Stochastsche loadflow. Beschrjvng algortme van de stochastsche loadflow. 0 97 pmo 6-0-00 Phase to Phase BV Utrechtseweg 30 Postbus 00 6800 AC Arnhem T: 06 356 38 00 F: 06 356 36 36 www.phasetophase.nl
0 97 pmo INHOUD Inledng...3. Probleemstellng...3. Doelstellng...3.3 Aanpak...3 Methode... 4. De som van twee stochastsche varabelen... 4. Stochastsche netwerkberekenngen...5 3 Implementate... 6 4 Concluse...
3 0 97 pmo INLIDING. Probleemstellng Netten voor elektrctetsdstrbute zjn altjd vrj rum gedmensoneerd. Omdat de belastng van klant klant sterk kan fluctueren, hebben elektrctetsbedrjven altjd het zekere voor het onzekere genomen en de kabels dkker dan strkt nodg gekozen. De belastngen worden n het ontwerpproces altjd met hun maxmale waarde aangenomen. Herdoor wst de ontwerper absoluut zeker dat de elektrsche spannng noot onder de gestelde esen zou komen. Tegenwoordg worden de elektrctetsbedrjven gedwongen o.a. door de DTe kostenbesparng. en andere ontwerpmethode ten aanzen van de kabels kan besparngen leden. Door de ntroducte van stochastsche techneken n de modellerng van de belastngen n het net, worden de marges mnder groot genomen en kunnen de kabels beter worden gekozen n relate het werkeljke gedrag n de praktjk.. Doelstellng Ontwkkelen van een neuwe op stochastsche technek gebaseerde methode om belastngen n een net voor elektrctetsdstrbute te modelleren en daarmee de toestand van een dstrbutenet door te rekenen, zodang dat een kostenbesparng op de nfrastructuur behaald wordt..3 Aanpak In het project staan twee ontwkkelngen centraal: Ontwkkelen van een neuwe op stochastsche technek gebaseerde methode om belastngen n een net voor elektrctetsdstrbute te modelleren. Modellerng van een neuwe methode om met "onzekere" stochastsche belastngen de toestand van een dstrbutenet door te rekenen. Het onderzoek wordt utgevoerd met de volgende faserng: Beschrjvng stochastsch model van de belastng Beschrjvng algortme van de stochastsche loadflow. Technsch probleem: In het stochastsche model wordt utgegaan van begrppen als verwachtngswaarde en spredng. Dat zjn begrppen waar de ontwerper van laagspannngsnetten geen raad mee weet. r moet een zodange modellerng worden gekozen, dat een vertaalslag van de hudge praktjk kan worden gemaakt. De modellerng wordt bepaald door het type van de belastng soort gebruker en opwekker en het aantal belastngen heeft nvloed op de geljktjdghed. De mogeljkhed om de belastngen voldoende en eendudg met stochastsche parameters te kunnen beschrjven s onzeker. Zodra de modelvormng van de belastng vastlgt, moet het verwerkt worden n de netberekenngen, de tradtoneel gebaseerd zjn op determnschsche modellen. De wskundge aanpak daarvan s onzeker. Oplossngsrchtng: De modellerng van de belastng vndt plaats met behulp van verwachtngswaarde en spredng, met de veronderstellng dat het stochastsche gedrag normaal verdeeld s. De netberekenng wordt utgevoerd als superposte van de separate door de verwachtng en de varante beschreven stuates.
