Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Les 5 en 6: Tensor formulering Elektromagnetisme Om deze te kunnen zetten Waarom zoveel Elektromagnetisme? 1. Speciale relativiteits theorie = Elektromagnetisme 2. De inspiratie bron van Einstein! 3. Dieper begrijpen SRT 4. Overtuigend 1 ste voorbeeld van niet triviaal tensorveld 5. Mooi stuk Natuurkunde Moet deze wel goed staan!! 2

Programma 1 1. Omgekeerd kwadraat wetten Symbolen op de slides: Er komt een rekenpartij aan! 2. Magnetisme 3. Wetten van Maxwell 4. Elektromagnetische golven 5. Klassieke mechanika 6. Einsteins invalshoek Dit komt uit de lucht vallen ZZZZZzzzzzz Illustratief, maar niet strikt nodig voor het vervolg

Newton en Coulomb Zwaarte -kracht Elektrischekracht - + + + Twee voorwerpen oefenen een kracht op elkaar uit die evenredig is met hun gewicht (lading) en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand. 4

Naar differentiaal vergelijking(-en) Minteken vanwege naar binnen gericht R Redenering met vierkantje (zie bijlage 1) geeft: B1 Voorbeelden: Bol, Kubus, Cylinder Elektrische veld is massadichtheid B2

Programma 2 1. Omgekeerd kwadraat wetten 2. Magnetisme 3. Wetten van Maxwell 4. Elektromagnetische golven 5. Klassieke mechanika 6. Einsteins invalshoek

Magnetisch veld opgewekt door stroom (Ampère) 1.2 In de limiet als x en y 0 : Stroomdichtheid B4 (Nog niet volledig, blijkt zo) 7

Lorentz kracht Hendrik Antoon Lorentz (1853 1928) 8

Toepassing Rotatie, potentiaal Stelling X Bewijs Zou zoiets ook voor het elektrisch veld gelden? ZZZZZzzzzzz P (van belang voor Algemene Relativiteitstheorie) 1.3 Antwoord: Nee tenzij (statisch) 9

Wet van Faraday Een veranderend magnetische veld veroorzaakt (óók) een elektrisch veld. Kring van geleider Aannemelijk maken: B3 11

Gauss voor Magnetisme; geen monopolen (S is een gesloten opervlak) Het maakt dus (gelukkig!) niet uit of we Opp = S 1 of Opp = S 2 nemen. 12

Maxwell s toevoeging aan de wet van Ampère Maxwell zag dat hier een moeilijkheid zat: kan het rechterlid niet afhangen van de keuze van Opp?? Dat kan wel degelijk: - - - - - - - - - - - - - - - S1 S 2 = 0!! (behoud van lading) 13

Wetten van Maxwell; overzicht Elektrische veld Elektrische lading veroorzaakt een elektrisch veld Gauss/Coulomb Magnetische veld Er zijn geen magnetische monopolen Geen monopolen Een veranderend magnetische veld veroorzaakt óók een elektrisch veld FAraday AmPere +Maxwell Een stroom veroorzaakt een magnetisch veld en een veranderend elektrisch veld veroorzaakt ook een magnetisch veld 14

Elektromagnetische golven In het y-z vlak loopt een (veranderlijke) stroom in de z-richting In de y-richting (x 1 >0) ontstaat een (veranderlijk) magnetisch veld (Ampère) In de z-richting (x 2 >x 1 ) ontstaat een (veranderlijk) elektrisch veld (Faraday) In de y-richting (x 3 >x 2 ) ontstaat een (veranderlijk) magnetisch veld (Maxwell s toevoeging Etc, etc, 1.4 bij Ampère) 16

Er zij Licht WOW!! B6 B5 Snelheid: 299 792 458 meter per seconde =c snelheid van het licht 17

Galilei transformatie Referentie systeem K (b.v. Perron) met coördinaten (x,y,z,t) voor een gebeurtenis Referentie systeem K (b.v. Trein) met coördinaten (x,y,z,t ) voor diezelfde gebeurtenis K beweegt langs de x-as van K naar rechts met een (éénparige) snelheid v Galileo Galilei (1564-1642) Iemand loopt in de trein naar voren met een snelheid w B8 (het optellen van snelheden, logisch toch??) Dus als De wetten van Maxwell gelden in K, Dan niet in K (en andersom) 19

Wetten van Newton zijn Galilei invariant Bij de overgang van K naar K : Alle plaatscoördinaten veranderen: Voor alle snelheden geldt: van de x-component moet v worden afgetrokken: Alle versnellingen blijven hetzelfde! Wetten van Newton zijn ook rotatie invariant: Alle massa s zijn gelijk. (dus) alle krachten zijn gelijk. Dus: Wetten van Newton zijn invariant Wetten van Newton: 1. Traagheidswet 2. Kracht verandert de snelheid 3. Actie = reactie F = ma (de individuele componenten zijn niet invariant!) 20

Uitgangspunten Einstein 1. Relativiteitsprincipe: De natuurwetten zijn hetzelfde in elk inertiaal referentie stelsel, onafhankelijk van de positie en de (onderlinge) snelheid. 2. Constantheid van de lichtsnelheid De snelheid van het licht heeft in elk inertiaal referentie stelsel dezelfde waarde. Geen enkel stelsel is uitverkoren Dus ook niet het stelsel waarin de ether stilstaat Het gaat eigenlijk om stelsels die ten opzichte van elkaar éénparig (niet versneld) bewegen. In elk stelsel kan men een coördinaten systeem (x,y,z,t) aanbrengen. Men kan 2. in feite ook als volgt formuleren: De wetten van Maxwell zijn natuurwetten. We gaan nu laten zien dat uit 1 en 2 de Lorentz transformatie volgt. En die ether bestaat dus ook helemaal niet 22

