v (s u ( g f (c Wat is de kegelsnede als F op de cirkel ligt? We beantwoorden deze vraag met behulp van de standaardvorm h : x y met brandpunten ( γ, 0 en (γ, 0 met de relatie α β γ α + β. Als F op de cirkel ligt is γ α (waarom? en is β 0. Vermenigvuldigen we de standaardvorm met α β dan krijgen we: β x α y α β α y 0 y 0. De lijn y 0 door de brandpunten is nu dus de kegelsnede. (d Hoe ziet de vergelijking van de ellips (34 eruit als F F. Is de kegelsnede dan een cirkel? In de ellips vergelijking zijn de waarden voor a, b, h, g en f gelijk aan: a 4((s u r b 4((t v r 35

36 h 4(s u(t v g ((u + sr + (s u(u s + v t f ((v + tr + (t v(u s + v t c r 4 r (u + s + v + t + (u s + v t Als F F dan zijn s u 0 en t v 0 en veranderen deze waarden naar: a 4r b 4r h 0 g 4ur f 4tr c r 4 4r (s + t Alles delen door 4r geeft: a b h 0 g u f t c r 4 + (s + t De ellips vergelijking wordt dan: e : x + y ux ty r + 4 (s + t 0 e : (x s + (y t r 4 De ellips is dus een cirkel met straal r 3. De hyperbool h : 6 x 9 y x 3 y + 0 is een translatie t(p, q van een standaard hyperbool. Bepaal p en q. h : (x p (y q α β (x px + p (y qy + q α β x px + p y + qy q α α α β β β Dus α 6 en β 9. Invullen geeft: x px + p y + qy q Nu moet gelden: p 6 q 9 3 p 6 q 9 36

37 De eerste twee vergelijkingen leveren: p 8 q 3 Voldoen deze waarden aan de laatste vergelijking? p 6 q Dit klopt dus de translatie is t(8, Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen. 34. Opdracht: Doe de afleiding nogmaals voor de ellips en vind ( β α ( a cos (θ b sin (θ cos (θ sin (θ b cos (θ a sin (θ cos (θ sin (θ θ tan ( p q h a b ( hf bg ab h hg af ab h 35. Gebruik het feit dat γ > 0 moet zijn om te voorspellen op basis van de waarde van h in welke kwadranten θ moet liggen. Hyperbool: h γ cos(θ sin(θ. Als h > 0 dan moet cos(θ sin(θ ook groter dan nul zijn. cos en sin moeten hetzelfde teken hebben dus θ in ste en 3 de kwadrant. Als h < 0 dan moet cos(θ sin(θ ook kleiner dan nul zijn. cos en sin moeten verschillend teken hebben dus θ in de en 4 de kwadrant. Ellips: h γ cos(θ sin(θ. Als h > 0 dan moet cos(θ sin(θ kleiner dan nul zijn. cos en sin moeten verschillend teken hebben dus θ in dee en 4 de kwadrant. Als h < 0 dan moet cos(θ sin(θ groter dan nul zijn. cos en sin moeten hetzelfde teken hebben dus ste en 3 de kwadrant. 36. Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de ellips e : 3x xy+3y +0x 4y+ 0 definiëren. Kegelsnede is een ellips want: h < ab Bereken: p (h f (b g (a b h Bereken q (h g (a f (a b h Translatie t(p, q t(, ( 7 (3 5 (3 3 ( 5 (3 7 (3 3 37

38 a b dan is γ (α β h γ > 0 > θ π/4, α a h 4, β α γ Bereken c ap + hpq + bq α β 3 + ( ( c c Geen correctie nodig dus: α 4, β, γ Straal: α 4 Brandpunten: F ( γ cos(θ + p, γ sin(θ + q (, F (γ cos(θ + p, γ sin(θ + q (0, Vind de brandpunten en de straal van de cirkel die de hyperbool h : 7x 8xy + 7y + 38x 6y definiëren. Kegelsnede is een hyperbool want: h > ab Bereken: p (h f (b g (a b h Bereken q (h g (a f (a b h ( 9 3 (7 9 (7 7 8 ( 9 9 ( Translatie t(p, q t(, a b dan is γ (α + β h 8 Als γ < 0 dan is de standaard kegelsnede π/ radialen gedraaid: Correctie nieuwe θ π/4 radialen. Ook wisselen we dan α en β. γ 8, β a h 6, α γ β Bereken c ap + hpq + bq α β 7 + ( 9( c c bereken factor (3 ( 9/3 4 Bereken α α factor Bereken β β factor 4 Bereken γ β + α 4 α < 0 en β < 0 dan is standaard kegelsnede π/ radialen gedraaid. nieuwe θ π/4 radialen Ook wisselen we dan α en β α 4, β, γ 4 Straal: α 4 Brandpunten: F ( γ cos(θ + p, γ sin(θ + q (, F (γ cos(θ + p, γ sin(θ + q (, Bepaal het type van de volgende kegelsneden en bepaal eventuele brandpunten, richtlijnen en straal van de cirkel die de volgende kegelsneden definiëren: (a k : x 6x + y + y + 0 Kegelsnede is een cirkel want: h 0 en Bereken p (h f (b g 3 (a b h Bereken Bereken q (h g (a f (a b h Translatie t(p, q t(3, Straal p + q c 3 (b k : 3x + 6xy 5y x 0y Kegelsnede is een hyperbool want: h > ab Bereken: p (h f (b g (3 0 ( 5 6 (a b h (