1.1 Oplossingen. + 1 x ( ) Oplossing oefening 2.1. Oplossing oefening 2.2

Transcriptie

1 . Oplossngen Oplossng oefenng.. De varabele geslacht s een dchotome nomnale varabele: nomnaal omdat het kenmerk ongeordend categorserend gemeten wordt en dchotoom omdat de veranderljke slechts twee nomnale waarden aanneemt.. De tweede vraag meet het geboortejaar. Het s een kwanttateve varabele, meer bepaald op ntervalnveau. In tegenstellng tot de voorgaande varabele s her wel sprake van een ordenng (de ene persoon kan later n de jaartellng geboren zjn dan een ander ndvdu). Bovenden s er een betekensvolle meeteenhed maar geen absoluut nulpunt.. De varabele s het dageljks aantal keren afleggen van de weg tussen woon- en werkplaats ljkt op het eerste zcht kwanttatef maar wordt her ordnaal gemeten. We kunnen welswaar een ordenng aanbrengen maar we hebben geen geljke ntervallen: het verschl tussen de antwoordcategoreën en s net geljk aan het verschl tussen en of meer. Het s bovenden een dscrete varabele: enkel, en zjn legteme meetwaarden.. Met de verde vraag wl men het aantal dagen per week waarop de weg tussen woon- en werkplaats wordt afgelegd meten. Het gaat om een kwanttateve varabele: het kenmerk ordenng s aanwezg (we kunnen spreken n termen van meer of mnder dagen) en er s een betekensvolle meeteenhed. De varabele s de wjze van verplaatsen. We hebben her verschllende antwoordcategoreën de net te ordenen zjn. Het betreft her een nomnale veranderljke. 6.De afgelegde afstand s het kenmerk waarnaar gepeld wordt n de zesde vraag. Het s een kwanttateve varabele gemeten op het ratonveau: ordenng s mogeljk, er s een betekensvolle meeteenhed en tenslotte s er ook een absoluut nulpunt. Oplossng oefenng. ) 5 x = = ) 6 x y = ( x 0) + ( x 5) + ( x ) + (6x 7) + (5 x ) + (7 x 5) = 80 ) 5 (x + ) = 5 x = x + x (5 + ) = ( ) + = 6 ) 6 ( x ) = ² + ² + ² + 6² + 5² + 7² =

2 6 x = ( )²= = ) [ ( j ) + ( + j) ] j= = 5 j= j + + j+ j + j ( ) (³ ² ² ³) 5 = [ ( j ) + (7 + 7 j + 9 j² + j³) ] j= 5 = [ j j + 8 j² + j³ ] j = 5 = [ + 5 j + 8 j² + 5] j = 5 = = j = 5 + = j = j + 8 j ² + = j = = j = 5 = x j + 8 x j ² + 5 x x = j = j = = ( ) + 6 ( ) + 7 (² + ² + ² + ²) + 86 = = 55 6) a y x a y + x + a y = = a x y + a x y + a 0 ( x y + x y x y ) a + = a / x y Oplossng oefenng.. Geboortejaar = nterval x 0 y. Geslacht = nomnaal. Gewcht = rato

3 . Euro = rato 5. Werelddeel = nomnaal 6. Aantal handlangers n categoreën = ordnaal Oplossng oefenng. ( ) = (.. + ).. + =.+ +. = ( ) ( ) = ( ) = (().( ).( ) +.( ).( ) ( ) ) () ( ).( ) + ( ).( ) ( ) (8.0) + (.0) + (6.0) 0 = 0 = ( + + ) ( ) = 98 = 97

4 (+ ) = (5 ) + (5.5.( ) ( ) ) (5.) 0( ) 9( ) = (5.) ( 5 6 ) (+ 5 ) = = 0 ( ) = (.( ).( ) + ( ) ) () + (75) = 85 ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) [ ]

5 5 5 + ( ) ( ) (.. ( ) ) ) = 9(5) ( ) + (.) = ( + j) = + j j= j= j= j = 5(+ + ) + 6( ) j= = 0

6 5 j= 5 j= (+ j) ( ) +.( j).( ) + ( j) ( ) + ( j).( ) + ( j) j= j= j= + j. + 9j j= j= j= 5. + j j= j= 5 [ ] ( ) ( 5).( ) 7( 5 ) (.) + (.) + (7.50) = 8 j j= j= j= ( + ) + ( j) + + (( ).( ).(j) + (j) j+ j j+ j j= j= j= j= j= + (..) j +. j j= j= (9) + (8) + (5) 6(9.0) + 9(0) = 90 ( ) (8) ( ) 6 ( ).( ) 9( )

7 5 j= 5 j= + j + j ( ) (! ²) ( +.( ).( j) +.().( j) + ( j) (...) j j+. j + 8 j. j j= j= j= j= j= j= j +. j + 8. j.... j j= j= j= j= (.) + (5.) + (..) + (.6) (86) () = 5088

8 5 j= 5 j= ( j ) ( j +.. j+ ) j 8 j j= j= j= j. 8. j + j= j= j= 5 5 j. 8 j. +. j= j= ( 5) () , = 0,57 j= j (+ j²) = 9,

9 5 j= 5 j ² + j = 00 ( ) j=! ² 5 j = Oplossng oefenng. f F Een stam-blad dagram laat toe op een relatef eenvoudge wjze de modus af te lezen. De modus bedraagt n dt geval 6,5. Door het dagram aan te vullen met de cumulateve frequentes kunnen we eveneens de medaan afleden. De medaan s de waarde van de n + -de waarnemng, her de 8de waarnemng. De s her geljk aan 6,. De spredng van de waarden n het stam-blad dagram kan gemeten worden met behulp van de varatebreedte x (max) -x (mn) = 8,,8 =,. De vorm van de verdelng s unmodaal en bjna symmetrsch. Het aantal waarnemngen onder de modale stam s nauweljks groter dan het aantal waarnemngen erboven. Als we stammen per eenhed reserveren (één voor de decmalen 0 t.e.m. en één voor de decmalen 5 t.e.m. 9), krjgen we een ets meer gedetalleerd beeld van de vorm van de verdelng. f

10 Oplossng oefenng. a) Om de kwartelen en de medaan te berekenen, s het handg de cumulateve frequentes te kennen: Utgaven f F Utgaven f F n 60 Q s de de 60 + of de 5,5 ste waarnemng. Zowel de 5 de als de 6 de waarnemng heeft de waarde 5. Q= 5. De doos wordt dus aan de onderzjde begrensd door 5. Me s de de 60 + en of de 0,5 de waarnemng. Zowel de 0 ste als ste waarnemng heeft de waarde. Dus Me= en n de doos wordt een horzontale streep getrokken ter hoogte van de waarde. Q s de de (60 + ) of de 5,75 ste waarnemng. De 5 ste waarnemng heeft waarde 9 en de 6 ste waarnemng heeft waarde 0. De 5,75 ste waarnemng wordt berekend va lneare nterpolate: Q=9+ 0,75.(0-9)= 9,75. De doos wordt dus aan de bovenzjde begrensd door 9,75. De nterkwartelafstand Q - Q s geljk aan,75. De klenste waarnemng x (mn)= 0 lgt op een afstand van 5 van Q en s dus meer dan anderhalve nterkwartelafstand (,5) van de onderkant van de doos verwjderd. Het onderste snorhaar wordt daarom net doorgetrokken tot de allerklenste waarnemng, maar tot de klenste waarnemng waarvan de waarde mnder dan anderhalve nterkwartelafstand van Q verwjderd s. De waarde van deze waarnemng s. De grootste waarnemng x (max) = 5 s ook meer dan anderhalve nterkwartelafstand van de doos verwjderd. Het bovenste snorhaar rekt tot de hoogste waarnemng waarvan de waarde net meer dan anderhalve nterkwartelafstand van Q verwjderd s. De waarde van deze waarnemng s N = 60

