drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Vijfde, herziene druk Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0 Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina van 7
Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk, paragraaf.7 ) Met de cosinusregel wordt AB berekend: ( AB) = ( AC) + ( BC) AC BC cos ACB ACB = 5 + (90 5 ) = 80. AB = 0 + 0 0 0 cos80 = 500 00 0,768 = 0,75 km 5 C 0 0 5 B ) C A A,8 m D 50 0 m B Eerst wordt hoek ABC berekend:,8 tan( ABD) = = ABD =,576 0 CBA = 90 ABD = 87, Met de stelling van Pythagoras wordt AB berekend: AB = (,8) + (0) = 0, 00 m Met de sinusregel wordt BC berekend: sin(50 ) sin( ACB) sin(80 50 87, ) AB sin(50 ) = = BC = = 5, m BC AB AB sin(,58 ) AB sin(5 ) BCmax = = 8,5 m sin(80 5 87, ) BC min AB sin(8 ) = =, 0 m sin(80 8 87, ) ) C 7 α A 5 B Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina van 7
sin sin sin Met de sinusregel wordt eerst hoek C berekend: α = γ sinγ = AB α, BC AB BC 5 sin(5 ) Dus sin γ = = 0,08 γ = 7,57. 7 Hieruit volgt ook hoek B: β = 80 α γ = 80 5 7,57 = 7,. sin sin sin Met de sinusregel kan nu ook AC berekend worden: α β BC = AC = β. BC AC sinα 7 sin(7, ) Dus AC = =,0 sin(5 ) a) sin( x) = 0,87 = sin(0,9 (rad)) x = 0,9 + k x = 0,9 + k b) ( x ),99 x = 0, 076 + k x = + k =, 96 + k cos = 0, 56 = cos(0, 979) c) ( x) x = ± 0,979 + k x =, 07 ± 0,979 + k x = 0, 677 + k x = 0, 0 + k tan =, 6785 = tan(,60) x =,60 + k x =,60 + k x = 0, 06 + k d) ( ) arcsin( x) = x = sin = x = sin x 5a) methode : sin cos tan tan cos x methode : x = x = x = = x = + k sin x = cos x cos x = cos x x = ± x + k x = ± x + k x = ± k x = ± k Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina van 7
5b) ( ) ( sin x cos( x ) sin ( x ) ) = = x = x + + k x = x + + k x = + + k x = + + k x =,56 + k x = + k =,56 + k x =,87 + k x =, 56 + k 5c) sin x tan x = sin x sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 cos x = cos x cos x x = k x = k x = k 5d) x (cos x) = cos = ± = ± ( ) x ( ) cos x = cos ± = cos( ± 0, 785) cos = cos ± = cos( ±,56) x = ± 0, 785 + k x = ±,56 + k 6a) De grafiek van f ( x) sin ( x ) sin ( x ) = = krijgen we uit de grafiek van f ( x) = sin( x) door deze over een afstand naar rechts te verplaatsen (de grafiek van f ( x) = sin( x) krijgen we uit de grafiek van f ( x) sin x = door deze met een factor in te krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een sinusfunctie met periode amplitude, voorlopig beginpunt (,0) en evenwichtslijn y = 0. =, f ( x) = cos x = cos cos x + sin sin x = cos x krijgen we uit de 6b) De grafiek van ( ) [ ] grafiek van f ( x) cos x = door deze te spiegelen t.o.v. de x-as. Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina van 7
( ) 6c) De grafiek van f x ( x ) ( x ) = cos + = cos + krijgen we uit de grafiek van f ( x) = cos( x) door deze over een afstand naar rechts te verplaatsen, de y-coördinaten met te vermenigvuldigen (oprekken) en vervolgens met een bedrag omhoog te schuiven (de grafiek van f ( x) = cos( x) krijgen we uit de grafiek van f ( x) cos x = door deze met een factor in te krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een cosinusfunctie met periode, amplitude, voorlopig beginpunt ( ), en evenwichtslijn y =. 6d) De grafiek van f ( x) sin ( x ) sin ( x ) = + = + krijgen we uit de grafiek van f ( x) = sin( x) door deze over een afstand naar links te verplaatsen, de y-coördinaten 6 met - te vermenigvuldigen (oprekken en spiegelen t.o.v. x-as); (de grafiek van f ( x) = sin( x) krijgen we uit de grafiek van f ( x) sin x = door deze met een factor in te krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een sinusfunctie met periode =, amplitude, voorlopig beginpunt (,0) of(,0) en evenwichtslijn y = 0. Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina 5 van 7
7) (sin x + cos x) = (sin x) + sin x cos x + (cos x) = (sin x) + (cos x) + sin x cos x = + sin( x) 8) cos( x) (cos x) ( ( x )) ( x) ( = ( ( x )) cos x = cos cos = + cos x cos = + cos x) 9a) cos( x) + cos x = cos ( ( x + x) ) cos ( ( x x) ) = cos ( x ) cos( x ) 9b) sin x + cos x = ( sin x + cos x ) = sin x cos( ) + cos x sin ( ) = sin ( x + ) = cos( ( x + )) = cos( x) Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina 6 van 7
9c) cos( x y) cos( x + y) = sin ( ( x y + ( x + y)) ) sin ( ( x + y ( x y)) ) ( x) ( y) = sin sin 9d) sin( x) sin( x) = cos ( (x+ x) ) sin ( (x x) ) 5 = cos( x ) sin ( x ) 5 = cos( x) sin ( x) 0) De grafiek van f ( x) = arcsin( x) ontstaat uit de grafiek van f ( x) = arcsin( x) door deze met een factor in te krimpen in de richting van de verticale as. arcsin( x) < 0, 67 arcsin( x) < arcsin(sin(0, 67)) x < sin(0, 67) x < 0, 60 x < 0,05 0,5 x < 0,05 Toegepaste Wiskunde, deel Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Pagina 7 van 7