4 0 97 pmo De eerste fase van het onderzoek, waarn het stochastsche model van de belastng s onderzocht, s reeds utgevoerd en beschreven Phase to Phase, 00. Concluse ut deze fase s dat geljksoortge belastngen op wllekeurge tjdstppen gemodelleerd kunnen worden met onafhankeljke normale kansverdelngsfunctes. Het gedrag n de tjd kan beschreven worden met tjdfunctes van gemddelde waarde en spredng van de normale verdelngen. Dt rapport beschrjft de tweede fase, het onderzoek naar het algortme om met de stochastsche belastngsmodellen te kunnen rekenen. MTHOD In een voorafgaand rapport Phase to Phase, 00 s beschreven hoe de belastng beschreven kan worden als een stochastsch sgnaal met een normale verdelng. Het belastngspatroon bestaat dan ut een reeks van normale kansverdelngfunctes, beschreven door tjdreeksen van gemddelde µt en spredng σt. In deze vervolgfase wordt de methode beschreven om deze maner van belastngmodellerng te gebruken n een plannngstool voor dstrbutenetten. Door deze neuwe belastngmodellerng te combneren met netberekenngen kan een beter beeld van het netgedrag worden verkregen.. De som van twee stochastsche varabelen De bass van de neuwe netberekenngsmethode wordt gevormd door een admttantenetwerk, waarvan de belastngen zjn gemodelleerd als stroomnjectes. lke stroomnjecte wordt voorgesteld door een stroombron. In onderstaand dagram zjn twee parallelgeschakelde onafhankeljke stroombronnen afgebeeld. Fguur Twee parallelgeschakelde stroombronnen De aalstroom van de parallelgeschakelde stroombronnen s op elk moment geljk aan: Maar ook nden de twee ndvduele stromen voorgesteld worden door stochastsche varabelen geldt vergeljkng. Inden we de stochastsche stromen en elk voorstellen als stochastsche varabelen, geldt ut de basskenns van de theore van de stochastsche sgnalen dat de gemddelde waarde van de som geljk s aan de som van de afzonderljke gemddelde waarden:
5 0 97 pmo Voor de spredng gaat dat ets anders. We berekenen heronder de varante van de aalstroom. De spredng s daar dan de wortel ut:, cov var var var var var 3 Wanneer de bede stromen en onafhankeljk van elkaar zjn, conform het utgangspunt, s de covarante geljk aan nul. In dat geval s de varante van de som geljk aan de som van de varantes: var var var 4 Inden de bede stromen en echter geljk aan elkaar zjn, wordt de covarante van en geljk aan de varante. In dat geval gaat vergeljkng 3 over n: 4 var 4 var var 5 In het geval dat er enge correlate s tussen en lgt de varante van de som tussen vergeljkngen 4 en 5. chter, het utgangspunt was dat de bede belastngen onafhankeljk zouden zjn. Tussen spannng en stroom s de relate gelnearseerd. De relate s nets anders dan de wet van Ohm, toegepast op de verbndngen. Daarom kan geconcludeerd worden dat hetgeen voor de som van twee stochastsche stromen geldt, ook geldt voor de som van twee stochastsche spannngen.. Stochastsche netwerkberekenngen De stochastsche stroom kan worden opgedeeld n een gemddelde waarde en een stochastsche waarde î. Voor bede componenten geldt: ˆ 6 met: varˆ 0 ˆ 0 var c c Bovenstaande geldt zowel voor reële als complexe varabelen. De netwerkvergeljkngen, utgeschreven als stroombronnen n combnate met een lneare admttantematrx, zjn heronder weergegeven n de admttantenotate: ˆ ˆ u u Y u Y 7