11 b. Me= 5 + 9,75 Mddenkwartel= =, ,75 Trgemddelde= =,69 Het trgemddelde neemt net alleen de medaan n rekenng, maar ook de kwartelen. In dt geval s het trgemddelde klener dan de medaan omdat de afstand tussen het eerste kwartel en de medaan groter s dan de afstand tussen de medaan en het derde kwartel. De verdelng s met andere woorden lnks asymmetrsch. Het mddenkwartel s enkel en alleen gebaseerd op de kwartelen, en wordt daarom n grotere mate dan het trgemddelde bepaald door de scheefhed van de verdelng. Bj een lnks scheve verdelng s het mddenkwartel daarom klener dan het trgemddelde. c. Varatebreedte= x (max) -x (mn) =5 Interkwartelafstand= Q - Q =,75 Ut de doosdagram bljkt dat de klenste en grootste waarnemngen beden utscheters zjn. In dt geval s de varatebreedte geen geschkte spredngsmaat. De nterkwartelafstand s veel resstenter voor utscheters. Oplossng oefenng. Q : 5,5 ste wrn = 0 Me: 50,5 de wrn = Q : 75,75 ste wrn =,5 Gemddelde =, LET OP: nden je de kwartelen met het rekentoestel TI-8 of TI-8 berekent, dan krjg je als derde kwartel de waarde,.p.v..5. De reden s dat een TI-8 of TI-8 een andere benaderng kest voor de bepalng van de kwartelen. Bj een even aantal waarnemngen (zoals her 00) wordt eerst het aantal waarnemngen n twee geljke blokken verdeeld (50 en 50). Daarna wordt de mddelste waarde van elk blok als respecteveljk Q en Q genomen. Voor Q geeft dt dus de 5,5 de waarnemng (=0), voor Q s dt de 75,5 de waarnemng (= ). Oplossng oefenng. Bj de berekenng van scharnerwaarden vertrekken we van de rang van Q en de rang van Q. De rang van Q = (n+)/ = 8/ =,5 de waarnemng. Rang van S =, = 5 de wrn. S : 5 de wrn = 5 Me: 9 de wrn = 8

12 De rang van Q = (n+)/ = (8/) =,5 de waarnemng. Rang van S =,5-0.5 = de wrn S : de wrn = Trgemddelde: S+ Me + S = = 8,5 Oplossng oefenng.5 n = Q: 6 de wrn = 56 Q: 8 de wrn = 75 Mddenkwartel: Q+ Q = = 65,5 Oplossng oefenng.6 n = 8 S : 0 de wrn = Me: 9,5 de wrn = 0,5 S : 9 de wrn = Boxplot A

13 Oplossng oefenng.7 Q = 6 Me = Q = 5 Trgemddelde: Q + Me + Q = 6 + ( ) + 5 =,5 Oplossng oefenng.8 Mddenkwartel: Q+ Q = = 0,5 Oplossng oefenng.9 x F f depte, , , , ,

14 Oplossng oefenng.0 Me: de wrn maxmale depte = Depte van waarde 7 = 9 Oplossng oefenng. Q = 56 Q = 75 Interkwartelafstand (IKA) = 9 Outler = 75 + (,5 x 9) = 0,5 Oplossng oefenng. a) We hebben her te maken met een kwanttateve varabele, met andere woorden we kunnen de nomnale, de ordnale en de kwanttateve centrummaten berekenen.. op nomnaal nveau De modus (Mo) s de vaakst voorkomende waarnemng. Bj deze resultaten levert de modus geen eendudge waarde op, aangezen alle waarnemngen slechts één maal voorkomen. De modus s n deze stuate geen geschkte centrummaat.. op ordnaal nveau a. Vooraleer we de medaan kunnen berekenen, denen we de dataset te ordenen: ( N + ) ste Me = ( ) ( 5 + ) ste x = ( ) x = x8 = 5 (De helft van de waarnemngen heeft een score van 5 of mnder) b. Mddenkwartel: Q + Q ( N +) ste x ( 5 + ) ste met Q = ( ) = ( ) = x = 6 ( N + ) ste x (5 + ) ste met Q = ( ) = ( ) = x = 60 x x

15 Q + Q = = 8 (Opmerkng: de score van het mddenkwartel s hoger dan de medaan. Dt betekent dat de afstand tussen het eerste kwartel en de medaan n dt geval klener dan de afstand tussen de medaan en het derde kwartel) c. Mddenscharner: met S = S + S N + + 0,5 ste wn = (5 + ) + 0,5 ste wn =,5 ste wn = 7 (De eerste scharnerwaarde (S) stemt overeen met het gemddelde van de verde waarnemng (6) en de vjfde waarnemng (8)). met S = ( N + ) 0,5 ste wn = (5 + ) 0,5 ste wn =,5 ste wn = 59,5 (De tweede scharnerwaarde (S) stemt overeen met het gemddelde van de elfde waarnemng (59) en de twaalfde waarnemng (60)). S + S = ,5 = 8,5 d. Trgemddelde van Tukey: ( ) S + Me + S = ( ) ,5 = 6,6. op kwanttatef nveau µ = N n N x ( ) = 5 = 706/5 = 7,07 b) Wat na toevoegng van een score van 86?

16 ( N +) ste x ( 6 + ) ste Me = ( ) = ( ) = x8,5 x De medaan s het gemddelde van de 8 ste en de 9 de waarnemng, respecteveljk geljk aan 5 en 50. medaan s dus geljk aan 7,5. De μ = 55,8 De medaan s een zeer resstente centrummaat de betekent dat dt kengetal weng gevoelg s voor extreme waarden. Het gemddelde daarentegen, houdt rekenng met alle waarden waardoor het meer beïnvloed wordt door de toevoegng van een utscheter en dt geval dus sterk toeneemt. Oplossng oefenng. a) We gebruken een harmonsch gemddelde omdat de meeteenhed van de varabele een samegenstelde groothed s (euro/lter) en omdat er een vast jkngspunt s (nameljk 000 Euro). HG = N N x f met N =, x =0,50, f =, x =0,60 en f = dan s: HG = 0,50 + 0,60 = 0,555 De gemddelde prjs bedraagt 5,55 eurocent per lter stookole.. Oplossng oefenng. b) Om een gemddeld groepercentage te berekenen, maken we gebruk van het meetkundg gemddelde. De groefactoren per decennum zjn respecteveljk geljk aan:,5; en. Dan s de rekenkundge varant van het meetkundg gemddelde: MG =, 5 =,9 Per decennum nam de bevolkng dus gemddeld met 9 procent toe. Oplossng oefenng. Harmonsch gemddelde! n n x 7 = =, ,8,, 5, 5, 5,8,9 Dt wjkt bjna net af van Bobs gemddelde tjdens de eerste 0 km van de dodentocht. Het verschl bedraag 0,068 km/u.

17 Oplossng oefenng.5 Meetkundg gemddelde! = Jaarljks moet de gemddelde groevoet 7.8% bedragen. Oplossng oefenng.6 Meetkundg gemddelde! Gemddelde 0-jaarljkse bevolkngsgroe 5 x,7 5, 6,8 8, 8,9 8,9,5,7 5, 6,8 8,,5 = 5 = 5 =, 89 De gemddelde 0-jaarljkse groepercentage bedraagt 8,9%. Jaarljkse groepercentage tussen 00 en 00 8, 0,0088 6,8 = Het jaarljkse groepercentage bedraag 0,88% tussen 00 en 00. Oplossng oefenng.7 Gewogen gemddelde! x f k k ( f. x ) f = 5, 5

18 Oplossng oefenng ,05 =, 08 Oplossng oefenng.9 Gewogen gemddelde! k k ( f. x ) f =, 0, + 0,7. x =, 0,7x =, 0,, x = = 0,7 Oplossng oefenng.0 Q IKA = Q 7 5= Outlers aan de onderkant: Q (, 5 IKA) = (, 5 5) = 5,5 Oplossng oefenng. Harmonsch gemddelde! n n x = = 8 + 5, x X =,5 Utwerkng

19 = 8 + 5, x + 5, x = 8 + = = 5, x 8 = = 0,0908 x 5, x = =,508,5 0,0908 Oplossng oefenng. Gemddelde aangroe x =,80 Gemddeld aantal tussen 006 en end 05 Rekenkundg gemddelde! = 70,696 Oplossng oefenng. Meetkundg gemddelde! Procentuele groe tussen e en 8 e verjaardag: 6000, = Procentuele groe tussen 8 e en e verjaardag: 7000, = De woordenschat van een knd groet gemddeld 0,8% meer van 8 e tot de e verjaardag dan tussen de e en de 8 e verjaardag. Oplossng oefenng 5. De volgende bewerngen zjn correct: A, C, D, F, G en I.

