Antwoorden Differentievergelijkingen 1

Opgave 1. a) 0,4 10 + 6 = 10. Dus u 0 = u 1 + u = = 10 b) 0,4 u + 6 = 10 kan alleen als u = 10. Dus voor u 0 = 6 komt 10 niet in de reeks voor. c) u 0 = 11; u 1 = 10,4; u = 10,16; u 3 = 10,064. De reeks daalt naar 10. Opgave. a) b) u 6 = 8,9999 Opgave 3. a) b) u 9,95 c) Enkele waarden uit de tabel: u 10,98 u 15 3,003. De reeks gaat naar 3. OF u = 1 + 6 oplossen geeft u = 3. u Opgave 4. a) u 13 = 806; u 14 = 16400. Vanaf de 15 e term. b) Steeds geldt u n = n. Dus u 1000 = 10000 en u 10003 = 10001. Vanaf de 10004 e term. Opgave 5. a) x = 15 1,5x geeft x = 6 b) Alle uitkomsten zijn 6. Antwoorden Differentievergelijkingen 1

Opgave 6. Opgave 7. a) u = 8u u u = 7u u = 7 u = 0 b) Beide punten zijn instabiel, zie het figuur hiernaast. Opgave 8. u = 6 u 3u = 6 u = [6 x] = < 1, dus het evenwichtspunt is instabiel. Opgave 9. a) u 0 = 1; u 1 = ; u 3 = 3,85; u 4 = 3,96; u 5 = 3,99 Het lijkt dat u = 4 een evenwichtspunt en bovendien stabiel is. b) c) x = + x oplossen, bijvoorbeeld met de GR, geeft x = 4. f(x) = + x f (x) = 1 x f (4) = 1 < 1 (en > -1) 4 Het evenwichtspunt is stabiel. Antwoorden Differentievergelijkingen

Opgave 10. 4 a) 7 x3 + 1 = x oplossen geeft x = 1,5. b) Zie de tabel en de webgrafiek. n u (n ) u (n ) 0 1 1 1,14815,18519 1,43,54583 3 1,718 3,44446 4 1,30477 7,0544 5 1,3908 53,0053 OF f(x) = 4 7 x3 + 1 geeft f (x) = 4 9 x. f (1,5) = 4 9 1,5 = 1 Aan de webgrafiek is te zien dat u 0 < 1,5 naar een stabiel evenwicht gaat en instabiel is voor u 0 > 1,5. Uit de webgrafiek (of uit de afgeleide) volgt f (x) < 1 voor x < 1,5 en f (x) > 1 voor x > 1,5. Opgave 11. Y1 = X Y = 0.5 X. Optie intersect geeft X = 1 en X =. Aan de plot is te zien dat 0 < f (1) < 1, dus 1 is stabiel. f () > 1, dus is instabiel. Opgave 1. a) u 9 = 495; u 10 = 14768. Vanaf de 11 e term is de reeks boven de 10000. b) u 0 = 0,75 geeft u 1 = 1,5; u =,5; u 3 =,75 etc. Steeds toename met 0,5. u 0 = 0,74999 geeft na enige tijd een dalende reeks (u 13 = 8,69; u 14 = 40,08) Opgave 13. a) Y1 = X 8X + 17 Y = X Optie intersect geeft X,697 en X 6,303 (Of x = 9 13 x = 9+ 13 ) Bij X 6,303 snijdt de grafiek van f(x) = x 8x + 17 de lijn y = x van onder naar boven, dus is de helling van de raaklijn in het snijpunt groter dan 1. Dit punt is instabiel. Bij X,697 volgt met optie dy/dx dat de helling van de raaklijn -,606 is. (Of f (,697) =,697 8 =,606). Dit punt is ook instabiel. b) u 0 = 6; u 1 = 5; u = ; u 3 = 5; u 4 =, De reeks alterneert tussen en 5. c) Bij u 0 = en u 0 = 5 zal hetzelfde effect optreden. De webgrafiek laat zien dat er nog een startwaarde is (bij het pijltje in de plot.) x 8x + 17 = 5 oplossen geeft x = en x = 6 x 8x + 17 = oplossen geeft x = 5 en x = 3 Dus ook u 0 = 3 doet het. Of er andere punten dan en 5 zijn waartussen wordt gealterneerd, wordt in de theorie na deze opgave behandeld. Antwoorden Differentievergelijkingen 3