Een lichtklok We kunnen een lichtklok maken: we laten een lichtstraal heen en weer gaan tussen twee spiegels. Als we naar zo n klok kijken die ten opzichte van ons beweegt, dan loopt die langzamer! Maar dan zullen alle (bewegende) klokken langzamer lopen. Kortom: de tijd zelf is vertraagd. 23

Tijdsvertraging = lichtbolletje Stelsel K (de trein) Aaname: in stelsel K en K wordt dezelfde breedte van de wagon gemeten Stelsel K (het perron) Pythagoras: τ < t, dus als wij (op het perron) t=1 seconde meten, dan is τ iets als 0,9 seconde. Wij zien het klokje in de trein dus vertraagd lopen. 24

Lorentz FitzGerald contractie Stelsel K (de trein) Stelsel K (het perron) 1.5 Dus in K meet men b.v. 5,1 Terwijl wij 5,0 zien. Dus meetlat in K lijkt/is korter! Ook: Trein lijkt/is korter 25

Gelijktijdigheid P Q Stelsel K (de trein) Gebeurtenissen P en Q gelijktijdig in K (lichtsnelheid naar links en naar rechts gelijk) P P Q Q Stelsel K (het perron) Klassiek (Newton Galilei): Gebeurtenissen P en Q ook gelijktijdig in K (natuurlijk?!) (lichtsnelheid naar Q toe groter dan die naar P toe) Modern (Einstein): Gebeurtenissen P en Q niet gelijktijdig in K (Wel in K ) Het begrip Gelijktijdigheid is relatief: Twee gebeurtenissen kunnen in één stelsel (K ) gelijktijdig zijn en in het andere (K) niet. B7 26

Gelijktijdigheids lijn Lijn n: lijn van gelijkplaatsigheid alle punten hierop hebben in K (trein) dezelfde plaats (achterkant trein) Lijn n Stelsel K (het perron) Lijn m Lijn m: lijn van gelijktijdigheid alle punten hierop hebben in K (trein) dezelfde tijd We hadden al: Richtingscoëficient van lijn m: 1.6 27

Programma Klaar 1. Omgekeerd kwadraat wetten 2. Magnetisme 3. Wetten van Maxwell 4. Elektromagnetische golven 5. Klassieke mechanika 6. Einsteins invalshoek

Tijd K Opgave: Trein in tunnel paradox Q Moment in K (trein) waar voorkant reeds buiten en achterkant nog niet binnen de tunnel P A B Moment in K waar trein geheel binnen tunnel Plaats K Voorkant tunnel Achterkant tunnel 29

Bijlage 1: Flux door vierkantje Flux door gele wanden (oppervlak = ): Dus totale flux: Massa binnen vierkant 1.1 is massadichtheid In de limiet als x, y en z 0 : Kortere notatie: 30

Bijlage 2: Divergentie, Rotatie en gradient Vector operaties Differentiaal operatoren 31

Bijlage 3: Wet van Faraday Kring van geleider Aannemelijk maken: 32

Bijlage 4: Stelling van Stokes De integraal vorm van Gauss/Coulomb en Ampère kan worden afgeleid uit de differentiaalvorm door (vormen van) de stelling van Stokes: De integraal over de rand van een gebied van iets = De integraal over dat gebied van de afgeleide van iets R S S Naam stelling Formule 1 1 0 Hoofdstelling integraalrekening 2 2 1 Green's stelling 3 2 1 Kelvin Stokes stelling 3 3 2 Ostrogradsky Gauss stelling Gauss/Coulomb: Ampère: Dimensies Differentiaalvorm toegepast: 1 2 ZZZZZzzzzzz Integraalvorm: 2 1 33

Bijlage 5: Eenheden Eenheden: Symbool Naam Betreft Afgeleid m Meter Afstand s Seconde Tijd kg Kilogram Massa C Coulomb Lading A s N Newton Kracht kg m/s 2 A Ampère Stroom F Farad Capaciteit A 2 s 4 /kg m 2 F/m 8,8542 F Farad V Volt 34

Bijlage 6: Golfvergelijking, scheiden variabelen Lineaire vergelijking! Dwz. Lineaire combinatie Van oplossingen weer oplossing Staande golf! Laten we even voor wat het is. Lopende golf! 35

Bijlage 7: Gelijktijdigheid klassiek P Q 36

Bijlage 7: Ongelijktijdigheid relativistisch Q P 37

Bijlage 8: Tijdwegdiagram (spoorwegen) Uitgangs posities Start 8:06.00 Diagram Trein 5678 vertrekt uit Bentheim om 08:03 komt aan in Oldenzaal om 08:05 en vertrekt daar weer om 08:08. Hier zien we dat de lijn korte tijd verticaal loopt. Dit betekent dat geen weg wordt afgelegd, maar de tijd verstrijkt. De trein staat dus gedurende die tijd stil aan het perron in Oldenzaal. De trein rijdt door in Hengelo Oost om ongeveer 08:12 en komt in Hengelo aan om 08:14. Trein 1234 is een goederentrein die niet stopt in Hengelo Oost, noch in Oldenzaal. 38

Les 1 en 2 Les 3 en 4 1. Omgekeerd kwadraat wetten 1. Lorentz transformatie 2. Magnetisme 2. Elektromagnetische velden 3. Wetten van Maxwell 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Elektromagnetische golven 4. Minkowski ruimte 5. Klassieke mechanika 5. Bewegingsleer 6. Einsteins invalshoek 6. Mechanica Les 5 en 6 1. Contravariant versus covariante vectoren 2. Tensorvelden 3. Transformatie Elektromagnetische tensor 4. Maxwell vergelijkingen in tensorvorm 5. Vooruitblik algemene relativiteitstheorie