20 Oplossng oefenng 5. We kunnen de vraag beantwoorden door de vastgestelde spredng bj bede onderzoekers met elkaar te vergeljken. We kunnen echter net zomaar de standaardafwjkngen met elkaar vergeljken aangezen de onderzoekers een verschllende meeteenhed gebrukt hebben. Kortom, we zullen gebruk moeten maken van een relateve spredngsmaat, n dt geval de varatecoëffcënt. VC = s x met x k = k ( f x ) f en s = k = f ( x n x) Eerste onderzoeker: VC = s = 0,5 x Tweede onderzoeker: VC = s = 0,56 x Dus: wanneer we de twee varatecoëffcënten vergeljken, stellen we vast dat de nkomensongeljkhed bj de tweede onderzoeker het grootst s. Oplossng oefenng 5. s x n ( x ) X = =, 7 n Oplossng oefenng 5. VC x sx, 7 = = = 0, 7 X, 60 VC y sy,8 = = = 0,57 Y, 6765 De spredng s het grootst bj het aantal uren sport (X). Oplossng oefenng 5.5 σ X,597 VC x = = = 0, 70 X 67, 05 Oplossng oefenng 5.6 k * F 0, 79 0, 706 od = k = = Bassnkomen? f F* Helemaal oneens 0 0,08 Oneens 5 0,97 Noch eens, noch oneens 0,97 Eens 0 0,75 5 Helemaal eens

21 Oplossng oefenng 5.7 n ( x ) X sx = =, 5 n Oplossng oefenng 5.8 Wjn F f * Châteaux Cheval Blanc (00) 5 0,09 Châteaux Ausone (00) 0,88 Châteaux Pave (006) 9 0,6 Châteaux Fgeac (00) 9 0,7 Châteaux Troplong Mondot (006) 0,6 k ( f * ) k= k 0,0 0,9595 nd = ( k ) = /5 = k Oplossng oefenng 5.9 Genormeerde entrope Oplossng oefenng 5.0 k * * f ln f k=,5005 = = = ln k ln 5 Dt s een lneare transformate van de vorm y = a + b*x 0,9 Y X = + = + ( X) In het handboek staat dat wanneer we een constante a optellen bj alle waarnemngen, dt geen enkel effect heeft op de varante. Enkel de multplcator b moet n rekenng worden gebracht. VAR b VAR X ( a+ bx) = ( ) VAR ( a + bx) = = Oplossng oefenng 5. k * F 0,60 0, 697 od = k = =

22 Oplossng oefenng 5. k * F 0, 05 0,597 od = k = = Oplossng oefenng 5. k ( f * ) k 0, 068 0,9 nd = ( k ) = 9 /0 = k Genormeerde entrope k * * f ln f,08 = = = ln k Oplossng oefenng 5. Aantal glazen Adorp (X) * F * f f 0 0, 0, ,5 0, 0 0 0,6 0, ,9 0, , 60 VC x sx,89 = = = 0,555 X 7 Aantal glazen Bdorp (Y) * F * f f 0 0, 0, , 0, , 0, 0 0 0,7 0, , 80 VC y sy,869 = = = 0,560 Y 6 ln0 0,878 Oplossng oefenng 5.5 Het verband tussen X en Y wordt voorgesteld door een rechte en heeft dus de vorm y = a + b * x. A s het ntercept of de krusng met de x-as en s dus geljk aan 6. B s de rchtngscoëffcënt en s geljk aan 0,5 (telkens je op de x-as waarden omhoog gaat, ga je er omhoog op de y-as). Net als n een van de voorgaande oefenngen houden we enkel rekenng met de rchtngscoëffcënt.

23 VAR b VAR X ( a+ bx) = ( ) VAR + = = ( a bx) 0, 5 6,975 Oplossng oefenng 5.6 k ( f * ) k 0, 00 0,987 nd = ( k ) = /5 = k Genormeerde entrope Oplossng oefenng 6. k * * f ln f,5807 = = = ln k ln 5 0,98 Bruto jaarwedde f F x.f f.(x - µ ) f.(x - µ ) Totaal Totaal / N Een zeer eenvoudge maner om de scheefhed van de verdelng van een kwanttateve varabele te bepalen s de µ Me / σ scheefhedscoëffcent van Pearson: ( ) ( ). De s n dt geval geljk aan,6 ( / 859 ). Gezen de utkomst veel groter s dan nul, kunnen we nderdaad besluten dat deze loonverdelng rechtsscheef s. Als de scheefhedscoëffcent van Pearson groter s dan nul geeft dt aan dat het rekenkundg gemddelde groter s dan de modus of medaan, wat wjst op de aanwezghed van enkele zeer hoge lonen. Het gemddelde s mmers veel gevoelger voor utscheters dan de modus of medaan, en wordt daarom sterker beïnvloed door de zeer hoge lonen. Iemand de wl aantonen dat een ondernemng vrj hoge lonen heeft, zal dus beroep doen op het rekenkundg gemddelde. In het andere geval s bj een rechtsscheve verdelng de medaan een meer geschkte centrummaat gezen deze geen rekenng houdt met de extreem hoge lonen van enkelngen. De scheefhedscoëffcent van Pearson vergeljkt de modus met het rekenkundg gemddelde; de scheefhedscoëffcënt γ houdt rekenng met de afwjkng van elke x tot het rekenkundg gemddelde. ( f ( x µ ) ) / N = = / [ f ( x µ ) / N ] / ( ) γ =,88

24 Ook γ geeft aan dat we te maken hebben met een rechtsscheve verdelng. Gezen γ veel groter s dan gaat het om een sterk rechts asymmetrsche verdelng. Oplossng oefenng 6. s Gegeven s dat n = 50, x = 5, = 0, 50, m = en m = 68 x Daarut volgt dat s = 5 0,5 =,5. Dan s γ = = 0, 0008 en,5 68 γ = =,997,5 De frequenteverdelng s verdelng quas symmetrsch ( γ s bjna nul) maar s tegeljk veel platter (mnder sterk gepekt) dan de normaalverdelng ( γ s dudeljk klener dan 0). Oplossng oefenng 6. µ 97,78 gamma = = = 0,90 σ X 8, 088 µ 087,908 kappa = = =,98 σ X 8, 088 gamma = kappa =, 089 Oplossng oefenng 6. Vermts we enkel beschkken over rangorde kengetallen steunen we de berekenng van scheefhed op de formule van Yule. Q = 6 Me = 5 Q = 56 (Q Me) ( Me Q) = 0,55 (Q Me) + ( Me Q ) Oplossng oefenng 6.5 In de formule van Yule worden enkel verhoudngen gebrukt en doet de meeteenhed er net toe. We mogen dus zelf waarden toekennen, zolang de verhoudngen maar gerespecteerd bljven. Het correcte antwoord s alternatef a). We gebrukten herbj Q = 0, Me = 7,5 en Q =

25 (Q Me) ( Me Q) = 0,6 (Q Me) + ( Me Q ) Oplossng oefenng 6.6 Inden de afstand tussen Q Me anderhalve keer de afstand van Me Q bedraagt, dan s de afstand Q Me = 6, en Me Q =. Vermts 6 =, 5 en 6 + = 60 Stellen we Q = 0, dan s Me = en Q = 60. De Yule formule levert ons dan: 0,0 als antwoord (alternatef b). Oplossng oefenng 6.7 Alternatef b) Oplossng oefenng 6.8 Berekenng van de standaardafwjkng op bass van de varatecoëffcënt: S VC = = 0,5 S = 0,5 50 = 7,5 X Berekenng van de medaan op bass van Pearson = (50 Me) = 0, 5 50 Me = 0, 5 7,5 7,5 5,75 Me =,75 50 Me = Me = 5, 58 Berekenng van de modus op bass van de relate van Pearson: X Mo = ( X Me) Mo = X Me X Mo = X Me Mo = 00 (5, 58) = 5,79 Mo = 5,79

26 Oplossng oefenng 6.9 De momenten zjn n n n n n ( x X) = 0 n ( ) = x X Varante n ( ) = 0 x X De teller van de Gamme formule n ( ) = 6 x X De teller van de Kappa formule Voor de berekenng van de scheefhed: n n ( x X) 0 = =, 5 ( SD) () Voor de berekenng van kurtoss: kappa n ( x X) n 6 = = = ( SD) () Gamma =,875 = 0,5 Oplossng oefenng 6.0 Alternatef b) Q = 5 Q = 0 Me = Anderhalve IKA = 7,5 Te meten vanaf 0 = -7,5,875 Oplossng oefenng 6. µ = = 9 n n ( ) x X

27 x = ( 0) = = 0,5 n µ ' x = n n n VC σ X = = = 6 X 0,5 Oplossng oefenng 6. Q = 56 Me = 69 Q = 75 Scheefhedscoëffcënt van Yule: (Q Me) ( Me Q) = (Q Me) + ( Me Q) (75 69) (69 56) = 0,68 (75 56) Oplossng oefenng 6. Aangezen Gamma geljk s aan 0, weten we dat de verdelng perfect symmetrsch s. Het mddenkwartel lgt met andere woorden perfect n het mdden van de doos van het doosdagram. Bj een perfect symmetrsche verdelng lgt ook de modus perfect n het mdden, ook de medaan en ook het gemddelde. We leden dus af dat het gemddelde ook geljk s aan 6. σ X VC = X σ X 0,5 = 6 σ X = VAR = ² = 9 x Oplossng oefenng 7. De frequentepolygoon leent zch goed tot het vergeljken van twee verdelngen omdat meerdere polygonen n één grafsche voorstellng kunnen worden opgenomen. Daartoe moeten we bede verdelngen wel op een unforme maner classfceren. We bepalen het aantal klassen voor bede verdelngen op bass van de verdelng met het grootst aantal elementen (jongens: N = 8). Voor de varatebreedte nemen we bede groepen samen, zodat de eventuele utscheters van zowel de jongens als de mesjes n onze classfcate ondergebracht kunnen worden. De laagste waarde s afkomstg van de jongens (x(mn) = 5) en de hoogste waarde s gestueerd bj de mesjes (x(max) = 97).