Opgave 14. a) In Y4 is de recursie driemaal doorgerekend, dus snijpunten met Y = X hebben periode 3. Echter deze punten kunnen ook periode 1 hebben, omdat 3 deelbaar is door 1. b) u 0 = 1,8945; u 1 = 5,4333; u = 3,054; u 3 = 1,8945; u 4 = 5,4333, c) Y4 is het kwadraat van een kwadraat van een kwadraat en dus de hoogste term is ((x ) ) = x 8. Er zijn maximaal 8 snijpunten. d) Er zijn de bekende snijpunten met periode 1. De andere zes snijpunten hebben periode 3. Het zijn (naast x 1,8945) x 1,7708 x 3,054 x 4,87796 x 5,4333 x 5,9693. Je kunt ze berekenen met de optie intersect, maar uit antwoord b) volgen er al drie. Eén van de andere snijpunten invullen geeft de andere drie punten met periode 3. Opgave 15. Optie intersect geeft x = 1 x,38 x 4 x 4,618 u 0 = 1 geeft u 1 = 1 en u 0 = 4 geeft u 1 = 4. Dit zijn de evenwichtspunten. u 0 =,83 geeft u 1 = 4,618 en u =,83, dus,38 en 4,618 zijn punten met periode. Opgave 16. Voor iedere u 0 geldt u 1 = 4 en u u = 4 = 4 4 = u 0 u 0. 1 u0 Als u 0, dan zijn u 0 en u 1 verschillend, dus heeft u 0 periode. Opgave 17. 1000 1 k = 1000 1001 = 500500 a) k= 1 OF 1 + 1000 = 1001, + 999 = 1001,... en dat 500 keer. Dus 500 1001 = 500500 b) Directe formule: u n = 9 + 5n met u 0 = 9 9 + 5n = 1089 geeft n = 16. 16 9 + 5n = 1 17 (9 + 1089) = 119133 k=0 Opgave 18. n a) 1 + 3 + 5 + + (n 1) = k=1 k 1 = 1 n(1 + n 1) = n b) Om ieder vierkant komt een nieuwe rand die precies twee stippen langer is dan de laatste rand. De reeks begint met één stip, dus alle oneven getallen worden zo gesommeerd. Vanwege het vierkant is de om een kwadraat. Antwoorden Differentievergelijkingen 4

Opgave 19. a) u n = 4n + 1 b) S n = 1 n(1 + 4(n 1) + 1) = 1 n(4n ) = n n c) Y1 = X X Y = 780 Window [0, 30] [0, 1000] Optie intersect geeft X = 0, dus 0 termen. Opgave 0. a) (1 r)(1 + r + r + + r n ) = 1 + r + r + + r n r r r n r n+1 = 1 0 0 0 r n+1 = 1 r n+1 b) Uit (1 r)(1 + r + r + + r n ) = 1 r n+1 volgt en dus 1 + r + r + + r n = 1 rn+1 1 r u 0 + u 0 r + u 0 r + + u 0 r n = u 0 (1 + r + r + + r n ) = u 0 1 r n+1 Opgave 1. a) S = 1 + r + r + r 3 + = 1 + r(1 + r + r + ) = 1 + rs b) S rs = 1 S(1 r) = 1 S = 1 1 r Opgave. a) Steeds wordt een term met 0,4 vermenigvuldigd. Som = 1000 1 r 1 0,4 = 1666 3 b) Er wordt steeds vermenigvuldigt met -0,4. Som = 1000 1 0,4 = 714 7 = u 0 u 0 r n+1 1 r Antwoorden Differentievergelijkingen 5

Opgave 3. r = 1 5, dus 1 + 1 5 + 1 5 + 1 15 + = 1 1 1 5 = 5 4 Opgave 4. a) Iedere L-vorm is viermaal zo klein en past precies in de vorige L- vorm. Er ontstaat een vierkant met oppervlakte 1. b) 3 4 + 3 16 + 3 64 + = 3 (1 4 + 1 16 + 1 64 + ) = 1 Opgave 5. Dus 1 4 + 1 16 + 1 64 + = 1 3 1 + 1 + 1 + 1 + = 1 (1 + 1 + 1 + ) = 1 ( 1 n n n 3 n 4 n n n n Opgave 6. a) r 3 = 108 3 = 7, dus r = 7 = 3. 4 u n = 3u n 1 met u 0 = 4. b) u n = 4 3 n c) Er geldt n 4 3 k k=0 = 4 1 3n+1 1 3 = 4 (1 3n 3 1 ) = (1 3 3 n ) = + 6 3 n Opgave 7. a) u n = 3 n = 196608 geeft n = 16. 16 3 k k=0 = 3 1 17 1 b) Nu geldt r =. 16 3 ( ) k k=0 = 3 1 17 1 = 39316 = 131073 1 1 n ) = 1 n ( 1 n 1 n ) = 1 n n n 1 = 1 n 1 Opgave 8 n 00 0,6 k k=0 00 00 0,6n+1 = = 1 0,6 00 00 0,6 0,6n 0,4 = 500 300 0,6 n Opgave 9. u 6 = r 3 u 3, dus r 3 = u 6 u 3 = 6144 96 = 64 en r = 64 3 = 4 u 3 is de derde term, dus de eerste term is u 1 en u 1 = u 3 r = 96 16 = 6 De recursieve formule is u n = 4u n 1 met u 1 = 6. Antwoorden Differentievergelijkingen 6