6 0 97 pmo Herut concluderen we dat de gemddelde waarden en de stochastsche varabelen separaat kunnen worden behandeld. Dt wordt op bass van superposte aangepakt. 3 IMPLMNTATI Als utgangspunt van de methode wordt de volledg opgeloste loadflow voor de gemddelden van alle belastngen utgerekend. De gemddelden hebben geen stochastsche component, zodat de gebrukeljke methode van loadflowberekenng kan worden toegepast. De resultaten worden bewaard en leveren de gemddelde waarden voor alle stromen en spannngen n het net. Vervolgens wordt van alle belastngen de stochastsche stroomcomponent bepaald, waarna voor edere belastng afzonderljk de nvloed op de varantes van stromen en spannngen n het net worden berekend en bewaard. Deze berekenngen vnden plaats door op het passeve netwerk per belastng een stroom ter grootte van de standaarddevate te njecteren. Daarbj zjn alle spannngsbronnen vervangen door een kortslutng en alle andere stroombronnen vervangen door een openng. Dt s dentek aan de procedure de bj een kortslutberekenng volgens IC 909 wordt gevolgd. 3. Berekenng van de gemddelde waarden Alle belastngen worden voorgesteld door hun gemddelde waarden µ, waarbj het model van de spannngsafhankeljkhed door de gebruker vrj te kezen s. De gevolgde oplosmethode s een Newton-Raphson loadflow. Bj een kwadratsche spannngsafhankeljkhed wordt de belastng omgerekend naar een constante mpedante Z last,. Bj een net van de spannng afhankeljke belastng wordt de belastng omgerekend naar een vast werkzaam vermogen P last, en blndvermogen Q last,. Bj een lnear van de spannng afhankeljke belastng spreken we van een constante stroombelastng. Deze wordt gemodelleerd door de belastng te modelleren als 50% kwadratsch en 50% net afhankeljk van de spannng. In het vervolg gaan we ervan ut dat de belastng s opgegeven als een stroom. De gemddelde waarde µ, voor belastng, s een stroomwaarde, n onderstaand dagram omgerekend naar een mx van constante mpedante en constant vermogen. Opwekkng Belastng Admttantenetwerk [Y] P last, jq last, Z gen, Z last, U gen, Fguur Berekenng van de gemddelde waarden met behulp van een loadflowberekenng
7 0 97 pmo 3. Berekenng van de nvloed van een stochastsche component Per belastng wordt de stochastsche component vastgesteld. Deze wordt volgens vergeljkng 6 voor knooppunt voorgesteld door î. De stochastsche component wordt, n tegenstellng n de methode van berekenng van de loadflow, net omgerekend naar een constante mpedante of constant vermogen. De methode werkt met stroomnjecte, zoals dat n de methode van IC 909 gebeurt. De nvloed van de stochastsche component wordt berekend door op het passeve netwerk een stroom ter grootte van de standaarddevate van de stochastsche component te njecteren. σ varˆ 8 nj, Doordat n het passeve netwerk alle spannngsbronnen zjn vervangen door kortslutngen en alle stroombronnen zjn vervangen door een openng, heeft de stroomnjecte gevolg dat alle berekende stromen en spannngen n het passeve netwerk volledg veroorzaakt zjn door deze ene geïnjecteerde stroom. Dat mag, omdat het netwerk voor het nomnale werkpunt gelnearseerd s en omdat voor een lnear netwerk vergeljkng 7 geldt. In overeenstemmng met het gestelde n het vorge hoofdstuk s het kwadraat van edere takstroom geljk aan de varante van de stroom n de betreffende tak, veroorzaakt door de stochastsche component van de belastng op knooppunt. Dat geldt ook voor de spannngen: het kwadraat van de spannng op een knooppunt s geljk aan de varante van de spannng op dat knooppunt, veroorzaakt door de stochastsche component van de belastng op knooppunt. Alle berekende stromen en spannngen worden bewaard voor latere bewerkng. Opwekkng Belastng Admttantenetwerk [Y] nj, Z gen, Fguur 3 Berekenng van een stochastsche component met behulp van een kortslutstroomberekenng 3.3 Berekenng van de stochastsche loadflow De berekenng van de stochastsche loadflow bestaat ut het berekenen van de loadflow van de gemddelde stuate en achtereenvolgend een voor een de gevolgen van een stroomnjecte op eder belastngsknooppunt. De resultaten van de stroomnjecteberekenngen worden gekwadrateerd en opgeteld. Het resultaat levert de varantes van takstromen en knooppuntspannngen n het netwerk, veroorzaakt door alle stochastsche belastngen. Met de resultaten van de loadflowberekenng kunnen de te verwachten maxma en mnma berekend worden.