28 Opstellen geclassfceerde frequentetabel Aantal klassen: k = +, log 8 = 6,6. We zullen de gegevens ndelen n 7 klassen. Varatebreedte: VB(x) = 97-5 = Klassebreedte: v = / 7 = 6,. Afgerond naar boven: v = 7 (meeteenhed data = ) Varatebreedte klassenndelng: VB(klassenndelng) = 7 * 7 = 9 VB(klassenndelng) - VB(x) = 6 s even dus we werken met afgeronde klassegrenzen. Afgeronde ondergrens eerste klasse: l a = 5 (6 / ) = 5 Afgeronde bovengrens eerste klasse: u a = 5 + (7 ) = 57 Exacte ondergrens eerste klasse: l e = 5 0,5 = 50,5 Exacte bovengrens eerste klasse: u e = ,5 = 57,5 Klasse Afgeronde ondergrens Afgeronde bovengrens Exacte ondergrens Exacte bovengrens l a = 57 + = 58 u a = 58 + (7 ) = 6 l e = 57,5 u e = 57,5 + 7 = 6,5 l a = 6 + = 65 u a = 65 + (7 ) = 7 l e = 6,5 u e = 6,5 + 7 = 7,5 l a = 7 + = 7 u a = 7 + (7 ) = 78 l e = 7,5 u e = 7,5 + 7 = 78,5 5 l5 a = 78 + = 79 u5 a = 79 + (7 ) = 85 l5 e = 78,5 u5 e = 78,5 + 7 = 85,5 6 l6 a = 85 + = 86 u6 a = 86 + (7 ) = 9 l6 e = 85,5 u6 e = 85,5 + 7 = 9,5 7 l7 a = 9 + = 9 u7 a = 9 + (7 ) = 99 l7 e = 9,5 u7 e = 9,5 + 7 = 99,5 -. Jongens Mesjes l e - u e l a - u a c x 50,5-57, I 0, I 0, 57,5-6, IIIII I 6 0,86 IIIII 5 0,86 6,5-7, IIIII IIII 9,9 IIIII 5 0,57 7,5-78, IIIII IIIII IIII,00 IIIII IIIII IIIII 5, 5 78,5-85, IIIII IIII 9,9 IIII 0, ,5-9, IIIII 5 0,7 IIIII 5 0,7 7 9,5-99, IIII 0,57 IIIII 5 0,7 N=8 N=0 f f v f f v Grafsche voorstellng bede verdelngen De verdelng van de endresultaten ljkt net erg te verschllen naargelang het geslacht. Bede verdelngen hebben één modale klasse, telkens de klasse met centrum 75 procent, en zjn tameljk symmetrsch. De resultaten van de mesjes zjn n vergeljkng met de jongens evenwel ets meer n de top en de staarten (vooral rechterstaart) van de verdelng gestueerd.

29 Frequentedchtheden FREQUENTIEPOLYGOON Jonge ns Endresultaten secundar onderwjs (klassecentra) Oplossng oefenng 7. Exacte klassegrenzen Absolute frequentes Cumulateve frequentes 5,75-57,5 57,5-60, ,55-6,95 7 6,95-67,5 6 67,5-70, ,75-7,5 7,5-77, Scheefhedscoëffcënt van Yule = ( Q Me) ( Me Q ) ( Q Me) + ( Me Q ) Berekenng van Q, Me en Q: v = 57,5 5,75 =, ( 5 + ) Q = ( ste x ) = x - 7 Q s dus gestueerd n de verde klasse, meer preces Q = 6, 95 +, = 67,5. In een kwart van de staten 6 van de V.S. bezt hoogstens 67, procent van de nwoners een wonng. ( 5 + ) Me = ( ste x ) = x6 6 - Me s dus gestueerd n de vjfde klasse, meer preces Me = 67,5 +., = 70,0. 5.(5 + ) Q = ( ste x ) = x9 9-8 Q s dus gestueerd n de zesde klasse, meer preces Q = 70, 75 +, = 7,. In drekwart van de staten van de VS bezt hoogstens 7,9 procent van de nwoners een wonng.

30 Scheefhedscoëffcënt van Yule: (7, - 70,) (70, - 67, ) 0.0 (7, - 70,) + (70, - 67, ) = De verdelng s quas symmetrsch. Oplossng oefenng 7. Allereerst wordt de cumulateve frequente (F ) berekend. Lengte (n nch) aantal F 57,5 58, ,5 59, ,5 60, ,5 6,5 00 6,5 6, ,5 6, ,5 6, ,5 65, De rang van de medaan = (87+)/ = 9 ste waarnemng. Dat s de de klasse (60,5 6,5). De geïnterpoleerde formule: e rangme F Me = l + v f 9 58 Me = 60,5 + = 6,57 De rang van Q = (87+)/ = 7 ste waarnemng. Dat s de de klasse (59,5 60,5). Q l v f 7 8 Q = 59,5 + = 60, 0 De rang van Q = (87+)/ = ste waarnemng. Dat s klasse 6 (6,5 6,5). 5 Q l6 v f6 Q e rangq F = + e rangq F = + 5 = 6,5 + = 6,7 8 De geïnterpoleerde scheefhed van Yule: (Q Me) ( Me Q) = (Q Me) + ( Me Q ) (6, 7 6,57) (6,57 60,) = 0, 057 (6, 7 60,)

31 Oplossng oefenng 7. Allereerst wordt de klassecentra berekend. De klassecentra mag je gebruken om gamma te berekenen. Lengte (n nch) aantal x c 57,5 58, ,5 59, ,5 60, ,5 6,5 6 6,5 6, ,5 6, ,5 6, ,5 65, Met behulp van ons grafsch rekentoestel vullen we de ljsten n. Voor het verdere verloop van de bewerkng n het rekentoestel verwjzen we naar paragraaf 6.. Het utendeljke resultaat voor Gamma = 0,069 Oplossng oefenng 8. { } { } ( A B) =,,6 ( A C) =,6 ( A B C) = φ { } { } = { } ( A B) =,,,,5,6,8,0,, ( B C) =,,,6,8,9,0,,,5 ( A B C),,,,5,6,8,9,0,,,5 Oplossng oefenng 8. a) Fout b) Just c) Just d) Fout

32 Oplossng oefenng 8. B C B C = B B C = C B D= φ C A= A D E = D E \ D = { stjn} D\ E = φ Bruno C B D E A Oplossng oefenng 8. a) A B : (nog aan te vullen) b) A C : c) B C : d) A B C : e) A B : f) A C : g) B C : h) A B C : ) A\B : Oplossng oefenng 8.5 Totaal aantal mogeljke toevalsgebeurens: 0986 Aantal gunstge toevalsgebeurens: aantal studenten de nog n het secundar, het lager onderwjs of het kleuteronderwjs ztten = = 0,850 Oplossng oefenng 8.6 taalvakken * wskundge vakken * 5 keuzevakken * semnare = 0 Oplossng oefenng 8.7 Man Vrouw Verpl. / 7/ 8/ Arts / / 5/ / 0/ Oplossng oefenng 8.8 PP(PPPP SSSS) = PP(PPPP) + PP(SSSS) PP(PPPP SSSS) = = = 0,887

33 Oplossng oefenng 8.9 PP(SSSSSS PPPP) = PP(SSSSSS PPPP) PP(PPPP) Oplossng oefenng 8.0 = /566 9/566 = 9 = 0,77 Je kan her de productregel bj statstsche onafhankeljkhed gebruken (trekkng s onafhankeljk van trekkng ). De trekkng gebeurt wel zonder terugleggng, waardoor de kans op een nbraak ut 0 de tweede keer lager lgt dan de eerste keer. PP(0() 0()) = PP(0()) x PP 0() = = 0,087 Oplossng oefenng 8. Gegeven: PP(MMMMMM) = 0,6 PP(GG MMMMMM) = 0, PP(DD) = 0, PP(DD MMMMMM) = 0,5 PP(GG) = 0, Gevraagd: PP(DD VVVVVVVVVV) =? Het antwoord vnd je door gebruk te maken van de regel van de totale kans: PP(DD) = PP(DD MMMMMM) + PP(DD VVVVVVVVVV) PP(DD) = PP(DD MMMMMM) xx PP(MMMMMM) + PP(DD VVVVVVVVVV) xx PP(VVVVVVVVVV) 0, = 0,5 x 0,6 + PP(DD VVVVVVVVVV)x 0,6 0,0 = PP(DD VVVVVVVVVV) = 0,0667 0,6 Aan de hand van de gegeven kansen, kan je ook het hele dendrogram nvullen en zo tot de juste utkomst komen. In onderstaand dendrogram staan voorlopg enkel de gegeven kansen. Probeer de rest van het dendrogram zelf aan te vullen.