Opgave 30. 1 90 = 100 minuten 1 0,1 OF 10% van 90 minuten is 9 minuten. 10% van 9 minuten is 0,9 minuten. 10% van 0,9 minuten is 0,09 minuten. Etc. Totaal 90 + 9 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + = 99,999 Dus honderd minuten. Opgave 31. 1 100 = 10500 hectare 1 0,8 Opgave 3. De afstand die de stuiterbal omlaag valt is 1 + 0,75 + 0,75 + = 1 1 0,75 = 4 m. De bal stuitert dezelfde afstand omhoog minus de beginhoogte: 3 m omhoog. (Of 0,75 + 0,75 + = 0,75(1 + 0,75 + 0,75 + ) = 0,75 1 0,75 = 3) In totaal dus 7 meter. Opgave 33. a) u n = 1,005 u n 1 0 met u 0 = 600 b) u 1 = 390,30 euro c) u = 0 = 4000. 1 1,005 Bij een lening van 4000 met 0,05% is de maandelijkse aflossing precies gelijk aan de verschuldigde rente. De schuld blijft 4000,-. d) u n = 4000 + (600 4000)1,005 n = 4000 3600 1,005 n. u 3 = 11,65 u 33 < 0. Na 33 maanden is de schuld afgelost. Liesbeth heeft 33 0 = 660 euro betaald. e) 0,005 600 = 3 euro moet ze dan maandelijks aflossen. Opgave 34. a) B n = 1,03B n 1 3 met B 0 = 160 en B n in miljoenen euro en n = 0 in 018. b) Evenwichtswaarde B = 3 = 100 miljoen euro. 1 1,03 c) B n = 100 + (160 100)1,03 n = 100 + 60 1,03 n d) Y 1 = 100 + 60 1,03 X en Y = 00. (Zet de GR via MODE op FUNC) Optie intersect geeft 17,8 of B 17 = 199,17 en B 18 = 0,15 miljoen euro. Dus na 18 jaar: in 036. Opgave 35. a) u = 4 = 8 is een stabiel evenwicht ( 1 < a < 1). 1 1,5 3 b) u = = is een stabiel evenwicht ( 1 < a < 1). 1 c) u = 6 1 3 = 3 is een instabiel evenwicht (a < 1). d) u = 1 3 e) Er is geen evenwicht (a = 1). = 1 is een instabiel evenwicht (a > 1). Antwoorden Differentievergelijkingen 7

f) u = 5 = 5 is evenwicht waarvan de aard niet te bepalen is (a = 1). 1 1 Een beginwaarde u 0 geeft u 1 = 5 u 0 en u = 5 (5 u 0 ) = u 0. Alle beginwaarden alterneren tussen u 0 en 5 u 0. Opgave 36. u n = u + (u 0 u ) a n a) Als 1 < a < 1, dan komt a n steeds dichter bij nul als n toeneemt. Dus u n u. b) Als a > 1 of a < 1, dan wordt a n steeds groter en komt u n steeds verder bij u vandaan te liggen. c) Als a < 0, dan is a n afwisselende positief of negatief net zoals (u 0 u ) a n, zodat u n afwisselend boven of onder u ligt. d) Als a > 0, dan is a n stijgend dan wel dalend net zoals (u 0 u ) a n, zodat u n alleen maar stijgt dan wel daalt. e) b = 0 geeft u n = au n 1, een meetkundige reeks. f) a = 1 geeft u n = u n 1 + b, een rekenkundige reeks. g) a = 0 geeft u n = b, een constante reeks. h) a = 1 geeft u 1 = u 0 + b, u = ( u 0 + b) + b = u 0, u 3 = u 0 + b, etc. De reeks alterneert tussen u 0 en b u 0. Opgave 37. a) Aflezen bij n = 0 geeft u 0 > 1. De reeks alternerend (a < 0) en convergent ( 1 < a < 1), dus 1 < a < 0. Uit u = b = 1 volgt b = 1 a. Tevens a < 0, dus b > 1. 1 a b) 1 < u 0 < 0. De reeks convergeert ( 1 < a < 1) en stijgt monotoon (a > 0), dus 0 < a < 1. Uit b = 1 a en 0 < a < 1 volgt 0 < b < 1. c) u 0 > 1. De reeks stijgt monotoon (a > 0) en divergeert, dus a > 1. Uit b = 1 a en a > 1 volgt b < 0. d) u 0 = 1. a = 1. b = 1 a = 0. e) De x-coördinaat van het startpunt ligt rechts van het evenwichtspunt u 0 > 1. De reeks divergeert en alterneert dus a < 1. De recursielijn snijdt de y-as voor b > 1. f) u 0 > 1. 0 < b < 1. De richtingscoëfficiënt van de recursielijn is positief, maar kleiner dan de richtingscoëfficiënt van de diagonaal (of de reeks convergeert monotoon): 0 < a < 1. g) 0 < u 0 < 1. b > 1. De reeks convergeert alternerend: 1 < a < 0 h) 0 < u 0 < 1. b < 0. De reeks divergeert en daalt monotoon: a > 1. Opgave 38. a) Het aantal rattenparen is gelijk aantal het aantal paren in de maand daarvoor (u t 1 ) plus het aantal nieuwgeboren rattenparen. Dat laatste aantal is gelijk aan het aantal rattenparen dat zich voortplant. Die rattenparen moeten minstens een maand oud zijn, dus dat is het aantal rattenparen van twee maanden geleden: u t. Op t = 0 is er één rattenpaar, net als op t = 1. Dus u t = u t 1 + u t met u 0 = u 1 = 1. u b) 7 = 1 1,6 u 8 = 34 1,6. De factor is 1,6. u 6 13 u 7 1 Antwoorden Differentievergelijkingen 8