8 0 97 pmo Volgens vergeljkng 4 mogen alle varantes n het netwerk, veroorzaakt door onafhankeljke stochastsche belastngen, gewoon gesommeerd worden: var var u tak, jk knooppunt, k N var N tak, jk, var u knooppunt, k, 9 Voor berekenng van het maxmum maken we gebruk van de egenschappen van de normale kansverdelng. De werkeljke waarde van een stochastsche varabele lgt voor 85% zekerhed onder de waarde µσ en voor 97,5% zekerhed onder de waarde µσ. Inden we kezen voor twee maal de spredng voor het vaststellen van de bovengrens, lgt het werkeljke maxmum voor 97,5% zekerhed onder de gemddelde waarde, vermeerderd met twee maal de spredng: tak, jk,max tak, jk,mn tak, jk, gem tak, jk, gem var var tak, jk tak, jk waarn: tak,jk,max : maxmum stroom n tak van j naar k tak,jk,mn : mnmum stroom n tak van j naar k tak,jk,gem : gemddelde stroom n tak van j naar k berekend ut loadflow var tak,jk : varante van de stroom n tak van j naar k berekend ut vergeljkng 9 Bovenstaande lchten we heronder kort toe aan de hand van een rekenvoorbeeld. 0 50 A LS-ral 0.4 kv LS 0.4 kv LS 0.4 kv LS 3 0.4 kv 00 m 4*50 VMvKh/Alk 00 m 4*50 VMvKh/Alk 00 m 4*50 VMvKh/Alk V 00 m 4*50 VMvKh/Alk 40 A 60 A LS 0.4 kv 70 A Fguur 4 Rekenvoorbeeld aan een LS-net Bovenstaande afbeeldng geeft de topologe van het net weer. Voor het berekenen van de stromen en spannngen zjn de gegevens van netvoedng en kabels van belang. Netvoedng: Nomnale spannng U nom : 0,4 kv Nomnale kortslutstroom I k ": 0 ka c-factor ut IC 909: Weerstand R g : 0,00307 Ohm Inducte X g : 0,0979 Ohm
9 0 97 pmo Kabels: Weerstand: 0,4 Ohm/km Inducte: 0,079 Ohm/km De gemddelde waarden en de spredng van de belastngen zjn heronder gegeven. De spredng s geljk gesteld aan 0% van de gemddelde waarde. Tabel Gemddelde waarde en spredng belastng Knooppunt Belastng Gemddelde A Spredng A LS 50 5 LS 40 4 LS 3 60 6 LS 70 7 Voor de gemddelde stuate worden alle stromen en spannngen met een loadflowberekenng berekend. Hervoor moeten van de belastngen de gemddelde waarden ut bovenstaande tabel worden ngevoerd. Ook voor de tradtonele maxmale stuate kunnen de stromen en spannngen met een loadflowberekenng worden berekend. De maxmale waarden van de belastngen zjn hervoor bepaald door de σ-grens gemddelde σ. Onderstaande tabellen geven de loadflowresultaten voor de knooppuntspannngen en de stromen n de kabels weer voor de gemddelde en voor de maxmale stuate. Tabel Takstromen voor de stuates van gemddelde belastng en van maxmale belastng Verbndng Stroom A gemddelde belastng Stroom A maxmale belastng LS-ral - LS 0 64 LS - LS 00 0 LS - LS3 60 7 LS - LS 70 84 Tabel 3 Knooppuntspannngen voor de stuates van gemddelde belastng en van maxmale belastng Knooppunt Spannng V gemddelde belastng Spannng V maxmale belastng LS-ral 394,04 39,85 LS 385,69 38,8 LS 38,90 378,6 LS3 379,6 375,53 LS 383,04 379,63 Op grond van de tradtonele berekenng met maxmale belastng, bepaald door de σ-grens, stjgt de stroom n de eerste kabel, van LS-ral naar LS, met 44 A. De spannng daalt het meest aan het utende van het net, op knooppunt LS3, met 4,09 V. De spredngen van de belastngen hebben hun nvloed op de spredng van de takstromen n het net en worden voor edere belastng separaat berekend. Onderstaande tabel geeft de resulterende varantes van de takstromen weer.