34 Oplossng oefenng 8. Gegeven: PP(SSSS. VVVV MMMMMM) = 0, PP(SSSS. VVVV VVVVVVVVVV) = 0,8 PP(VVVVVVuuuu) = 0,5 PP(MMMMMM) = 0,65 Gevraagd: PP(SSSS. VVVV) Antwoord: maak gebruk van de regel van de totale kans: PP(SSSS. VVVV) = PP(SSSS. VVVV MMMMMM) x PP(MMMMMM) + PP(SSSS. VVVV VVVVVVVVVV) x PP(VVVVVVVVVV) PP(SSSS. VVVV) = 0, x ,8 x 0,5 = 0,75 Oplossng oefenng 8. Gegeven: PP(TT + BB +) = 0,85 PP(TT BB ) = 0,88 PP(BB +) = 0,00 Gevraagd: PP(BB + TT +) =? Antwoord: Maak gebruk van de regel van Bayes. PP(BB + TT +) = PP(BB + TT +) = PP(TT + BB +) x PP(BB+) PP(TT + BB +) x PP(BB +) + PP(TT + BB ) x PP(BB ) 0,85 x 0,00 0,85 x 0,00 + 0, x 0,996 = 0,00 0,9 = 0,0766 Oplossng oefenng 8. Gegeven: PP(AA II) = 0,85 PP(AA gggggg) = 0,0 PP(II) = 0,000 Gevraagd:

35 PP(II AA) =? Antwoord: Maak wederom gebruk van de regel van Bayes. PP(II AA) = PP(II AA) = PP(AA II) x PP(II) PP(AA II) x PP(II) + PP(AA gggggg) x PP(gggggg) 0,85. 0,000 0,85 x 0, ,0 x 0,9999 = 0, ,0008 = 0,0089 Oplossng oefenng 9. We schetsen eerst alle mogeljke resultaten (=utkomstenrumte) van dt experment n een krustabel. Eerste dobbelsteen Tweede dobbelsteen Vervolgens gebruken we deze utkomstenrumte om de smultane kansverdelng op te stellen voor de som van de twee dobbelstenen (X). X P /6 /6 /6 5 /6 6 5/6 7 6/6 8 5/6 9 /6 0 /6 /6 /6 De elementare utkomsten de je 0 Euro rjker maken zjn n het rood gearceerd. Wanneer we de kansen van al deze elementare utkomsten bj elkaar optellen krjgen we een kans van 6/6. Het complement daarvan, 0/6, geeft de kans dat je 0 Euro moet betalen. Dus, je hebt meer kans dat je moet betalen, dan dat je kan wnnen. Oplossng oefenng 9. We vullen allereerst onze tabel aan (gearceerde waarden). Y\X 0 P(X=x) 0 0,6 0, 0,60 0,8 0, 0,0 0,06 0,0 0,0 P(Y=y) 0,60 0,0 De voorwaardeljke kans PP(YY = XX = ) = PP(YY = XX = ) = 0,0 PP(XX = ) 0,0 = 0,0

36 De som PP(YY = 0 XX = 0) = PP(YY = 0) + PP(XX = 0) PP(YY = 0 XX = 0) = 0,60 + 0,60 0,6 = 0,8 De standaardafwjkng en de verwachte waarde van de stochast (X * Y) Hervoor bouwen we eerste de smultane kansverdelng (X * Y) P 0 0,8 0, 0,0 Voor het verdere verloop van de berekenng verwjzen we naar paragraaf 9.. Het resultaat s een verwachte waarde van 0, en een standaardafwjkng van 0,8989 Oplossng oefenng 9. Bepaal de kansverdelng van het totaal aantal maaltjden dat mevrouw X de twee zondagen zal nuttgen. Eerst maken we een overzcht van de 6 geznnen. Gezn Aantal maaltjden A B C D E F Mevrouw X kest op twee zondagen geznnen. We kjken hoeveel mogeljke keuzes ze kan maken. Dat komt neer op de berekenng van een combnate, mb. op hoeveel maneren kan je geznnen kezen ut een groep van 6. De berekenng hervoor s : CC kk nn = nn! kk!. (nn kk)! = 6!!.! = = 5 Je kan de stuate ook schetsen n een smultane kanstabel, waarbj de zwarte cellen net kunnen voorkomen. Eerste keuze A () B () C () D () E () F () Tweede keuze A () /6 B () 5 5 /6 C () 5 5 /6 D () 5 5 /6 E () /6 F () /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 We zetten alle mogeljke keuzes (combnates) ut n een tabel met daarnaast het aantal maaltjden voor de twee zondagen. Omdat de volgorde waarn de geznnen worden bezocht geen rol speelt zjn er maar 5 combnates.

37 Combnate Aantal maaltjden Som aantal maaltjden AB + AC + AD + AE + AF + BC + BD + BE + 5 BF + 5 CD + CE + 5 CF + 5 DE + 5 DF + 5 EF + 6 De waarden van onze stochast (aantal maaltjden) loopt dus tussen en 6. Samen met de respecteveljke kansen zet onze kansverdelng er als volgt ut: Aantal maaltjden (X) P /5 5/5 5 6/5 6 /5 Het te verwachten aantal maaltjden berekenen we door de verwachte waarde te berekenen. Deze maal zonder rekentoestel. Aantal maaltjden (X) P P*X /5 9/5 5/5 0/5 5 6/5 0/5 6 /5 6/5 Som 65/5 De verwachte waarde E[X] = PP XX = 65/5 =. maaltjden. Varant: bepaal ook de kansverdelng van het totaal aantal maaltjden wanneer mevrouw X ook voor de bepalng van het tweede gezn opneuw aselect kest (dus, eerste gezn opneuw mogeljk). We schetsen de stuate n een krustabel. Eerste gezn aantal P maaltjden Tweede gezn /6 5 /6 5 6 /6 P /6 /6 /6 Omdat er tweemaal na elkaar aselect wordt gekozen zjn de kansen onafhankeljk van elkaar. Door mddel van de productregel voor onafhankeljkhed kunnen we nu de respecteveljke kansen n elke cel bjschrjven (= de waarde tussen haakjes). Eerste gezn aantal P maaltjden Tweede gezn (/6) (/6) (/6) /6 (/6) (9/6) 5 (6/6) /6 (/6) 5 (6/6) 6 (/6) /6 P /6 /6 /6 Tenslotte bouwen we de smultane kansverdelng. De stochastsche waarden lopen deze keer tussen en 6.

38 Een andere werkwjze s opneuw gebruk te maken van de smultane kanstabel, waarbj deze keer de dagonaal stuates wel kunnen voorkomen. Eerste keuze A () B () C () D () E () F () Tweede keuze A () /6 B () 5 5 /6 C () 5 5 /6 D () 5 5 /6 E () /6 F () /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Antal maaltjden P /6 6/6 /6 5 /6 6 /6 Som De verwachte waarde her s 56/6 =. Antal maaltjden P P*X /6 /6 6/6 8/6 /6 5/6 5 /6 60/6 6 /6 /6 Som 56/6 Oplossng oefenng 9. Het antwoord s 0,. In formele kansnotate tellen we twee producttermen bj elkaar op: PP(VVVVVVVVVVVVVVVV RRRRRRRR) + PP(VVVVVVVVVVVVVVVV GGGGGGGGGG) = = 0 Oplossng oefenng 9.5 We schetsen eerste de stuate van geznnen. Gezn Aantal knderen A B C D 5 Er moeten geznnen worden gekozen ut een groep van. Dat s de berekenng van een combnate van boven. CC kk nn = nn! kk!. (nn kk)! =!!.! = = 6