c) 1 1 = 1 1 3 = 1 3 5 = 1 5 3 8 = 1 8 5 13 = 1 De uitkomsten zijn afwisselend 1 of -1. Algemeen geldt u n u n 1 u n+1 = ( 1) n d) Y 1 = (1+ 5)X+1 (1 5) X+1 X+1 1 5 Y = 500 (1000 ratten = 500 paren) Optie table geeft X = 13; Y = 377 X = 14; Y = 610 Na 14 maanden voor het eerst meer dan 1000 ratten. Opgave 39. { u 0 = a + b = 5 u 1 = a + 3b = 1 Opgave 40. { u 0 = b = 1 u 1 = a + b = 3 Opgave 41. { u 0 = b = u 1 = (a + b) 3 = 3 3a + 3b = 15 { a + 3b = 1 a = 3 3 + 3b = 1 3b = 6 b = Dus b = 1 en a =. b = { a + b = 1 Dus b = en a = 3. Opgave 4. a) 4,,, 4,,, 4,,, 4. b) De getallen liggen tussen 4 en 4, dus a = 0 en b = 4. Na 6 termen herhalen de getallen zich. De periode is 6, dus c = 6. u 0 = 4 invullen geeft 4 = 4 sin ( π 6 Oplossen geeft d = 3 of d = 4 1. (0 d)). Opgave 43. Neem u n = u n 1 + 0,4u n 1 (1 u n 1 3000 ) a) u n = u n 1 + 0,4u n 1 0,4u n u n 1 = 1,4u 7500 n 1 u n 1 7500 b) y = 1,4 x 7500 y (3000) = 1,4 6000 = 0,6 7500 0 < 0,6 < 1, dus het evenwicht is stabiel. c) De groeifactor is ongeveer 1,39. d) Voor grote waarden van n geldt dat b n nul wordt. Dan u n = 3000 e) u 0 = 3000 = 3000 = 3. Oplossen geeft a = 9,75. 1+a b 0 1+a Antwoorden Differentievergelijkingen 9 3000 1+a bn 1+0 = 3000.

f) u 10 = 758 en u 10 = 3000 1+9,75 b10. Oplossen geeft b 0,708. g) Als n steeds grotere negatieve waarden aanneemt, dan wordt b n heel groot. De noemer van 3000 wordt dan ook heel groot, zodat u 1+a b n n 0. h) u = 0 is een (instabiele) evenwichtswaarde. Opgave 44. a) u n = u n 1 + 0,5u n 1 (1 u n 1 ) met u 1500 0 = 0 b) t = 0 invullen geeft H 0 = 1500 = 0. Oplossen geeft a = 74. 1+a Op t = 1 zijn er 0 1,5 = 5 damherten. Invullen geeft H 1 = 1500 = 5. 1+75b Oplossen geeft b = 59 0,79. 75 Opgave 45. a) S 9 = 68640 S 10 = 7036 Dus in 08. S t 1 b) S t = S t 1 + 0,03S t 1 0,03 = S 10000 t 1 + 0,03S t 1 (1 S t 1 ) 10000 Uit de remfactor volgt dat de stad maximaal 10000 inwoners kan huisvesten. OF Neem twee grote tijdstippen, tevens flink uit elkaar. Bijvoorbeeld S 500 = 09999,8 en S 1000 = 10000 OF Y1 = 1,03X X / 7000000 Y = X Window [0, 300000] x [0, 300000] Optie intersect geeft 10000 inwoners. Antwoorden Differentievergelijkingen 10