0 0 97 pmo Tabel 3 Varantes takstromen ten gevolge van spredng belastng Knooppunt Spredng varantes takstromen A belastng A LS-ral - LS LS - LS LS - LS 3 LS - LS LS 5 5 0 0 0 LS 4 6 6 0 0 LS 3 6 36 36 36 0 LS 7 49 0 0 49 Som van de varantes: 6 5 36 49 Volgens bovenstaand rekenvoorbeeld s de ale spredng van de stroom van de tak van LS-ral naar LS geljk aan, geljk aan de wortel ut de ale varante: 6. De maxmale stroom n de tak s, wanneer de σ lmet wordt aangehouden, dan geljk aan 0 x, 4, A. Dat s ongeveer A 0% mnder dan de waarde de gevonden zou worden ut de som van de ndvduele belastngsmaxma gemddelde σ. Deze som s geljk aan: 60 48 7 84 64 A tabel. De wnst door het toepassen van deze methode neemt vooral toe bj grotere aantallen onafhankeljke belastngen. Voor de berekenng van de spannngen n het netwerk wordt gebruk gemaakt van de IC 909 berekenng. Op alle belastngsknooppunten wordt achtereenvolgens een belastngstroom ter grootte van de spredng geïnjecteerd ze vergeljkng 8. Vervolgens worden voor elke stroomnjecte alle knooppuntspannngen n het net vastgesteld. Het kwadraat van de absolute waarde van een knooppuntspannng s geljk aan de varante van de spannng ten gevolge van de betreffende varante van de belastng ze vergeljkng 7. Onderstaande tabel geeft de resulterende varantes van de knooppuntspannngen voor de spredngen n de belastngen weer. Tabel 4 Varantes knooppuntspannngen ten gevolge van spredng belastng Knooppunt Spredng varantes knooppuntspannngen V belastng A LS-ral LS LS LS 3 LS LS 5 0,040 0,4 0,4 0,4 0,4 LS 4 0,06 0,073 0,70 0,70 0,073 LS 3 6 0,058 0,64 0,38 0,73 0,64 LS 7 0,078 0,3 0,3 0,3 0,50 Som van de varantes: 0,0 0,573 0,888,0 0,870 Volgens bovenstaande tabel s de varante het grootst voor knooppunt LS3, aan het utende van het net. De spredng s geljk aan de wortel van de varante: σ,0,04 V. Dat betekent dat ut de stochastsche analyse volgt dat de maxmale spannngsdalng, voorgesteld door de spannng n de gemddelde stuate mnus twee maal de spredng σ-grens, geljk s aan 379,6 -,08 377,4 V. Deze spannng s bjna V beter dan de spannngsdalng bj maxmale belastng, zoals op tradtonele wjze berekend n de stuate van tabel 3. Volgens de stochastsche benaderng s de spannngsdalng voor deze stuate net 4,09 V maar, V. 3.4 Stochastsche verlezen Voor het berekenen van de stochastsche verlezen kunnen we een methode afleden de grote overeenkomsten vertoont met de methode voor het berekenen van de varantes van de takstromen. Ten aanzen van de takverlezen bj twee onafhankeljke stochastsche stroombronnen en geldt onderstaande:
0 97 pmo P verles P verles R tak R ˆ tak R tak ˆ R tak Wanneer we de stochastsche aalstroom opspltsen n de determnstsche en de stochastsche component, kan de verlesvergeljkng voor de aalstroom ook geschreven worden als: P verles ˆ R ˆ tak ˆ R ˆ ˆ Rtak ˆ varˆ ˆ 0 varˆ 0 Rtak varˆ varˆ covˆ, ˆ Rtak tak In bovenstaande vergeljkngen s de verwachtng van de stochastsche component geljk aan nul. Het gemddelde verles s dus bepaald door de som van de gemddelde kwadratsche stroomwaarde, de varantes en de covarante. Bj onafhankeljke stochastsche stroombronnen valt de laatste term weg. Het stochastsche verles wordt dan berekend door njecte van de standaarddevates van de onafhankeljke stroombronnen. Daarna kan door superposte van varantes van de knooppuntspannngen de ale varante van de knooppuntspannngen worden bepaald. De extra verlezen door de varantes over de takken n het netwerk zjn daarmee lnear. R tak 3.5 Structuurschema De methode s met de hudge techneken eenvoudg te mplementeren n bestaande rekenprogramma's. Door mplementate n een combnate van een loadflow- en kortslutstroom berekenngsprogramma s deze methode geschkt voor alle radale en vermaasde elektrctetsnetten. Inden de belastngen als stochastsch onafhankeljk worden gezen, hoeft geen rekenng gehouden te worden met de correlate. Aangezen over de stochastsche modellerng nog geen praktjkkenns voorhanden s, bevelen we aan om de correlate voorlopg nog buten beeld te laten.