39 De 6 mogeljke combnates zjn: Combnate Aantal knderen AB AC AD 6 BC BD 7 CD 7 In een kansverdelng zjn de waarden van onze stochast (X) dus,, 6 en 7. Aantal knderen (X) P /6 /6 6 /6 7 /6 Oplossng oefenng 9.6 Geef E[X] en σ voor stochast S. Breng de kansverdelng n n je rekentoestel, zoals reeds getoond n opdracht. De verwachte waarde = 5,57, de standaardafwjkng =, Geef de cumulateve kansverdelng van A. Hervoor moeten we eerst het aantal eerste plaatsen zen te vnden de aanwezg zjn n de som van de dre keuzes. S P[S=s] Eerste plaatsen (patronen) Eerste plaatsen (aantal) 0/5 -- 0/5 - - (of of ) 8 0/ (of 6 of 6) 9 5/ (of 6 of 6 of 6) De kansverdelng voor het aantal eerste plaatsen s dan: Aantal eerste plaatsen (A) P Cumulateve P 5/5 5/5 0/5 5/5 0/5 5/5 Geef de smultane kansverdelng voor de stochasten S en A. De stochasten zjn afhankeljk en sommge combnates zjn onmogeljk (grjs). De producten n de tabel worden dan ook berekend d.m.v. de afhankeljkhedsregel. S A 8 9 5/5 5/5 0/5 0/5 0/5 0/5 0/5 0/5 0/5 0/5 5/5

40 Geef de margnale kansverdelng van A. Aantal eerste plaatsen (A) P 5/5 0/5 0/5 Zjn S en A onafhankeljk? Waarom wel/net? De stochasten zjn afhankeljk omdat sommge waarden n één stochast, automatsch waarden van een andere stochast utsluten. Zo kan je onmogeljk een som van 9 bekomen, wanneer je eerste plaatsen hebt. PP(AA SS) PP(AA) x PP(BB) PP(AA SS) = PP(AA SS) x PP(SS) = PP(SS AA) x PP(AA) Oplossng oefenng 9.7 Smul & Vul P(X=x) X.P 0 0,6 0 0, E(X) = Je verwacht euro ut te geven. Oplossng oefenng 9.8 X P(X=x) X.P 0-0 = 0 0, 90-0 = 70 0, = 0 0, 50-0 = 0 0, 80-0 = 60 0, 6 E(X) = 50 De dagprjs per persoon moet 50 euro bedragen. Oplossng oefenng 0. We gebruken her de Posson verdelng met een λ van (per vjf pagna s). Omdat het nterval n de vraag pagna s, moeten we de λ waarde aanpassen naar 0,. De kans op meer dan wordt dan: Met de tabellen Px ( ) = Px ( ) = (0,67 + 0,887) = 0,076 Met het grafsch rekentoestel -POISSONCDF(0,,) =0,075.dus afgerond 0,076 Oplossng oefenng 0. We gebruken her de POISSON verdelng met λ= 5 (per jaar).

41 ste vraag: de vraag P( x ) = POISSONCDF(5, ) = 0, 7 Px ( ) = Px ( 0) POISSONCDF(5,0) = 0,67 Oplossng oefenng 0. De verjaardag van de eerste persoon mag op elke dag van het jaar vallen. Neem een wllekeurg ander persoon ut de 500. De verjaardag van deze persoon mag net op de van de eerste vallen, dus dat zjn 6 van de 65 dagen (6/65). Dt geldt voor elke wllekeurge andere persoon ut de resterende 98 personen. Dus wordt de berekenng: = 0, Of ongeveer 5, procent kans. Oplossng oefenng 0. Dt s een bnomaal probleem. Wat we nodg hebben s de kans op ontevredenhed P(Tc) bj de concurrente. De kans kunnen we afleden ut de tabel. Dat zjn de gearceerde cellen n onderstaande tabel: tevreden Telenet Proxmus Belgacom Ja nee n= Kortom, 50/000 of 5 %. De noodzakeljke bnomale verdelng s B(0; 0,5) met als cumulateve vraag P(x >= 7). In onze tabel kjken we bj n=0 en r=7, n de kolom 0,5 en vnden een waarde van 0,005 of 0,5%. Oplossng oefenng 0.5 We moeten om te begnnen de kans weten op bjwerkngen n de dre producten. Welke soort van bjwerkng maakt nets ut, dus kunnen we onze tabel vereenvoudgen naar: n=8 n=8 n=6 Bjwerkng Product A Product B Placebo JA 0,5 0, 0,06 NEEN 0,75 0,66 0,9 We berekenen vervolgens de kans op bjwerkng n de volledge groep, n de vraag wordt er mmers geen ondersched gemaakt tussen de groepen. De kans op bjwerkng s dus de kans op bjwerkng wanneer product A wordt genomen, plus de kans op bjwerkng bj product B, plus de kans op bjwerkng bj placebo. Formeel:

42 PP(BBBB) = PP(BBBB AA) + PP(BBBB BB) + PP(BBBB PPPPPP) En dat kan worden berekend door mddel van de productregel voor afhankeljkhed PP(BBBB) = PP(BBBB AA) x PP(AA) + PP(BBBB BB) x PP(BB) + PP(BBBB PPPPPP) x PP(PPPPPP) Dat s geljk aan (0.5 x 0.) + (0. x 0.) + (0.06 x 0.) = 0,0 Afgerond s onze kans op bjwerkngen n de groep van 60 deelnemers = 0%. Opmerkng: je kan de bovenstaande berekenng ook d.m.v. een dendrogram vsualseren. De utendeljke vraag: Een meerderhed n een groep van = 8 of meer. Onze bnomaalvraag wordt P(X>=8) bj een verdelng B(; 0,) In onze tabel kjken we bj n= en r = 8, bj een kans van 0, Resultaat 0.,00 of 0,% Oplossng oefenng 0.6 De kans dat emand net komt opdagen s her 5%. Om geconfronteerd te worden met te weng plaatsen moeten alle de passagers komen opdagen; In bnomaal termen zoeken we dus de kans bj B(; 0,5) van P(X=0) of geen enkele persoon komt NIET opdagen. In de tabel s dt P(X>=0) P(X>=) = 0,897 = 0,08 of 0,8%. Oplossng oefenng 0.7 We weten dat de kans op voorberedng P(V) = 0,5 (de helft). De rest van de waarden gaan we dtmaal llustreren d.m.v. een dendrogram Dus, de kans op succes n het algemeen = 0,5 + 0,75 = 0,8 Vraag : wanneer we enkel kezen ut de voorberedngsgroep s de kans op succes = 0,85.

43 Bj een bnomaal B(0; 0,85) met als vraag P(X>=6). Omdat we de waarde van p=0,85 net n onze tabel hebben draaen we de vraag om en zoeken we de kans dat er of mnder falen P(X<=) bj een bnomaal B(0; 0,5). Va de BINOMCDF() functe geeft dt 0,990 Va de tabel zoeken we P(X>=5): we kjken bj n=0 en r=5. In de kolom 0,5. We lezen een waard af van 0,00. Hervan moeten we nog het complement nemen 0,0099 = 0,990 Vraag : het algemeen succes s 0,80 Alle stappen bljven geljk maar we werken her met een kans van 0,80. Resultaat s: 0,967 Oplossng oefenng 0.8 Elke staaf stelt n fete een bnomale stuate voor. In de leeftjdsgroep van 5-5 s P(F) = 0,5 en de P(Fc) = 0, = P(F)=0,0 en P(Fc)=0,80 en 65+ P(F)=0,07 en P(Fc)=0,9. Vraag : De berekenng van de verwachte waarde E[X] n de dre groepen s steeds n.p. LET OP we zoeken personen ZONDER Facebook account, dus: 5-5: E[X] = 00 x 0.65 = : E[X] = 00 x 0,80 = : E[X] = 00 x 0,9 = 9 Samen s dt 8 personen ut de groep van 00 MERK OP dat dt evengoed kan worden gezen als een berekenng van een gewogen gemddelde: (00 x 0,65) + (00 x 0,8) + (00 x 0,9) Vraag : Her gebruken we de regel VAR[X + Y + Z] = VAR[X] + VAR[Y] + VAR[Z], waarbj de VAR steeds wordt berekend d.m.v. n.p.q (00 x 0,5 x 0,65) + (00 x 0,0 x 0,80) + (00 x 0,07 x 0,9) = 5,6 Oplossng oefenng 0.9 De oplossng loopt analoog aan de ut opdracht 5.

44 De kans op weekenddode PP(DDDD) = PP(DDDD 5_7jj) + PP(DDDD 8_jj) + PP(DDDD 5_9jj) Dat s geljk aan PP(DDDD) = PP(DDDD 5_7jj) x PP(5_7jj) + PP(DDDD 8_jj) x PP(8_jj) + PP DDDD 5 9jj x PP(5_9jj) =(0,7 x 0,08) + (0,7 x 0,05) + (0,9 x 0,06) = 0,05 De verwachte waarde voor de volledge groep van 900 = np = 900 x 0,05 = 7,889 weekenddoden. Oplossng oefenng 0.0 Het gemddelde van een bnomale verdeelde stochast = np De varante van een bnomale verdeelde stochast = npq VC = VC = σ µ npq np 0 0,6 0, VC = 0 0,6 VC = 0,9 Oplossng oefenng 0. Dt s een hypergeometrsch probleem, telkens je een getal trekt (verandert) daalt mmers de kans op een even nummer. Van de nummers zjn er even. De eerste keer dat je een getal trekt heb je een kans van /, de tweede keer een kans van 0/, enz. X~H(6;;) = = 0, Oplossng oefenng..!!! Hoewel dt n de onderstaande oplossngen net gebeurd s, verdent het aanbevelng om de gezochte grenswaarde en/of kansdchthed te vsualseren aan de hand van een tekenng. X = IQ leerlngen secundar onderwjs n Vlaanderen X~N(00;0) P ( X < 0 ) =?

45 We zoeken de kans dat X klener s dan 0. Mogeljke berekenngswjzen: a)we berekenen de oppervlakte lnks van de x-waarde = 0 onder de curve van de normaalverdelng met gemddelde 00 en standaardafwjkng 0. Deze oppervlakte zouden we kunnen berekenen met behulp van ntegraalrekenng. De oppervlakte van - tot 0 onder de curve van de normaalverdelng met µ = 00 en σ = 0 s geljk aan: 0 0 x 00 0 e π dx b)maar we kunnen deze kans gelukkg ook va de tabel van de standaardnormale verdelng berekenen. Elke normaal verdeelde kansvarabele X~N(µ,σ) kan mmers va standaardserng µ Z = X tot een standaardnormaal σ verdeelde varabele Z~N(0;) herled worden. Utgaande van de verdelng van het IQ van de leerlngen: X~N(00,0), bekomen we dus een standaardnormaal verdeelde varabele 00 Z = X met Z~N(0,). Inden we de kans zoeken dat X<0, komt dt overeen met het 0 zoeken naar de kans dat 0 00 Z < of P(Z<,5). Tabel 8. leert ons dat de gecumuleerde kansdchthed bj de 0 z-score,50 = 0,9. De kans dat een leerlng een IQ lager dan 0 heeft, bedraagt dus 9,%. Of: 9,% van de leerlngen heeft een IQ lager dan 0. X = IQ leerlngen secundar onderwjs n Vlaanderen X~N(00;0) We zoeken eerst de kans dat het IQ tussen 90 en 0 lgt. P ( 90 < X < 0) =? Om gebruk te kunnen maken van de tabel van de gestandaardseerde normale verdelng werken we met de z- scores en zoeken we bjgevolg P < Z < of P ( 0,5 < Z < 0,5) met Z~N(0;). Aangezen tabel gecumuleerde kansdchtheden geeft, met andere woorden kansdchtheden van de vorm P ( Z < z) denen we P 0,5 < Z < 0,5 om te zetten als volgt: ( ) P ( 0,5 < Z < 0,5) = ( Z < 0,5) P( Z < 0,5) P () = ( Z < 0,5) [ P( Z < 0,5) ] P () = P( Z ) < 0,5 = x 0,695 = 0,8 a)inden je dt grafsch zou voorstellen: de oppervlakte onder de curve van de standaardnormale verdelng tussen de waarden 0,5 en 0,5 s geljk aan de oppervlakte onder deze curve lnks van 0,5 mn de oppervlakte lnks van 0,5.

46 b)omdat de N(0;)-tabel n dt handboek enkel posteve z-waarden behelst, kunnen we ( Z < 0,5) rechtstreeks aflezen. Omwlle van de symmetre van de standaardnormale verdelng s P ( Z < 0,5) = ( Z > 0,5) P net P. Wetende dat de totale oppervlakte onder de curve van de gestandaardseerde normale verdelng 00% of de totale Z > 0,5 P Z < 0,5. kansdchthed bedraagt, kunnen we P ( ) geljkstellen aan ( ) In een school van 500 leerlngen zullen 500 x 0,8 = 9,5 of 9 (volgens eerder gezene afrondngsregel) leerlngen een IQ tussen 90 en 0 hebben Het derde kwartel s de x-waarde waarvoor geldt P ( X < x) = 0, 75. Opdat we de tabel van de standaardnormale verdelng zouden kunnen gebruken, werken we met z-scores. We zoeken bjgevolg de z-waarde waarvoor geldt: P Z < z = 0,, om herut vervolgens de gezochte x-waarde te berekenen. Aangezen z een lneare transformate ( ) 75 van x s, komt dt overeen met het zoeken naar de x-waarde waarvoor geldt dat 00 P Z < x = 0,75. 0 In de tabel van de gestandaardseerde normaalverdelng vnden we dat de z-waarde waarvoor de gecumuleerde kansdchthed P(Z<z)= 0,75 om en bj de 0,67 s, met andere woorden P(Z<0,67)= 0,75. Herut volgt dat x 00 = 0,67. Het oplossen van deze vergeljkng naar x levert een IQ-score (x-waarde) op van,. 0 Hoe kunnen we dt de kwartel nterpreteren? 75% van de leerlngen heeft een IQ van hoogstens,. Leerlngen met een IQ hoger dan, behoren dus tot de 5% meest ntellgente leerlngen. Oplossng oefenng. Om de overlap te berekenen moeten we voor de grjze verdelng (lnks) het stuk boven de waarde 7 berekenen, en voor de wtte verdelng (rechts) het stuk onder de waarde 7. We bereken eerst de z-waarde voor de ruwe waarde 7 voor bede verdelngen: Voor de lnkse verdelng: Z = (7-)/ =,67 Voor de rechtse verdelng: Z = (7-0)/ = -,5 Door mddel van de tabellen zoeken we nu op hoeveel procent er respecteveljk boven en onder de berekende z- waarden lgt. P(Z >,67) = 0,955 =,75% P(Z < -,5) = 9 = 6,68% Samen geeft dt een overlap van,6%. Oplossng oefenng. Vraag a. We moeten de kans berekenen op een lengte hoger dan 05 cm n een verdelng met gemddelde 75 cm en standaarddevate 7 cm. We berekenen eerst onze z-score: (05 75)/7 =,857 In onze tabel lopen de waarden tot maxmaal,99. Een waarde van,8 of hoger s dus zeer utzonderljk, met een kans klener dan 0,0%.

47 We kunnen dt ook berekenen d.m.v. de NormalCDF functe van je grafsch rekentoestel: NORMALCDF(05, 0000, 75,7) We gebruken de waarde 0000 (of een andere extreem hoge waarde) om onendg aan te geven. Resultaat s 0, Vraag b Her moeten we de hoogte vnden waarboven nog 5% van de lengtes lgt. Daarvoor gebruken we de nvers-normale functe met als nput percentel 95. INVNORM(0.95, 75, 7) = 86,5 cm Gebruken we de tabel, dan zoeken we bnnen n de tabel de waarde dchtst bj Dat s,6 of,65. Daarna rekenen we deze z-waarde om naar ruwe lengtes n cm: (.6 x 7) + 75 = 86,8 Oplossng oefenng. We zoeken het percentage boven de ruwe waarde 70 n een verdelng met gemddelde 50 en standaarddevate 8. We berekenen eerst de z-waarde voor de ruwe waarde 70: Z = (70 50)/8 =,5 In de tabel zen we dat onder een waarde van z =,5 er 99,8% van de waarden lggen. Dus, boven deze grens lggen er nog 0,998 = 0,6% van de waarden. Oplossng oefenng.5 We zoeken de z-waarden de overeen komen met het punt waaronder 97,5 % van de waarden lgt en het punt waaronder,5% van de waarden lgt. Dt s een nverse-normaal handelng. We zoeken bnnen n de tabel naar de waarde de het dchtst bj de waarde 0,9750 lgt. Dat s exact z =,96. Voor de z-waarde langs de lnkerzjde s dt uteraard -,96. Vervolgens rekenen we deze z-waarden om naar breedtes n cm: Bovengrens = (,96 x.5) + 5,5 = 0, cm Ondergrens = (-,96 x,5)/5,5 = 0,6 Oplossng oefenng.6 Vraag a De kans om te slagen op proef A: Z = (70 60)/0 = De kans om boven z-waarde ut te komen s (va tabel): 0,8 = 5,87% De kans om te slagen op proef B: Z = (50 0)/ = 0,8