Voor alle belastngen : Bepaal : Bepaal σ var : 0 97 pmo Stel alle belastngen geljk aan hun gemddelde waarden Bereken gemddelde loadflow met behulp van de standaard loadflowberekenng Bewaar alle takstromen tak,jk,gem Bewaar alle knooppuntspannngen u k,gem Maak het netwerk passef stel alle spannngsbronnen geljk aan nul Voor alle belastngen : Maak alle stroombronnen geljk aan nul Bepaal njectestroom aan de hand van standaarddevate: nj, : σ Injecteer nj, op de plaats van belastng Bereken alle takstromen jk volgens IC909 Bereken alle bjbehorende spannngen u k ut U [Y] - I Procedure BerekenICSpannngen Voor alle takken jk: bereken var jk : jk Bewaar alle varantes takstromen Voor alle knooppunten k: bereken varu k : u k Bewaar alle varantes knooppuntspannngen Voor alle njectes : Bepaal: var var N tak, jk tak, jk, Bepaal: var u var u Voor alle takken jk: N knooppunt, k knooppunt, k, Bepaal maxmum stroombelastng: var tak, jk,max tak, jk, gem tak, jk Bepaal mnmum stroombelastng: var Voor alle knooppunten k: tak, jk,mn tak, jk, gem tak, jk Bepaal maxmum knooppuntspannng: u u var u knooppunt, k,max knooppunt, k, gem knooppunt, k Bepaal mnmum knooppuntspannng: u u var u knooppunt, k,max knooppunt, k, gem knooppunt, k 4 CONCLUSI De methode van rekenen met stochastsche stromen en spannngen, als gevolg van de ntroducte van stochastsche belastngen, s n dt onderzoek mathematsch onderbouwd. De methode s met de hudge techneken eenvoudg te mplementeren n bestaande rekenprogramma's. Aanbevolen wordt, n verband met de neuwhed, de belastngen voorlopg als stochastsch onafhankeljk te beschouwen.
3 0 97 pmo De methode s geschkt voor het rekenen aan alle soorten radale en vermaasde elektrctetsnetten en geeft een reëler beeld van de stroomverdelng n een elektrctetsnet dan alleen het rekenen met maxmale belastngwaarden. De tradtonele methode, de werkt met geljktjdge maxma, geeft een wordt case resultaat van stromen en spannngen. In een rekenvoorbeeld s aangetoond dat de maxmale stroombelastng van kabels en grootste spannngsdalng van knooppunten veel mnder ernstg kan zjn dan wanneer met geljktjdge maxma gerekend wordt. De met behulp van de stochastsche methode berekende stromen en spannngen zjn reëler dan de waarden de met de tradtonele maner berekend worden. LITRATUUR nergened, 996: nergened: "lektrctetsdstrbutenetten", Kluwer Technek, 996 Phase to Phase, 00: P.M. van Orsouw: "Stochastsche loadflow, beschrjvng model belastng", Phase to Phase rapport nummer 0 95 pmo, 7 september 00
4 0 97 pmo BIJLAG: THORI STOCHASTISCH SIGNALN en stochastsche varabele wordt aangegeven met behulp van een onderstrepng. en specfeke waarde, de de stochastsche varabele kan aannemen, wordt aangegeven met behulp van een ndex. x : stochastsche varabele : specfeke waarde van x x In het vervolg gaan we ervan ut dat de kansen van optreden van de ndvduele waarden van x geljk zjn. De verwachtng van x s dan geljk aan de gemddelde waarde en wordt gegeven door: x µ N x x N De varante s gedefneerd als de verwachtng van het kwadraat van de afwjkng ten opzchte van het gemddelde en wordt gegeven door: var x x µ µ x N x x N De spredng, ook wel standaardafwjkng of standaarddevate genoemd, s gedefneerd als de wortel van de varante: σ x varx De covarante van twee stochastsche varabelen s gedefneerd als de verwachtng van het product van de afwjkngen ten opzchte van hun respecteveljke gemddelden: cov x, x x µ x µ x x Aan de hand van de defntes zjn onderstaande rekenregels af te leden: ax b a x b g x h x g x h x var x x x