48 De kans om boven een z-score van 0,8 ut te komen (va tabel) = - 0,7967 = 0,% Inden bede proeven onafhankeljk zjn, s de kans om op bede delen te slagen = 0,587 * 0,0 = 0,0 of,% Op een groep van 500 kanddaten maakt dat 500 x 0,0 = 6,0 dus ong. 6 kanddaten. Vraag b 5 van de 500, geeft een selectepercentage van 5%. Dat kan enkel worden berekt nden de slaagkansen op proef A en op proef B 50% bedragen. Immers 0,5 x 0,5 = 0,5. Als 50% moet slagen op elke proef, moet de gehanteerde mnmumscore geljk zjn aan het gemddelde. Dus, 60/00 op proef A en 0/00 op proef B. Oplossng oefenng.7 Vraag a We zen op de fguur dat percentel 50 (= gemddelde) overeen komt met de ruwe waarde 5. Verder zen we dat percentel 80 perfect op de ruwe score van 0 utkomt. De z-score voor percentel 80 geeft 0,8 (n de tabel). Voor het gemddelde s dt uteraard 0. Kortom, het verschl van 5 ruwe punten (tussen de ruwe score van 5 en 0) s 0,8 standaarddevates lang. 5 cm = 0,8 standaardafwjkngen standaardafwjkng = (5/0,8) = 5,95 cm Vraag b 70% van een maxmale score van 5 s geljk aan een score van,5/5. Vraag c De kans om een score van,5 of hoger te behalen berekenen we door eerst de z-waarde van,5 te bepalen: Z = (,5-5)/5,9 =,09. In de tabel lezen we bj deze waarde 0,86. Dus, 0,86 =,79% kans om hoger te scoren. D.m.v. het rekentoestel berekenen we dt als volgt: NORMALCDF(,5, 5000, 5, 5,9) =,69. De waarde 5000 dent her opneuw als onendghed. De kans om n een dergeljke groep te slagen s dus (afgerond) procent. Om het aantal n een groep van 0 te berekenen gebruken we de bnomale verdelng ~B(0; 0,). Met als vraag P(X ). Va BINOMCDF (let op: werkt enkel n de rchtng ): P(X ) = BINOMCDF(0, 0., ) = 0,55 of 5,5% De tabel van de bnomale verdelng geeft geen p-kans van 0,, dus gebruken we 0,5. P(X ) bj n=0 en p = 0,5 7,98%

49 Oplossng oefenng.8 Utgedrukt n Z-scores s 5% van de z-scores klener dan -,6 of,65. De ruwe waarde 60 moet met andere woorden overeenkomen met de z-waarde -,6 of -, , 6 = σ 5 σ = = 9,6, , 65 = σ 5 σ = = 9, 0909, 65 Oplossng oefenng.9 De z-score waarvoor 5% groter s (en dus 75% klener) s 0,67 of 0,68. We gaan een contnue verdelng gebruken om een dscreet probleem op te lossen, dus we hebben een contnuïtetscorrecte nodg. In de opgave staat dat we de kans moeten berekenen op meer dan 0 eenheden. De CC bedraagt steeds een halve eenhed en aangezen 0 er net meer bj hoort ( méér dan ) tellen we de CC erbj op. De vraag wordt dus: P(X 0,5) = 75% ~N(µ;5) µ =? 0,5 µ 0,67 = 5 0,67 5 0,5 = µ µ = 85,66 Oplossng oefenng.0 We moeten dus de ruwe waardes van Q en Q berekenen. De z-scores voor Q en Q komen respecteveljk overeen met -0,67 en +0,67. x 6 0,67 = 0, = x x = 60, x 6 0,67 = 0, = x x = 65,68 IKA = Q Q IKA = 65, 68 60, IKA = 5,6 Oplossng oefenng. Vraag a) Tenmnste 60 personen kezen zoute chps. Een bnomaal probleem: n = 50 P(zoute chps) = 0,

50 waarbj np = 9,5 en nq = 00,5, dus mag een benaderng d.m.v. de normaalverdelng worden doorgevoerd. Herbj moet wel rekenng worden gehouden met de contnuïtetscorrecte. De vraag s P(x 60), met een contnuïtetscorrecte wordt dat 59,5 We berekenen de z-waarde: xx nnnn nnnnnn 59,5 9,5 = =,76 5,7589 We zoeken vervolgens de kans dat een z-waarde groter s dan,76 In de normaaltabel kunnen we aflezen dat de kans dat een z-waarde KLEINER s dan,7 = 0,958, dus nemen we hervan het complement: 0,958 = 0,08 Inden men gebruk maakt van de NormalCDF functe: NORMALCDF(,76, 00). De waarde 00 (= 00 standaarddevates) gebruken we als vervanger voor plus onendg. Resultaat = 0,0 Deze vraag hadden we ook kunnen oplossen door gebruk te maken van proportes.p.v. absolute waarden. Voor P hoedje moet je ook wel de CC gebruken. pp pp pppp = nn 0,97 0, =,76 0,089 Als controle berekenen we de exacte bnomale kans d.m.v. ons rekentoestel. Let wel op, her heb je een complement nodg aangezen ons rekentoestel enkel n de rchtng van klener of geljk aan werkt - BINOMCDF(50,., 59) = 0,077 Vraag b) Exact 60 zullen zoute chps kezen Wederom mogen we dt bnomaal probleem benaderen d.m.v. de normale verdelng. We houden rekenng met de contnuïtetscorrecte en bouwen dus eerst een mn-nterval rond de waarde 60. Dat wordt een nterval tussen 59,5 en 60,5. We berekenen vervolgens de bede z-waarden. Voor de waarde van 59,5 hebben we dt reeds gedaan n punt a. Resultaat was,76. P(z,7) = 0,958 (va tabel). Voor de waarde 60.5: xx nnnn nnnnnn 60,5 9,5 = =,9 5,7589 P(z,9) = 0,979 De oppervlakte voor dt klene nterval bekomen we nu door de kans op 59,5 of mnder, weg te rekenen bj de kans van 60,5 of mnder. Dus:

51 0,979 0,958 = 0,07 Als controle berekenen we de exacte utkomst met de BINOMDPF(50,., 60) = 0,05 Vraag c) Mnder dan 60 personen zoute chps zullen kezen Dat s de kans op X 59,5 (met CC) = 0,95878 Vraag d) Wanneer er van elk product 70 stuks aan boord zjn, wat s de kans dat een passager net zjn product van keuze zal kunnen krjgen. Deze stuate doet zch voor wanneer er meer dan 70 stuks worden gevraagd van een bepaald product. Met CC wordt dt 70,5 xx nnnn nnnnnn 70,5 9.5 = =,665 5,7589 Deze z-waarde s zo groot dat er n onze z-tabel de waarde 0,9999 wordt gegeven. De kans dat er dus nog hogere waarden worden gevonden s klener dan 0,00%. Vraag e) Hoeveel stuks moeten er aan boord worden meegenomen wl de maatschappj maar % kans lopen de wens van een passager net te kunnen nwllgen De z-waarde waarboven nog % van de gegevens te vnden zjn s (va de tabel),. We zoeken nu de ruwe x-waarde n onze vergeljkng xx nnnn nnnnnn = xx 9,5 5,7589 =,665 De vnden we door de vergeljkng ut te werken: X = (, x 5,7589) + 9,5 = 6,9 of afgerond 6 stuks. Oplossng oefenng. De gegevens ut deze vraag zjn: P(elektr fets) = 0.5 P(geen elektr fets) = 0,875 n = 500 np en nq zjn hoger dan 0, dus we mogen dt bnomaal probleem benaderen d.m.v. de normale verdelng. De vraag s: p( x 50) met CC wordt dt 9,5 9,5 zetten we om n een Z-waarde. Formule:

52 xx nnnn nnnnnn 9,5 6,5 = =,7579 7,95 P(z -,75) = P( z,75) = 0,9599 Controle d.m.v. BINOMCDF (complement noodzakeljk want de vraag s ): BINOMCDF(500, 0.5, 9) = 0,9689 Oplossng oefenng. De gegevens zjn N = 00 n = 50 kans op baars (p) = 0, kans op karper(q) = 0,6 steekproef s groter dan 0% van de populate, dus een hypergeometrsch probleem. Dat kan men benaderen, mts gebruk te maken van zowel CC als van de endghedscorrecte. Er wordt gevraagd naar een meerderhed n een steekproef van 50, dat wordt dus groter of geljk aan 6. Met CC s dt 5,5. De formule: xx nnnn nnnnnn. NN nn NN = 5,5 0,6 XX 0,868 =,887 De kans op een z-waarde groter dan,8 (n tabel) geeft = 0,9656 = 0,0 De exacte waarde d.m.v. een hypergeometrsche applet (kan ook n Excel) s heronder voorgesteld Oplossng oefenng. Dt een bnomaal probleem met volgende parameters: n = 5 p = 0,